Géométrie plane. I) Coordonnées cartésiennes. PTSI Chapitre n 20

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1 PTSI Chapitre n 20 Géométrie plane On note : P l ensemble des points du plan, et P l ensemble des vecteurs du plan. A deux points du plan A et B est associé un vecteur AB = u P. On a défini une addition sur P qui vérifie les propriétés suivantes. Pour tout ( u, v, w) P 3 : + est interne : u + v = AB + BC = AC P. + est associative : ( u + v) + w = u + ( v + w) + possède un élément neutre : 0 tel que u + 0 = 0 + u = u. En terme de points : AA = 0. + est commutative : u + v = v + u Tout élément u de P possède un opposé pour + tel que : u + v = 0. En terme de points, cela donne : AB + BA = 0 On a défini une multiplication externe. Elle vérifie les propriétés suivantes : pour tout (λ, µ) R 2 et u P : λ. u P. Le produit externe est compatible avec le produit de R : (λ µ). u = λ.(µ. u) L élément neutre 1 R est neutre pour le produit extérieur : 1. u = u Le produit extérieur est distributif sur + : (λ + µ). u = λ. u + µ. v et λ.( u + v) = λ. u + λ. v I) Coordonnées cartésiennes I-1) Base de P Rappel. i et j sont orthogonaux si et seulement si l angle ( i, j) ± π 2 [2π]. Définition. Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si il existe α R tels que α u = v ou u = α v. Proposition 1. Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe (λ, µ) R 2 \{(0, 0)} tels que λ u +µ v = 0. On dit aussi que ( u, v ) est une famille liée. Proposition 2. Définition d une famille libre. Deux vecteurs qui ne sont pas liés forment une famille libre. ( u, v ) est libre si et seulement si : Définition. Base de P Une base de P est une famille libre ( i, j) de P ; λ u + µ v = 0 = λ = µ = 0 ( i, j) est une base directe si la mesure principale de l angle ( i, j) est dans ]0, π[ ; ( i, j) est une base orthonormée si i et j sont orthogonaux et i = j = 1. Un repère cartésien de P est un triplet (O, i, j) où O est un point (appelé origine) et où ( i, j) est une base de P. On dit que (O, i, j) est un repère orthonormé (ou orthonormal) si ( i, j) est une base orthonormée. Un repère (O, i, j) orthonormal est direct si ( i, j) π 2 [2π]. 1

2 I-2) Coordonnées cartésiennes Théorème 1. Définition des coordonnées cartésiennes. Soient R = (O, i, j) un repère cartésien du plan, u un vecteur et M un point du plan. Il existe un unique couple (x, y) R 2 tel que u = x i + y j. On dit que (x, y) sont les coordonnées du vecteur u dans P. Les coordonnées cartésiennes de M dans P sont les coordonnées du vecteur OM. Remarque. Cela nous permet d identifier P à R 2 (c est-à-dire de construire une bijection entre les deux). Un vecteur est associé à ses coordonnées. Vocabulaire. Soit ( i, j) une base orthonormée directe. On parle de base canonique de P. Exercice 1. Soit u et v deux vecteurs dont les coordonnées dans la base canonique sont respectivement : (1, 2) et (1, 1). 1) Montrer que ( u, v) est une base de P. 2) Soit e de coordonnées (5, 1) dans la base canonique. Déterminer les coordonnées de e dans cette nouvelle base. Exercice 2. Soit A de coordonnées (x A, y A ) et B : (x B, y B ). 1) Déterminer les coordonnées du vecteur AB. 2) Déterminer les coordonnées de I milieu de [AB]. Proposition 3. Si on note : u(x, y) et v(x, y ), alors les coordonnées de λ u + µ v sont : (λx + µx, λy + µy ). Notation. Si on note : A = (x A, y A ) et B = (x B, y B ), alors les règles de calcul sur les coordonnées permettent la convention d écriture suivante : B = A + AB. On n abusera pas de ces notations. I-3) Distance Définition. Dans un repère orthonormé (O, i, j), on définit la norme d un vecteur u(x, y) par : u = x 2 + y 2 Soit A et B deux points du plan. La distance entre A et B est : d(a, B) = AB = (xa x B ) 2 + (y A y B ) 2 Propriété. Soit A, B, C trois points du plan. d(a, B) = d(b, A) (symétrique) d(a, B) = 0 A = B (séparation) d(a, C) d(a, B) + d(b, C) avec égalité si et seulement si A, B, C sont alignés dans cet ordre. Exercice 3. 1 j v Soit ( i, j) une base orthonormée directe. Déterminer les coordonnées des vecteurs u et v de norme 1 tracés ici : u 0 t i Proposition 4. Soit ( i, j) une base orthonormée directe. Alors les autres bases orthonormées directes s écrivent : u = cos(t) i + sin(t) j et v = sin(t) i + cos(t) j Proposition 5. La norme d un vecteur ne dépend pas du choix de la base othonormée directe. 2

