Intégrale de Riemann

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1 IUT Orsy Mesures Pysiques Itégrle de Riem Berrd RIEMANN (Allemge) Cours du er semestre No stisfit de l téorie de l itégrtio de Cucy ortt sur les foctios cotiues qui lui rît isuffiste our miuler certies séries de Fourier (our des foctios «eu» régulières), il ulie (854) ue rigoureuse téorie de l'itégrtio our les foctios orées (cotiues ou o) sur u itervlle fermé D utres téories de l itégrtio ot vu le jour lus trd : itégrle de Stiltjes, itégrle de Leesgue mis ous e rleros s ici O sit deuis Merctor (6-687) et Leiiz (646-76), que si ue foctio est ositive, l'itégrle de cette foctio sur u itervlle [ ; ] évlue l'ire «sous l coure» L idée de Riem été de rertir de cette évlutio de l ire e motrt qu elle ouvit se fire même our des foctios o cotiues et qui doc e ossèdet s de rimitive A Présettio et défiitio A-I Aroimtio d ue ire O suose our commecer, qu ue foctio f, s tro «irrégulière» vérifie f ( ) our tout de l itervlle [ ; ] O ote C f s rerésettio grique et o elle S l surfce décrite r y f ( ) O lce etre et, des réels,,, tels que = < < < < = Ds cque itervlle de l forme [ ; ] o coisit u réel (u srd) et o ose y = f ( ) O elle lors R le rectgle de se [ ; ] et de uteur y Les rectgles R recouvret roimtivemet l surfce S et o comred ie que, lus les lrgeurs des rectgles R sot etites, lus l roimtio est «oe» Pour éocer l coditio «les lrgeurs des rectgles R tedet vers» o défiit comme étt le mimum des lrgeurs : = m ( ) et o imose l coditio = Riem ose lors S = y( ) et démotre que : Si lim S = = L lors L e déed s du coi des,,, i des Pge 47

2 Nottio : Ds le cs où lim S = L, o ote L sous l forme ( ) f d qui se lit «somme etre et de tous les f ( ) d» c est à dire somme de toutes les ires des rectgles de lrgeur ifiitésimle que l o eut trouver e rtget l itervlle [ ; ] Ds cette ottio, o cofod d vec mis o démotre et ous dmettos que cette cofusio est s uisile Remrques : Ds l costructio de Riem, rie olige l foctio à être cotiue mis l questio qui reste est de svoir quelles sot les foctios «s tro irrégulières» dot o rle Au dért, o utilise ue foctio ositive mis rie iterdit de fire l même costructio our des foctios égtives ou de sige vrile Evidemmet il e s git lors lus de clculer ue ire Lorsque le rocédé de Riem s lique ( lim S = L ) o fcilite les ottios et le clcul e utilist deu «stuces» o rértit les,,, régulièremet ds [ ; ] si ie que cque rectgle our lrgeur o lce les à l ore droite de cque sous-itervlle de [ ; ] Ds ces coditios, o otiet ue forme lus commode de ds l suite de ce cours : Voculire : S = f ( + ) = Ds l ottio f ( ) d S elée «somme de Riem» et sot elés «ores de l itégrle» f ( ) d est elé «itégrde» (c est celui qui suit l itégrtio, de même que le multilicde est celui qui suit l multilictio et, lus géérlemet, l oérde est celui qui suit l oértio l oérteur étt celui qui fit l oértio) d est elé «élémet différetiel» est ue vrile «muette» : so om iterviet s ds le résultt A-II Où disrisset les erreurs? E fit, our oteir réellemet l ire souitée, il fudrit que les «frotières suérieures» des rectgles soiet remlcées r des ortios de l coure C L erreur commise e remlçt ces frotières coures r des frotières droites est ue erreur d ordre suérieur à qui disrît doc lors du ssge à l limite comme o le verr e TD A-III Foctios itégrles u ses de Riem U grd omre de foctios sot itégrles r le rocédé de Riem O eut citer e rticulier : Toutes les foctios défiies et mootoes ds [ ; ] Toutes les foctios cotiues r morceu ds [ ; ] (c est à dire les foctios our lesquelles o eut trouver u omre fii de sous-itervlles de l esemle de défiitio tels que ds cque sous-itervlle l foctio soit cotiue) O voit doc rître des foctios qui e sot s itégrles r l métode usuelle des rimitives mis qui le sot r le rocédé de Riem : ue foctio itégrle ds [ ; ] u ses de Riem e ossède s écessiremet ue rimitive ds [ ; ] f Pge 48

