Chapitre 4 : Nombres complexes et trigonométrie

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1 Chapitre 4 : Nombres complexes et trigonométrie Connaître les diérentes formes d'un nombre complexe et leur interprétation graphique. Identier les formes géométriques connues (médiatrice, cercle...). Résoudre une équation du second degré complexe. Trouver les racines n ième d'un nombre complexe. 1 Forme algébrique 1.1 L'ensemble C Dénition 1 (C). On note i un nombre (non réel) tel que i 1. On appelle nombre complexe tout nombre s'écrivant z a + ib où a, b R. L'ensemble des nombres complexes est noté : C {a + ib, a, b R}. L'écriture z a + ib C est appelée la forme algébrique de z. Le réel a est appelé la partie rélle de z et est noté Re(z), et le réel b est appelé la partie imaginaire de z et est noté Im(z). Exemple 1. Le nombre complexe z i a pour partie réelle Re(z) et pour partie imaginaire Im(z). Remarque : Quel que soit le nombre complexe z, Re(z) et Im(z) sont réels! Proposition 1 (Propriétés). Soit z a + ib et z a + ib deux nombres complexes. On a : Re(z + z ) et Im(z + z ) Re(zz ) et Im(zz ) Remarque : Deux nombres complexes z et z sont égaux si Re(z) Re(z ) et Im(z) Im(z ). Pour toute considération géométrique, C est assimilé au plan R muni d'un repère orthonormé (O, i, j). Représentation d'un nombre complexe. Axes. 1. Interprétation géométrique Dénition (Axe). Soit A un point du plan. Ce point est identié par un nombre complexe z A appelé axe de A. Pour z A et z B désignant l'axe de deux points A et B du plan, on dénit l'axe du vecteur AB par z AB z B z A. Exemple. Si A(1; ) et B(0; 3) alors leur axe respective est z A, z B et z AB Proposition (Points alignés). Soit A, B, C trois points du plan. On a équivalence entre : 1. A, B, C sont alignés,. il existe λ R tel que z AB λz AC. Proposition 3 (Milieu de segment). Soit A et B deux points du plan. Le milieu du segment [AB] est le point M d'axe z M z A+z B. PCSI Troyes Nombres complexes et trigonométrie 1

2 PCSI Troyes Nombres complexes et trigonométrie Dénition 3 (Translation). Une translation du plan de vecteur u est une fonction f : C C dénie par f(z) z + z u. Exercice 1. Déterminer l'axe z B de B, image de A d'axe z A 1 3i par la translation de vecteur u (1, 1). Dénition 4 (Homothétie). Une homothétie du plan de rapport k R est une fonction : f : C C dénie par f(z) kz. Rapport k > 1 Rapport 0 < k < 1 Rapport k Conjugué d'un nombre complexe Dénition 5 (Conjugué). Soit z a + ib. Le conjugué de z est le nombre complexe z a ib. Exemple 3. Soit z i. On a z. Proposition 4 (Propriétés). Soit z, z C. On a : 1. z et z z. z + z 3. zz 4. Si z 0 alors ( z z ) 5. Re(z) 6. Im(z) Représentation de z z, z z, z z. z z z z z z Exercice. Résoudre dans C l'équation z + i z 1 + 3i. Proposition 5 (Caractérisation d'un réel ou d'un imaginaire pur). Soit z C. On a : 1. z R z. z ir z Exercice 3. TD Ex18 b.

3 PCSI Troyes Nombres complexes et trigonométrie Module d'un nombre complexe Dénition 6 (Module). Pour un nombre complexe z a + ib donné, on dénit son module comme le nombre réel positif noté z par : z a + b. Exemple 4. Soit z i. On a z et z. Remarque : Soit z C. On a z z z. Proposition 6 (Propriétés). Soit z, z C. On a : 1. z 0. z 3. zz 4. Si z 0 alors z z 5. Re(z) 6. Im(z) Interprétation géométrique du module : z A 0A. Exercice 4. Soit z, z C. Montrer que : zz 0 z 0 ou z 0. Proposition 7 (Cercle). Le cercle de centre A d'axe z A et de rayon R > 0 est l'ensemble des points complexes {z C, }. Exercice 5. Déterminer l'équation complexe du cercle dont un diamètre est [AB] où z A 1 + i et z B. Proposition 8 (Médiatrice). La médiatrice du segment [AB] dont les extrémités sont d'axes z A et z B est l'ensemble des points complexes {z C, }. Exercice 6. Trouver la médiatrice de [AB] où z A 1 + i et z b 1 + i. Proposition 9 (Inégalité triangulaire). Soit z, z C. On a : 1. z + z z + z. On a égalité si et seulement si : Exercice 7. TD Ex3 a. Nombres complexes de module 1.1 Ensemble U Dénition 7 (U). On note U l'ensemble des nombres complexes de module 1. Exemple 5. Soit z 1 + i 1. On a z U.