3 II) Repérage polaire Dans cette section, le plan est muni d un repère orthonormé direct R = (O; i; j). Proposition 6. Soit θ un réel. Le repère polaire associé à θ est le repère orthonormal direct (O, u θ, v θ ) avec : u θ = cos θ i + sin θ j et v θ = sin θ i + cos θ j Définition. Soit (O, i, j) un repère orthonormal direct et M un point du plan, M O. Un couple de coordonnées polaires du point M est un couple de réels (r, θ) tel que OM = r u θ. Méthode. Pour trouver les coordonnées polaires d un point, on peut utiliser la bijection entre P et C qui au point M associe son affixe z M = z M e iθ. (r, θ) est un couple de coordonnées polaires de M si et seulement si re iθ est l affixe du point M. En pratique, on passe des coordonnées cartésiennes (x, y) aux polaires en mettant z = x + iy sous forme exponentielle. Exercice 4. 1) Donner des coordonnées polaires des points A, B et C dont les coordonnées cartésiennes sont : (1, 1), (2, 3), ( 2, 3). 2) Il existe une infinité de coordonnées polaires pour un point M. Si (r, θ) sont un couple de coordonnées polaires, donner toutes les autres. 3) A quelle condition sur r et θ, les coorodnnées polaires deviennent-elles unqiues? Remarque. Par convention, O a pour coordonnées polaires (0, θ), avec θ R. Exercice 5. Changement de coordonnées Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y) et polaires (r, θ). Donner les formules de changement de coordonnées. III) Opérations sur les vecteurs III-1) Produit scalaire Dans la suite, (O, i, j) est un repère orthonormal du plan. Définition. Soient u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u et v, noté u. v le réel : { u. v cos( u, v) si u 0 et v 0 u. v = 0 sinon Notation. On trouve aussi < u, v > ou ( u v). Remarque. On doit traiter à part le cas du vecteur nul, car, on ne peut pas construire d angle sinon. Remarque. On a : u. u = u 2. Définition. On note AB la mesure algébrique du segment [AB]. AB = AB ou AB, selon l orientation qu on aura donné à la droite (AB). Par exemple, deux segments de même direction mais de sens opposé ont des mesures algébriques de signe opposés. Proposition 7. Interprétation géométrique. On note : AB = u et AC = v, H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors u. v = AB.AH Théorème 2. Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. Ils sont orthogonaux si et seulement si u. v = 0 Proposition 8. Produit scalaire dans les coordonnées cartésiennes. Soit u et v deux vecteurs et (x, y), (x, y ), leurs coordonnées dans un repère orthonormal. Alors : u. v = xx + yy Proposition 9. Propriétés de l application produit scalaire : P P R ( u, v) u. v Symétrique : ( u, v) P 2, u. v = v. u Bilinéaire : (λ, µ) R 2, ( u, u, v, v ) P 4 : (λ u + µ u ). v = λ( u. v) + µ( u. v) et u.(λ v + µ v ) = λ( u. v) + µ( u. v ) Définie positive : u P u. u 0 et u. u = 0 = u = 0. Exercice 6. Développer ( u + u ).( v + v ). 3