3 Démostrtio our ceu qui souitet comredre : Les foctios mootoes croisstes défiies ds [ ; ] sot toutes itégrles selo Riem : O ecdre l ire cercée, disos A, e utilist d ue rt les ores guces des sous itervlles et d utre rt les ores droites : if ( ) = Aires des rectgles vec les ores guces Aires des rectgles vec les ores droites = su ( ) = = I A I O voit isi rître ds cque «coloe» l erreur mimum commise : c est l écrt etre l ire du rectgle «tro grd» et celle du rectgle «tro etit» O eut regrouer toutes ces erreurs e les fist «glisser» ds l remière coloe : l somme des erreurs est lors rerésetée r u rectgle de lrgeur et de uteur f ( ) f ( ) Si o ote σ l somme des erreurs, o : σ = ( f ( ) f ( ) ) Lorsque, o σ et le téorème des gedrmes ermet d être certi que f ( ) d eiste uisque Iif ( ) f ( ) d Isu ( ) Pge 49

4 A-IV Algoritme Commet lors clculer l itégrle d ue foctio qui s de rimitive? E utilist u lgoritme qui «colle» de rès à l défiitio! O suose cous : l foctio f les ores et le omre de sous itervlles du rtge de [ ;] O utilise des vriles locles : delt : réel, our reréseter l lrgeur des sous-itervlles som : réel, our rérer le résultt de l foctio : etier, comteur de oucle Déut som delt (-)/ Pour llt de à fire ( ourrit ller de à -) som som+delt*f(+*delt) FiPour Retourer som Fi NB : A l fi de ce citre, l versio «lgge C» de cet lgoritme est doée «itégrlemet» U eemle d lictio cocrète : O sit que l qutité d électricité est l itégrle de l itesité électrique Pr eemle, our u court d itesité costte ma, l qutité d électricité qui trverse u coducteur e 7 est 4 ma Lorsque l itesité est vrile comme c est le cs ds ue miso ou u rtemet (l cosommtio est forte lorsqu ue mcie à lver, u fer à resser, u four foctioet et lus file lorsque tout est éteit!) l mesure de l qutité d électricité e eut s se fire r ue simle multilictio E fit, le comteur fit ue mesure «de tems e tems» disos tous les / ème de secode et multilie l itesité mesurée e ce / ème de secode r l durée et il dditioe les roduits oteus : c est ie d ue itégrtio qu il s git! O eut rfitemet simuler le trvil d u comteur électrique e utilist Ecel doc o eut rfitemet clculer ue itégrle (de fço rocée) e utilist Ecel ou u lgge de rogrmmtio comme Pscl ou C ou Pyto Si ç vous itéresse, comme d itude : georgesvicets@iut-orsyfr B Proriétés B-I Proriétés usuelles O démotre et ous dmettos les roriétés suivtes, déjà vues et utilisées u lycée : Positivité : Si f ( ) our tout de [ ; ] vec Coservtio de l ordre : < lors f ( ) d Si f ( ) < g( ) our tout de [ ; ] vec < lors f ( ) d g( ) d 3 Liérité : [ α + β ] = α + β f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d Pge 5

