Amérique du Nord mai 2008

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1 Amériqu du Nord mai 8 n n On considèr ls suits ( n ) t (y n ) définis pour tout ntir naturl n non nul par : n = t cos t d t t y n = sin d t t t.. a. b. Montrr qu la suit ( n ) st à trms positifs. Étudir ls variations d la suit ( n ). c. Qu put-on n déduir quant à la convrgnc d la suit ( n )?. a. Démontrr qu, pour tout ntir naturl n non nul, n n + b. En déduir la limit d la suit ( n ). 3. a. À l aid d un intégration par partis, démontrr qu, pour tout ntir naturl n non nul, n + = (n + ) y n + sin(). b. En déduir qu lim n =. n + 4. On admt qu, pour tout ntir naturl n non nul, y n + = (n + ) n cos(). Détrminr lim n t lim n. n + n + 8

2 Antills-Guyan sptmbr 8 Soit f la fonction défini sur R par : f () = On désign par C sa courb rprésntativ dans l plan rapporté à un rpèr orthonormal (O ; i, j. a. Détrminr la limit d f n. b. c. Démontrr qu la droit D d équation y = + st asymptot à la courb C. Étudir la position d C par rapport à D. ) d unité graphiqu cm. 3. a. On not f la fonction dérivé d f. Calculr f () t montrr qu, pour tout rél, on a : f () = + 3 b. Étudir ls variations d f sur R t drssr l tablau d variations d la fonction f. 3. a. Qu put-on dir d la tangnt D à la courb C au point I d absciss ln 3? b. En utilisant ls variations d la fonction f, étudir la position d la courb C par rapport à D. 4. a. Montrr qu la tangnt D 3 à la courb C au point d absciss a pour équation : y = 4 +. b. Étudir la position d la courb C par rapport à la tangnt D 3 sur l intrvall ] ; ln 3 ]. ( 3) On pourra utilisr la dérivé scond d f noté f défini pour tout d R par : f "() = 3 ( + 3) 5. On admt qu l point I st cntr d symétri d la courb C. Tracr la courb C, ls tangnts D, D 3 t ls asymptots à la courb C. On rappll qu l unité graphiqu choisi st cm. 6. a. Détrminr un primitiv d la fonction g défini sur R par : g () = + 3. b. Soit λ un rél strictmnt négatif. On not A(λ) l air, n unités d air, du domain limité par D, C t ls droits d équations = λ t =. Montrr qu A(λ) = 4 ln 4 4 ln ( λ +3) c. Calculr lim A(λ). λ

3 Antills-Guyan juin 8 Soit f la fonction défini sur R par : f () = Parti A : Soit l équation différntill (E) : y + y = 3.. Résoudr l équation différntill (E ) : y + y =.. En déduir qu la fonction h défini sur R par : h() = 9 st solution d (E ). 3. Vérifir qu la fonction g défini sur R par : g () = 3 3 st solution d l équation (E). 4. En rmarquant qu f = g + h, montrr qu f st un solution d (E). Parti B : On nomm C f la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal ( O, i, j ) d unité cm.. Montrr qu pour tout d R on a : f () = Détrminr la limit d f n + puis la limit d f n. 3. Étudir ls variations d la fonction f t drssr l tablau d variations d f. 4. Calculr ls coordonnés ds points d intrsction d la courb C f avc ls as du rpèr. 5. Calculr f () t tracr l allur d la courb C f. 6. Détrminr l air A d la parti du plan délimité par l a ds abscisss, la courb C f, l a ds ordonnés t la droit d équation =. On primra ctt air n cm.

4 Asi juin 8 A Rstitution organisé d connaissancs On suppos connu l résultat suivant : lim + = +. Démontrr qu : lim =. + B Étud d un fonction On considèr la fonction f défini sur R par : f () = ( + ). On not (C ) sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthonormé (O ; i, j ) du plan. On prndra 4 cm pour unité graphiqu.. Ctt qustion dmand l dévloppmnt d un crtain démarch comportant plusiurs étaps. La clarté du plan d étud, la riguur ds raisonnmnts ainsi qu la qualité d la rédaction sront priss n compt clans la notation. Étudir ls variations d la fonction f t ls limits au borns d son nsmbl d définition. Résumr cs élémnts dans un tablau d variations l plus complt possibl.. Tracr la courb (C ). On fra apparaîtr ls résultats obtnus précédmmnt. C Étud d un famill d fonctions Pour tout ntir rlatif k, on not f k la fonction défini sur R par : f k () = ( + ) k. On not C k la courb rprésntativ d la fonction f k dans un rpèr orthonormal du plan. On rmarqu qu l cas k = a été traité dans la parti B, car on a f = f t C = C.. a. Qull st la natur d la fonction f? b. Détrminr ls points d intrsction ds courbs C t C. Vérifir qu, pour tout ntir k, cs points appartinnnt à la courb C k.. Étudir, suivant ls valurs du rél, l sign d l prssion : ( + ) ( ). En déduir, pour k ntir rlatif donné, ls positions rlativs ds courbs C k t C k Calculr f k () pour tout rél t pour tout ntir k non nul. En déduir l sns d variation d la fonction f k suivant ls valurs d k. (On distingura ls cas : k > t k <.) 4. L graphiqu suivant rprésnt quatr courbs E, F, H, t K, corrspondant à quatr valurs différnts du paramètr k, parmi ls ntirs, 3, t. Idntifir ls courbs corrspondant à cs valurs n justifiant la répons. D Calcul d un air plan Soit λ un rél strictmnt positif. La fonction f st cll défini dans la parti B.. À l aid d un intégration par partis, calculr c nombr : A(λ) =. Détrminr lim A(λ). Intrprétr graphiqumnt l résultat. λ + λ f ( t) dt

5 Cntrs étrangrs juin 8 I. Rstitution organisé ds connaissancs Prérquis : on rappll qu : lim + = +. ln. Démontrr qu lim =. +. En déduir qu pour tout ntir naturl n non nul : lim + II. Étud d un fonction f ln =. n ln Soit f la fonction défini sur l intrvall ] ; + [ par : f () =. On not C sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormal ( O, i, j ) (unité graphiqu cm).. Soit u la fonction défini sur l intrvall ] ; + [ par : u() = 3 + ln. a. Étudir l sns d variation d la fonction u sur l intrvall ] ; + [. b. Calculr u() t n déduir l sign d u() pour appartnant à l intrvall ] ; + [.. Étud d la fonction f a. Détrminr ls limits d f n t n +. b. Détrminr la fonction dérivé d f t construir l tablau d variations d la fonction f. 3. Élémnts graphiqus t tracés. a. Démontrr qu la droit ( ) d équation y = st asymptot obliqu à la courb C. b. Détrminr la position d C par rapport à ( ). c. Tracr la courb C t la droit ( ). III Calculs d airs On not α un nombr rél strictmnt positif t on désign par A (α) l air, primé n unités d air, d la parti du plan délimité par la courb C, la droit ( ) t ls droits d équation = t = α.. On suppos dans ctt qustion qu α >. a. À l aid d un intégration par partis, démontrr qu : A (α) = ln α α α b. Détrminr la limit l d A(α) lorsqu α tnd vrs +.. Dans ctt qustion, tout trac d rchrch, mêm incomplèt, ou d initiativ non fructuus, sra pris n compt dans l évaluation. Démontrr qu l = A.

