Valeurs propres et vecteurs propres des matrices

Transcription

1 SR GSITR NOV Vles popes vetes popes es mties L'oj "mtie "(ppel) Vles popes vetes popes e mtie 3 Vete pope ssoié à e vle pope 4 Vles popes e mties ptilièes 5 Vetes popes ssoiés à e mtie igole 6 tie e pssge e mtie à vles popes 7 tie ivesile (ppel) 8 L mtie e pssge est ivesile 9 L pisse e mtie à e vles popes Ojetif Les ifomtios qi vot ête oées seot tilisées po l éte es sites ées les poesss e kov

2 L'oj "mtie "(ppel) Ue mtie est e tpe si ( liges oloes) Les ttits e ) L te e : T () ) Le étemit e : D() 3) Le polôme téistiqe e : () T() D() 4) Le spete e : Spe () { totes les ies e } Ces ttits pemt e te e lle sstémtiqem 4 Eemple 5 3 )T() 5 ) D() 4 3) ) ( 5 4 4) Sp() { ;7} RORIETE (Théoème e Cle-Hmilto ppliqé s ) O est l «mtie lle» : O I est l «mtie iité»: I o l mtie o tojos: T() D()I O «O emple p l mtie s le polôme téistiqe e» Coséqee T() D()I 3 4 T() 3 T() T() D() D() T() D() D() Eeie ) Véifie ( ) ( ) ) Eie lgoithme qi lle l pisse 'e mtie e tilist l oséqee théoème e Cle-Hmilto

3 3 Vles popes vetes popes e mtie Vle pope e l mtie (éfiitio) Ue vle pope e l mtie est ome tel qe l o pisse tove e oloe qi véifie : ie: à 'est Rehehe es vles popes e l mtie O hehe tel q il eiste qi véifie 'est-àie : ) ( ) ( : Nos vos ppis qe e sstème possèe e soltio si selem si so étemit est l : ) ( ) )( ( O tove : ) ( D() T() opiété Les vles popes e l mtie sot les ies e so polôme téistiqe L esemle es vles popes e est le spete e ) Spe( : Eeie Tove les vles popes es mties : s 3 3 4

4 4 Vete pope ssoié à e vle pope ) O sppose qe possèe vles popes ( ) est vete pope e ssoié à l vle pope si : est vete pope e ssoié à l vle pope si : o tove o ésot les e sstèmes : qi s'éiv: ( ) ( ) ( ) ( ) sot es vles popes e : o es e sstèmes possè e ifiité se soltios ) O sppose qe possèe e sele vle pope est vete pope e ssoié à l vle pope si ( ) O ésot le sstème ( ) e sstème possèe e ifiité e soltios so étemit est l Eeie N 4 3 Tove vete pope ssoié à hqe vle pope e vete pope ssoié à l vle pope e N

5 5 Vles popes e mties ptilièes tie igole : D Ue telle mtie est ite «mtie igole» (s igole motte est lle) D véifie : T(D) ; D(D) ;D( ) ( ) ( )( ) ) Si l mtie igole m e vles popes ) Si l mtie igole m e sele vle pope tie à igole motte : E Ue telle mtie e pote ps e om spéifiqe ; o pet ie q elle «est à igole motte» (s igole ese est lle) E véifie : T (E) ;D(E) ) ; ) : ;E ( E ( ) Si > m les e vles popes éelles ± ) Si < m les e vles popes omplees ± i 3) Si m po sele vle pope Remqe Eeie Tove les mties S T Véifie qe S T ot les mêmes vles popes à svoi : si ; ± si > ; ± i si <

6 6 Vetes popes ssoiés à e mtie igole tie igole D : ) Si l mtie igole m e vles popes Vetes popes ssoiés à l vle pope : po o eve pisqe si selem élisée si églité est Cte ie vet Vetes popes ssoiés à l vle pope : po o eve pisqe si selem élisée si églité est Cte ie vet ) Si l mtie igole m e sele vle pope Vetes popes ssoiés à l vle pope : à pope ssoié vete est qel :'impote Eeie Véifie qe tot vete o l est vete pope e Véifie qe ot les mêmes vles popes Doe vete pope ssoié à hqe vle pope po he e es mties éise le s où

7 7 tie e pssge e mtie à vles popes Hpothèse L mtie possèe e vles popes Choi es vetes popes ssoiés vles popes ) est vete pope ssoié à : ) est vete pope ssoié à : Défiitio e l mtie e pssge ssoiée hoi es vetes popes C est l mtie Rppel ltiplitio ' ' ' ' Remqe Colsio ' ' ' ' Volie est ssoiée ople ( ; ) (mis ps ople ( ; )) Eeie Eie e mtie e pssge po hqe mtie 4

8 8 tie ivesile (ppel) t s L mtie est ivesile losq il eiste e mtie otée telle qe : Si est ivesile est iqe Les mties ivesiles Les mties ivesiles sot les mties ot le étemit est o l Epessio e l ivese e mtie ivesile st D() t s t s D() D() D() t D() s D() Eeie Véifie l fomle ot e effett po otei l mtie iité I

9 9 L mtie e pssge est ivesile Hpothèse L mtie possèe e vles popes ( ) Rppel Ue mtie est ivesile si selem si sot étemit est o l Le étemit e l mtie e pssge est o l Démosttio L mtie e pssge po ssoiée ople ( ; ) est : Si ( ) los le sstème it e soltio v Remqe O oit voi v e eff si los v : v impliqe v los qe O oti : v : (même hose si o sp pose v ) E tilist les éfiitios es vles popes : v v v v v L églité v v oe : isqe l sittio ( ) est impossile ( ) isqe ( ) l mtie e pssge est ivesile Eeie Doe e mtie e pssge ivese po he es mties (o le ll e l ivese : ppel pge sivte) 4 v

10 L pisse e mtie à e vles popes Hpothèse L mtie possèe e vles popes ) ( Soit e mtie e pssge po ssoiée ople ) ; ( Rppel L églité sivte est véifiée : L mtie e pssge est ivesile o : Cll e ( est ie positif) ) Démosttio p éee L popiété est vie po p éfiitio Si l popiété est vie po elle est eoe vie po : ) Démosttio p éee L popiété est vie po p éfiitio simplifitio pès los: Si Eeie Epime popes vles es fotio e 4