Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal
|
|
- Bénédicte Laviolette
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire symétrique φ : E E R est : positive si φ (x, x) 0 pour tout x dans E ; dénie si pour x dans E l'égalité φ (x, x) = 0 équivaut à x = 0. Dénition 19. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique dénie positive. Dénition 19.3 Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension nie muni d'un produit scalaire. De manière plus générale, un espace vectoriel réel de dimension nie ou innie muni d'un produit scalaire est dit préhilbertien (voir le chapitre 47 pour une étude plus détaillée). Dans ce qui suit E est un espace euclidien de dimension n 1. On notera, quand il n'y a pas d'ambiguïté : (x, y) x y un produit scalaire sur E et pour y = x, on note : x = x x La norme euclidienne sur E induit une norme sur l'espace L (E) des endomorphismes de E en posant : u (x) u L (E), u = sup x E\{0} x Les trois égalités qui suivent, expressions de la forme polaire d'une forme quadratique, sont utiles en pratique. 481
2 48 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Théorème 19.1 Pour tous x, y dans E on a : x y = 1 ( x + y x y ) = 1 ( x + y x y ) 4 x + y + x y = ( x + y ) Théorème 19. (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tous x, y dans E on a : x y x y, l'égalité étant réalisée si, et seulement si, x et y sont liés. Démonstration. Voir le théorème Une conséquence importante de l'inégalité de Cauchy-Schwarz est l'inégalité triangulaire de Minkowski. Théorème 19.3 (Inégalité de Minkowski) Pour tous x, y dans E on a : x + y x + y l'égalité étant réalisée si, et seulement si, x = 0 ou x 0 et y = λx avec λ 0 (on dit que x et y sont positivement liés). Démonstration. Voir le théorème Mesures d'angles géométriques L'inégalité de Cauchy-Schwarz nous dit que pour tous vecteurs x et y non nuls dans E, on a : x y 1 x y 1 ce qui implique qu'il existe un unique réel θ dans [0, π] tel que : x y = cos (θ) x y (la fonction cos étant dénie en analyse à partir d'une série entière). Le réel θ est la mesure dans [0, π] de l'angle géométrique (ou angle non orienté) que font les vecteurs x et y dans E {0}. On note (x, y) cette mesure. On a donc : ( ) (x, x y y) = arccos [0, π] x y Pour θ {0, π}, on a x y = x y, ce qui équivaut à dire que les vecteurs x et y sont liés (cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Pour θ = π, on a x y = 0 et les vecteurs x, y sont dits orthogonaux. De manière générale, on a : x + y = x + cos (θ) x y + y
3 Isométries d'un espace euclidien 483 où θ est la mesure dans [0, π] de l'angle géométrique que font les vecteurs non nuls x et y. On peut remarquer que si λ, µ sont deux réels strictement positifs, on a alors : ( ) (λx, x y µy) = arccos = (x, x y y) ce qui permet de dénir la mesure dans [0, π] de l'angle géométrique de deux demi-droites 1 = R + x 1 et = R + x par : ( 1, ) = (x 1, x ) où x 1 est un vecteur directeur de 1 et x un vecteur directeur de. On dit parfois que ( 1, ) est l'angle géométrique ou l'écart angulaire de 1 et Isométries d'un espace euclidien Dénition 19.4 Une isométrie (ou application orthogonale) de E est une application u : E E qui conserve le produit scalaire, c'est-à-dire que : (x, y) E E, u (x) u (y) = x y On note O (E) l'ensemble des isométries de E. Exemple 19.1 Les seules homothéties x λx qui sont des isométries sont Id et Id. En eet pour e E de norme égale à 1, on a 1 = e = u (e) = λ et λ = ±1. Exemple 19. Pour E de dimension 1, on a O (E) = { Id, Id}. Remarque 19.1 Une isométrie conserve l'orthogonalité, c'est-à-dire que pour tous x, y dans E, on a : x y = 0 u (x) u (y) = 0 mais une application qui conserve l'orthogonalité n'est pas nécessairement une isométrie comme le montre l'exemple d'une homothétie de rapport λ / { 1, 1}. Remarque 19. Comme une isométrie conserve l'orthogonalité, elle conserve les mesures d'angles géométriques. En eet, pour x, y non nuls dans E, on a : ( ) ( ) (x, x y u (x) u (y) y) = arccos = arccos = (u (x), u (y)) x y u (x) u (y) Exercice 19.1 Soient n, B = (e i ) 1 i n une base orthonormée de E et u une application linéaire de E dans E qui conserve l'orthogonalité. 1. Montrer que u (e i ) = u (e j ) pour tous i, j compris entre 1 et n. On notera λ cette valeur commune.. Montrer que u (x) = λ x pour tout x E (pour λ > 0, on dit que u est une similitude de rapport λ). Solution 19.1