6 Polynési juin 8 Parti A Rstitution organisé d connaissancs. On supposra connus ls résultats suivants : Soint u t v du fonctions continus sur un intrvall [a ; b] avc a < b. b Si u sur [a ; b] alors u ( ) d. a Pour tous réls α t β, b [ α b u( ) + β v( )] d = α u ( ) d b a + a β v ( ) d a Démontrr qu si f t g sont du fonctions continus sur un intrvall [a ; b] avc a < b t si, pour tout d [a ; b], f () g (), alors b b f ( ) d g ( ) d a. a Parti B On considèr la fonction f défini sur [ ; + [ par : f () = + ln ( + ). Sa courb rprésntativ (C ) ainsi qu la droit (D) d équation y = sont donnés ci-dssous dans un rpèr orthonormal d unité graphiqu cm.. Montrr qu f st croissant t positiv sur [ ; + [.. a. Montrr qu la courb (C ) admt pour asymptot a la droit (D). b. Étudir la position d (C ) par rapport à (D). 3. Soit I l intégral défini par : I = ln ( + ) d = [ f ( ) ] d a. Donnr un intrprétation géométriqu d d I. b. Montrr qu pour tout rél t, on a ln( + t ) t. (On pourra étudir ls variations d la fonctionn g défini sur [ ; + [ par : g (t) = ln( + t) t.) t On admttra qu pour tout rél t, on a ln ( + t). t + c. En déduir qu pour tout d [ ; + [, on a : ln ( + ) + d. Montrr qu : ln I. +. En déduir un ncadrmnt d I d amplitud,4 par du nombrs décimau. 4. On désign par M t N ls points d mêm absciss appartnant rspctivmnt à (C ) t (D). On jug qu M t N sont indiscrnabls sur l graphiqu lorsqu la distanc MN st infériur à,5 mm. Détrminr l nsmbl ds valurs d pour lsqulls M t N sont indiscrnabls. Dans ctt qustion, tout trac d rchrch, mêm incomplèt, ou d initiativ, mêm non fructuus, sra pris n compt dans l évaluation.

7 Pondichéry avril 8. Soit f la fonction défini sur [ ; + [ par : f () = t soit H la fonction défini sur [ ; + [ par : H() = f ( t) d t. a. Justifir qu f t H sont bin définis sur [ ; + [ b. Qull rlation ist-t-il ntr H t f? c. Soit C la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal (O ; i, j ) du plan. Intrprétr n trms d air l nombr H(3).. On s propos, dans ctt qustion, d donnr un ncadrmnt du nombr H(3). a. Montrr qu pour tout rél >, =. b. 3 En déduir qu : ( ) d = 3 ln 3 ln 3 ln ( ) d c. Montrr qu si 3, alors : ln ln ( ) ln 3 d. En déduir un ncadrmnt d 3 ln ( ) d puis d 3 f ( ) d.

8 La Réunion juin 8 Ls partis A t B puvnt êtr traités indépndammnt. Parti A ln Soit f la fonction numériqu d la variabl réll défini sur ] ; + [ par : f () =. Sa courb rprésntativ (C), construit dans un rpèr orthonormal, t son tablau d variations sont donnés n ann.. L tablau d variations d f donn ds propriétés sur ls variations d la fonction, ls limits au borns d l nsmbl d définition ainsi qu l trmum. Énoncr puis démontrr cs propriétés.. Dans ctt qustion, tout trac d rchrch, mêm incomplèt, sra pris n compt dans l évaluation. Eist-t-il ds tangnts à la courb (C ) qui continnnt l point O origin du rpèr? Si oui donnr lur équation. Parti B ln t Soit g la fonction défini sur l intrvall ] ; + [ par : g () = d t. t. a. Qu rprésnt f pour la fonction g? b. En déduir l sns d variations d g sur ] ; + [.. Intrprétr géométriqumnt ls réls g (3) t g 3. a. À l aid d un intégration par partis, montrr qu : g () = ln +. b. Détrminr la limit d g n +.

9 Métropol juin 8 Ls courbs C f t C g donnés ci-dssous rprésntnt rspctivmnt dans un rpèr orthonormal (O ; i, j ), ls fonctions f t g définis sur l'intrvall ] ; + [ par f () = ln t g() = (ln ).. On chrch à détrminr l'air A (n unités d'air) d la parti du plan hachuré. On not : I = ln d t J = (ln ) d. a. Vérifir qu la fonction F défini sur l' 'intrvall ] ; + [ par F '() = ln st un primitiv d la fonction logarithm népérin. En déduir I. b. Démontrr à l'aid d'un intégration par partis qu J = I. c. En déduir J. d. Donnr la valur d A.. Dans ctt qustion I candidat st invité à portr sur sa copi ls étaps d sa démarch mêm si ll n'aboutit pas. Pour appartnant à l'intrvall [ ; ], on not M l point d la courb C f d'absciss t N l point d la courb C g d mêm absciss. Pour qull valur d la distanc MN st maimal? Calculr la valur maimal d MN.

10 Métropol & La Réunion sptmbr 8 On considèr la suit numériqu (J n ) défini, pour tout ntir naturl n non nul, par : J n = n t + t d t. Démontrr qu la suit (J n ) st croissant.. Dans ctt qustion, l candidat st invité à portr sur sa copi ls étaps d sa démarch mêm si ll n aboutit pas. n t On définit la suit (I n ), pour tout ntir naturl n non nul, par : I n = ( + t) d t. a. Justifir qu, pour tout t, on a t + t +. b. En déduir qu J n I n. c. Calculr I n n fonction d n. En déduir qu la suit (J n ) st majoré par un nombr rél (indépndant d n). d. Qu put-on n conclur pour la suit (J n )?

11 Liban juin 8 Parti A On considèr un fonction f dérivabl sur l intrvall ] ; + [. On donn l tablau d ss variations : Soit g la fonction défini sur ] ; + [ par : g () =. En tnant compt d touts ls informations contnus dans l tablau d variation, tracrr un courb (C ) suscptibl d rprésntr f dans l plan muni d un rpèr orthogonal (unités graphiqus : cm sur l a ds abscisss, cm sur l a ds ordonnés).. a. Intrprétr graphiqumnt g (). b. Montrr qu g (),5. 3. a. Soit un rél supériur à. Montrr qu f ( t) dt. En déduir qu g (). b. Détrminr la limit d la fonction g n Étudir l sns d variation d la fonction g sur l intrvall ] ; + [. Parti B t On admt qu pour tout rél t, f (t ) = (t ) +.. À l aid d un intégration par partis, primr n fonction du rél l intégral. En déduir qu pour tout rél, g () = ( ). 3. Détrminr la limit d la fonction g n. f ( t) d t ( t ) t dt.

