Polynésie juin EXERCICE 1 5 points 50 ; Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i, j ). On considère les points B (100 ; 100) et C

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1 Polynési juin. EXERCICE 5 points L plan st rapporté à un rpèr orthonormal ( O ; i, j ). On considèr ls points B ( ; ) t C d équation y =. On not f la fonction défini sur dont la courb rprésntativ, noté, st donné n ann. On suppos d plus qu il ist du réls a t b tls qu : pour tout rél, f () = a + b ls points B t C appartinnnt à la courb.. a. Montrr qu l coupl (a ; b) st solution du systèm : b. En déduir qu, pour tout rél, f () =,.. Détrminr la limit d f n a. Montrr qu pour tout rél, f () =,, a b 5 a b. b. En déduir la limit d f n. 4. Étudir ls variations d la fonction f.on donnra l tablau d variations complt. 5. Étudir la position rlativ d la courb t d la droit (D). 6. a. Calculr à l aid d un intégration par partis l intégral f ( t) d t. 5 ; 5 t la droit (D) b. On désign par A l air, n unités d air, du domain du plan délimité par ls droits d équations = t =, la droit (D) t la courb. Calculr A. Ann d l rcic

2 EXERCICE 5 points Dans l plan compl rapporté au rpèr orthonormal dirct ( O ;, ) u v, on considèr ls points A, B t C d affis rspctivs : a = + i, b = 3 6 i t c =. La figur d l rcic st donné n ann. Ell put srvir à émttr ds conjcturs, à vérifir ds résultats.. Qull st la natur du triangl ABC?. a. Donnr l écritur compl d la rotation r d cntr B t d angl. b. En déduir l affi du point A imag d A par r. c. Vérifir qu l affi s du point S miliu d [AA ] st s = 3 3 i. d. Démontrr qu l point S appartint au crcl circonscrit au triangl ABC. 3. On construit d la mêm manièr C l imag d C par la rotation d cntr A t d angl, Q l miliu d [CC ], B l imag d B par la rotation d cntr C t d angl t P l miliu d [BB ]. On admt qu ls affis rspctivs d Q t d P sont q = 5 i t p = 5 i. a. s q Démontrr qu p a i. b. En déduir qu ls droits (AP) t (QS) sont prpndiculairs t qu ls sgmnts [AP] t [QS] sont d mêm longuur. 4. Dans ctt qustion, tout trac d rchrch, mêm incomplèt, ou d initiativ, mêm infructuus, sra pris n compt dans l évaluation. Démontrr qu ls droits (AP), (BQ) t (CS) sont concourants. Ann d l rcic

3 EXERCICE 3 5 points Parti A On considèr l algorithm suivant : Ls variabls sont l rél U t ls ntirs naturls k t N. Qul st l affichag n sorti lorsqu N = 3? Entré Saisir l nombr ntir naturl non nul N. Traitmnt Affctr à U la valur Pour k allant d à N Affctr à U la valur 3 U k + 3 Fin pour Sorti Affichr U Parti B On considèr la suit (u n ) défini par u = t, pour tout ntir naturl n, u n + = 3 u n n Calculr u t u.. a. Démontrr par récurrnc qu, pour tout ntir naturl n, u n n. b. En déduir la limit d la suit (u n ). 3. Démontrr qu la suit (u n ) st croissant. 4. Soit la suit (v n ) défini, pour tout ntir naturl n, par v n = u n n +. a. b. Démontrr qu la suit (v n ) st un suit géométriqu. En déduir qu, pour tout ntir naturl n, u n = 3 n + n. 5. Soit p un ntir naturl non nul. a. Pourquoi put-on affirmr qu il ist au moins un ntir n tl qu, pour tout n n, u n p? On s intérss maintnant au plus ptit ntir n. b. Justifir qu n 3 p c. Détrminr à l aid d la calculatric ct ntir n pour la valur p = 3. d. Proposr un algorithm qui, pour un valur d p donné n ntré, affich n sorti la valur du plus ptit ntir n tl qu, pour tout n n, on ait u n p. EXERCICE 4 5 points Pour ls candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité On désign par un rél appartnant à l intrvall [ ; 8]. Un urn contint ptits cubs n bois dont 6 sont blus t ls autrs rougs. Parmi ls cubs blus, 4 % ont lurs facs marqués d un crcl, % ont lurs facs marqués d un losang t ls autrs ont lurs facs marqués d un étoil. Parmi ls cubs rougs, % ont lurs facs marqués d un crcl, % ont lurs facs marqués d un losang t ls autrs ont lurs facs marqués d un étoil. Parti A : périnc On tir au hasard un cub d l urn.. Démontrr qu la probabilité qu soit tiré un cub marqué d un losang st égal à, +,4.. Détrminr pour qu la probabilité d tirr un cub marqué d un losang soit égal à cll d tirr un cub marqué d un étoil. 3. Détrminr pour qu ls évènmnts «tirr un cub blu» t «tirr un cub marqué d un losang» soint indépndants. 4. On suppos dans ctt qustion qu = 5. Calculr la probabilité qu soit tiré un cub blu sachant qu il st marqué d un losang. Parti B : périnc On tir au hasard simultanémnt 3 cubs d l urn. Ls résultats sront arrondis au millièm.. Qull st la probabilité d tirr au moins un cub roug?. Qull st la probabilité qu ls cubs tirés soint d la mêm coulur? 3. Qull st la probabilité d tirr actmnt un cub marqué d un crcl?