4 484 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 1. Pour 1 i, j n, on vérie facilement que les vecteurs e i e j et e i +e j sont orthogonaux, donc : u (e i e j ) u (e i + e j ) = 0 et avec : u (e i e j ) u (e i + e j ) = u (e i ) u (e j ) u (e i ) + u (e j ) on déduit que u (e i ) = u (e j ). On note λ la valeur commune des u (e i ).. Pour tout vecteur x = n x i e i, on a u (x) = n u (x) = = = u (e i ) u (e j ) x i u (e i ) et : n x i u (e i ) + x i x j u (e i ) u (e j ) n x i u (e i ) = λ ( e i e j = 0 pour i j u (e i ) u (e j ) = 0). 1 i<j n x i = λ x Théorème 19.4 Une application u : E E est une isométrie si, et seulement si, elle est linéaire et conserve la norme, c'est-à-dire que : x E, u (x) = x Démonstration. Si u est linéaire et conserve la norme, on déduit alors de l'identité de polarisation qu'elle conserve le produit scalaire et c'est une isométrie. En eet, pour tous x, y dans E, on a : u (x) u (y) = 1 ( u (x) + u (y) u (x) u (y) ) 4 = 1 ( u (x + y) u (x y) ) (linéarité) 4 = 1 ( x + y x y ) (conservation de la norme) 4 = x y Réciproquement, si u est une application de E dans E qui conserve le produit scalaire, il est clair qu'elle conserve la norme. Il nous reste à montrer qu'elle est linéaire. Pour x, y dans E et λ dans R, on a : u (x + λy) u (x) λu (y) = u (x + λy) + u (x) + λ u (y) +λ x y = 0 ( u (x + λy) u (x) + λ u (x + λy) u (y) ) + λ u (x) u (y) = x + λy + x + λ y ( x + λy x + λ x + λy y ) + λ x y = x + λ y + λ x y x 4λ x y λ y
5 Isométries d'un espace euclidien 485 ce qui équivaut à u (x + λy) = u (x) + λu (y) et u est linéaire. On peut aussi utiliser une base orthonormée (e i ) 1 i n de E. Comme u conserve le produit scalaire, la famille (u (e i )) 1 i n est orthonormée et c'est une base de E. Pour tout x E, on a alors : n n u (x) = u (x) u (e i ) u (e i ) = x e i u (e i ) et la linéarité des applications x x e i entraîne celle de u. Remarque 19.3 On déduit du théorème précédent que les seules valeurs propres réelles possibles d'une isométrie sont 1 et 1. Remarque 19.4 Une application u : E E qui conserve la norme n'est pas nécessairement linéaire et n'est donc pas une isométrie en général. Par exemple pour e E de norme égale à 1, l'application u : x x e conserve la norme et n'est pas linéaire (u ( x) = u (x) u (x) pour x 0). Exercice 19. Soit u une application de E dans E qui conserve les distances, c'est-à-dire telle que : (x, y) E E, u (x) u (y) = x y Montrer qu'il existe un vecteur a E et une isométrie v de E tels que u (x) = a + v (x) pour tout x E (on dit que u est une isométrie ane). Solution 19. Soient a = u (0) (si a existe, c'est la seule possibilité) et v : E E dénie par v (x) = u (x) a, pour tout x E. Pour tous x, y dans E, on a : soit : v (x) = u (x) u (0) = x 0 = x v (x) v (y) = u (x) u (y) = x y v (x) v (x) v (y) + v (y) = x x y + y et en conséquence v (x) v (y) = x y. Donc v est une isométrie. Théorème 19.5 Une isométrie est un automorphisme de E et O (E) est un sous-groupe de GL (E). Démonstration. Soit u O (E). Pour x ker (u), on a 0 = u (x) = x et x = 0. Donc ker (u) = {0} et u est injective, ce qui équivaut à dire que u est un automorphisme de E puisqu'on est en dimension nie. On a Id O (E) et pour u, v dans O (E), x dans E, on a : u v (x) = u (v (x)) = v (x) = x u 1 (x) = u ( u 1 (x) ) = x donc u v et u 1 sont dans O (E). L'ensemble O (E) est donc bien un sous-groupe de GL (E). On dit, dans le cas où E est de dimension nie, que O (E) est le groupe orthogonal de E.