12 Nouvll-Calédoni novmbr 8 PARTIE A On considèr la fonction f défini sur l intrvall ] ; + [ par : f () = ln +.. Détrminr ls limits d la fonction f n t n +.. Étudir l sns d variation d la fonction f puis drssr son tablau d variations. 3. Montrr qu l équation f () = admt un uniqu solution α dans l intrvall ] ; + [. Donnr un ncadrmnt du nombr α à près. PARTIE B L plan st muni d un rpèr orthonormal ( O ; i, j ). On considèr sur l graphiqu ci-dssous, la courb rprésntativ C d la fonction ln, ainsi qu la droit D d équation y =. On not E l point d intrsction d la courb C t d la droit D. On considèr l air n unités d air, noté A, d la parti du plan situé au dssus d l a ds abscisss t au dssous d la courb C t d la droit D.. Détrminr ls coordonnés du point E.. α Soit I = ln d. a. Donnr un intrprétation géométriqu d I. b. Calculr I, n fonction d α, à l aid d un intégration par partis. c. Montrr qu I put aussi s écrir I = α + α + sachant qu f (α) =. 3. Calculr l air A n fonction d α.

13 Polynési sptmbr 8 On considèr la fonction f défini sur R par : f () = ln ( + ). La courb (C ) rprésntativ d la fonction f dans un rpèr orthogonal st donné ci-dssous. Parti A - Étud d fonction f.. Montrr qu, pour tout rél, f () = + ln ( + ). On admt qu, pour tout rél, f () = + ln ( + ).. Calculr lim f () t montrr qu la droit (d) d équation y = st asymptot à (C ). + Étudir la position rlativ d (C ) t d (d). 3. Calculr lim f () t montrr qu la droit (d ) d équation y = + ln st asymptot à (C ). 4. Étudir ls variations d la fonction f. Montrr qu l minimum d la fonction f st égal à 3 ln. 5. Tracr ls droits (d) t (d ) sur la fuill ann. Parti B - Encadrmnt d un intégral. 3 On pos I = [ f ( ) ] d.. Donnr un intrprétation géométriqu d I.. Montrr qu, pour tout X [ ; + [, ln ( + X) X. 3. En déduir qu I 3 d t donnr un ncadrmnt d I d amplitud,.

14 Polynési juin 8 Parti A Rstitution organisé d connaissancs. On supposra connus ls résultats suivants : Soint u t v du fonctions continus sur un intrvall [a ; b] avc a < b. b Si u sur [a ; b] alors u ( ) d. a b Pour tous réls α t β, [ α u( ) + β v( )] d = α a u ( ) d + β a v ( ) d a Démontrr qu si f t g sont du fonctions continus sur un intrvall [a ; b] avc a < b t si, pour tout d [a ; b], f () g (), alors b b f ( ) d g ( ) d a. a Parti B On considèr la fonction f défini sur [ ; + [ par : f () = + ln ( + ). Sa courb rprésntativ (C ) ainsi qu la droit (D) d équation y = sont donnés ci-dssous dans un rpèr orthonormal d unité graphiqu cm.. Montrr qu f st croissant t positiv sur [ ; + [.. a. Montrr qu la courb (C ) admt pour asymptot la droit (D). b. Étudir la position d (C ) par rapport à (D). 3. Soit I l intégral défini par : I = ln ( + ) d = [ f ( ) ] d a. Donnr un intrprétation géométriqu d d I. b. Montrr qu pour tout rél t, on a ln( + t ) t. (On pourra étudir ls variations d la fonctionn g défini sur [ ; + [ par : g (t) = ln( + t) t.) t On admttra qu pour tout rél t, on a ln ( + t). t + c. En déduir qu pour tout d [ ; + [, on a : b ln ( + ) + d. Montrr qu : ln I. +. En déduir un ncadrmnt d I d amplitud,4 par du nombrs décimau. 4. On désign par M t N ls points d mêm absciss appartnant rspctivmnt à (C ) t (D). On jug qu M t N sont indiscrnabls sur l graphiqu lorsqu la distanc MN st infériur à,5 mm. Détrminr l nsmbl ds valurs d pour lsqulls M t N sont indiscrnabls. Dans ctt qustion, tout trac d rchrch, mêm incomplèt, ou d initiativ, mêm non fructuus, sra pris n compt dans l évaluation. b

15 7 Antills-Guyan sptmbr 7 Qustion d cours Soit I un intrvall d R. Soint u t v du fonctions continus, dérivabls sur I tlls qu u t v soint continus sur I. Rapplr t démontrr la formul d intégrationn par partis sur un intrvall [a ; b] d I. Parti A Soit f un fonction défini t dérivabl sur l intrvall [ ; ]. On not f la fonction dérivé d f. On suppos qu f st continu sur l intrvall [ : ].. Utilisr la qustion d cours pour montrr qu : f ( ) d = f () f '( ) d. En déduir qu : ( f ( ) f ()) d = f '( ) d Parti B On désign par ln la fonction logarithm népérin. Soit f la fonction défini sur l intrvall ] ; [ par : + f () = ln. Soit C la courb rprésntativ d f sur l intrvall ] ; [ dans un rpèr orthonormé d unité graphiqu cm.. Détrminr ls limits d f au borns d son nsmbl d définition. 4. a. Montrr qu pour tout rél d l intrvall ] ; [ on a : f () =. 4 b. En déduir ls variations d f sur l intrvall ] ; [. Parti C La courb C st tracé sur la fuill ann. Hachurr sur ctt fuill la parti P du plan constitué ds points M( ; y) tls qu t f () y ln3. En utilisant la parti A, calculr n cm l air d P.

16 Antills Guyan juin 7 Qustion d cours Prérquis : positivité t linéarité d l intégral. Soint a t b du réls d un intrvall I d R tls t qu a 6b. Démontrr qu si f t g sont du fonctions continus sur I tlls qu pour b b tout rél d l intrvall I, f () g (), alors f ( t) d t g( t) d t [ ]. a a Parti A. Soit un rél supériur ou égal à. Calculr n fonction d l intégral ( t) d t. Démontrr qu pour tout rél t appartnant à l intrvall [ ; +[, on a : t t. 3. Déduir d c qui précèd qu pour toutt rél supériur ou égal à, on a : 3 ln. + Parti B 3 Soit h la fonction défini sur R par : h() = + Sur l graphiqu joint n ann, l plan st muni d un rpèr orthogonal (O ; i, j ) dans lqul on a tracé ls courbs rprésntativs ds fonctions h t logarithm népérin sur l intrvall [ ; 4]. On a tracé égalmnt la droit (d) d équation = a. Démontrr qu h ( ) d. b. Illustrr sur l graphiqu l résultat d la qustion précédnt.. On not (D) l domain du plan délimité par la droit (d) t ls courbs rprésntativs ds fonctions h t logarithm népérin sur l intrvall [ ; 4]. En utilisant un intégration par partis, calculr l air d (D) n unités d air.

