Evaluation des méthodes d analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé. Statistique. Variables aléatoires

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1 UE 4 Evaluato des méthodes d aalyse applquées au sceces de la ve et de la saté Statstque Varables aléatores Frédérc Mauy - 27 septembre et 3 octobre Pla du cours 1. Varable aléatore 1. Défto 2. Lo de probablté et représetato 3. Focto de répartto 4. Caractérstques de posto/dsperso 5. Opératos sur les varables aléatores 2. Los de probablté usuelles 2 1

2 VA : défto tutve U couple prévot d avor 3 efats X=ombre de flles «Avor eactemet ue flle» (X=1) e Pr(e) (GGG) 0,14 (GGF) 0,13 (GFG) 0,13 (GFF) 0,12 (FGG) 0,13 (FGF) 0,12 (FFG) 0,12 (FFF) 0,11 Basé sur p(g)=0,52 X P() 0 0,14 1 0,39 2 0,36 3 0,11 Pr(X = 1) ou p(1) 0,13 + 0,13 + 0,13 = 0,39 Ue varable aléatore dscrète pred dfféretes valeurs avec des probabltés défes par sa lo de probablté p() 3 VA : défto formelle Sot E u esemble d évèemets pour lesquels o a déf ue dstrbuto de probablté (E est u esemble probablsé) Ue varable aléatore X est ue focto umérque défe sur cet espace E A chaque evt. élémetare de E, o fat correspodre u ombre selo ue règle be défe (ue applcato de l esemble E das l esemble ) A chaque sous-esemble de ombre, o peut attrbuer la probablté du sous-esemble de E qu lu correspod o déft as la dstrbuto de probablté de la VA 4 2

3 Caratérstques d ue VA Coveto d écrture : la varable aléatore X (majuscule), et la valeur observée (muscule) Typologe : varable aléatore dscotue (ou dscrète) varable aléatore cotue : la varable X peut predre toutes les valeurs sur u certa tervalle f ou f S X et Y sot des VA, alors Z=X+Y, Z= X-Y sot des VA Z=aX est ue VA, a état ue costate réelle Z=XY, Z=X/Y sot des VA Z=X est ue VA 5 Lo de probablté, VA dscrète A chaque valeur, o assoce ue probablté p telle que : p = Pr(X = ). Esemble des couples (,p ) costtue la lo de probablté de la varable dscotue X E : X : VA «Avor eactemet ue flle» défssat ue applcato de E das {0,1,2,3} P() 0 0,14 1 0,39 2 0,36 3 0,11 Tableau des probabltés 6 3

4 Dagramme des probabltés Représetato graphque VA dscrète e abscsse : les dfféretes valeurs de la VA, classées par ordre de gradeur crossate e ordoée, la probablté de chaque valeur E X : VA «Avor eactemet ue flle» Probablté 7 Représetato graphque VA cotue X peut predre ue fté de valeurs à l'téreur de l'tervalle de varato Dagramme remplacé par ue courbe représetat la focto de desté de probablté f(), telle que f()d= Pr(<X<+d) Probablté défe o plus pour u mas pour u tervalle et proportoelle à la surface sous la courbe 8 4

5 Lo de probablté, VA cotue La lo de probablté est détermée s o coaît pour tout tervalle [ a, b ], la probablté que sot comprse etre a et b, sot Pr( a < X < b ). Pr(X = ) o défssable, u pot parm ue fté de pots Lo de probablté est cotue, o déft la focto f(), telle que : f() 0 et f( ) d=1 = Pr( a < X< b) f( ) d b a + 9 Sot X VA dscrète, { 1, 2,,, } Focto de répartto de X : Focto de répartto VA dscrète F ( 1) = f( 1) F ( 2) = f( 1 ) + f( 2) u F( u) = F ( ) = f( 1) + f( 2) f( ) F( ) = 1 1< u f( 1) 10 5

