TRIGONOMETRIE. I. Triangle rectangle II. Cosinus, sinus, tangente III. Applications IV. Propriétés

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1 TRIGONOMETRIE I. Triangle rectangle II. Cosinus, sinus, tangente III. Applications IV. Propriétés

2 I/ Le triangle rectangle Avant d aborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir nommer les côtés d un triangle rectangle. Côté opposé à Côté adjacent à Hypoténuse (c est le plus grand des côtés, c est aussi le côté opposé à l angle droit.

3 Et maintenant, à vous Hypoténuse Côté opposé à Côté opposé à Côté adjacent à Hypoténuse Côté adjacent à

4 II. Cosinus, sinus, tangente Formules à connaître: Dans un triangle rectangle, Cos côtéadjacent à hypoténuse côtéopposéà Sin hypoténuse Tan côtéopposéà côtéadjacent à CAH SOH - TOA

5 Exemple: Côté opposé à  B Hypoténuse C A Côté adjacent à  cos  = AC AB sin  = CB AB tan  = CB AC CAH - SOH TOA

6 III. Applications 1. Pour calculer la longueur d un côté d un triangle rectangle. 2. Pour calculer la mesure d un angle aigu dans un triangle rectangle.

7 1) Calcul de la longueur d un côté Exemple Calculer la longueur de AB Méthode: 1. On nomme les côtés du triangle A Côt. Adj cm? 2. On repère le côté que l on cherche et le côté que l on connaît, en les soulignant par exemple. C Cot. Opp. B 3. On choisit la formule dans laquelle il y a les deux côtés soulignés. Cos Côt. Adj.

8 Calculer la longueur de AB Méthode: 1. On nomme les côtés du triangle 2. On repère le côté que l on cherche et le côté que l on connaît, en les soulignant par exemple. 3. On choisit la formule dans laquelle il y a les deux côtés soulignés. Dans le triangle ABC, rectangle en C, AC Cos Aˆ AB 23 Cos 41 AB Côt. Adj. 23 cm C A 41 Cos Cot. Opp. Côt. Adj. 4. On remplace dans la formule tout ce que l on connaît. B

9 Calculer la longueur de AB 23 cm Dans le triangle ABC, rectangle en C, AC Cos Aˆ AB 23 Cos 41 AB Côt. Adj. A 41 C Cot. Opp. 4. On remplace dans la formule tout ce que l on connaît. B Cos 41 AB AB 23 Cos On fait un produit en croix et on calcule AB d' où AB 30,47cm

10 Et maintenant, à toi. Pour t entraîner, voici quelques exercices: Exercice 1: Soit un triangle rectangle en B tel que AC = 34 mm et Â= 29. Calculer BC. A B C Correction

11 Exercice 3 A 29 Cot. Adj Hyp 34 mm Dans le triangle ABC, rectangle en B, Sin Sin Aˆ 29 BC AC BC 34 B? C Cot. Opp BC BC Sin ,48mm Sin Côt. Opp. Retour Exercice suivant

12 Exercice 2: Soit un triangle rectangle en F tel que FG = 16 cm et Ê = 31. Calculer EF. Correction

13 Exercice 4: E 31? Cot. Adj F 16 cm Hyp G Dans le triangle EFG, rectangle en F, Cot. Opp. Tan Tan Tan GF E EF EF 31 EF 16 Tan Retour Côt. Opp. Cot.Adj. Suite EF 16 Tan 31 EF 26,62 cm

14 Exercice 3: Soit un triangle rectangle en B tel que AC = 27 mm et Â= 32. Calculer BC. A B C Correction

15 Exercice 5 A 32 Cot. Adj B? Hyp 27 mm C Cot. Opp Dans le triangle ABC, rectangle en B, BC BC Sin A AC BC Sin Sin Sin Côt. Opp. BC 14,3 mm Retour Exercice suivant