17 Asi juin 7 Pour chacun ds propositions suivants, indiqur si ll st vrai ou fauss t donnr un démonstration d la répons choisi. Dans l cas d un proposition fauss, la démonstration consistra à proposr un contr-mpl. Un répons non démontré n rapport aucun point.. Si f st la fonction défini pour tout nombr rél par : f () = sin, alors sa fonction dérivé vérifi, pour tout nombr rél, f () = sin.. Soit f st un fonction défini t dérivabl sur l intrvall [ ; ], dont la dérivé st continu sur ct intrvall. Si f ( ) = f (), alors : t f '( t) d t = f ( t) d t 3. Soit f un fonction défini t continu sur l'intrvall [ ; 3]. Si 3 3 f ( t ) d t = g ( t ) d t, alors pour tout nombr rél appartnant à [ ; 3] : f () g (). 4. Si f st solution d l équation différntill y = y + t si f n st pas un fonction constant, alors la rprésntation d f dans un rpèr du plan, n admt aucun tangnt parallèl à l a ds abscisss.

18 Liban Juin 7 Soint f t g ls fonctions définis sur l intrvall ] ; + [ par : f () = ln t g() = (ln ). On not C t C ls courbs rprésntativs rspctivs d f t g dans un rpèr orthogonal. Ls courbs C t C sont donnés n ann.. a. Étudir l sign d (ln ) ( ln ) sur ] ; + [. b En déduir la position rlativ ds du courbs C t C sur ] ; + [.. Pour appartnant à ] ; + [, M st l point d C d absciss t N st l point d C d mêm absciss. a. Soit h la fonction défini sur ] ; + [ par h() = f () g(). Étudir ls variations d la fonction h sur ] ; + [. b. En déduir qu sur l intrvall [ ; ], la valur maimal d la distanc MN st obtnu pour =. c. Résoudr dans ] ; + [ l équation (ln ) ln =. d. En déduir qu, sur ] ; [ ] ; + [, il ist du réls a t b (a < b) pour lsquls la distanc MN st égal à. 3. a. A l aid d un intégration par partis, calculr ln d. b. Vérifir qu la fonction G défini sur ] ; + [ par : G() = [ (ln ) ln + ] st un primitiv d la fonction g sur ] ; + [. c. On considèr la parti du plan délimité par ls courbs C, C t ls droits d équations = t =. Détrminr l air A n unités d air d ctt parti du plan.

19 Métropol juin 7 ln ( + ) On considèr la fonction f défini sur l intrvall ] ; + [ par : f () = + La courb C rprésntativ d f st donné sur l documnt ann qu l on complétra t qu l on rndra avc la copi. Parti A : Étud d crtains propriétés d la courb C. On not f la fonction dérivé d f. Calculr f () pour tout d l intrvall ] ; + [.. Pour tout d l intrvall ] ; + [, on pos : N () = ( + ) + ln ( + ). Vérifir qu l on définit ainsi un fonction strictmnt croissant sur ] ; + [. Calculr N(). En déduir ls variations d f. 3. Soit D la droit d équation y =. Calculr ls coordonnés du point d intrsction d la courb C t d la droit D. Parti B : Etud d un suit récurrnt défini à partir d la fonction f.. Démontrr qu si [ ; 4 ], alors f () [ ; 4].. u = 4 On considèr la suit (u n ) défini par : pour tout n d N. u n + = f ( u n ) a. Sur l graphiqu d l ann, n utilisant la courb C t la droit D, placr ls points d C d abscisss u,u, u t u 3. b. c. Démontrr qu pour tout n d N on a : u n [ ; 4]. Etudir la monotoni d la suit (u n ). d. Démontrr qu la suit (u n ) st convrgnt. On désign par l sa limit.. Utilisr la parti A pour donnr la valur d l.

20 Polynési sptmbr 7 On désign par (E) l nsmbl ds fonctions f continus sur l intrvall [ ; ] t vérifiant ls conditions (P ), (P ) t (P 3) suivants : (P ) : f st strictmnt croissant sur l intrvall [ ; ]. (P ) : f () = t f () =. (P 3) : pour tout rél d l intrvall [ ; ], f (). Dans un rpèr orthonormal (O ; i, j ) du pla an, on not (C f ) la courb rprésntativ d un fonction f d l nsmbl (E) t (D) la droit d équation y =. À tout fonction f d (E), on associ l nombr rél : I f = [ f ( ) ] d. a. Un sul ds trois courbs ci-dssous rprésnt un fonction d (E). La détrminr n justifiant l élimination ds du autrs. Courb n Courb n Courb n 3 b. Montrr qu, pour tout fonction f d (E), I f.. Soit h la fonction défini sur l intrvall [ ; ], par h() =. (On rappll qu, pour tout rél, = ln ). a. Montrr qu la fonction h vérifi ls conditions (P ) t (P ) b. Soit ϕ la fonction défini sur l intrvall [ ; ] par : ϕ() =. Montrr qu, pour tout d [ ; ], ϕ(). (On pourra étudir l sns d variation d la fonction ϕ sur [ ; ]). En déduir qu la fonction h appartint à l nsmbl (E). c. Montrr qu l rél I h associé à la fonction h st égal à 3. ln 3. Soit P un fonction défini sur l intrvall [ ; ] par : P() = a + b + c où a, b t c sont trois nombrs réls tls qu < a <. On s propos d détrminr ls valurs ds réls a, b t c pour qu la fonction P appartinn à l nsmbl (E) t qu I P = I h. a. Montrr qu la fonction P vérifi la propriété (P ) si t sulmnt si, pour tout rél d l intrvall [ ; ], P() = a + ( a). Montrr qu tout fonction P défini sur [ ; ] par P() = a + ( a) avc < a < appartint à (E). b. Eprimr n fonction d a l rél I P associé à la fonction P. c. Montrr qu il ist un valur du rél a pour laqull I P = I h. Qull st ctt valur?

21 5 Amériqu du Nord Juin 5 Soit f la fonction défini sur l'intrvall [, + [ par : f () = ( ) ( ). Sa courb rprésntativ C st tracé dans l rpèr orthonormal ci-dssous (unité graphiqu cm).. a. Étudir la limit d f n +. b. Montrr qu la droit d'équation y = st asymptot à C. c. Étudir la position rlativ d C t.. a. Calculr f '() t montrr qu : f '() = + ( ). b. En déduir qu, pour tout rél strictmnt positif, f '() >. c. Précisr la valur d f '(), puis établir l tablau d variation d f. 3. À l'aid d'un intégration par partis, calculr l'air, primé n cm, du domain plan limité par la courb C, la droit t ls droits d'équations = t = a. Détrminr l point A d C où la tangnt à C st parallèl à. b. Calculr la distanc, primé n cm, du point A à la droit.