4 PCSI Troyes Nombres complexes et trigonométrie 4 Interprétation géométrique. Proposition 10 (Existence de l'argument). Soit z C. On a : z U θ R, z cos(θ) + i sin(θ). Remarque : Un tel nombre θ, appelé argument de z détermine le nombre complexe z U. Unicité à π près. Dénition 8 (Exponentielle imaginaire). Pour θ R, on dénit l'exponentielle imaginaire e iθ cos(θ) + i sin(θ). Exemple 6. Soit z 1 + i 1. On a z cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) Remarque : Proposition 11 (Opérations dans U). Soit z e iθ, z e iθ U. On a : 1. z U et z 3. z z U et eiθ e iθ. zz U et e iθ e iθ 4. e iθ e iθ Exercice 8. Résoudre dans R, e iθ 1.. Formules d'euler et de De Moivre Proposition 1 (Formules d'euler). Quel que soit θ R, on a : cos(θ) eiθ + e iθ, sin(θ) eiθ e iθ. i Proposition 13 (Formules de De Moivre). Soit n Z. Quel que soit θ R, on a : ( e iθ ) n e inθ.3 Applications à la trigonométrie Méthode

5 Linéariser cos n (ax) 1. Utiliser la formule d'euler : cos(ax) eiax +e iax (. Utiliser la formule du Binôme de Newton : cos n (ax) 3. Utiliser la formule de De Moivre : ( e iax) k e ikax... ) n e iax +e iax Regrouper les mêmes puissances, puis utiliser les formules d'euler à l'envers. Exercice 9. TD Ex14. Méthode n Calcul d'une somme cos(kx) k0 1. Utiliser l'exponentielle imaginaire : cos(kx) Re ( e ikx). Utiliser la linéarité de la partie réelle/imaginaire : cos(ax) Re ( e ikx) 3. Utiliser la formule de De Moivre : e ikx ( e ix) k 4. Utiliser la somme d'une suite géométrique : ( e ix) k Regrouper les termes, puis utiliser les formules d'euler à l'envers. 6. On termine par prendre la partie réelle/imaginaire. Exercice 10. TD Ex15. Notation : Soit u, v R et m R. On écrit u v [m] Proposition 14 (Equations trigonométriques). Soit u, v R. On a : cos(u) cos(v) sin(u) sin(v) u, v π [π], tan(u) tan(v) Remarque : On ne sait pas résoudre directement cos(... ) sin(... )! Exercice 11. TD Ex11. 3 Forme exponentielle 3.1 Argument d'un nombre complexe Soit z C non nul. On a z z z z et z z U. Dénition 9 (Forme exponentielle). Tout nombre complexe z non nul peut s'écrire z re iθ avec r > 0 et θ R. Cette écriture s'appelle la forme exponentielle de z. L'angle θ, déni à π près, est appelé argument de z et est noté arg(z). Exemple 7. Soit z 1 + i. On a z et z e i π 4 donc arg(z) PCSI Troyes Nombres complexes et trigonométrie 5