4 Exercice 7. Soit u(a, b). Donner un vecteur orthogonal à u. Exercice 8. Soit ( i, j) une base orthonormée. Soit u de coordonnées (x, y) dans cette base. Calculer u. i et u. j Proposition 10. u. u = u 2 u + v 2 = u u. v + v 2 u v 2 = u 2 2 u. v + v 2 u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ) (identité du parallélogramme) u. v = 1 4 ( u + v 2 u v 2 ) ( u + v).( u v) = u 2 v 2 III-2) Produit mixte ou déterminant On se place dans le plan muni d un repère orthonormé direct. Définition. Soient u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit mixte de u et v, noté [ u, v] le réel : [ u, v] = Notation. On note aussi [ u, v] = det( u, v). Proposition 11. Interprétation géométrique. On note : AB = u, AC = v et AD = u + v. [ u, v] est l aire algébrique du parallélogramme ABDC. { u v sin( u, v) si u 0 et v 0 0 sinon L aire algébrique du triangle ABC est : 1 2 [ AB, AC]. (attention à l orientation) Proposition 12. Soit u et v deux vecteurs du plan. [ u, v] = 0 si et seulement si u et v sont colinéraires. [ u, v] > 0 si et seulement si u et v forment une base directe. [ u, v] < 0 si et seulement si u et v forment une base indirecte. Exercice 9. Soit trois points du plan : A(1, 1), B(1, 2), C( 1, 3). La famille ( AB, AC) est-elle une base? orthogonale? directe? Corollaire 1. Trois points du plan A, B, C sont alignés si et seulement si [ AB, AC] = 0 Proposition 13. Ecriture du produit mixte en coordonnées cartésienne. Si u et v ont pour coordonnées (x, y) et (x, y ) alors [ u, v] = xy x y Notation. On note aussi : [ u, v] = xy x y = x x y y Proposition 14. L application produit mixte est bilinéaire, antisymétrique : P P R ( u, v) [ u, v] Antisymétrie : ( u, v) P 2, [ u, v] = [ v, u] Bilinéaire : (λ, µ) R 2, ( u, u, v, v ) P 4 : [λ u + µ u, v] = λ[ u, v] + µ[ u, v] et [ u, λ v + µ v ] = λ[ u, v] + µ[ u, v ] Exercice 10. Soit u un vecteur non nul. u = (a, b). Déterminer un vecteur v tel que ( u, v) forme une base orthogonale directe. Que doit-on faire pour qu elle soit normée? 4

5 IV) IV-1) Droites et cercles Equations de droites Définition. La droite D du plan passant par le point A P dirigée par le vecteur v 0 P est l ensemble des points M vérifiant : t R, AM = t v M = A + t v Notation. Vect ( v) = {t v t R} : l ensemble des vecteurs colinéaires à v. D = A + Vect ( v) Exercice 11. Comment s écrivent les vecteurs directeurs de D? Proposition 15. Paramétrage d une droite. Soit D = {A + t v t R} avec A(x A, y A ) et v(α, β). Alors un paramétrage de D est : { x = xa + tα y = y A + tβ Proposition 16. Equation cartésienne d une droite. Toute droite du plan s écrit : D = {(x, y) R 2 ax + by + c = 0} avec (a, b) (0, 0) Exercice 12. Il n y a pas unicité de l équation cartésienne d une droite. Donner une autre équation de la droite D d équation 2x y + 4 = 0. Remarque. On n utilise pas les équations sous la forme y = ax + b car alors il manque les droites verticales. Proposition 17. La droite D : ax + by + c = 0 est dirigée par le vecteur : ( b, a). Exercice 13. Donner des vecteurs qui dirigent la droite d équation : 2x y + 4 = 0. Définition. Un vecteur n 0 est dit normal à une droite D si : Tout vecteur directeur de D est orthogonal à n. A, B D 2, AB. n = 0 Proposition 18. Dans un repère orthonormal (O, i, j), toute droite est caractérisée par la donnée d un point et d un vecteur normal non nul. Exercice 14. Donner un vecteur normal à la droite d équation : 2x + 3y 9 = 0. Proposition 19. Soit D une droite d équation : ax + by + c = 0. Alors un vecteur normal à D est (a, b). Proposition 20. Il y a plusieurs façon de caractériser une droite. une équation cartésienne ax + by + c = 0 un point et un vecteur directeur v = (α, β) = ( b, a) un point et un vecteur normal n = (a, b) { x = xa + tα un paramétrage y = y A + tβ deux points distincts qui passent par D Exercice 15. Soit D la droite qui passe par les points A(1, 1) et B(2, 1). Donner : un vecteur directeur, un paramétrage de D, une équation cartésienne D, un vecteur normal de D. IV-2) Projeté orthogonal Définition. Soit D une droite du plan dirigée par v et M P un point n appartenant pas à D. Alors il existe un unique point H D tel que MH. v = 0. H est appleé projeté orthogonal de M sur D. Exercice 16. Soit D : 2x y + 4 = 0 et M(1, 1). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de M sur D. Définition. La distance entre un point M et une droite D est : d(d, M) = min A D AM. On prend la plus petite distance entre M et un point de D. Proposition 21. La distance entre M et D est la longueur MH, où H est le projeté orthogonal de M sur D. 5