6 486 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Remarque 19.5 Si E est de dimension innie, une isométrie est toujours injective (son noyau est réduit à {0}), mais n'est pas nécessairement surjective. Donc, dans le cas de la dimension innie, O (E) n'est pas nécessairement un groupe. Considérons par exemple un espace préhilbertien E de dimension innie dénombrable (par exemple E = R [x] muni du produit scalaire (P, Q) 1 0 P (x) Q (x) dx.). On se donne une base orthonormée (e n ) n N (le procédé de Gram-Schmidt vu au paragraphe 47.4 nous permet de construire une telle base) et on dénit l'endomorphisme u par u (e n ) = e n+1 pour tout entier n x n x n x n 0. Pour x = x k e k dans E, on a u (x) = x k e k+1 et u (x) = x k = x, k=0 donc u est une isométrie. Comme Im (u) = Vect {e k k N } = E, cette application n'est pas surjective. Remarque 19.6 On peut donner, dans un espace préhilbertien, la dénition suivante d'une isométrie : une isométrie est un automorphisme qui conserve la norme et dans ce cas O (E) est un sous-groupe de GL (E). De l'injectivité et de la conservation de l'orthogonalité par une isométrie, on déduit le résultat suivant. Théorème 19.6 Soit u une isométrie de E. Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors son orthogonal F est aussi stable par u. Démonstration. Comme u est injective, on a dim (u (F )) = dim (F ) et avec u (F ) F, on déduit que u (F ) = F. Pour x F et y F, on a : donc u (x) (u (F )) = F. k=0 u (x) u (y) = x y = 0 Remarque 19.7 Le théorème précédent est encore valable pour F sous-espace de dimension nie d'un espace préhilbertien E. Théorème 19.7 Soient B = (e i ) 1 i n une base orthonormée de E et u une application linéaire de E dans E. L'application u est une isométrie si, et seulement si, elle transforme B en une base orthonormée de E. Démonstration. Supposons que u O (E). Avec u (e i ) u (e j ) = e i e j = δ ij pour 1 i, j n, on déduit que u (B) = (u (e i )) 1 i n est orthonormé. Il en résulte que u (B) est libre et c'est une base puisque formé de n = dim (E) vecteurs. Réciproquement supposons que u L (E) transforme B en une base orthonormée de E. On a alors pour tout x = n x i e i dans E : et u O (E). u (x) n = x i u (e i ) = n x i = x k=0
7 Symétries orthogonales dans les espaces euclidiens 487 Théorème 19.8 O (E) est une partie compacte de L (E). Démonstration. Pour toute isométrie u O (E), on a u (x) = x pour tout vecteur x et donc u = 1, c'est-à-dire que O (E) est contenu dans la sphère unité de L (E), c'est donc une partie bornée. Si (u p ) p N est une suite d'éléments de O (E) qui converge vers u L (E), pour tout x E, on a alors : u (x) u p (x) = (u u p ) (x) u u p x 0 p + donc lim p + u p (x) = u (x) et : u (x) = lim u p (x) = lim x = x p + p + et u O (E). L'ensemble O (E) est donc fermé L (E). En dénitive O (E) est fermé borné dans L (E), ce qui équivaut à dire qu'il est compact puisque L (E) est un espace normé de dimension nie Symétries orthogonales dans les espaces euclidiens Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on note p F la projection orthogonale sur F (voir le paragraphe Dénition 19.5 Si F est un sous-espace vectoriel de E, la symétrie orthogonale par rapport à F est l'application dénie sur E par : (gure 19.1). x E, s F (x) = p F (x) p F (x). p F (x) x p F (x) s F (x) Figure 19.1 Comme les applications p F et p F, l'application s F est linéaire. Remarque 19.8 Pour F = {0}, on a s F = Id et pour F = E, s F = Id. On supposera a priori que F distinct de {0} et de E (F est un sous-espace vectoriel propre de E).
