Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Suites, séries et nombres complexes

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1 Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2016

2 Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 2 / 53

3 Les suites infinies Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 3 / 53

4 Les suites infinies Définition : suite infinie Une suite infinie est un ensemble ordonné d une infinité de nombres réels {a n } n=n 0. Elle peut s exprimer à l aide d une fonction a n = f (n) { n n+1 } n=1 = { 1 2, 2 3, 3 4,...} Elle peut s exprimer par récursion a 1 = 2, a n+1 = 1 6 a n pour n 1 f 1 = f 2 = 1, f n = f n 1 + f n 2 pour n 3 (Fibonacci) 4 / 53

5 Les suites infinies Définition : limite d une suite La limite L d une suite {a n } n=n 0 existe lorsque les termes a n peuvent être rendus aussi proche que l on veut de L en prenant n suffisamment grand. Dans ce cas, on écrit lim a n = L ou a n L lorsque n. n Si lim n a n existe, la suite converge. Sinon elle diverge. Deux questions Est-ce qu une suite converge ou diverge? Si elle converge, vers quelle valeur? 5 / 53

6 Les suites infinies Théorème Si a n = f (n) et lim f (x) = L, alors lim a n = L. x n Théorème du sandwich Si a n b n c n pour n n 0 et lim lim b n = L. n Corollaire Si lim n a n = 0, alors lim n a n = 0. a n = lim c n = L, alors n n Théorème Si lim a n = L et f est une fonction continue en L, alors n lim f (a n) = f ( lim a n) = f (L). n n 6 / 53

7 Les suites infinies Quelques lois Soit {a n } et {b n }, deux suites convergentes. Soit c R. Alors lim (a n + b n ) = lim a n + lim n n lim (a n b n ) = lim a n lim n n lim ca n = c lim a n n n lim a nb n = lim a n lim b n n n n a lim n n b n lim c = c n = lim n an lim n n b n n b n bn si lim n b n 0 7 / 53

8 Les suites infinies Définition : suite croissante/décroissante Une suite {a n } n=n 0 est croissante si a n a n+1 pour tout n n 0 ; décroissante si a n a n+1 pour tout n n 0. Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante. Définition : suite bornée Une suite {a n } n=n 0 est bornée supérieurement s il existe un nombre M tel que a n M pour tout n n 0 ; bornée inférieurement s il existe un nombre m tel que a n m pour tout n n 0. Une suite est bornée si elle est bornée inférieurement et supérieurement. 8 / 53

9 Les suites infinies Théorème d une suite monotone Toute suite bornée et monotone est convergente. Remarques Il existe des suites bornées qui ne convergent pas. Il existe des suites monotones qui ne convergent pas. Toute suite convergente est bornée. Il existe des suites convergentes qui sont non monotones. 9 / 53

10 Les séries Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 10 / 53

11 Les séries Définition : série infinie Soit une suite infinie {a n } n=n 0. L expression s appelle une série infinie. Exemples n = n=3 n=1 a n0 + a n a n = diverge. 1 2 n = = 1 converge. n=n 0 a n 11 / 53

12 Les séries Définition : somme partielle Considérons la série a n. n=n 0 La somme partielle des k premiers termes est s k = k La suite des sommes partielles est donnée par {s k } k=1. a n0 +i 1. i=1 Définition : convergence/divergence d une série Si lim s k = s existe, alors a n est convergente et on écrit k n=n 0 a n = s. n=n 0 Dans ce cas, s s appelle la somme de la série. Sinon la série est divergente. 12 / 53

13 Les séries Définition : série géométrique La série géométrique est donnée par pour a 0. Elle diverge si r 1. a + ar + ar 2 + ar = n=1 ar n 1 Sinon ( r < 1) elle converge et sa somme vaut a 1 r. 13 / 53