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23 3 Amériqu du Nord Juin 3 Parti A : Etud d'un fonction f t construction d sa courb On considèr la fonction f défini sur IR par : f () = ln ( + ). On not C sa courb rprésntativ dans l plan rapporté au rpèr orthogonal (O ; i, j ). L'unité graphiqu st cm sur l'a ds abscisss t cm sur l'a ds ordonnés.. a. ln ( + h) On rappll qu: lim h h =. Détrminr la limit d f n. b. Vérifir qu pour tout rél : f () = + ln ( + ). Détrminr la limit d f n +. c. En déduir qu la courb C admt du asymptots qu l'on précisra.. t On considèr la fonction g défini sur l'intrvall [ ; + [ par : g(t) = + t ln ( + t). a. Démontrr qu la fonction g st strictmnt décroissant sur l'intrvall [ ; + [ b. En déduir l sign d g(t) lorsqu t >. 3. a. Calculr f ' () t l'primr n fonction d g( ), f ' désignant la fonction dérivé d f. b. En déduir l sns d variation d la fonction f puis drssr son tablau d variation. 4. Tracr ls asymptots à la courb C t la courb C.

24 Parti B : Comportmnts asymptotiqus d'un primitiv F d f sur IR Soit F la fonction défini sur IR par F() = f ( t) d t.. Etudir l sns d variation d la fonction F.. a. t Vérifir qu, pour tout nombr rél t, = + t t +. Calculr b. En déduir, à l'aid d'un intégration par partis, l calcul d F(). c. Vérifir qu F() put s'écrir sous ls forms suivants : () F() = ln( + ) f () + ln. () F() = ln f () + ln + 3. Détrminr lim F(). 4. Détrminr + Parti C : Étud d'un suit d t. t + lim (F() ). Donnr un intrprétation graphiqu d c résultat. Soit (u n) la suit défini sur IN * par : u n = f () + f () f (n) = n k k = k ln ( + ). Hachurr sur la rprésntation graphiqu un domain dont l'air, n unités d'air, st u n.. Détrminr l sns d variation d la suit (u n). 3. a. Justifir qu, pour tout ntir k tl qu k n, on a : f (k) + f ( t) d t b. Comparr u n t F(n). 4. La suit (u n) st-ll convrgnt? k k

25 Amériqu du Sud Novmbr 3 On considèr la fonction f défini sur IR par : f () = + (O ; i, j ) Parti A. Étudir la parité d f. Qu put-on n déduir pour la courb Γ?. Démontrr qu, pour tout rél positif ou nul,. 3. a. Détrminr la limit d f n +. b. Étudir ls variations d f sur [, + [. 4. On considèr ls fonctions g t h définis sur [ ; + [ par : g() =, t on désign par Γ sa courb rprésntativ dans un rpèr orthogonal t h() = Sur l'ann sont tracés, dans l rpèr (O ; i, j ) ls courbs rprésntativs d g t h, notés rspctivmnt Γ t Γ. a. Démontrr qu, pour tout rél positif ou nul : h() f () g(). b. Qu put-on n déduir pour ls courbs Γ, Γ t Γ? Tracr Γ sur l'ann, n précisant sa tangnt au point d'absciss. Parti B n Soit (I n ) la suit défini sur IN par : I n = + n f ( ) d.. Justifir l'istnc d (I n), t donnr un intrprétation géométriqu d (I n).. a. b. Démontrr, qu pour tout ntir naturl n : f (n + ) I n f (n). En déduir qu la suit (I n ) st décroissant. c. Démontrr qu la suit (I n) st convrgnt t détrminr sa limit. Parti C Soit (J n ) la suit défini sur IN par : J n = n f ( ) d.. En utilisant l'ncadrmnt obtnu dans la qustion A 4. a., démontrr qu, pour tout ntir naturl n, ( n ) n. Démontrr qu la suit (J n ) st croissant. En déduir qu'll convrg. 3. On not L la limit d la suit (J n ) t on admt l théorèm suivant : «Si u n, v n t w n sont trois suits convrgnts d limits rspctivs a, b t c t si, à partir d'un crtain rang on a : pour tout n, u n v n w n, alors a b c». Donnr un ncadrmnt d L. 4. Soit u la fonction défini sur IR par : u() = + On not v la primitiv d u sur IR tll qu v() = 4 π. On admt qu la courb rprésntativ d v admt n + un asymptot d'équation y = π. a. Démontrr qu, pour tout rél, f () = ( ) +. b. Démontrr qu, pour tout rél, f st la dérivé d la fonction v ( ). c. En déduir la valur act d L.

26 ,9,8,7,6,5,4,3,, -, ,

27 Amériqu du Nord Juin Pour tout rél k strictmnt positif, on considèr la fonction f k défini sur [ ; + [ par f k () = ln ( + k ). Soit C k la courb rprésntativ d la fonction f k dans l plan muni d'un rpèr orthogonal (O ; i, j ), (unités graphiqus : 5 cm sur l'a ds abscisss t cm sur l'a ds ordonnés). Etud préliminair : mis n plac d'un inégalité. On considèr la fonction g défini sur [ ; + [ par : g() = ln ( + ).. Etudir l sns d variation d g.. En déduir qu pour tout rél a positif ou nul : ln ( + a) a. Parti A : Etud d la fonction f défini sur [ ; + [ par : f () = ln ( + ).. Calculr f ' () pour tout rél appartnant à l'intrvall [ ; + [ t n déduir l sns d variation d la fonction f.. Montrr qu pour tout rél appartnant à l'intrvall [ ; + [ ; f () = ln +. En déduir la limit d f n Drssr l tablau d variation d f. Parti B : Etud t propriétés ds fonctions f k.. Calculr f ' k () pour tout rél appartnant à l'intrvall [ ; + [ t n déduir l sns d variation d la fonction f k.. Montrr qu pour tout rél appartnant à l'intrvall [ ; + [ ; f k () = ln +. En déduir la limit d f k n a) Drssr l tablau d variation d f k. b) Montrr qu pour tout rél d l'intrvall [ ; + [, on a : f k () k. 4. Détrminr un équation d la tangnt T k à C k au point O. 5. Soit p t m du réls strictmnt positifs tls qu p < m. Etudir la position rlativ d C p t C m. 6. Tracr ls courbs C t C ainsi qu lurs tangnts rspctivs T t T n O. Parti C : Majoration d'un intégral. Soit λ un rél strictmnt positif, on not A (λ) l'air, n unités d'air, du domain délimité par l'a ds abscisss, la courb C k t ls droits d'équation = t = λ.. Sans calculr A (λ), montrr qu : A (λ) λ. Calculr à l'aid d'un intégration par partis l'intégral 3. On admt qu A (λ) admt un limit n +. Montrr qu d (on pourra utilisr l résultat d la qustion préliminair). λ d. lim λ + A(λ) k. Intrprétr graphiqumnt c résultat.