4 EXERCICE 4 5 points Pour ls candidats ayant suivi l nsignmnt d spécialité Parti A On considèr l équation (E) : 5 8 y = où t y sont ds ntirs rlatifs.. Vérifir qu l coupl (3 ; 3) st solution d ctt équation.. Détrminr l nsmbl ds coupls d ntirs rlatifs solutions d l équation (E). Parti B Dans ctt parti, a désign un ntir naturl t ls nombrs c t g sont ds ntirs naturls vérifiant la rlation 5 g 8 c =. On rappll l ptit théorèm d Frmat : Si p st un nombr prmir t a un ntir non divisibl par p, alors a p st congru à modulo p qu l on not a p [p].. Soit un ntir naturl. Démontrr qu si a [7] t a [9], alors a [33].. a. On suppos qu a n st pas un multipl d 7. Démontrr qu a 6 [7] puis qu a 8 [7]. En déduir qu (a 5 ) g a [7]. b. On suppos qu a st un multipl d 7. Démontrr qu (a 5 ) g a [7]. c. On admt qu pour tout ntir naturl a, (a 5 ) g a [9]. Démontrr qu (a 5 ) g a [33]. Parti C On not A l nsmbl ds ntirs naturls a tls qu : a 6. Un mssag, constitué d ntirs appartnant à A, st codé puis décodé. La phas d codag consist à associr, à chaqu ntir a d A, l ntir r tl qu a 5 r [33] avc r < 33. La phas d décodag consist à associr à r, l ntir r tl qu r 3 r [33] avc r < 33.. Justifir qu r a [33].. Un mssag codé conduit à la suit ds du ntirs suivants : Décodr c mssag.

5 Polynési juin. EXERCICE 5 points CORRECTION. a. Ls points B t C appartinnnt à la courb donc f () = t f (5) = 5. f () = t f (5) = 5 a + b = t 5 5 a + b = 5 a + b = t 5 a + b = = a + b = t 5 a + b = L coupl (a ; b) st solution du systèm : a b 5 a b. 5 a b 5 a b Pour tout rél, f () =,. a b 5 a b. a 5 a b a,,5 b,5 a =, t b =.. lim, = + t lim u u = + donc lim, = + donc lim f () = a. =, t, =, donc, =,, = ( ),,. pour tout rél, f () =,, b. lim, = t lim u u = donc lim,,.= donc lim f () = u u( ) u '( ) 4. Soit donc f () =, +,, = ( +, ),.,, v( ) v'( ), La fonction ponntill st strictmnt positiv sur donc f () a l mêm sign qu +, + f () + + f 5. f () = (, ),, >, >, > + + +, + (, ) Sur ] ; [ ] ; + [, f () > donc la courb st au dssus d C sur cs intrvalls. Sur ] ; [, f () < donc la courb st n dssous d C sur ] ; [. La courb t la droit s coupnt au points d abscisss t. 6. a. Soit u '( t) u '( t), v( t) t v '( t) f ( t) d t = f ( t) d t =, t, t, t, t donc ( ) = unités d air, t, t f ( t ) d t t d t

6 b. L air du triangl OAB (air coloré n ros) st égal à = 5 unités d air. f ( t) d t rprésnt l air du domain hachuré. Sur [ ; ], la courb st n dssous d C sur ] ; [ donc A = 5 f ( t) dt = 5 ( )

