Triangle rectangle. 1 Rappels sur le triangle rectangle. 1.1 Vocabulaire. Définition 1 Un triangle rectangle c est un triangle qui a un angle droit.

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1 Triangle rectangle 1 Rappels sur le triangle rectangle 1.1 Vocabulaire Définition 1 Un triangle rectangle c est un triangle qui a un angle droit. Définition 2 Le coté qui est situé en face de l angle droit dans un triangle rectangle s appelle l hypoténuse. L hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle. Théorème 1 Dans un triangle rectangle les deux angles aigus sont complémentaires, c est à dire que leur somme est 90 Preuve : Dans n importe quel triangle la somme des angles est 180. De plus dans un triangle rectangle, il y a un angle de 90. Donc la somme des deux angles aigus du triangle rectangle est = 90 même si on ne connaît pas la mesure de ces deux angles, quand on les ajoute celà fait forcément 90. Donc les deux angles aigus d un triangle rectangle sont bien complémentaires. il y a un angle droit. Théorème 2 Dans un triangle équilatéral, les angles font tous 60 1

2 Preuve : Dans un triangle équilatéral, comme dans n importe quel triangle, la somme des angles est 180. Donc  + ˆ + Ĉ = 180. omme le triangle est équilatéral, tous les angles sont égaux. Les angles sont tous égaux Donc :  = ˆ = Ĉ. Donc  +  +  = 180. Donc 3  = 180. Donc  = = 60 omme tous les angles sont égaux, ils valent donc tous 60. 2

3 1.2 Droites remarquables Définition 3 Dans un triangle les médiatrices sont les droites qui passent par le milieu des côtés et qui sont perpendiculaires. Dans un triangle les médiatrices sont concourantes. Leur point d intersection s appelle le centre du cercle circonscrit. Définition 4 Le cercle circonscrit d un triangle c est le cercle qui passe par tous les sommets d un triangle. Son centre est au point d intersection des médiatrices du triangle. Exemples 1 Un dessin D Remarque 1 Le cercle circonscrit à un triangle est le plus petit cercle qui contienne le triangle en entier. 3

4 Définition 5 Dans un triangle les hauteurs sont les droites qui passent par le sommet et qui sont perpendiculaires au côté opposé. Dans un triangle, les hauteurs sont concourantes, et leur point d intersection s appelle l orthocentre. Exemples 2 Un dessin F D E Remarque 2 ttention, les hauteurs peuvent parfois se situer à l extérieur du triangle. ela arrive quand le triangle a un angle obtu. Dans ce cas, l orthocentre est à l extérieur du triangle. 4

5 Définition 6 Dans un triangle les médianes sont les segments qui passent par un sommet et par le milieu du côté opposé. Dans un triangle les médianes sont concourantes, leur point d intersection s appelle le centre de gravité. Exemples 3 illustration E F D 5

6 2 entre du cercle circonscrit à un triangle 2.1 centre du cercle circonscrit Théorème 3 Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit, c est à dire le point d intersection des médiatrices est situé au milieu de l hypoténuse. est d ailleurs à cela qu on peut reconnaître un triangle rectangle ; un triangle qui a son centre du cercle circonscrit au milieu de l un de ses côtés est forcément un triangle rectangle. Exemples 4 un dessin le centre du cercle circonscrit Exemples 5 les trois positions possibles pour le centre du cercle circonscrit J J J Le centre du cercle circonscrit est à l intérieur du triangle, car tous les angles sont aigus. Le centre du cercle circonscrit est à l extérieur du triangle car le triangle a un angle obtus. Le centre du cercle circonscrit est sur l hypoténuse car le triangle est rectangle. 6

7 3 Exemples d utilisation 3.1 Première utilisation du théorème Remarque 3 omment tracer un triangle rectangle sans équerre Pour tracer un triangle rectangle sans équerre, il suffit de tracer son hypoténuse [], de tracer le cercle de diamètre [], et de placer un point sur le cercle. insi on est sur que sera un triangle rectangle. Exemples 6 illustration D On trace l hypoténuse On trace le cercle dont l hypoténuse est le diamètre On place un point sur le cercle. Le triangle ainsi obtenu est rectangle. 7

8 3.2 Deuxième utilisation du théorème Théorème 4 théorème de la médiane Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l angle droit est égale à la moitié de l hypoténuse. est même comme cela que l on peut reconnaître un triangle rectangle ; si la longueur de la médiane est égale à la moitié de la longueur d un côté alors le triangle est rectangle. Exemples 7 un dessin O la médiane a la même longueur que la moitié de l hypothénuse Théorème 5 le théorème de la médiane, variante. Dans un triangle rectangle le centre du cercle circonscrit est situé au pied de la médiane issue de l angle droit. Théorème 6 le théorème de la médiane, variante. Dans un triangle rectangle en et tel que O est le milieu de [], les triangle O et O sont isocèles. Remarque 4 Dans un triangle rectangle la médiane issue de l angle droit coupe le triangle en deux triangles qui ont la même aire. En réalité cette remarque est valable dans n importe quel triangle. La médiane coupe n importe quel triangle en deux triangles de même aire. 3.3 utres utilisations du théorème coller la feuille ici 8