8 488 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal De p F + p F = Id, on déduit que s F est aussi dénie par : x E, s F (x) = p F (x) x = x p F (x). Si D = Ra est une droite vectorielle, on a alors : Si H = D est un hyperplan, on a alors : x a s D (x) = p D (x) x = a a x. x a s H (x) = p H (x) x = x a a. Dénition 19.6 On appelle réexion une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan et demi-tour ou retournement une symétrie orthogonale par rapport à une droite. Exercice 19.3 Soient a un vecteur non nul dans E, α un réel et u l'application linéaire dénie par : x E, u (x) = x + α x a a Déterminer les valeurs de α pour lesquelles u est une isométrie. Solution 19.3 Pour α = 0, u est l'identité et c'est une isométrie. Pour α 0 et x E, on a : u (x) = x a a α + x a α + x Si u est une isométrie, on a alors u (x) = x pour tout x E, ce qui équivaut à : x a ( a α + ) = 0 ou encore à a α + = 0 et donne α = a. Réciproquement, si α =, l'application u est dénie par : a x E, u (x) = x x a a a et u est la réexion par rapport à l'hyperplan orthogonal au vecteur a. Exercice 19.4 Soient a un vecteur non nul dans E, α un réel et u l'application linéaire dénie par : x E, u (x) = α x a a x Déterminer les valeurs de α pour lesquelles u est une isométrie. Solution 19.4 Pour α = 0, u est l'homothétie de rapport 1 (u = Id) et c'est une isométrie. Pour α 0 et x E, on a : u (x) = x a a α x a α + x
9 Symétries orthogonales dans les espaces euclidiens 489 Si u est une isométrie, on a alors u (x) = x pour tout x E, ce qui équivaut à : x a ( a α ) = 0 ou encore à a α = 0 et donne α = a. Réciproquement, si α =, l'application u est dénie par : a x E, u (x) = x a a a x et u est le demi-tour par rapport à la droite dirigée par a. Des propriétés des projections orthogonales, on déduit le résultat suivant. Théorème 19.9 Soit F un sous espace vectoriel de E. 1. Pour x E, on a x F si, et seulement si, s F (x) = x et x F si, et seulement si, s F (x) = x.. s F s F = Id (s F est involutive). Une symétrie orthogonale est donc un automorphisme de E avec s 1 F = s F. 3. Pour tous x, y dans E, on a : (s F est auto-adjoint). 4. Pour tous x, y dans E, on a : s F (x) y = x s F (y) s F (x) s F (y) = x y (s F est une isométrie). 5. On a s F + s F = 0 et s F s F = s F s F = Id. 6. Si F est de dimension p {1,(, n 1}, il ) existe alors une base orthonormée de E dans Ip 0 laquelle la matrice de s F est et det (s 0 I F ) = ( 1) n p. n p Démonstration. 1. On a : et :. On a : x F p F (x) = x s F (x) = x x F p F (x) = x s F (x) = x s F s F = (p F p F ) (p F p F ) = p F p F p F p F p F p F + p F p F = p F + p F = Id
10 490 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 3. On a : 4. On a : 5. On a : et : s F (x) y = p F (x) y x y = x p F (y) x y = x p F (y) x y = x s F (y) s F (x) s F (y) = x s F s F (y) = x y s F + s F = (p F p F ) + (p F p F ) = 0 s F s F = (p F p F ) (p F p F ) = p F p F p F p F p F p F + p F p F = p F p F = Id. 6. Il sut de se placer dans une base formée de la réunion d'une base orthonormée de F et d'une base orthonormée de F. Exemple 19.3 Si s H est une réexion, on a det (s H ) = 1 et si s D est un demi-tour, on a det (s D ) = ( 1) n 1. Théorème Pour n = dim (E), le groupe O (E) est engendré par l'ensemble des réexions. Précisément, toute isométrie de E peut s'écrire comme le produit d'au plus n ré- exions. Démonstration. On procède par récurrence sur n. Pour n =, pour toute rotation ρ O + (E) et toute réexion σ O (E), on a det (σ ρ) = 1, donc σ 1 = σ ρ est une réexion (voir le paragraphe 1.1), ce qui nous donne ρ = σ 1 σ 1 = σ σ 1 et ρ est produit de deux réexions. Les isométries négatives étant des réexions, on