7 EXERCICE 5 points. AB = b a = 8 i = 65 AC = c a = 3 i = 3 BC = b c = 4 6 i = 5 donc BC + AC = = 65 = AB donc l triangl ABC st rctangl n C.. a. L écritur compl d la rotation r d cntr B t d angl st z b = z = i z 3 6 i + 3 i 6 soit z = i z 9 3 i b. L affi du point A imag d A par r st a = i ( + i ) 9 3 i donc a = 5 i. i (z b) soit z = i z + b i b c. L affi s du point S miliu d [AA ] st s = ( a + a ) = ( + i 5 i ) donc s = 3 3 i. d. L triangl ABC st rctangl n C donc l miliu d [AB] st cntr du crcl circonscrit au triangl ABC. a pour affi ( a + b) = 5 i L rayon du crcl st AB = S = i triangl ABC. i = 65 4 i donc S = 65, l point S appartint au crcl circonscrit au 3. a. s q = i i 7 4 i p a = 5 i ( + i ) = 4 7 i donc i (p a) = 7 4 i = s q donc s p q a i. s q b. i p a s q s q arg arg ( i ) [ ] t i p a p a (AP) t (QS) sont prpndiculairs t qu ls sgmnts [AP] t [QS] sont d mêm longuur. ( AP, QS ) [ ] t SQ AP = donc ls droits 4. AM a pour coordonnés ( + ; y ) t AP ( 4 ; 7) La droit (AP) st l nsmbl ds points M tls qu AM t AP soint colinéairs donc : ( + ) ( 7) (y ) 4 = donc 7 4 y 6 = donc y = 6 BM a pour coordonnés ( + 3 ; y + 6) t BQ (3,5 ; 8,5) La droit (BQ) st l nsmbl ds points M tls qu BM t BQ soint colinéairs donc : ( + 3) 8,5 (y + 6) 3,5 = donc 8,5 3,5 y + 5,5 = soit 8,5 3,5 y + 4,5 = donc n multipliant par : y = 9 CM a pour coordonnés ( ; y) t CS ( 7,5 ;,5) La droit (CS) st l nsmbl ds points M tls qu CM t CS soint colinéairs donc : ( ) (,5) y ( 7,5) = donc,5 + 7,5 y +,5 = donc n multipliant par : y = 3 Chrchons l point d intrsction d (BQ) t (CS), ss coordonnés sont solutions d 7 4 y 6 y y 3 5 y y 6 7 y y 6 y 3 = 3 t y = 3 = 6 donc l point d coordonnés ; 3 3 st l point d intrsction ds droits (AP), (BQ) t (CS).

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9 EXERCICE 3 Parti A 5 points Etap Etap Etap 3 k U = = = 9 L affichag n sorti lorsqu N = 3 st 9 Parti B. u = = 3 t u = =. a. Initialisation : u = donc u Hérédité : Montrons qu pour tout ntir naturl n, si u n n alors u n + n +. u n + = 3 u n n + 3, or u n n donc 3 u n 3 n donc u n + 3 n n + 3 soit u n + n +. La propriété st héréditair donc st vrai pour tout n d. b. lim n n = + t pour tout ntir naturl n, u n n donc d après ls théorèms d comparaison : lim n u n = u n + u n = u n n + 3 = (u n n) + 3 Pour tout ntir naturl n, u n n donc u n n, donc (u n n) Pour tout ntir naturl n, u n + u n, la suit (u n ) st croissant. 4. Soit la suit (v n ) défini, pour tout ntir naturl n, par v n = u n n +. a. v n + = u n + (n + ) + = u n + n v n + = 3 u n 3 n + 3 = 3 v n. la suit (v n ) st un suit géométriqu d raison 3 t d prmir trm v = donc, pour tout n d, v n = 3 n. b. pour tout n d, v n = 3 n or v n = u n n + donc u n = v n + n soit, pour tout ntir naturl n, u n = 3 n + n 5. a. lim n u n = +, donc pour tout ntir naturl non nul p, il ist un ntir naturl n tl qu si n n alors u n p. b. si n 3 p alors, pour tout ntir p non nul, u n 3 3 p + 3 p 3 3 p. u n 7 p or 7 donc 7 p p donc si n 3 p alors u n p n st l plus ptit ntir tl qu u n p donc 3 p n. c. si p = 3, u 6 = 734 t u 7 = 93 or la suit (u n ) st croissant donc si n 7 alors u n 3 donc n = 7. d. Entré Saisir l nombr ntir naturl non nul p. Traitmnt Affctr à n la valur Tant qu 3 3 p + 3 p < p Affctr à n la valur n + Fin Tant Qu Sorti Affichr n