28 Amériqu du Sud Novmbr A Etud d'un fonction auiliair. Soit g la fonction défini sur R par : g() = ( ) +.. Etudir l sns d variation d g.. Démontrr qu l'équation g() = admt un uniqu solution dans l'intrvall [,7 ;,8 ] ; on not α ctt solution. 3. Détrminr l sign d g() sur ] ; [. Justifir qu g () > sur [ ; α [ t g () < sur ] α ; + [. B Etud d la fonction f défini sur R par : f () = + +. On désign par C f la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthogonal (O ; i, j ) ; unités graphiqus: cm sur l'a ds abscisss t cm sur l'a ds ordonnés.. Détrminr la limit d f n + t intrprétr graphiqumnt c résultat.. a. Détrminr la limit d f n. b. Démontrr qu la droit (d) d'équation y = + st un asymptot pour C f. c. Etudir la position d C f par rapport à (d). 3. a. Montrr qu la fonction dérivé d f a mêm sign qu la fonction g étudié dans la parti A). b. Montrr qu'il ist du ntirs p t q tls qu f (α) = p α + q. c. Drssr l tablau d variation d la fonction f. 4. Tracr la courb C f dans l rpèr avc ss asymptots t sa tangnt au point d'absciss α. C. Encadrmnts d'airs Pour tout ntir naturl n, tl qu n, on not D n l'nsmbl ds points M (, y) du plan, dont ls coordonnés vérifint : n t y f () t on appll A n son air, primé n unités d'air.. Fair apparaîtr D 5 sur la figur. 7. Démontrr qu pour tout, tl qu, on a : 8 + n 3. On pos I n = d. À l'aid d'un intégration par partis, calculr I n n fonction d n. 4. Ecrir un ncadrmnt d A n n fonction d I n. 5. On admt qu A n a un limit lorsqu n tnd vrs +. Détrminr la limit d I n lorsqu n tnd vrs +. Qu put-on n déduir pour la limit d A n lorsqu n tnd vrs +. Donnr un intrprétation géométriqu d c drnir résultat.

29 Amériqu du Nord Juin ln L but d c problèm st d'étudir dans la parti A la fonction numériqu f défini sur ], + [ par : f () = + +, d détrminr nsuit dans la parti B la position d sa courb rprésntativ par rapport à son asymptot obliqu. Parti A. Soit g la fonction numériqu défini sur ], + [ par : g() = 3 ln +. ( ) ( ) a. Montrr qu la fonction g st dérivabl t qu pour tout ], + [ : g '() = b. Étudir ls variations d la fonction g puis détrminr l sign d g().. a. Détrminr ls limits d f n t n +. g( ) b. Montrr qu pour tout ], + [ : f '() = 3 puis donnr l tablau d variations d f. Parti B Γ désign la rprésntation graphiqu d la fonction f dans un rpèr orthonormal (O, i, j ), unité graphiqu cm.. Soit h la fonction défini sur ], + [ par : h() = + ln. a. Étudir l sns d variation d h puis montrr qu l'équation h() = admt un solution uniqu α sur l'intrvall [,4 ;,7]. b. Montrr qu l'on a : α = α,. a. Vérifir qu la droit d'équation y = st asymptot obliqu à Γ n +. b. Utilisr ls résultats d la qustion.a. pour détrminr ls positions rlativs d Γ t. 3. Construir Γ t dans l rpèr orthonormal (O, i, j ). 4. a. Calculr au moyn d'un intégration par partis, l'intégral I = ln t d t. t b. En déduir l'air, n cm d la portion d plan limité par la courb Γ, la droit t ls droits parallèls à l'a ds ordonnés d'équation = t =.

30 ASIE Juin On considèr la fonction f, défini sur l'intrvall ] ; + [ par : f () =. ( + ) On désign par (C) la courb rprésntativ d f dans l plan rapporté à un rpèr orthonormal (O ; i, j ). Parti A - Étud d la fonction f t tracé d (C). a. Calculr la limit d ctt fonction lorsqu tnd vrs +. b. Calculr la limit d ctt fonction lorsqu tnd vrs. Qu put-on n déduir pour la courb (C)?. Calculr f '() t montrr qu son sign st clui d Drssr l tablau d variation d f. 4. Tracr la courb (C), ls droits d'équations rspctivs = t y =, ainsi qu la tangnt à ctt courb n son point d'absciss. (Unité graphiqu : 4 cm). 5. Montrr qu l'équation f () = admt un uniqu solution, noté α, dans l'intrvall [ ;]. Utilisr l graphiqu précédnt pour donnr du nombrs ntirs consécutifs a t b tls qu α appartint à l'intrvall [a ; b]. Parti B - Calcul d'un air. Soit g la fonction défini sur ] ; + [ par g() = + a. Étudir l sns d variation d g dans l'intrvall [ ; ]. b. Montrr qu, pour tout appartnant à [ ; ], on a : g(),5. c. En déduir un ncadrmnt d A = g ( ) d.. Soit A l'air, n unités d'air, du domain délimité par ls droits d'équations rspctivs = t =, la courb (C) t l'a ds abscisss. À l'aid d'un intégration par partis, primr A n fonction d A t n déduir un ncadrmnt d A. Parti C - Approimation d'un nombr à l'aid d'un suit Pour ctt parti, on utilisra sans justification l fait qu l'équation f () = a un uniqu solution β t qu cll-ci st élémnt d l'intrvall ;. Soit h la fonction défini sur ] ; + [ par h() = 3 ( + ). a. Vérifir qu, pour tout appartnant à ] ; + [, on a : f '() = f () h(). b. Calculr h'(). c. En utilisant la qustion a., calculr f "(). En déduir l sns d variation d f ' dans l'intrvall ;. d. En déduir qu, pour tout appartnant à ;, on a : f '(). 4. On définit la suit (U n), pour tout nombr ntir naturl n, par : U = t U n + = f (U n ) pour n. On admt qu, pour tout nombr ntir naturl n, on a : U n a. Montrr qu, pour tout nombr ntir naturl n, on a : U n + β 4 U n β b. Montrr par récurrnc qu, pour tout nombr ntir naturl n, on a : U n β c. En déduir un valur approché numériqu d β à 3 près. 4 n