en déduit que toute isométrie de E est produit d'une ou deux réexions. Supposons le résultat acquis pour les espaces euclidiens de dimension n 1 et soit u O (E) avec E de dimension n. Si u = Id, elle s'écrit u = σ, où σ est une réexion quelconque. Si u Id, il existe un vecteur non nul x tel que u (x) x. On désigne alors par H l'hyperplan orthogonal à u (x) x et par σ H la réexion par rapport à H. Comme u (x) x H, on a σ H (u (x) x) = x u (x). De plus, avec : u (x) x u (x) + x = u (x) x = 0 on déduit que u (x) + x H et σ H (u (x) + x) = u (x) + x, ce qui nous donne : σ H (x) = σ H (u (x) + x) σ H (u (x) x) = u (x) soit σ H (x) = u (x) (H est l'hyperplan médiateur de x et u (x)) et σ H u (x) = x, c'est-à-dire que l'isométrie σ H u laisse stable la droite D dirigée par x et aussi l'hyperplan D. La restriction de σ H u à D s'écrit alors comme le produit σ 1 σ p de p réexions de D avec 1 p n 1. Les applications σ 1,, σ p dénies par σ k (x) = σ k (x) pour x D et σ k (x) = x pour x D sont alors des réexions de E telles que σ H u = σ 1 σ p et u = σ H σ 1 σ p. Remarque 19.9 Dans le cas où E est de dimension 1, on a O (E) = { Id, Id}, σ = Id étant l'unique réexion avec σ = Id et O (E) est engendré par { Id}.
11 Matrices réelles orthogonales Matrices réelles orthogonales Le théorème 19.7 va nous donner une caractérisation des matrices d'isométries dans une base orthonormée de E. En munissant R n de sa structure euclidienne canonique et en notant pour toute matrice réelle A = ((a ij )) 1 i,j n par C j = (a ij ) 1 i n R n la colonne numéro j {1,, n} de A, on a : t AA = ((α ij )) 1 i,j n avec : α ij = ( ligne i de t A ) (colonne j de A) = t C i C j a 1j n = (a 1i,, a ni ). = a ki a kj = C i C j. a k=1 nj De plus si B = (e i ) 1 i n est une base orthonormée de E, en notant pour tout x = n x i e i dans E, X = (x i ) 1 i n R n le vecteur colonne formé des composantes de X dans B, on a pour tous x, y dans E : n x y = x k y k = X Y le produit scalaire de gauche étant celui de E et celui de droite celui de R n. k=1 Théorème Soient B = (e i ) 1 i n une base orthonormée de E et u une application linéaire de E dans E de matrice A dans B. L'application u est une isométrie si, et seulement si, t AA = A t A = I n. Démonstration. Supposons que u O (E). En notant t AA = ((α ij )) 1 i,j n et en utilisant les notations qui précèdent, on a, pour 1 i, j n : α ij = C i C j = u (e i ) u (e j ) = e i e j = δ ij ce qui signie que t AA = I n. La matrice A est donc inversible d'inverse t A et en conséquence, on a aussi A t A = I n. Réciproquement, si t AA = A t A = I n, on a alors pour 1 i, j n : u (e i ) u (e j ) = C i C j = δ ij ce qui signie que u (B) est une base orthonormée de E et u O (E). Dénition 19.7 On appelle matrice orthogonale, une matrice réelle A telle que t AA = A t A = I n. On note O n (R) l'ensemble des matrices orthogonales. Il revient au même de dire qu'une matrice orthogonale est une matrice inversible A d'inverse t A. Le théorème précédent nous dit qu'une application linéaire u de E dans E est une isométrie si, et seulement si, sa matrice dans une base orthonormée quelconque de E est orthogonale. Mais attention, ce résultat est faux pour une base non orthonormée. Par exemple l'application (x, y) ( x, y) est orthogonale et sa matrice dans la base ( ) ( ) 1 1 A = est non orthogonale ( 0 1 t AA = I 5 ). (( 1 0 ), ( 1 1 )) est