5 c c 4 Reltio de Csles : f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d si f est ire 5 Symétries : ( ) f d = si f est imire 6 Période : si f our ériode T lors f ( ) d = f ( ) d 7 Ds tous les cs, f ( ) d f ( ) d + T et + T + T f ( ) d = f ( ) d T B-II Newto - Leiiz (lie vec les rimitives) Ds le cs où l foctio itégrée est cotiue ds l itervlle d itégrtio, l métode de Riem coïcide vec celle de Cucy L formule utilisée e termile reste doc vlle si o coît ue rimitive de l foctio itégrée : Si F est ue rimitive quelcoque de f lors o : [ ] f ( ) d = F ( ) = F ( ) F ( ) Démostrtio our les mteurs : Soit f ue foctio défiie et itégrle sur [ ; ] Pour [ ; ] o ose F( ) = f ( t) ce qui défiit ue foctio F comme foctio de l ore suérieure de l itégrle F est ue foctio cotiue ds [ ; ] O Si f est ue foctio cotiue lors F est dérivle et vérifie F '( ) = f ( ) Démostrtio de Comme + + lim F( + ) = lim f ( t) lim( f ( t) f ( t) ) = + lim( f ( t) ) = F( ) il suffit de motrer que O elle M le mimum de f ( t ) our t [ ; + ] et o : + lim( f ( t) ) = + ( ) ) + ( ) + = f t f t M M si lors M et le téorème des gedrmes doe + lim( f ( t) ) = et filemet lim F( + ) = F( ) + lim f ( t) = Démostrtio de F( + ) F( ) Si F '( ) eiste, ce e eut être r défiitio, que lim et o : + + si ie que F( + ) F( ) f ( t) f ( t) f ( t) = = reltio () Si f est ue foctio cotiue, o sit que si t, o f ( ) f ( t) c'est-à-dire que si o ose f ( t) f ( ) = ε cet écrt ε déed de ( t ) et ted vers lorsque ( t ) O eut doc écrire f ( t) = f ( ) + ε ( t ) où ε est ue foctio qui ted vers qud s vrile ted vers (ici, s vrile c est t ) Ce qu il fut ie voir lors c est que f ( ) est ue costte vis-à-vis de l vrile t doc, ds l itégrle e, f ( ) est ue costte et o otiet : Pge 5

6 ( ε ) f ( t) = f ( ) + ( t ) = f ( ) + ε ( t ) reltio () Lorsque, l écrt etre et + ted vers et comme t reste etre et +, l écrt etre t et c'est-à-dire t ted vers et ε ( t ) ted ussi vers ce qu o eut écrire sous l forme m( ) ε ( t ) m( ) où m( ) est ue foctio de limite qui e déed lus i de t i + de O e déduit l ecdremet m( ) ε ( t ) m( ) reltio (3) uis e reortt F( + ) F( ) f ( ) + ε ( t ) + ds reltio () : = = f ( ) + ε ( t ) O successivemet : + + m( ) ε ( t ) m( ) + m( ) ε ( t ) m( ) + m( ) + f ( ) f ( ) + ε ( t ) m( ) f ( ) + F( + ) F( ) c est à dire : f ( ) m( ) f ( ) + m( ) et uisque m( ) est ue foctio de limite, les ores guce et droite de cet ecdremet tedet toutes les deu vers f ( ) d où F( + ) F( ) lim = f ( ) grâce u «téorème des gedrmes» C Alictios et géérlistios C-I Vleur moyee Clculer l vleur moyee de omres (où est u etier turel) est simle : o dditioe et o divise r Mis commet ourrit-o r eemle clculer l moyee des crrés de tous les réels comris etre et? L idée qui ermet l géérlistio est s très comliquée : L vleur moyee de «lusieurs» omres est l costte qui e remlçt ccu de ces omres doerit l même «somme» Pr eemle, l moyee de 5 et 3 est 9 rce que 5+3=8 et que 9+9=8 Si les omres dot o veut l moyee sot e qutité ifiie déomrle, u lieu d ue somme ordiire o utilise u et s il sot e qutité ifiie o-déomrle o utilise ue itégrle Eemles : Quelle est l moyee des crrés des réels comris etre et? O cerce ue costte m telle que d = m d Le clcul doe m = 3 Quelle est l moyee des sius des réels comris etre et π? O cerce ue costte m telle que si( ) d = m d π π Le clcul doe m = π Pge 5