31 CENTRES ÉTRANGERS I Juin Ls objctifs du problèm sont d détrminr un solution particulièr d'un équation différntill (parti A), d'étudir ctt solution (parti B) t d la rtrouvr dans un contt différnt (parti C). Parti A On appll (E) l'équation différntill y " y =, où y st un fonction numériqu défini t du fois dérivabl sur l'nsmbl R ds nombrs réls.. Détrminr ls réls r tls qu la fonction h, défini par h() = r, soit solution d (E).. Vérifir qu ls fonctions ϕ définis par ϕ() = α + β -, où α t β sont du nombrs réls, sont ds solutions d (E). On admt qu'on obtint ainsi touts ls solutions d (E) Détrminr la solution particulièr d (E) dont la courb rprésntativ pass par l point d coordonnés ln ; t admt 4 n c point un tangnt dont l cofficint dirctur st 4. Parti B On appll f la fonction défini sur l'nsmbl IR ds nombrs réls par f () = ( ). On désign par (C) la courb rprésntativ d f dans l plan rapporté à un rpèr orthonormal (O ; i, j ).. Soit µ un rél. Montrr qu, pour tout rél, f () = µ équivaut à µ =. En déduir qu l'équation f () = µ a un uniqu solution dans IR t détrminr sa valur n fonction d µ.. a. Détrminr ls limits d f n t n +. b. Calculr f '() pour tout nombr rél t n déduir l sns d variation d f sur IR. 3. a. Détrminr un équation d la tangnt (T) à la courb (C) au point d'absciss. b. En étudiant l sns d variation d la fonction d défini sur IR par d() = f (), précisr la position d (C) par rapport à (T). c. Tracr (C) t (T). (Unité graphiqu : cm). 4. Soit D la parti rprésntant sur l graphiqu l'nsmbl ds points M d coordonnés (; y) tls qu cm, l'air d D. Parti C On chrch à caractérisr ls fonctions φ, dérivabls sur l'nsmbl ds nombrs réls, tlls qu, pour tout rél :. On suppos qu'il ist un tll fonction φ. φ () ( t) φ( t) d t = (H). a. Justifir qu, pour tout nombr rél, φ () = + φ ( t) d t t φ( t) d t. Calculr φ (). b. Démontrr qu, pour tout nombr rél, φ'() = + φ ( t) d t. Calculr φ'().. Calculr, n y f ( ) c. Vérifir qu φ st un solution d l'équation différntill (E) d la parti A. Détrminr laqull, parmi touts ls solutions plicités dans la qustion a.. a. À l'aid d'un intégration par partis, calculr t t t ( ) d t b. Démontrr qu la fonction trouvé à la qustion. c. vérifi bin la rlation (H).

32 AMERIQUE DU SUD Novmbr Parti A - Étud préliminair : mis n plac d'un inégalité. L plan st muni d'un rpèr orthonormal (O, i, j ). On désign par la droit d'équation y = + t par Γ la courb d'équation y =. a. Qu rprésnt la droit pour la courb Γ? b. Tracr dans l rpèr (O, i, j ) la droit D t donnr l'allur d Γ.. a. Démontrr qu pour tout rél t, t t +. Intrprétr graphiqumnt c résultat. b. En déduir qu pour tout rél t, t + t +, t qu pour tout d IR + *, on a : + ln +. Parti B - Étud d'un fonction On considèr la fonction g défini sur ] ; + [ par : g() = ( + ) ln. On appll C la courb rprésntativ d g dans l plan muni d'un rpèr orthonormal (O ; u, v ) (unité graphiqu: cm).. a. Étudir l sns d variation d g n utilisant la parti A. b. Détrminr ls limits d la fonction g n t n +.. a. Détrminr un équation d la tangnt D à C au point d'absciss. b. On appll h la fonction défini sur ] ; + [ par : h() = g() +. Étudir l sns d variation d h. (On pourra utilisr la qustion a..b.). En déduir l sign d h() suivant ls valurs d. c. Étudir la position d C par rapport à D. 3. Tracr C t D dans l rpèr (O ; u, v ). 4. Pour tout n d IN *, on pos U n = + g( ) d. a. Donnr un intrprétation géométriqu d U n. b. Montrr qu, pour tout ntir naturl n non nul, on a : g(n) U n g(n + ). c. En déduir l sns d variation d la suit (U n). d. La suit (U n) st-ll convrgnt? Parti C - Étud d'un primitiv G désign la primitiv d g sur ] ; + [ qui s'annul n. On a donc : pour tout appartnant à l'intrvall ] ; + [, G() = g( t) d t. n n. Qul st l sign d G () suivant ls valurs d?. Calculr G () à l'aid d'un intégration par partis. 3. Détrminr ls limits d G n t n +. Pour l'étud n +, on pourra mttr n factur dans l'prssion G (). Pour l'étud n, on admttra qu lim ln =.

33 999 Amériqu du Nord Juin 999 On considèr la fonction numériqu f défini sur ] ; ] par : f () =. ( ) On désign par Γ la courb rprésntativ d f dans l plan rapporté à un rpèr orthonormal (O ; i, j ), l'unité graphiqu étant cm. Parti I. a. Soit X =. Prouvr l'égalité : ( ) b. Détrminr la limit d f n. c. En déduir un asymptot à la courb Γ. +. a. Soit v la fonction numériqu défini sur ] ; [ par v() = b. 4 Démontrr qu f '() = ( ) 3. Etudir ls variations d f. 4. Tracr la courb Γ. +. = + X X. En déduir la limit d f quand tnd vrs. +. Calculr v '(). Parti II. Détrminr un primitiv d f sur ], [.. α Soit α rél tl qu < α <, détrminr : g(α) = f ( ) d. α 3. Qull st la limit d g(α) quand α tnd vrs. 4. Qull st l'air n cm du domain limité par la courb d f, l'a ds abscisss, ls droits d'équations rspctivs = α t = α. Parti III. Démontrr qu l'équation f () = a du solutions dont l'un st. On notra β l'autr solution. b. Donnr un ncadrmnt d largur d β.. Soit a un élémnt d ], [. Détrminr graphiqumnt, n fonction d a, l nombr d solutions d l'équation f () = f (a).