12 49 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Théorème 19.1 Pour toute matrice A dans O n (R), on a det (A) = ±1 et O n (R) est un sous-groupe de GL n (R). Démonstration. De det (A) = det ( t A) pour toute matrice A M n (R) et t AA = A t A = I n pour A O n (R), on déduit que (det (A)) = 1 et det (A) = ±1. Il en résulte que O n (R) GL n (R). Comme I n O n (R) et pour A, B dans O n (R), on a : ( A 1 ) 1 = ( t A ) 1 = t A 1 (AB) 1 = B 1 A 1 = t B t A = t (AB) on en déduit que O n (R) est un sous-groupe de GL n (R). On note : O + n (R) = {A O n (R) det (A) = 1} O n (R) = {A O n (R) det (A) = 1} et on dit que les éléments de O + n (R) sont les matrices orthogonales positives et les éléments de O n (R) sont les matrices orthogonales négative. On rappelle que si A = ((a ij )) 1 i,j n est une matrice carrée d'ordre n, la matrice des cofacteurs de A est la matrice C = ((c ij )) 1 i,j n, où c ij = ( 1) i+j det (A ij ) en notant A ij la matrice carrée d'ordre n 1 déduite de A en supprimant la ligne numéro i et la colonne numéro j. On a alors : A tc = t C A = det (A) I n et dans le cas où A est inversible, A 1 = 1 det (A) Théorème Si A O + n (R) [resp. A O n (R)], on a alors A = C [resp. A = C], où C est la matrice des cofacteurs de A. Démonstration. Résulte de : pour A O ± n (R). A 1 = 1 det (A) t C. t C = ± t C = t A 19.6 Isométries directes, indirectes Théorème Pour toute isométrie u O (E), on a det (u) = ±1. Démonstration. On a det (u) = det (A) où A est la matrice de u dans une base orthonormée et u O (E) si, et seulement si, A O n (R), ce qui entraîne det (A) = ±1. On note : O + (E) = {u O (E) det (u) = 1} O (E) = {u O (E) det (u) = 1} et on dit que les éléments de O + (E) sont les automorphismes orthogonaux positifs ou les isométries directes ou les rotations vectorielles et les éléments de O (E) sont des automorphismes orthogonaux négatifs.
13 Réduction des endomorphismes orthogonaux 493 Théorème O + (E) [resp. O + n (R)] est un sous-groupe distingué de O (E) [resp. de O n (R)] d'indice. Démonstration. Voir l'exercice 1.9. Comme le déterminant d'une réexion vaut 1 et celui d'une isométrie directe vaut 1, le théorème nous dit que toute isométrie directe est produit d'un nombre pair de réexions et toute isométrie indirecte est produit d'un nombre impair de réexions. De ce théorème, on peut aussi déduire le résultat suivant. Théorème Les composantes connexes de O (E) sont O + (E) et O (E). Démonstration. Il s'agit de montrer que O + (E) et O (E) sont connexes dans L (E). Pour ce faire, on remarque que l'application φ x qui associe à tout vecteur x S 1 (la sphère unité de E) la réexion s x par rapport à l'hyperplan H x = (Rx) est continue. On rappelle que cette réexion est dénie par s x (y) = y x y x et pour tous x, x dans S 1 et tout y E, on a : s x (y) s x (y) = x y x x y x = x x y x + x y (x x ) x x y + x y x x x x y + y x x = 3 x x y ce qui nous dit que s x s x 3 x x. L'application x s x est donc continue de S 1 dans L (E) et il en est de même de l'application : φ : (S 1 ) n L (E) (x 1,, x n ) s x1 s xn En eet, pour x = (x 1,, x n ), x = (x 1,, x n) dans (S 1 ) n et y E, on a : φ (x) (y) φ (x ) (y) = s x (y) s x (y) 3 n x 1 x 1 x n x n y et φ (x) φ (x ) 3 n ( x 1 x 1 x n x n. Comme S 1 est connexe, il en est de même de (S 1 ) n et O + (E) = φ (S 1 ) n) est connexe comme image d'un connexe par une application continue. On procède de manière analogue pour O (E) en utilisant l'application ψ : (x 1,, x n+1 ) s x1 s xn+1. Avec le corollaire 19., on propose une autre démonstration de ce résultat Réduction des endomorphismes orthogonaux On sait déjà que le déterminant d'une isométrie vaut ±1. Pour ce qui est des valeurs propres réelles, on a le résultat suivant. Lemme 19.1 Les seules valeurs propres réelles possibles d'une isométrie sont 1 et 1. Démonstration. Si λ est une valeur propre réelle de u O (E) et x E un vecteur propre associé unitaire, de l'égalité u (x) = x, on déduit alors que λ = ±1.
