Terminale S Fiche d objectifs du chapitre

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1 Chapitr 4 : Fonction ponntill Trminal S Fich d objctifs du chapitr SAVOIR SAVOIR FAIRE La fonction ponntill Unicité d la fonction ponntill Dérivé d u Propriétés algébriqus Rlation fonctionnll Savoir dérivr la composé d un fonction t d la fonction ponntill Savoir utilisr la rlation fonctionnll pour transformr un écritur Etud t rprésntation d la fonction ponntill Sns d variations, limits n l infini t courb rprésntativ d la fonction ponntill Equations, inéquations Logarithm népérin 1 lim, lim, lim 0 Savoir utilisr ls propriétés d la fonction ponntill pour étudir un fonction faisant intrvnir un ponntill. Savoir résoudr un équation ou un inéquation faisant intrvnir un ponntill. Savoir détrminr un limit d un fonction faisant intrvnir un ponntill. 1

2 I La fonction ponntill : I. 1 Introduction : D nombru phénomèns issus d la physiqu ( élctricité, radioactivité ), d la biologi ( évolution d un systèm ) ou mêm d l économi ( évolution d populations, phénomèns boursirs ) aboutissnt à c qu on appll un équation différntill. Il s agit d un équation où l inconnu st un fonction f t qui fait intrvnir ls dérivés succssivs d f c st - à dir f ', f '', f ''' 3 Dans ls équations classiqus, l inconnu st l nombr, par mpl : ou 2 2. Dans ls équations différntills, l inconnu st la fonction y, par mpl : y' 0 ou y' ay Définition : On dit qu'un fonction f, dérivabl sur un intrvall I, st solution d l'équation différntill f ' kf si, t sulmnt si, pour tout rél d I, on a : f ' kf. Résoudr l'équation différntill, c'st détrminr touts ls fonctions solutions d ctt équation. I. 2 Définition : Lmms : ( admis ) 1) Soit f un fonction dérivabl sur. Si, pour tout rél d, f ' 0, alors f st constant sur. 2) Soint f un fonction dérivabl sur, a t b du réls. La fonction f a b st dérivabl sur t f a b ' a f ' a b. Propriété : S'il ist un uniqu fonction f, dérivabl sur tll qu f ' f t f 0 1, alors f n s'annul pas sur. ROC 2

3 Théorèm t définition : I l ist un uniqu fonction f, dérivabl sur tll qu f ' f t f 0 1. On l'appll fonction ponntill, noté p. 1) Eistnc : Admis dans l programm officil. On conjctur l istnc d un tll fonction avc la méthod d Eulr. 2) Unicité : ROC 3

4 Conséquncs : 1) La fonction ponntill st dérivabl sur t p' p. 2) p 0 = 1 3), p 0 4) Si u st un fonction dérivabl sur un intrvall I alors la fonction p u st dérivabl u sur I t on a : p ' u 'p 2 Ercic : Dérivr : p f. u II Propriétés algébriqus : II. 1 Rlation fonctionnll : Propriété : Pour tous ls réls a t b, on a : p a b p a p b Rmarqu : On dit qu l ponntill transform ls somms n produits. ROC 4

5 II. 2 Nouvll notation : Notation : on not l nombr p 1. Donc p 1 2, 7 Conséquncs : p( n) p( ) p(1) p(1)... p(1) p(1) n n n p n p Par analogi avc ls formuls ds puissancs a a a, on a décidé d notr la fonction p( ). On put dir «ponntill d» ou «puissanc». On rtrouv p(1) 1 5

6 II. 3 Conséquncs : Propriétés : Pour tous réls a t b t pour tout ntir rlatif n, on a: a a b a b b a b na a n 1 ( ) b b ROC 6

7 Empls : Simplifir ls prssions suivants A B C 3 2 III Etud t rprésntation d la fonction ponntill : III. 1 Sign d : Propriété : 0 III. 2 Variations d la fonction ponntill : Propriété : La fonction ponntill st strictmnt croissant sur. 7

8 Conséquncs : Pour tous ls réls a t b : 1) 2) a a b a b b a b Empls : 1) Résoudr dans l'équation : 2) Résoudr dans l'inéquation :

9 III. 3 Limits n l infini d la fonction ponntill : Propriété : lim lim 0 ROC 9

10 III. 4 Tablau d variations d la fonction ponntill : Propriété : Sign d ( ) + Variations d p III. 5 Courb rprésntativ d la fonction ponntill : 10

11 III. 6 Logarithm népérin : Propriété : Pour tout rél strictmnt positif k, l'équation k admt un uniqu solution dans. Ctt solution st applé logarithm népérin d k, noté ln k Rmarqu : ln k k, k Empl : Résoudr dans l'équation

12 III. 7 Autrs limits : Approimation affin au voisinag d 0 : 1 lim 1 0 ROC Comparaison à : lim lim 0 ROC Rmarqu : On dit qu la fonction ponntill l mport sur «n import qull» puissancs d. n lim t lim 0 avc n n 12