7 Défiitio : L foctio f étt itégrle ds [ ; ], o elle moyee de f ( ) ds [ ; ] le omre m = f ( ) d Remrque : Pour les foctios ériodiques, si o e dit s ds quel itervlle o clcule l moyee o utilise systémtiquemet u itervlle de logueur ue ériode Quelle est l vleur moyee de si( )? C-II Vleur efficce Ce est qu ue v rite de l vleur moyee our des risos ysiques (éomèes électriques, termiques, coustiques ) il rrive qu o it esoi de l vleur moyee du crré d ue foctio et our l coérece de l dimesio, o clcule lors l rcie de cette moyee : le résultt oteu est l vleur efficce de l foctio Défiitio : L foctio f étt itégrle ds [ ; ], o elle vleur efficce de f ( ) ds [ ; ] le omre v e tel que ( ) ve = f d c est à dire Eemle : Essyez doc de clculer l vleur efficce de v = e f ( ) d sur l itervlle [;] Remrque : Pour les foctios ériodiques, si o e dit s ds quel itervlle o clcule l vleur efficce o utilise systémtiquemet u itervlle de logueur ue ériode Quelle est l vleur efficce de si( )? C-III Itégrles idéfiies O décide que l ottio «ss ores» f ( ) d désige ue rimitive quelcoque de f ( ) et o elle cette ottio «ss ores» itégrle idéfiie Attetio à ie comredre que deu rimitives quelcoques d ue même foctio ds u itervlle diffèret d ue costte et que r coséquet les clculs d itégrles idéfiies se termiet toujours r le ftidique «+Cste» ce qui est jmis le cs our les itégrles défiies cos( ) si( ) Eemle : si ( ) d = d = + Cste C-IV Itégrles géérlisées L métode de Riem e eut s liquer qu à des itégrles ds u itervlle oré + commet eut-o lors doer u ses à ue ottio telle que f ( ) d? L réose sse écessiremet r u clcul de limite : Défiitio : L ottio f ( ) d désige (si cette limite eiste) lim f ( ) d + + Pour clculer f ( ) d o commece doc r clculer f ( ) d uis, vec le résultt + oteu o cerce l limite lorsque + De même, our f ( ) d Défiitio : L ottio f ( ) d désige (si cette limite eiste) lim f ( ) d + Efi, our l ottio f ( ) d, o sére l itégrle e deu rties our ouvoir triter sérémet les deu limites Pge 53

8 + Défiitio : L ottio f ( ) d désige (si ces deu limites eistet sérémet) c lim f ( ) d + lim f ( ) d + c où c est u réel quelcoque que l o eut coisir D Métodes élémetires d itégrtio D-I Décomositio e somme Si ue foctio f est telle que f ( ) = f( ) + f( ) et si f( ) et f( ) ot des rimitives o clcule f ( ) d e utilist f ( ) d = f( ) d + f( ) d Eemle : D-II ( ) + ( ) d = d = + + d = + 4l() Itégrtio r rties c est à dire ou ecore u dv = uv v du O e déduit : O sit que d( uv) = v du + u dv et, e itégrt, d( uv) = v du + u dv uv = v du + u dv Si u et v sot des foctios à dérivées cotiues : Pour les itégrles idéfiies : u dv = uv v du Pour les itégrles défiies : u dv = [ uv] v du Remrque : L itégrtio r rties est commode ds les cs où f ( ) est de l ue des formes D-III P( ) e ou P( )si( ω) ou P( )cos( ω) ou P( )l( ) P( ) étt u olyôme Cgemets de vrile O suose que f est ue foctio itégrle ds [ ; ], que ϕ est ue foctio à dérivée cotiue, rélist ue ijectio de [ α; β ] vers [ ; ] et telle que Ds ces coditios o : Pour les itégrles idéfiies f ( ) d = f ( ϕ ( t)) ϕ ( t) Pour les itégrles défiies f ( ) d = f ( ϕ( t)) ϕ ( t) β α ϕ ( α) = ϕ ( β ) = Remrques : Les coditios sur ϕ sot fcilemet comréesiles si o veut ie réliser que, lorsque = ϕ( t), o «évidemmet» d = ϕ ( t) Ce cgemet de vrile eut s utiliser de deu fços, soit o remlce r ϕ ( t) ds f ( ), soit o remlce ϕ ( t) r, le ut étt toujours de simlifier l écriture ou le clcul de l itégrle Ds les deu cs, o doit se méfier de l élémet différetiel : d ou ce est s reil! De lus, si l itégrle est défiie, il fut ussi se méfier des ores : dire que vrie de à ce est s dire que t vrie de à Efi, si l itégrle est idéfiie, il est souitle ds l mesure du ossile, de doer l réose file vec l même vrile que celle utilisée ds l éocé Pge 54