14 494 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Lemme 19. Soit u O (E). Il existe des sous espaces vectoriels de E, P 1,, P r, de dimension égale à 1 ou, deux à deux orthogonaux, stables par u et tels que E = r P j. j=1 Démonstration. On procède par récurrence sur la dimension n 1 de E. Pour n = 1 ou, le résultat est évident. Supposons le acquis pour tout endomorphisme orthogonal sur un espace vectoriel euclidien de dimension p comprise entre 1 et n 1, avec n 3. Si P 1 est un sous espace vectoriel de E non réduit à {0} de dimension au plus égale à stable par u O (E) (lemme 17.7) alors P1 est stable par u (théorème 19.6). Comme 1 n dim ( ) P1 n 1, on peut trouver des sous espaces vectoriels de E, P,, P r, de dimension au plus, deux à deux orthogonaux et stables par la restriction de u à P1, donc par u, tels que P1 = r P j. On a alors E = P 1 P1 = r P j. j= j=1 Dans le cas où n ( =, la forme ) des matrices orthogonales est particulièrement simple (théorème 1.1) : si A = O a b c d (R), il existe alors un unique réel θ [0, π[ tel que : ( ) ( ) cos (θ) sin (θ) cos (θ) sin (θ) A = ou A = sin (θ) cos (θ) sin (θ) cos (θ) et dans le deuxième cas, A est orthogonalement semblable à vérier avec : ( ( cos θ ) ( sin θ ) sin ( ) θ cos ( ) θ ( ), ce que l'on peut ) ( ) ( ( 1 0 cos θ ) sin ( ) ) ( ) θ 0 1 sin ( ( θ ) cos θ ) cos (θ) sin (θ) = sin (θ) cos (θ) On peut aussi dire que A est symétrique et orthogonale, donc A = A t A = I n et elle est diagonalisable puisque annulée par X 1 qui( est scindé ) à racines simples dans R. Comme 1 0 A ±I n, elle est orthogonalement semblable à. 0 1 Théorème Soit u O (E) avec n. Il existe une base orthonormée B de E dans laquelle la matrice de u s'écrit : I p I q R D = R R r où, pour tout k {1,, r}, on a noté : ( cos (θk ) sin (θ R k = k ) sin (θ k ) cos (θ k ) ) avec θ k ]0, π[ {π} et p, q, r sont des entiers naturels tels p + q + r = n (si l'un de ces entiers est nul, les blocs de matrices correspondants n'existent pas).
15 Réduction des endomorphismes orthogonaux 495 Démonstration. On procède par récurrence sur la dimension n de E. Pour n =, c'est fait avec le lemme précédent. Supposons le résultat acquis pour les endomorphismes orthogonaux sur les espaces euclidiens de dimension p comprise entre et n 1 et soit u O (E) avec n = dim (E) 3. Si u admet 1 ou 1 comme valeur propre, pour tout vecteur propre unitaire e 1 associé à cette valeur propre, le sous espace vectoriel H = (Rx) est stable par u (pour y H, on a u (y) e 1 = ± u (y) u (e 1 ) = ± y e 1 = 0) et il existe alors une base orthonormée B 1 de H dans laquelle la matrice de la restriction de u à H est de la forme : I p I q R A 1 = R R r ( ) ±1 0 Dans la base orthonormée {e 1 } B 1 la matrice de u est A =, qui se ramène 0 A 1 bien à la forme souhaitée en permutant au besoin e 1 avec l'un des vecteurs de B 1. Si toutes les valeurs propres de u sont complexes non réelles, on a alors une décomposition E = r P k où les P k sont de dimension deux à deux orthogonaux et stables par u. L'étude du k=1 cas n = nous dit alors qu'il existe, pour tout k compris entre 1 et r, une base orthonormée B k de P k dans laquelle la matrice de u est de la forme : ( ) cos (θk ) sin (θ R k = k ), sin (θ k ) cos (θ k ) avec θ k ]0, π[ {π} (la restriction de u à P k est dans O (P k )). En réunissant toutes ces bases, on obtient une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est : R R A = R r Remarque On a p = dim (ker (u Id)) et q = dim (ker (u + Id)) avec p + q + r = n. De plus u O + (E) [resp. u O (E)] si et seulement si q est pair [resp. impair]. Corollaire 19.1 Soit A O n (R) avec n. Il existe une matrice P O n (R) telle que : I p I q 0. t 0 0 R P AP = 1 0 0, 0 0 R R r