6 PCSI Troyes Nombres complexes et trigonométrie 6 Vocabulaire : Le couple (r, θ), où r est le module (réel positif) de z et θ un argument de z, désigne les coordonnées polaires du point M d'axe z. Les coordonnées polaires sont uniques dès que l'on xe θ comme argument principal. Remarque : Cas de z 0. Remarque : Produit de deux complexes sous forme exponentielle. Remarque : Egalité de deux nombres complexes sous forme exponentielle. Proposition 15 (Propriétés). Soit z, z C\{0}. On a : 1. arg(zz ). arg( z) 3. arg ( z z ) 4. Pour n N, arg(z n ) Interprétation géométrique. arg(z) Proposition 16 (Angle entre deux vecteurs). Soit( A, B, C ) trois points du plan. La mesure de l'angle orienté entre le vecteur zc z A arg [π]. z B z A AB et AC est donnée par Exercice 1. Montrer que les points d'axe z A 3 3 i, z B i et z C i sont alignés. Dénition 10 (Rotation). Une rotation du plan de centre O et d'angle θ R est une fonction : f : C C dénie par f(z) e iθ z. Exemple 8. Multiplier par i revient à eectuer une rotation d'angle π dans le sens direct. Exercice 13. Ecrire l'expression d'une rotation de centre Ω. Proposition 17 (Factorisation trigonométrique). Une expression du type a cos(x) + b sin(x) se factorise sous la forme A cos(x φ) : a cos(x) + b sin(x) A cos(x φ) où A a + ib et φ est un argument de a + ib. Exercice 14. TD Ex Exponentielle complexe Dénition 11 (Exponentielle complexe). Pour z un nombre complexe, on pose e z e Re(z) e iim(z). Exemple 9. Si z 1 + i alors e z. Remarque : e z e Re(z). Proposition 18 (Propriétés). Soit z, z C. On a : 1. e z+z e z e z. e z e z Re(z) Re(z ) et Im(z) Im(z ) [π] Exercice 15. TD Ex7.

7 4 Equations dans C 4.1 Equation du second degré Dénition 1 (Racine d'un nombre complexe). Soit C. On appelle racine carrée de tout nombre complexe δ vériant δ. Exemple 10. δ i est racine carrée de δ 1 + i est racine carrée de Remarque : Nombre de racines carrées. Méthode Trouver une racine carrée δ x + iy d'un nombre complexe z a + ib. 1. On traduit le fait que δ z en identiant parties réelle, imaginaire, et module.. On obtient le système x y a xy b x + y a + b Exercice 16. TD Ex 4. Proposition 19 (Equation du second degré). Soit a, b, c C avec a 0. On s'intéresse à l'équation : (E) az + bz + c 0. Si δ est une racine carrée du discriminant de (E), b 4ac, alors les solutions de (E) sont : z 1 b δ a et z b + δ. a Remarque : Nombre de solutions. Exercice 17. TD Ex5 a. 4. Racine n ième Dénition 13 (Racine n ième de l'unité). Soit n N. On dit qu'un nombre complexe z est une racine n-ième de l'unité si z n 1. L'ensemble des racines n-ième de l'unité est noté U n. Exemple 11. Quel que soit n N, 1 U n. On a 1 U, e i π 3 U 6. Théorème 1 (Caractérisation des racines n ième de l'unité). Soit n N et z C. On a : z n 1 k {0,..., n 1}, z e ikπ n. Remarque : Nombre de racines n-ième de l'unité. PCSI Troyes Nombres complexes et trigonométrie 7

8 Exercice 18. Déterminer les racines cubiques de 1. Proposition 0 (Somme des racines de l'unité). Soit n N. pour ω U n \{1}, on a : n 1 ω k 0. k0 Exercice 19. Soit ω U 3 \{1}. Calculer 3 w k. k0 Dénition 14 (Racine n ième de a). Soit n N. On dit qu'un nombre complexe z est une racine n-ième de a C si z n a. Exemple 1. z 1 + i est une racine 3 ième de a. Exercice 0. TD Ex6. *** Les nombres complexes furent introduits au 16e siècle par les mathématiciens italiens Cardan, Bombelli, Fontana, et Ferrari an d'exprimer les solutions des équations du troisième ou quatrième degré en toute généralité. René Descartes ( ) qualie d'imaginaire une quantité contenant la racine carrée d'un nombre négatif. Un nombre complexe s'écrit à l'époque a + b 1 où a et b sont réels. C'est à Euler que l'on doit la notation i pour 1 en Ce n'est qu'à partir du 19e siècle avec les travaux de Gauss et de Cauchy, que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes. On les associe à des vecteurs ou des points du plan. Les transformations du plan s'expriment alors sous forme de transformations complexes. *** PCSI Troyes Nombres complexes et trigonométrie 8