16 Exercice 6: Soit un triangle rectangle en K tel que IJ = 73 mm et Î= 51. Calculer KJ. I K J Correction

17 Exercice 6 Hyp 73 mm I 51? Dans le triangle IJK, rectangle en K, Cot. Adj K Cot. Opp Sin Sin KJ I 51 KJ IJ KJ 73 Sin J KJ 56,73mm Sin Côt. Opp. Retour Exercice suivant

18 Exercice 7: Soit un triangle rectangle en C tel que AC = 350 cm et Â= 8. Calculer AB. B C A Correction

19 Exercice 7: B Hyp? Retour A Cot. Opp. C Cot. Adj 350 cm 8 Cos Suite Dans le triangle ABC, rectangle en C, Côt. Adj. Cos A Cos Cos 8 AB AC AB AB AB Cos 8 AB 353,43 cm

20 Exercice 8: Soit un triangle rectangle en F tel que EF = 15 mm et Ê= 85. Calculer DF. D F E Correction

21 Exercice 8 D Tan Côt. Opp. Cot. Adj. Cot. Opp Hyp Tan 85 DF 15? 85 DF Tan 8515 F 15 E DF 171,45mm Cot. Adj

22 2. Calcul d un angle, si on connaît la longueur de deux côtés. Exemple Calculer l angle BCA Méthode: 1. On nomme les côtés du triangle (en fonction de l angle que l on veut calculer) Côt. opp. 26 cm A 30 cm 2. On repère les deux côtés que l on connaît, en les soulignant. 3. On choisit la formule dans laquelle il y a les deux côtés soulignés. sin B Côt. opp. Cot. adj. C

23 2. Calcul d un angle, si on connaît la longueur de deux côtés. Méthode: A 1. On nomme les côtés du triangle (en fonction de l angle que l on veut calculer) 2. On repère les deux côtés que l on connaît, en les soulignant. Côt. opp. 26 cm 30 cm 3. On choisit la formule dans laquelle il y a les deux côtés soulignés. B Cot. adj. C Dans le triangle ABC, rectangle en B, sin BĈA AB AC sin Côt. opp.

24 Méthode: Côt. Opp 26 cm A 30 cm Dans le triangle ABC, rectangle en B, AB sin BĈA AC 26 sin BĈA 30 D où BCA 60 B sin 4. On remplace dans la formule tout ce que l on connaît. 5. Avec la calculette, on fait: C Cot. Adj. Côt. Opp. sin -1 (26 30)

25 Et maintenant, à toi. Pour t entraîner, voici quelques exercices: Exercice 1: Soit un triangle rectangle en I, tel que I J = 28 mm et IK = 12 mm Calculer l angle J, puis en déduire l angle K I J Exercice suivant K Correction

26 Exercice 2: Soit un triangle rectangle en F, tel que EF = 32 cm et EG = 34 cm Calculer l angle E, puis en déduire l angle G E F G Exercice précédent Correction

27 Exercice 1 12 mm I 28 mm Côt. Adj J Côt. Opp K Hyp Tan Ĵ Tan Ĵ Côt. Opp. Côt. Adj. Tan -1 (12 28) Ĵ 23,19 On en déduit que: Kˆ 90-23,19 Retour Exercice suivant Kˆ 66,81

28 Exercice 2 E cos Ê Côt. Adj. Côt. adj 32 cm F Côt. opp Hyp 34 cm G cos Ê On en déduit que: Ê cos -1 (3234) 19,75 Ĝ 90-19,75 Retour Ĝ 70,25

29 IV. Propriétés Dans un triangle, quelle que soit la mesure x d un angle aigu, on a : tan x x sin et cos x sin ² x cos ² x 1 sin ² x cos ² x a c 2 b c 2 a c 2 2 b c 2 2 a 2 b 2 c 2 c c Or le triangle est rectangle, donc d après le théorème de Pythagore: a² + b² = c²