9 Eemle où o remlce r ϕ ( t) : I = d O remrque que les vleurs risoles de sot ds [- ;+] et que si = si( t) vec π π t [ ; + ] lors = cos( t) et dϕ = cos( t) vec t = Arcsi( ) O otiet + cos( t) si( t) I = cos ( t) = = ( t + ) + Cste = (Arcsi( ) + ) + Cste Eemle où o remlce ϕ ( t) r : O ose O otiet t t = e, lors d = e I = 3t t t e + e + 4 e t + e 3t t t e + e + 4e ( + ) + 4 I = = d = d = + 4l + + Cste t + e + + E Quelques eemles comlets E-I Clcul de e l( ) d (métode IPP) l( ) e e e e e e l( ) d = [ ] d = ( ) = ( + u ) E-II Clcul de du (métode CdV) O ose u = t( ) d où du = ( + u ) d et cos ( ) + u = si( ) u du = cos ( ) d = ( + ) + Cste = (Arct( u) + ) + Cste ( + u ) + u E-III Clcul de d (métode CdV) O ose u = + d où u O otiet + = + et u du = d 3 u u d = u du = ( u ) du = ( u) + Cste = + ( ) + Cste + u 3 3 E-IV Clcul de + d (métode CdV) O ose u = + d où du = d et O otiet E-V = u = = u = + = = = ( ) 3/ d u du u 3 3 Clcul de Arcsi()d (métode IPP+CdV) Pge 55

10 du Arcsi() d = Arcsi( ) d = Arcsi( ) = u u = du = d E-VI Clcul de e d (métode CdV+3IPP) O ose t = d où t =, d = t Arcsi( ) + u + Cste = Arcsi( ) + + Cste t 3 t e d = t e t = t e = = e ( ) + Cste Pge 56

11 F Aee : rogrmme d itégrtio e lgge C //Versio Borld C dtle à dev-c vi coio #iclude <stdio> #iclude <coio> doule f(doule ); doule Itegrle(doule, doule, log ); void mi(void) { doule oreif, oresu; log itervlles; it re; clrscr(); ritf("clcul d'itégrle (l foctio est coteue ds le rogrmme) \"); ritf("\tdoez l ore iférieure : "); scf("%lf",&oreif); ritf("\tdoez l ore suérieure : "); scf("%lf",&oresu); do{ ritf("\\tdoez le omre d'itervlles du rtge : "); scf("%d",&itervlles); ritf("\\to otiet %lf",itegrle(oreif,oresu,itervlles)); ritf("\\voulez vous cger le omre d'itervlles? "); re=getc(); }wile(re!='' && re!='n' && re!=7); } doule f(doule ) { retur *;// L foctio itégrée est ici o eut l cger! } doule Itegrle(doule, doule, log ) { doule delt, som; log ; som=; delt=(-)/; for(=;<;++){ som=som+delt*f(+*delt); } retur som; } /*Vrite u eu lus futée elée "métode des trèzes" doule Itegrle(doule, doule, it ) { doule delt, som, ; it ; som=; delt=(-)/; for(=;<;++){ //O utilise comme uteur de coloe l moyee des uteurs //clculées u ores guce et droite de cque sous-itervlle =(f(+*delt)+f(+(+)*delt))/; som=som+delt*; } retur som; } */ Pge 57