6 Sot X VA cotue Focto de répartto de X : Focto de répartto u VA cotue u F( u) = f( ) d= Pr( X u) D où, b F( b) F( a) = f( ) d= Pr( a X b) a 11 Pla du cours 1. Varable aléatore 1. Défto 2. Lo de probablté et représetato 3. Focto de répartto 4. Caractérstques de posto/dsperso 5. Opératos sur les varables aléatores 2. Los de probablté usuelles 12 6

7 O peut résumer ue VA de faço plus sythétque par : Ue caractérstque de posto Espérace mathématque Ue caractérstque de dsperso Varace et écart-type 13 Espérace mathématque d ue VA Espérace mathématque otée E(X) Sot X ue VA dscrète E( X) = Sot X ue VA cotue 1 f( 1) + 2 f( 2) f( ) = f( ) = 1 + E ( X) = f( ) d 14 7

8 Varace et écart-type d ue VA Dsperso autour de l espérace mathématque, otée var(x) ou σ² S X ue VA dscrète Var( X ) = = 1 [ E( X )] ² f ( ) [( )²] Var( X ) = E X µ Var( X ) = E( X ²) [ E( X )]² Sot 2 Var( X ) = f ( ) µ ² = 1 15 Varace et écart-type d ue VA S X ue VA cotue + + ( f ( ) d) 2 = E( X ²) [ E( ) ] 2 Var( X ) = ² f ( ) d X + [ E( X ) ] Var ( X ) = f ( ) d

9 Pla du cours 1. Varable aléatore 1. Défto 2. Lo de probablté et représetato 3. Focto de répartto 4. Caractérstques de posto/dsperso 5. Opératos sur les varables aléatores 2. Los de probablté usuelles 17 = Trasformato de varable Sot X ue VA, a et b deu costates Y=aX +b est ue VA E(Y) = a.e(x) + b Var(Y)=a² Var(X) Sot X VA, E(X)= µ et Var(X)=σ² Sot Z ue VA cetrée rédute Z µ = X σ E( Z) = 0 Var( Z) =

10 = Pluseurs VA Sot X et Y deu VA E(X+Y)=E(X)+E(Y) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y) cov(x,y)= E(XY)-E(X)E(Y) S X et Y sot dépedates, alors E(XY)=E(X)E(Y) 19 Pla du cours 1. Varable aléatore 2. Los (dstrbuto) de probablté usuelles 1. Los dscrètes 1. Bomale 2. Posso 2. Los cotues 1. Normale ou Laplace-Gauss 20 10

11 = Épreuve de Beroull VA = epérece à 2 ssues See (H/F), statut patet (M + /M -, vvat/dcd), résultat d u test (T + /T - ), ecete/o ecete Sot X VA, valeurs {0,1} p=p(x=1) et q=p(x=0)=1-p E(X)=p, Var(X)=pq=p(1-p) E assace d ue flle p=p(x=f)=0,48 et q=p(x=g)=0,52 21 = Sot S ue VA : ombre de «succès» obteus sur épreuves de Beroull dépedates de même probablté élémetare S : VA quattatve dscrète, S~B(,p) sot k le ombre de succès observés P( S= k) = k k k Cp (1 p)! C =! 0 = 1 E(S)=p, Var(S)=p(1-p)=pq Lo Bomale C k! = k!( k )! P ( S= 0) = (1 p) 22 11

12 = Lo Bomale E «Avor ue flle parm 3 efats» =3 p=0,48 q=(1-p)=0,52 C = 3! = !(3 1)! 1 (2 1) 1 3 = 3 P( S= 1) = 3 0,48 (0,52) 2 1 = 0,39 23 = Lo Bomale : dstrbuto d ue fréquece F = la fréquece des succès F : { } 0, 1, 2, F= S ( ) = 1E( S) = p p E ( F) = E S 1 = S 1 1 Var( F) = Var = Var( S) = pq = ² ² pq = p(1 p) 24 12