16 496 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Démonstration. A est la matrice dans la base canonique R n d'un endomorphisme orthogonal u et la matrice de passage P de la base canonique à une base orthonormée dans laquelle la matrice de u à la forme indiquée est orthogonale, donc telle que P 1 = t P. Exercice 19.5 Soit G un sous-ensemble de O (E). Montrer que s'il existe m N tel que u m = Id pour tout u G (dans le cas où G est un groupe, on dit qu'il est d'exposant ni), alors l'ensemble : tr (G) = {tr (u) u G} est ni. Solution 19.5 On sait qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u G est diagonale par blocs de la forme : D = diag (I p, I q, R 1,, R r ) ( ) cos (θk ) sin (θ où R k = k ) avec θ sin (θ k ) cos (θ k ) k ]0, π[ {π}. Dans le cas où toutes les matrices des éléments de G sont de la forme diag (I p, I q ), on a : tr (G) { p q (p, q) N et p + q = n } et cet ensemble est ni. S'il existe u G et une base orthonormée dans laquelle la matrice de u est de la forme D = diag (I p, I q, R 1,, R r ), alors la matrice de u m dans cette base : D m = diag (I p, ( 1) m I q, R (mθ 1 ),, R (mθ r )) et la condition u m = Id impose mθ k ]0, mπ[ πz, ce qui entraîne que les θ k ne prennent qu'un nombre ni de valeurs et : { } r tr (G) p q + cos (θ k ) p + q + r = n, mθ k ]0, mπ[ πz est ni. k=1 Le théorème de réduction des endomorphismes orthogonaux nous permet de retrouver le théorème Corollaire 19. Les composantes connexes de O (E) sont les fermés O + (E) et O (E). Démonstration. Montrons que O + (E) est connexe par arcs (donc connexe) dans L (E). Soient u O + (E) et B = (e i ) 1 i n une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est de la forme : I p I q 0. D = 0 0 R (θ 1 ) 0, R (θ r )
17 Réduction des endomorphismes orthogonaux 497 ( ) cos (θk ) sin (θ où pour tout k {1,, r}, R (θ k ) = k ) avec θ sin (θ k ) cos (θ k ) k dans ]0, π[ {π}. Comme u O + (E), on a det (u) = 1, donc q est pair et la matrice D peut s'écrire : I p 0 0 D = 0 D 1 0, 0 0 D avec : R (α 1 ) 0 0 R (θ 1 ) R (α D 1 = ).. 0, D 0 R (θ = ).. 0, 0 0 R (α q ) 0 0 R (θ r ) avec α j = π pour tout j. Pour tout t [0, 1], on désigne par γ (t) l'isométrie directe de matrice dans B : I p 0 0 D (t) = 0 D 1 (t) D (t) où : D 1 (t) = D (t) = R (tα 1 ) R (tα ).. 0, 0 0 R (tα q ) R (tθ 1 ) R (tθ ).. 0, 0 0 R (tθ r ) L'application γ dénit alors un chemin continu dans O + (E) qui relie Id et u. Ce qui sut à prouver la connexité par arcs de O + (E). ( ) Pour toute isométrie indirecte v O In 1 0 (E) (par exemple v de matrice dans 0 1 une base orthonormée B), l'application u v u réalisant un homéomorphisme de O + (E) sur O (E), on en déduit alors que O (E) est aussi connexe par arcs. On a O (E) = O + (E) O (E), avec O + (E) et O (E) fermés (images réciproques de 1 et 1 respectivement par l'application déterminant) connexes disjoints dans O (E). Ce sont donc les composantes connexes de O (E).
18 498 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal
Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA
ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailProduit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4
Produit semi-direct Table des matières 1 Produit de sous-groupes 2 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3 3 Produit semi-direct de groupes 4 1 1 Produit de sous-groupes Soient G un groupe et H et K deux
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailCalcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3
Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailChapitre 1. Une porte doit être ouverte et fermée. 1.1 Les enjeux de l'informatique quantique
Chapitre Une porte doit être ouverte et fermée Crois et tu comprendras ; la foi précède, l'intelligence suit. Saint Augustin. Les enjeux de l'informatique quantique La puissance de calcul des ordinateurs
Plus en détail