12 G Sujets de rolèmes lus comlets G-I Vleur moyee et géométrie Vleur moyee vec u cercle O lce u oit M sur le cercle trigoométrique (cetre O et ryo ), ds le remier qudrt O elle S le rojeté de M sur l e des ordoées O se roose de clculer l logueur moyee des segmets [SM] isi défiis ère métode : O reère le oit M r so gle olire, o erime SM e foctio de cet gle olire et o clcule l moyee e fist vrier l gle olire etre et π Fire le clcul ème métode : O reère le oit M r so ordoée, o erime SM e foctio de cette ordoée et o clcule l moyee e fist vrier l ordoée etre et Fire le clcul Coclusio : Peut-o rler de l vleur moyee d ue grdeur géométrique ss réciser commet o clcule cette moyee? Que esez-vous de l ffirmtio «le ryo d u cercle est l logueur moyee d ue corde ds ce cercle»? Vleur moyee vec u trigle équiltérl O lce u oit M sur le côté [BC] d u trigle équiltérl ABC dot les côtés mesuret Eliciter deu fços différetes de clculer l logueur moyee de l AM qui coduiset à clculer les itégrles suivtes : I π dθ 3 = π et cos( θ ) I = + ( l ) dl 3 Sct que ces itégrles doet les résultts I = l(3) et I = + l(3) quelles sot les 8 vleurs moyees de AM corresoes? G-II L formule de Wllis (clcul de π : Jo WALLIS 66-73) O ose Visio mtémtique du rolème I π = si ( ) d où est u etier ositif d(cos( )si ( )) Clculer I, I et I Clculer et e déduire que I = ( ) I d π 3 5 ( ) I = 4 6 I + I + Motrer que uis rouver que < < 4 6 I I I + = 3 5 ( + ) Détermier lim + I + I ( ) ( ) π 4 6 et e déduire que = lim ( ) ( + ) Visio iformtique du rolème Progrmmer e C le clcul de π à l ide cette formule est ssez simle mis demde u eu d stuce our gger eucou e ridité et e récisio Pour ceu que ç itéresse (mitet ou u semestre roci) georgesvicets@iut-orsyfr! Pge 58

13 G-III Formule de Tylor vec reste itégrl L formule étudiée ici ser, ds s versio file, utilisée ss démostrtio ds le citre «déveloemets limités» que Si f :[; ] R dmet dérivées cotiues ds [; ] lors : = ( ) ( t) ( ) f ( ) = f () + f () + f ( t)! ( )! = Comredre l formule à l ide de cs rticuliers ) Le cs de l foctio eoetielle ) Ecrire l formule e géérl our l foctio eoetielle ) Ecrire l formule ds le cs = our l foctio eoetielle 3) Démotrer l formule à l ide d ue itégrtio r rties ds le cs = our l foctio eoetielle ) Le cs de l foctio sius ) Ecrire l formule e géérl our l foctio sius ) Ecrire l formule ds le cs = 3 our l foctio sius 3) Démotrer l formule ds le cs = 3 our l foctio sius Le cœur de l démostrtio E remrqut que ) Cs «simle» f ( ) f () = f '( t) et e utilist ue itégrtio r rties, motrer f ( ) f () = f '() + ( t) f "( t) ) Cs «utile» A l ide d ue itégrtio r rties, motrer que : ( t) ( ) ( ) ( t) ( + ) f ( t) = f () + f ( t) ( )!!! c Et l démostrtio elle même c ) Rel Soit ue roriété P() dée d u etier qui est vrie our toutes les vleurs de deuis jusqu à, si o rrive à rouver que P(+) est ue coséquece de P(), P() P() lors l roriété est vrie our tout etier à rtir de C est ce qu o elle ue démostrtio r récurrece c ) ) Démotrer que ) Démotrer que si lors 3) Coclure Récurrece = ( ) ( t) ( ) f ( ) = f () + f () + f ( t)! ( )! est vrie our = = ( ) ( t) ( ) f ( ) = f () + f () + f ( t)! ( )! = = = ( ) ( t) ( ) f ( ) = f () + f () + f ( t)! ( )! = est vrie our < N est ussi vrie our N = Pge 59

