LES NOMBRES COMPLEXES

Transcription

1 Chapitre 1 LES NOMBRES COMPLEXES 1.1 Introduction Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopié, nous utiliserons les symboles suivants : 1. Symboles ensemblistes : appartenance ; si E est un ensemble, x E se lit : x appartient à E. : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F E se lit : F est inclus dans E ; il ne faut pas confondre ce symbole et le précédent, le symbole d inclusion sert uniquement à comparer des ensembles ; ainsi la propriété x E s écrit également {x} E, où {x} désigne le sous-ensemble de E ne contenant que l élément x. : ensemble vide. : intersection. :réunion. 2. Connecteurs binaires = : implication ; si P et Q sont deux assertions, P = Q est une nouvelle assertion, qui se lit : P implique Q. : équivalence ; si P et Q sont deux assertions, P Q est une nouvelle assertion, qui se lit : P équivalente à Q. La distinction entre cette notion et celle citée ci-dessus étant une des bases du raisonnement mathématique, il faudra être extrêmement attentifà l emploi de l un ou l autre symbole. 3. Quantificateurs : pour tout ; x E... se lit : Pour tout x appartenant à E.... : il existe ; x E... se lit : Il existe x appartenant à E.... Nous nous bornerons ici à employer les symboles ci-dessus comme de simples notations. Pour leur utilisation plus poussée, et pour les techniques de démonstration associées, nous renvoyons le lecteur au module UE3-MIAS-MASS. Il faut cependant se rappeler qu il ne s agit en aucun cas d abréviations ; ces symboles ne doivent jamais apparaître dans une phrase en langage courant. Pour caractériser les éléments d un ensemble, on utilisera aussi la notation (non canonique!) : qui se lit tel que : par exemple, {x R x 0} est R +. 1

2 1.2 Rappels L ensemble C des nombres complexes est l ensemble qui : Contient tous les nombres réels Est muni d une addition et d une multiplication vérifiant les mêmes propriétés que les opérations correspondantes de R Contient un nombre i tel que i 2 = 1 Est constitué de tous les nombres z = a + ib, avec a et b dans R. Remarque : Il est impossible de comparer deux nombres complexes : si z et z sont deux complexes, l expression z plus grand que z n a pas de sens ; il est en particulier absurde de parler de complexes positifs Vocabulaire Soit z un complexe. L écriture z = a + ib, (a, b) R 2 est dite forme algébrique de z. a est la partie réelle de z, notée Re(z). Si a = 0, on dit que z est imaginaire pur. b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). Si b =0,z est un réel! Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Le conjugué de z est le complexe z défini par z = a ib. On utilise fréquemment les propriétés z = z z R, etz = z z ir (c est à dire z imaginaire pur) Représentation géométrique Soit z = a + ib, (a, b) R 2 un nombre complexe. Dans le plan muni d un repère orthonormé (O; u, v), on peut associer à z le point M(a, b). On dit que M est l image de z. Réciproquement, à tout point M(a, b) du plan, on peut associer un unique complexe z, défini par z = a + ib, z est appelé affixe de M ; on dit aussi que z est l affixe du vecteur OM. b M(z = a + ib) v O u a 2

3 1.3 Module et argument Définition, propriétés Soit un nombre complexe z = a + ib, (a, b) R 2. z = a 2 + b 2 = z z. Il vérifie les propriétés : Le module de z, noté z est défini par z =0 z =0 zz = z z si z 0, 1 z = 1 z. D autre part, si z est réel, le module de z est sa valeur absolue. Soit z un complexe non nul. On appelle argument de z, noté arg(z), n importe quelle mesure en radians de l angle ( u, OM), où M est l image de z dans le plan. L argument est donc défini à2kπ près, k Z. 0 n a pas d argument. Soient z et z deux complexes non nuls, si θ est un argument de z et θ un argument de z,on a: arg(zz )=θ + θ arg( z )=θ θ z arg( z) = θ, arg( z) =θ + π z est réel si et seulement si θ 0(π), z est imaginaire pur si et seulement si θ π 2 (π). Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et deux de leurs arguments diffèrent d un multiple entier de 2π Complexes de module 1. Forme exponentielle Géométriquement, on a z = OM, où M est l image de z ; donc z = 1 si et seulement si l image de z appartient au cercle de centre O et de rayon 1, dit cercle trigonométrique. Si θ est un argument de z, on a dans ce cas z = cos θ + i sin θ, que l on note z = e iθ. L ensemble des complexes de module 1 est U = {e iθ θ R}. Si z est un complexe non nul, alors z est un complexe de module 1, donc en posant ρ = z, z et θ = arg(z), z s écrit : z = ρe iθ. On appelle cette écriture la forme exponentielle de z. (Pour les propriétés de celle-ci, consulter un livre de terminale...) 1.4 Racines carrées d un nombre complexe Calcul des racines carrées Soit z un complexe non nul, on cherche àrésoudre l équation ω 2 = z. On peut écrire ω et z sous forme cartésienne et identifier : si z = a + ib, (a, b) R 2 et ω = α + iβ, (α, β) R 2, on obtient α 2 β 2 = a et 2αβ = b. Mais on a également, d après l égalité des modules, α 2 + β 2 = a 2 + b 2. 3