10 EXERCICE 4 5 points Pour ls candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité Parti A : périnc,4 C B, L,6,4 E,4, C R,,8 -, L E. La probabilité qu soit tiré un cub marqué d un losang st p(l) = p(b L) + p(r L) =,6, +,4, p =, +,4.. la probabilité d tirr un cub marqué d un étoil st p (B E) + p(r E) =,6,4 +,4 (,8, ) soit,56,4 la probabilité d tirr un cub marqué d un losang st égal à cll d tirr un cub marqué d un étoil quand, +,4 =,56,4 donc,8 =,44 soit = La probabilité d tirr un marqué d un losang st p(l) =, +,4 Ls évènmnts «tirr un cub blu» t «tirr un cub marqué d un losang» sont indépndants si t sulmnt si : p (B L) = p(b) p(l) soit, =,6 (, +,4 ) = 7, +,4 4,8 =,4 = 4. p(b L) =, t p(l) =, +,4 5 =,3 La probabilité qu soit tiré un cub blu sachant qu il st marqué d un losang st p L (B) = p ( B L ), 3 p L ),3 8 Parti B : périnc. L événmnt «tirr au moins un cub roug» st événmnt contrair d «n pas tirr un cub roug» soit d l événmnt «tirr trois cubs blus» donc p =,6 3.. On a tiré soit 3 cubs rougs (p =,4 3 ) soit 3 cubs blus (q =,6 3 ) donc la probabilité qu ls cubs tirés soint d la mêm coulur st : p =,6 3 +,4 3 =,8 3. La probabilité d tirr un cub marqué d un crcl st,6,4 +,4, =,3. Il y a 3 cubs marqués d un crcl t 3 = 68 cubs non marqués d un crcl donc : La probabilité d tirr actmnt un cub marqué d un crcl st =,45.

11 EXERCICE 4 5 points Pour ls candidats ayant suivi l nsignmnt d spécialité Parti A. 5 3 = 35 t 8 3 = 34 donc = l coupl (3 ; 3) st solution d l équation (E) y donc par différnc mmbr à mmbr : 5 ( 3) 8 (y 3) = ( 3) = 8 (y 3), 3 st un ntir rlatif donc 5 divis 8 (y 3) or 5 t 8 sont prmirs ntr u donc d après l théorèm d Gauss, 5 divis y 3 donc y 3 = 5 k (k ) En rmplaçant dans 5 ( 3) = 8 (y 3) alors 3 = 8 k donc = 8 k + 3 t y = 5 k + 3 avc k. L nsmbl ds coupls d ntirs rlatifs solutions d l équation (E) st {(8 k + 3 ; 5 k + 3), k.}. Parti B. si a [7] t a [9], alors 7 divis a t 9 divis a or 7 t 9 sont prmirs ntr u donc 7 9 divis a (théorèm d Gauss) donc a [33].. a. 7 st un nombr prmir t a st un ntir non divisibl par 7, alors (théorèm d Frmat) a 6 [7]. 8 = 6 8 donc si a 6 [7], alors (a 6 ) 8 8 [7] soit a 8 [7]. a 5 g 8 c = a donc a 5 g = a a 8 c donc (a 5 ) g a (a 8 ) c [7] or a 8 [7] donc (a 8 ) c [7] donc (a 5 ) g a [7] b. Si a st un multipl d 7 alors a [7] donc (a 5 ) g [7] donc (a 5 ) g a [7]. c. Pour tout ntir naturl a, (a 5 ) g a [9] soit = (a 5 ) g. D après la qustion B.. si a [7] t a [9], alors a [33]. donc (a 5 ) g a [33]. Parti C. a 5 r [33] t r 3 r [33] donc ( a 5 ) 3 r [33] or = donc, d après la parti B, si g = 3 alors, pour tout ntir naturl a, (a 5 ) g a [33] donc r a [33].. r 8 59 r r 3 [33] 3 Décodag : a r [33] 3 r = 8 donc r 8 3 [33] 8 5 [33] donc 8 5 [33] donc [33] soit [33] [33] donc 8 64 [33] 8 6 [33] ( 5) [33] or 6 ( 5) = 53 = [33] or r 3 r [33] avc r < 33 donc r = or r a [33] donc 8 st décodé par 59 = 59 donc 59 = 348 = donc 59 3 [33] [33] or 3 = 59 = donc [33] 59 8 ( 3 ) [33] donc [33] 59 = donc 59 9 ( 3 ) [33] donc 59 7 [33] 59 3 = donc [33] or 7 59 = = 33 ( ) + 3 or r 3 r [33] avc r < 33 donc r = 3 or r a [33] donc 59 st décodé par 3.