34 Cntrs étrangrs I Juin 999 L but du problèm st l'étud d un fonction f défini sur l'intrvall [ ; + [ t d un primitiv d f. Parti A : Etud d un fonction auiliair g Soit g la fonction défini sur l'intrvall [ ; + [ par : g() = ( + ) ln ( + ). Montrr qu g st dérivabl sur l'intrvall [ ; + [ t, n détaillant ls calculs ffctués, montrr qu : g'() = ln ( + ). Fair l'étud du sns d variation d g sur l'intrvall [ ; + [. 3. Montrr qu'il ist un uniqu rél, qu l'on notra α, dans l'intrvall [, ], tl qu g(α) = ; donnr l'approimation décimal à près par défaut d α. 4. En déduir l sign d g(), pour appartnant à l'intrvall [ ; + [. Parti B : Etud d la fonction f ln ( + ) La fonction f st défini sur [ ; + [ par : f () = t par f () = lorsqu. Sa courb rprésntativ (C) dans l plan rapporté à un rpèr d origin O st donné n ann qui sra complété t rndu avc la copi. f ( ). a. Montrr qu lim =. En déduir qu f st dérivabl n t donnr la valur d f '(). g( ) b. Vérifir qu pour strictmnt positif, f '() = ( + ) Fair l'étud du sns d variation d f sur l'intrvall [ ; + [. ln( ). a. Montrr qu, pour, f (). b. En déduir la limit d f n +. Parti C : Etud d un primitiv d f On not F la primitiv d f sur l'intrvall [ ; + [, qui s'annul pour =. On rappll qu F() = f ( t) d t ; (on n chrchra pas à calculr F()).. a. ln() Montrr qu, pour >, f () b. Calculr ln( t) t d t pour t n déduir la limit d F n +.. Drssr l tablau d variation d F. 3. Montrr qu f (l) < F() < fα) t n déduir un ncadrmnt d F(). (On prndra f α),8) 4. On not I l point d coordonnés ( ; ), A l point d (C) d coordonnés ( ; ln) t B l point d coordonnés (ln ; ln). a. Vérifir qu B appartint à la tangnt à (C) n O. b. Placr ls points I, A t B sur la figur t tracr ls sgmnts [OA], [OB], [BA] t [AI]. c. On admt qu, pour ls abscisss appartnant à l'intrvall [ ; ], la courb (C) st situé au dssus d [OA] t n dssous d [OB] t d [BA]. Détrminr un ncadrmnt d F(), d amplitud infériur à.. 5. Tracr la rprésntation graphiqu (Γ) d F n ploitant au maimum ls résultats précédnts ; on précisra notammnt la tangnt à (Γ) au point d absciss n la traçant t n donnant son cofficint dirctur. (Unité graphiqu : cm.)

35 ,9,8,7,6,5,4,3,,,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5

36 Franc métropolitain juin 999 Dans tout l problèm l plan st rapporté à un rpèr orthonormal (O ; i, j ) on prndra cm comm unité sur ls du as t on placra l'a ds abscisss au miliu d la fuill t l'a ds ordonnés sur l bord gauch d la fuill millimétré. Parti A Etud d'un fonction f t d sa courb rprésntativ C. On considèr la fonction f, défini sur ] ; + [ par : f () = (ln ) t on désign par C sa courb rprésntativ rlativmnt au rpèr (O ; i, j ).. Détrminr ls limits d f n + t.. Montrr qu f st dérivabl sur ] ; + [ t calculr f '(). 3. Soit u la fonction défini sur ] ; + [ par : u() = ln + 3 a. Etudir ls variations d u. b. Montrr qu l'équation u() = possèd un solution uniqu α dans l'intrvall [ ; 3]. Montrr qu, < α <,. c. Etudir l sign d u() sur ] ; + [. 4. a. Etudir ls variations d f. ( α ) b. Eprimr ln α comm polynôm n α. Montrr qu f (α) = α En déduir un ncadrmnt d f (α) d'amplitud. 5. a. Etudir l sign d f (). b. Tracr C. Parti B Etud d'un primitiv d f sur ] ; + [ Soit F la primitiv d f sur ] ; + [ qui s'annul pour =. On appll Γ la courb rprésntativ d F rlativmnt au rpèr (O ; i, j ).. a. Sans calculr F(), étudir ls variations d F sur ] ; + [. b. Qu put-on dir ds tangnts à Γ n ss points d'abscisss t.. Calcul d F() a. étant un rél strictmnt positif, calculr l'intégral ln t d t (on pourra fair un intégration par partis). b. Montrr qu, pour tout strictmnt positif : f () = ln ln +. c. En déduir l'prssion d F() n fonction d. 3. a. Montrr qu ( ln ) =. En déduir la limit d F n. b. ln 3 Montrr qu, pour strictmnt supériur à l, F() = ln + ln En déduir la limit d F n +. c. Drssr l tablau d variation d F d. Tracr Γ sur l mêm graphiqu qu C. 4. Calcul d'un air Calculr n cm l'air du domain limité par la courb C, l'a ds abscisss t ls droits d'équations = t =..

37 Pondichéry avril La parti B put êtr traité indépndammnt d la parti A. L plan st muni d un rpèr orthonormal (O ; i, j ) unité graphiqu: cm. Pour tout ntir naturl n, on considèr la fonction f n défini sur IR par : f n () =. n ( + ) On désign par C n la courb rprésntativ d f n dans l rpèr (O ; i, j ). Parti A Dans ctt parti, on s intérss sulmnt au fonctions f t f corrspondant rspctivmnt à n = t n =. On considèr d abord la fonction f défini sur IR par f () =. + a) Détrminr la limit d f () quand tnd vrs. b) Détrminr la limit d f () quand tnd vrs +. c) En déduir ls asymptots d C. Montrr qu l point K ; st un cntr d symétri d C. 3 Etudir ls variations d f. 4 a) Détrminr un équation d la tangnt T à la courb C au point K. b) Justifir qu, pour étudir la position d la tangnt T par rapport à la courb C, il suffit d étudir sur IR l sign d g(), où : g() =. c) Calculr g'() t g "(). d) Détrminr, n ls justifiant, ls signs d g "(), g'() t g() suivant ls valurs d. ) En déduir la position d la tangnt T par rapport à la courb C. 5 Tracr C t T dans l rpèr (O ; i, j ). 6 a) Montrr qu pour tout rél, ls points M ( ; f ()) t M' ( ; f ()) sont symétriqus par rapport à la droit d d équation y =. b) Commnt obtint-on C à partir d C? Tracr C. Parti B Etud d la suit u défini pour tout ntir naturl n par u n = Montrr qu u = ln +. Montrr qu u + u =. En déduir u. 3 Montrr qu la suit u st positiv. 4 On pos k() = f n + () f n (). a) Montrr qu, pour tout rél, k() =. n ( + ) f ( ) d. n b) Etudir l sign d k() pour [, ]. c) En déduir qu la suit u st décroissant. n 5 a) Montrr qu, pour tout ntir n supériur ou égal à, on a : u n + u n = n b) Calculr u. 6 u n + u Soit v la suit défini pour tout ntir n supériur ou égal à par : v n = a) Calculr la limit d v n, quand n tnd vrs +. b) Montrr qu, pour tout ntir n supériur ou égal à, on a : u n v n. c) En déduir la limit d u n quand n tnd vrs +. ( ) n.

38 Pondichéry avril. On pos, pour tout ntir naturl n non nul, I n = n! a. À l'aid d'un intégration par partis, calculr I. b. Prouvr qu, pour tout ntir naturl n non nul, I n n ( ) d. n! d. En déduir lim I n. n + c. Montrr, n utilisant un intégration par partis, qu, pour tout ntir naturl n non nul, on a : I n + = I n ( n + )!. On considèr la suit réll (a n ), défini sur IN * par : a = t, pour tout ntir naturl n non nul, a n = a n + + n + ( ) ( n + )!. a. Démontrr par récurrnc qu, pour tout ntir naturl n non nul, a n = + ( ) n I n b. En déduir lim a n. n +