4 Lorsque z est réel (c est à dire b = 0), on obtient les solutions ω = ± a si a>0etω = ±i a si a<0. Lorsque z n est pas réel, on obtient deux valeurs opposées de α, dont on déduit deux valeurs opposées de β. On peut aussi employer la forme exponentielle : en écrivant z = re iθ et ω = ρe iα, on obtient r = ρ 2 et θ 2α (2π). D où ρ = r (car ρ est positif), et α θ (π). On retrouve comme 2 précédemment les deux racines opposées. Exemple : Calculer les racines carrées de z = 2 + 2i. Posons ω = α + iβ et résolvons ω 2 = z. On obtient les équations : α 2 β 2 =2,α 2 + β 2 =2 2, 2αβ =2.Onendéduit qu une racine de z est ω = i 1+, et l autre est ω. 2 Mais on peut aussi écrire z =2 2e i π 4,etendéduire que les racines carrées de z sont τ =2 3 4 e i π 8 et τ. On peut de plus noter que τ = ω, car tous deux ont une partie réelle positive. Remarques : Il faudra choisir la méthode la mieux adaptée en fonction du complexe z dont on veut calculer une racine. On utilisera en général la seconde si la forme exponentielle de z est évidente, et la première sinon. Il est interdit d utiliser la notation pour exprimer une racine carrée d un nombre complexe, car il ne s agit pas d une fonction sur C Equation du second degré à coefficients dans C On veut résoudre l équation az 2 + bz + c =0,où a, b, c, etz sont des complexes, avec a 0. Comme dans le cas réel, on la met sous forme canonique : ( z + b ) 2 ( b 2 ) 4ac =0. 2a 4a 2 Pour résoudre cette équation, on introduit une racine carrée de = b 2 4ac ; on calcule celle-ci en utilisant l une des méthodes du paragraphe précédent. Soit ω une telle racine, les solutions de l équation sont donc : z 1 = b + ω 2a et z 2 = b ω. 2a Théorème 1 Une équation du second degré dans C admet toujours deux racines, distinctes ou confondues. Remarques : Si a, b, c sont des réels et si < 0, les deux solutions sont conjuguées (vérifier). La somme des racines est encore S = z 1 + z 2 = b a et le produit P = z 1z 2 = c a Exemple : Résoudre dans C l équation z 2 (5 + 3i)z +7i +4=0. Ona =2i, une racine de est donc ω =1+i, d où les solutions : z 1 =2+i et z 2 =3+2i. 1.5 Racines n-ièmes d un nombre complexe Soient ω et z deux nombres complexes, on cherche àrésoudre l équation d inconnue ω : ω n = z, avec n N. Pour n>2, on utilisera le plus souvent la forme exponentielle. 4

5 1.5.1 Racines n-ièmes de l unité Pour résoudre ω n = 1, on emploie la forme exponentielle : ω = ρe iα,1=e i0, d où l équation ρ n e inα = e i0 ; on obtient donc ρ n =1etnα 0(2π), d où ρ =1etα 0( 2π ). Les solutions n sont donc les complexes de la forme ω k = e i 2kπ n,oùk est un entier relatif. Combien y a-t-il de solutions distinctes? A chaque valeur de k correspond une valeur de α : α = 2kπ, mais à deux n valeurs de k différant de n correspondent deux valeurs de α différant de 2π et représentant donc le même nombre complexe : k Z, ω k = ω k+n. Il y a donc au plus n solutions distinctes ; de plus les solutions obtenues pour k =0, 1,...,n 1 sont bien toutes différentes. On obtient donc le théorème : Théorème 2 Soit n N. L équation ω n =1admet n solutions distinctes dans C, appelées racines n-ièmes de l unité. Ce sont les ω k définis par : ω k = e i 2kπ n avec k {0, 1,...,n 1}. Exemples : Si n =2,ω 0 =1,ω 1 = 1 Si n =3,ω 0 =1,ω 1 = e i 2π 3, ω 2 = e i 4π 3 Ce cas est à connaître absolument! On note j = e i 2π 3 = i 2 ;onaj2 = j = e i 4π Il faut donc retenir : les racines cubiques de l unité sont 1, j et j 2. Si n =4,ω 0 =1,ω 1 = i = e i π 2, ω 2 = 1 =e iπ, ω 3 = i = e i 3π 2 Théorème 3 Les images des racines n-ièmes de l unité forment un polygone régulier à n côtés, tracé sur le cercle unité, et dont l un des sommets est le point d affixe 1. Soit un complexe ω 1. Ona: 1+ω + + ω n 1 = 1 ωn 1 ω donc si ω n = 1, le membre de gauche de l égalité est nul. D autre part ω k = ω k 1, donc ω 0 + ω ω n 1 = 0. On obtient donc le théorème suivant : Théorème 4 Si ω est une racine n-ième de l unité, avec ω 1, alors 1+ω+ω 2 + +ω n 1 =0. En particulier, la somme des racines n-ièmes de l unité est nulle. Remarque : A retenir : 1 + j + j 2 = Racines n-ièmes d un complexe non nul On veut généraliser l étude précédente, et résoudre l équation d inconnue ω : ω n = z, où z est un complexe non nul (on écarte le cas z = 0 car, de manière évidente, seul 0 est dans ce cas solution). On procède comme au paragraphe ci-dessus, avec les formes exponentielles ; l équation devient : ρ n e inα = re iθ, d où on tire ρ = r 1 n,etα θ n (2π n ). Théorème 5 Soit n un entier non nul. Tout complexe non nul z = re iθ admet n racines n-ièmes distinctes dans C, qui sont les u k = n re i( θ n + 2kπ n ), avec k {0, 1,...,n 1}. 3. 5

6 Remarque : On obtient toutes les racines n-ièmes d un complexe non nul en multipliant l une quelconque d entre elles par toutes les racines n-ièmes de l unité. (Vérifier) Exemple : Calculer les racines quatrièmes de z = 2+2i 3. 3+i On met tout d abord z sous forme exponentielle. On obtient z =2e i π 6. D où les racines quatrièmes de z : u o =2 1 4 e i π 24, u 1 =2 1 4 e i 13π 24 = iu 0, u 2 =2 1 4 e i 25π 24 = u 0, u 3 =2 1 4 e i 37π 24 = iu 0. 6