13 = Appromato de la lo Bomale S «grad», utlsato lo Normale S E( S) S p = N(0,1) Var( S) pq Mos rapde pour p=0,9 ou p=0,2 que pour p=0,5 Appromato coveable s p et q sot au mos égau à 5 S p est «très» pett Nombre d'accdets provoqués par u vacc, le ombre de sucdes das ue grade vlle, ombre de cacers de l efat 25 = Lo de Posso X = ombre d évéemets rares p pett (<0,1) et grad : 0,2 p 8 Alors S B(,p) lo de Posso P (p) X : VA quattatve dscrète, X~P(λ) Valeurs etères postves ou ulles, λ 0 P( X= k) = e E(X)=Var(X)= λ λλ k k! 0! = 1 P( X= 0)= e λ 26 13

14 = Lo Posso : eemple Das le Doubs, o observe e moyee 2 ouveau cas par a d u type partculer de cacer cérébral. E 2011, 4 ouveau cas eregstrés. Y-a-t-l plus de cas qu habtuellemet? X ~P(λ =2) P( X= 4) = e 24 4! 2 = 0,09 Ue autre soluto pour répodre à la questo Utlsato de la table des los de Posso 27 Pla du cours 1. Varable aléatore 2. Los (dstrbuto) de probablté usuelles 1. Los dscrètes 1. Bomale 2. Posso 2. Los cotues 1. Normale ou Laplace-Gauss 28 14

15 Importace de la lo Normale Appromato pour d'autres dstrbutos statstques quad les effectfs sot assez grads Dstrbutos statstques réelles s'e approchet fréquemmet / s la varablté est due à des causes très ombreuses et dépedates dot les effets s'addtoet Souvet ue trasformato smple codut à ue dstrbuto ormale La moyee de varables aléatores o gaussees dépedates ted à dever gaussee quad devet grad. Théorème cetral lmte éocé par Laplace 29 Lo Normale VA cotue focto de desté de probablté X ue VA quattatve cotue, X~N(µ,σ²) S Y=f(X) ( Y f X e µ )² ( ) 1 = = 2σ² σ 2π E(X)=µ,Var(X)= σ² Courbe de desté de probablté 30 15

16 S X et Y VA ormales, a et b costates alors X+b, ax, X+Y sot des VA ormales Autat de los ormales que de couples (µ,σ²) Nécessté de se rapporter à ue lo uque pour calculer la probablté que X sorte d'u tervalle doé Lo ormale cetrée rédute Z E(Z)=0 et Var(Z)= 1 Z= X µ σ Lo ormale cetrée rédute courbe de desté de probablté 32 16

17 Utlsato des tables (1) Table assocée à la focto de répartto Doe la probablté F(u)=P(Z<u) Pour les valeurs égatves F(-u)=1-F(u) P(a<Z<b)=F(b)-F(a) P(-1<Z<1)=F(1)-F(-1) 33 Utlsato des tables (2) Table de l écart rédut Doe la probablté que Z appartee pas [-u ; u] cad sot z <-u, sot u < z P(Z<-u) P(u<Z) Par défto P(Z<-u)=P(Z>u) P(-u<Z<u)=1- (P(Z<-u)+P(Z>u)) P(-1<Z<1)=1-(P(Z>1)+P(-1<Z)) 34 17

18 = Lo Normale : eemple E supposat que l âge de la marche chez l homme X~N (15,1,5²) 1. Quelle la probablté qu u efat marche avat 18 mos? X µ P( X < 18) = P( < ) = P( Z < 2) σ 1,5 = 0,98 Lue das table assocée à la focto de répartto = 1 P (2 < Z) 2. Quelle la probablté qu u efat marche etre 14 et 16 mos? ( 14 16) ( ) 1,5 15 X µ P < X < = P < < σ 1,5 15 = P( 0,66< Z< 0,66) Rasoemet à partr de la table de l écart rédut Rasoemet à partr de la table de l écart rédut ( P( Z < 0,66) + P(0,66 < )) 0, 49 = 1 Z = 35 18