La structure par terme des taux d intérêt Exercices

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Chantal St-Denis
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1 La srucure par erme des aux d inérê Exercices Geneviève Gauhier Dernière mise à jour : 4 juille 24 Exercice 5.. Supposons que la srucure par erme insananné des aux sui l équaion différenielle sochasique df, T =η, T d + θ, T dw. C es un modèle à un seul faceur, c es-à-dire que W es un Ω, F, {F : },P mouvemen brownien à une seule dimension. Supposons que θ, T =σ T. a Déerminez l équaion différenielle sochasique saisfaie par la srucure par erme insananné des aux dans un monde risque neure. b Quelle es la loi de f, T dans un monde neure au risque? c Trouvez l équaion saisfaie par le aux cour inananné r sous une mesure neure au risque e déerminez sa loi. d Trouvez l équaion différenielle sochasique saisfaie par le prix d une obligaion zéro-coupon sous une mesure maringale. e Déerminez le prix P,T d une obligaion zéro-coupon. f Trouvez l équaion de aux cour r sous la probabilié P en supposan la prime uniairederisquedéerminiseeconsane. Exercice 5.2. Refaire l exercice 5. en posan θ, T =expσ T.

2 Les soluions Exercice 5. Supposons que la srucure par erme insananné des aux sui l équaion différenielle sochasique df, T =η, T d + θ, T dw. C es un modèle à un seul faceur, c es-à-dire que W es un Ω, F, {F : },P mouvemen brownien à une seule dimension. Supposons que θ, T =σt.. Quesion a L exisence sous une mesure neure au risque, le coefficien de dérive de la srucure par erme insananné des aux es θ, T θ, s ds = σ T σ s ds = 2 σ2 T 3. Ainsi, si W es un Ω, F, {F : },Q mouvemen brownien, alors df, T = 2 σ2 T 3 d + σ T d W..2 Quesion b Puisque f, T = f,t+ 2 σ2 T s 3 ds + = f,t+ 8 σ2 2T 2T 2 2T σ T s d W s σ T s d W s. Comme σ T s d W s es de loi normale d espérance nulle e de variance égale à f, T N σ 2 T s 2 ds = 3 σ2 3T 2 3T + 2, f,t+ 8 σ2 2T 2T 2 2T + 2 ; 3 σ2 3T 2 3T

3 .3 Quesion c Puisque f, T = f,t+ 2 σ2 T s 3 ds + = f,t+ 8 σ2 2T 2T 2 2T σ T s d W s σ T s d W s, e puisque r = f, = f,+ 8 σ = f,+ 8 σ2 4 + Var Q [ ] σ s d W s = σ s d W s σ s d W s σ 2 s 2 ds = 3 3 σ 2, sa loi, sous une mesure neure au risque es r N f,+ 8 σ2 4 ; 3 3 σ 2..4 Quesion d Si le prix d une zéro-coupon sui l éds dp, T =α, T P, T d + P, T δ, T dw alors δ, T = θ, s ds = σ s ds = 2 σ T 2. Sous une mesure neure au risque, dp, T = r P, T d + P, T δ, T d W = r P, T d + P, T 2 σ T 2 d W où W es un Ω, F, {F : },Q mouvemen brownien. 3

4 .5 Quesion e P,T = E Q [exp = E [exp Q = E [exp Q Comme - ] r s ds f,s+ 8 σ2 s 4 + f,s ds f,s ds exp f,s ds exp s f,s ds exp 4 T 5 σ 2 σ s u d W u T s 8 σ2 s 4 ds [ 8 σ2 s 4 ds E Q exp [ 4 T 5 σ 2 E Q exp [ E Q exp ] ds σ s u d W u s ] ds σ s u d W u σ s u ds u ] 2 σ T u2 d W u. σ T 2 u2 d W u es de loi normale d espérance nulle e de variance 4 σ2 T u 4 du = 2 T 5 σ 2 ] d W u ] ds alors Ainsi E [exp Q ] 2 σ T u2 d W u =exp 4 T 5 σ 2. P,T f,s ds exp 4 [ T 5 σ 2 E Q exp f,s ds exp 4 T 5 σ 2 exp f,s ds. 4 T 5 σ 2 ] 2 σ T u2 d W u Il ne faudrai pas êre surpris de cee réponse! Une des condiions nécessaire à l absence d arbirage es l exisence d un processus sochasique Λ el que 4

5 Dans nore cas, cela revien à α, T r = δ, T Λ. α, T = δ, T Λ + r = 2 σ T 2 Λ + f,+ 8 σ2 4 + = 2 σ T 2 Λ + f,+ 8 σ2 4 + = 2 σ T 2 Λ + f,+ 8 σ2 4 + Si la prime de risque es consane Λ = λ, nousavons α, T = 2 σ T 2 λ + f,+ 8 σ2 4 + = 2 σ T 2 λ + f,+ 8 σ2 4 + = 8 σ 4λT 2 8λT + σ 4 + f,+ Par conséquen, σ s d W s σ s d W s σ s dw s σ s dw s s σ s dw s 2 2 σλ σ s dw s. Λ u du σ s Λ s ds σ s λds η, T = δ T, T δ, T α T, T d = σ T 2 σ T 2 dt 2 2 d dt 8 σ 4λT 2 8λT + σ 4 + f,+ σ s dw s d = σ T 2 dt 2 2 σ T 2 d dt 8 σ4λt 2 8λT = σ T 2 σ T 2 Tσλ 8λ = 2 σ2 T 3 Tσ 8 λ 5

6 r = f,+ 8 σ2 4 + = f,+ 8 σ2 4 + = f,+ 8 σ2 4 + = f,+ 8 σ σλ + σ s d W s σ s d W s λs σ s λds+ σ s dw s. σ s dw s 6

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