14 d Géérlistio E utilist l itervlle [ ; ] u lieu de l itervlle [; ] o démotre de l même fço (itégrtio r rties et récurrece) que : Si f :[ ; ] R dmet dérivées cotiues ds [ ; ] lors : = ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) = f ( ) + f ( ) + f ( ) d! ( )! = si ç vous tete, e vous e rivez surtout s! e Mjortio du reste itégrl = ( ) ( t) ( ) O utilise l formule f ( ) = f () + f () + f ( t) =! ( )! f :[; ] R dmet dérivées cotiues ds [; ] Le terme ( t) ( )! e suost que ( ) f ( t) est elé reste itégrl ds l formule de Tylor O relle qu ue foctio cotiue ds u itervlle fermé oré tteit ses ores r ( ) coséquet, uisque f est cotiue ds [; ], il eiste ue costte ositive M telle que our tout t [; ] o ( f ) ( t) M E distigut les deu cs et, motrer que si t est etre et lors t E déduire que, quel que soit, si t est etre et lors t Quelle iéglité eut-o écrire etre g ( t ) et g ( t ) lorsque g est ue foctio itégrle ds [ ; ]? E déduire que 3 O dit qu ue qutité Q est «orée devt Q» lorsque lim est ue costte et o écrit lors Q = ( ) ce qui se lit «Q égle grd O de ( t) ( ) M f ( t) ( )! ( )!» Avec cette ottio, que deviet l formule de oré et lorsque lim eiste, c est Tylor? évidemmet le cs! 4 O dit qu ue qutité Q est «égligele Q devt» lorsque lim = et o écrit lors Q = ( ) ce qui se lit «Q égle etit O de» Avec cette ottio, que deviet l formule de Tylor? 5 Motrer que, si Q = ( ) lors Q = ( ) E fit, Q ( ) = sigifie qu il eiste u itervlle utour de ds lequel 6 Eemles iformtisés vec le logiciel MAPLE Si o demde le déveloemet de Tylor de si( ) u voisige de e utilist 5 dérivées successives O otiet : Si o demde le déveloemet de Tylor de l( + ) u voisige de e utilist dérivées successives O otiet : Q Q est Pge 6

15 G-IV Fii, déomrle, cotiu (culture géérle!) O dit qu u esemle est fii lorsqu il est fii! Mis qu est-ce qu u esemle ifii et les esemles ifiis ot-ils tous l même «tille»? O dit qu u esemle est déomrle lorsqu il eut être mis e ijectio vec N (esemle des etiers turels) Autremet dit u esemle est déomrle si o eut uméroter ses élémets Pr eemle, les etiers reltifs formet u esemle déomrle Il suffit d écrire les etiers reltifs de l fço suivte : ;- ; ;- ; ;-3 ;3 ;-4 ;4 ;-5 ;5 O est sûr de les écrire tous et ue seule fois ccu si ie qu il y lus qu à les uméroter : etiers reltifs uméros (etiers turels) A cque etier reltif corresod u etier turel et u seul, à cque etier turel corresod u etier reltif et u seul : o ie costruit ue ijectio etre N et Z Les rtioels formet ussi u esemle déomrle il y doc s lus de frctios d etiers que d etiers turels! Si ç vous étoe, vous ouvez demder des récisios à georgesvicets@iut-orsyfr Les réels e formet s u esemle déomrle : c est u esemle «lus gros», o dit qu il est cotiu Prouver qu il y s de ijectio etre N et R est ssez fcile : suosos que tous les réels etre et soiet écrits sous forme décimle et résetés e ue liste ordoée imorte commet : O v motrer que cette liste est,5694,68739,5578 3, ,89378 etc, forcémet icomlète e crét u omre qui e eut e ucu cs être déjà ds l liste O grde le iitil uis o utilise de lus que le er ciffre du er omre (doc ici ce ser u ), de lus que le ème ciffre du ème omre (doc ici ce ser u ), de lus que le 3 ème ciffre du 3 ème omre (doc ici ce ser u 6) et isi de suite si o recotre u 9 e lui joutt o otiedrit o écrir Le rocédé fit isi rître u omre qui est forcémet différet du er (à cuse du er ciffre rès l virgule) forcémet différet du ème (à cuse du ème ciffre rès l virgule) etc et qui ourtt est ie etre et! L liste qu o vit suosée comlète e l est s uisqu il mque le omre,6 : o e eut s dresser ue liste des réels etre et Les coséqueces sot imorttes : o e eut jmis dire quel réel est le suivt d u utre (r eemle, l questio «Quel est le réel juste rès?» ucu ses, l «qutité» de réels est très grde, ie lus grde que celle des etiers turels Ue questio mtémtique éieuse est de svoir s il eiste des esemles qui soiet «lus grds» que l esemle des etiers turels mis tout de même «lus etits» que l esemle des réels et l réose c est «o e sit rie, o coisit ce qu o veut comme réose, à cque coi corresod ue ouvelle mtémtique!» Ce résultt est tyique de l évolutio des mtémtiques u ème siècle : il e e que de 96 O eut cercer «yotèse du cotiu» vec GOOGLE, et l ecycloédie lire WIKIPEDIA doe des iformtios simles et itéresstes sur le sujet Pge 6