Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH

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1 R O Y A U M E D U M A R O C Miistère de l Educatio Natioale et de la Formatio Professioelle Cetre Régioal des Métiers de l Éducatio et de la Formatio Académie Régioale de l Éducatio et de la Formatio Marrakech-Tesift CONCOURS D ACCÈS AU CYCLE D AGRÉGATION MATHÉMATIQUES Cetre Régioal des Métiers de l Éducatio et de la Formatio MARRAKECH Sessio 214 ANALYSE-PROBABILITÉ Durée 4 heures Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, e plus de cette page de garde. L usage de la calculatrice est iterdit

2 Aalyse-Probabilité Sessio 214 Filière C o c o u r s d a c c è s a u c y c l e d A g r é g a t i o L éocé de cette épreuve, comporte 4 pages. L usage de la calculatrice est iterdit. Les cadidats sot iformés que la précisio des raisoemets aisi que le soi apporté à la rédactio et à la présetatio des copies serot des élémets pris e compte das la otatio. Il coviet e particulier de rappeler avec précisio les référeces des questios abordées. Si, au cours de l épreuve, u cadidat repère ce qui peut lui semble être ue erreur d éocé, il le sigale sur sa copie et poursuit sa compositio e expliquat les raisos. Remarques géérales : - L épreuve se compose de trois exercices et u problème idépedats. - Les trois exercices doivet être composés das ue copie à part. - Le problème doit être composé das ue autre copie à part. E X E R C I C E 1 : O cosidère (E,d) u espace métrique complet et f : E E ue applicatio. O suppose qu il existe ϕ : [,+ [ R + cotiue et croissate telle que : x >,ϕ(x) < x et (x, y) E 2,d(f (x), f (y)) ϕ(d(x, y)). O veut motrer que f admet u uique poit fixe l, et que pour x E, la suite des itérés x = f (x ) coverge vers l. 1. Motrer que la suite (d(x, x 1 )) > ted vers. 2. Soit ε >, motrer qu il existe N N tel que > N,ϕ(d(x, x 1 ) + ε ) < ε. 3. Soit > N, motrer par récurrece sur p que p N, d(x +p, x ) < ε. 4. Coclure. E X E R C I C E 2 : Soit f : R C ue applicatio cotiue. O cosidère l équatio différetielle (E) : y (x) = y(x) + f (x). p a g e 1 s u r 4

3 Aalyse-Probabilité Sessio 214 Filière C o c o u r s d a c c è s a u c y c l e d A g r é g a t i o 1. O pose z = y y, vérifier que z + z = f. 2. Motrer que (a,b) C 2 tel que : 3. Coclure que x R, z(x) = e x (a + (,β) C 2 tel que y(x) = e x ( e t f (t)dt) et y(x) = e x (b + e s f (s)ds) + e x (β Motrer que si y 1 et y 2 sot deux solutios borées de (E) alors y 1 = y Das cette questio o suppose de plus que f est borée sur R. 5.a. Justifier la covergece des itégrales suivates : e s f (s)ds et 5.b. Motrer que la solutio obteue pour = 1 2 est borée sur R. e t f (t)dt. e s z(s)ds). e t f (t)dt) e s f (s)ds et β = 1 2 et f (t)dt 6. Motrer que toute applicatio g : R C cotiue et périodique est borée. 7. Motrer que si f est périodique alors (E) admet ue uique solutio périodique. 8. Calculer la solutio périodique de y (x) = y(x) + si(x). E X E R C I C E 3 : Soiet A ue partie compacte d u espace métrique (E,d) et f : A A ue applicatio. f est dite ue isométrie si (x, y) A 2,d(f (x), f (y)) = d(x, y). O suppose que (x, y) A 2,d(f (x), f (y)) d(x, y). O se propose de motrer que f est ue isométrie bijective. O ote f = id, f = f f... f ( fois). Pour a A, o ote a = f (a). Soit (x, y) A Motrer qu il existe ϕ : N N strictemet croissate telle que (x ϕ(), y ϕ() ) coverge. 2. Motrer que pour q p et a,b A, d(a q p,b) d(a q,b p ). 3. Déduire que lim + x ϕ(+1) ϕ() = x. 4. Motrer que tout poit de A est adhéret à f (A). p a g e 2 s u r 4