6 Proposition 22. Soit D une droite, A un point de D et M(x M, y M ) un point quelconque. Alors la distance entre D et M est donnée par l une des trois formules : si n est un vecteur orthogonal à D : d(d, M) = n. AM n [ v, ] AM si v est un vecteur directeur de D : d(d, M) = v si ax + by + c = 0 est une équation de D : d(d, M) = ax M + by M + c a2 + b 2 Exercice 17. On considère un repère orthonormé R = (O, i, j ) du plan. Soit M(1, 2), et les droites D 1, D 2, D 3 d équations respectives 3x + y 5 = 0, x 2y + 3 = 0 et 4x y 9 = 0. Calculer la distance de M à chacune de ces trois droites avec trois formules différentes. Exercice 18. La bissectrice d un angle entre deux droites D 1 et D 2 est la droite qui coupe l angle en deux. C est la droite des points à égale distance de D 1 et D 2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j ), on considère les droites D 1 : 3x 4y + 4 = 0, et D 2 : x + y 1 = 0. Déterminer les équations des deux bissectrices de (D 1, D 2 ). Vérifier que ces deux droites sont perpendiculaires. IV-3) IV-3-a Régionnement du plan Ligne de niveau Définition. Soit f : P R une fonction. On appelle ligne de niveau k l ensemble des points M tels que f(m) = k. Exemple. Sur un carte de France, on considère la fonction f qui a un point M associe son altitude. Les points à une même altitude k appartiennent à la ligne de niveau k. Exercice 19. Soit u un vecteur et A un point du plan. On considère f(m) = u. AM. Quelles sont les lignes de niveau 0 pour f? de niveau k? Exercice 20. Soit u un vecteur et A un point du plan. On considère f(m) = [ u, AM]. Quelles sont les lignes de niveau 0 pour f? de niveau k? IV-3-b Demi-plan Exercice 21. Représenter dans le plan E 1 = {(x, y) R 2 x + 2y 1 0}. Représenter dans le plan E 2 = {(x, y) R 2 x + 2y 1 > 0 et 2x 3y 4}. IV-4) Equation de cercles Définition. Le cercle C de centre Ω et de rayon R est l ensemble des points M du plan tels que : C = {M P ΩM = R} Proposition 23. Equation cartésienne d un cercle. Soit C le cercle de cente Ω(x 0, y 0 ) et de rayon R. Alors l équation de C est : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Exercice 22. Soit (α, β, γ) R 3. On considère : C = {(x, y) x 2 + y 2 2αx 2βy + γ = 0}. A quelle condition C est-il un cercle? Exercice 23. Les équations suivantes sont-elles des équations de cercles? Si oui, quels sont leurs éléments caractéristiques? 1) x 2 + y 2 x + 6y + 8 = 0 2) 2x 2 + 2y 2 4y 10 = 0 3) x 2 y 2 = 0 4) 2x 2 + 3y 2 + 2y 10 = 0 Théorème 3. Soient A et B deux points du plan. L ensemble des points M vérifiant MA. MB = 0 est le cercle de diamètre [AB] 6

7 IV-5) Intersection Proposition 24. Intersection de deux droites. Soit D : ax + by + c = 0 et D : a x + b y + c = 0 deux droites. 1) D et D sont parallèles (ou confondues) si et seulement si a a b b = 0 2) D et D sont sécantes (en un unique point) si et seulement si a a b b 0 { ax + by = c Remarque. Le système a x + b y = c admet une unique solution si et seulement si a a b b = a b a b 0 non nul, ( ) a b si et seulement si a b est inversible. Exercice 24. Soit D une droite et C un cercle de centre Ω et de rayon R. A quelle condition D et C s intersectent? Proposition 25. Intersection d une droite et d un cercle. Soit D une droite et C un cercle de centre Ω et de rayon R. 1) Si d(ω, D) < R alors D et C ont exactement deux points d intersections distincts. 2) Si d(ω, D) = R alors D et C ont exactement un point d intersection : D est tangente à C. 3) Si d(ω, D) > R alors D et C ont une intersection vide. Exercice 25. Déterminer les éventuels points d intersection de C et D d équation : C : x 2 + y 2 + 2x + 4y 4 = 0 D : x + y + 1 = 0 Exercice 26. Intersection de deux cercles. Soit C et C deux cercles de centres respectifs Ω, Ω et de rayons R > R. A quelle condition C et C s intersectent? Exercice 27. Montrer que les deux ensembles C et C sont des cercles qui s intersectent. C : x 2 + y 2 2x 2y + 1 = 0 et C : x 2 + y 2 + 4x + 2y 11 = 0 7