4 Aalyse-Probabilité Sessio 214 Filière C o c o u r s d a c c è s a u c y c l e d A g r é g a t i o 5. Motrer que N,d(x 1, y 1 ) d(x ϕ(+1), x ϕ() ) + d(x, y) + d(y ϕ(+1), y ϕ() ). 6. Coclure que f est ue isométrie. 7. Motrer que f est cotiue et que f (A) est fermé. 8. E déduire que f est bijective. 9. Soit [a,b] u segmet de R. O veut détermier toutes les applicatios f : [a, b] [a, b] vérifiat (x, y) [a,b] 2, f (x) f (y) x y. 9.a. Motrer que (x, y) [a,b] 2, f (x) f (y) = x y. 9.b. Motrer que x f (x) f (a) garde u sige costat sur [a,b]. 9.c. E déduire que f = id ou f = a + b id. P R O B L È M E Soit R, o cosidère la série, z C. Lorsque la série coverge, o désige sa somme par : f (z) = Domaie de covergece : Etudier la covergece de la série 1 1.a. z < 1, b) z > 1, c) z = 1 et > 1, 1.b. z = 1 et, e) z = 1. das chacu des cas suivats : 2. Trasformatio d Abel : O suppose que < 1, z = 1 et z 1. 2.a. Soit s = z k, motrer que la suite (s ) 1 est borée. 2.b. Vérifier que N 2.c. = s N (N+1) + N ( 1 1 (+1) )s. Déduire la covergece de la série 3. Calcul de f p pour p N :. 1 Pour z < 1 et p N, o pose g p (z) = + p. p a g e 3 s u r 4

5 Aalyse-Probabilité Sessio 214 Filière C o c o u r s d a c c è s a u c y c l e d A g r é g a t i o 3.a. Vérifier que pour p N, (1 z)g p (z) = + (( + 1) p p )+1. 3.b. Déduire que p N, g p (z) = 3.c. Coclure que + 2 = z2 +z 4. Valeur approchée de f 2 ( 1 2 ) : 4.a. Justifier l iégalité + k=+1 (1 z) 3. ( 1) k k 2 2 k z p 1 1 z k= = C k p g k(z). 1 (+1) b. Déduire ue valeur approchée à 1 3 prés de + 5. Equivalet de f au voisiage de 1 : Soiett ], 1[ et x ], 1[. 5.a. Motrer que t xt t est itégrable sur ],+ [. 5.b. Vérifier que 5.c. O ote c = 1 t dt f (x) e u u du, établir l égalité : ( 1) k k 2 2 k. t dt = c l(x) 1. t dt. 5.d. Déduire que f (x) x 1 c (1 x) Calcul de f 1 (z) : Das cette questio o cosidère z C tel que z 1et z 1. 6.a. Vérifier que pour t [, 1] : 6.b. Motrer que + = 1 1 t z et z 1 t z dt. 6.c. Motrer que pour θ ],2π[, 1 6.d. Déduire que θ ],2π[, + 6.e. 6.f. e iθ N = z 1 si(θ) π θ dt = t 2 2t cos(θ)+1 2. = l(2si θ 2 ) + i π θ 2. Motrer que l applicatio θ l(θ) + + dérivable sur [,2π[. Motrer que x [ 1,1[, + 6.g. Déduire pour x ],1[, le calcul de + x = l(1 x). x k 2k+1. k= cos(kθ) k 1 (t z) N 1 t z dt. est prologeable e ue foctio F I N D E L É P R E U V E p a g e 4 s u r 4