14 Les séries Théorème Si a n converge, alors lim a n = 0. n=n 0 n Théorème de la divergence Si lim n a n 0 ou n existe pas, alors Remarque Il existe des séries divergentes n=n 0 a n diverge. n=n 0 a n telles que lim n a n = / 53

15 Les séries Quelques lois Soit a n = A et b n = B, deux séries convergentes. Soit n=n 0 n=n 0 c R. Alors c a n = ca n=n 0 (a n + b n ) = A + B n=n 0 (a n b n ) = A B n=n 0 15 / 53

16 Tests de l intégrale et de comparaison Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 16 / 53

17 Tests de l intégrale et de comparaison La suite des sommes partielles d une série à termes positifs est strictement croissante. Par conséquent, la série converge si cette suite est bornée. Test de l intégrale Soit f une fonction continue, positive et décroissante sur [n 0, [. Soit a n = f (n). Si n 0 f (x) dx converge, alors a n converge. n=n 0 Si n 0 f (x) dx diverge, alors n=n 0 a n diverge. 17 / 53

18 Tests de l intégrale et de comparaison Définition : série de Riemann Une série de Riemann est donnée par n=1 1 pour p R. np Elle converge si p > 1. Elle diverge si p 1. Définition : série harmonique La série de Riemann avec p = 1 : n=1 s appelle la série harmonique. Elle diverge. 1 n = / 53

19 Tests de l intégrale et de comparaison Test de comparaison Soit a n et b n des séries à termes positifs. n=n 0 n=n 0 Si b n converge et a n b n pour tout n n 0, alors n=n 0 converge aussi. Si b n diverge et a n b n pour tout n n 0, alors n=n 0 diverge aussi. n=n 0 a n n=n 0 a n 19 / 53

20 Tests de l intégrale et de comparaison Forme limite du test de comparaison Soit a n et b n des séries à termes positifs. Si n=n 0 n=n 0 a n lim = c et c > 0, n b n alors a n et b n convergent toutes les deux ou divergent n=n 0 n=n 0 toutes les deux. 20 / 53

21 Autres tests de convergence Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 21 / 53

22 Autres tests de convergence Définition : série alternée Une série alternée est de la forme n=n 0 ( 1) n 1 b n ou n=n 0 ( 1) n b n avec b n > 0 pour tout n n 0. Par exemple, la série harmonique alternée est ( 1) n 1 = 1 1 n n=1 22 / 53

23 Autres tests de convergence Test des séries alternées (de Leibniz) Si b n b n+1 pour tout n n 0 et lim b n = 0, alors n converge. Estimation du reste Si b n b n+1 pour tout n n 0 et lim n b n = 0, alors R k = s s k b k+1. n=n 0 a n 23 / 53

24 Autres tests de convergence Définition : convergence absolue Une série a n est dite absolument convergente si a n est n=n 0 n=n 0 convergente. Théorème Une série a n absolument convergente est convergente. n=n 0 Remarque Il existe des séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. 24 / 53

25 Autres tests de convergence Test du rapport (d Alembert) Si lim a n+1 n a n = L < 1, alors a n est absolument n=n 0 convergente. Si lim a n+1 n a n = L > 1 ou lim a n+1 n a n =, alors a n est n=n 0 divergente. Si la limite n existe pas ( ) ou est égale à 1, alors on ne peut rien conclure sur la convergence de la série. 25 / 53

26 Autres tests de convergence Test de Cauchy n Si lim an = L < 1, alors a n est absolument n n=n 0 convergente. n n Si lim an = L > 1 ou lim an =, alors a n est n n n=n 0 divergente. Si la limite n existe pas ( ) ou est égale à 1, alors on ne peut rien conclure sur la convergence de la série. 26 / 53

27 Les séries entières Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 27 / 53

28 Les séries entières Définition : série entière Une série entière centrée en a s écrit c n (x a) n = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) n=0 où a et c n, n 0, sont des constantes et x une variable. La somme de cette série f (x) = c n (x a) n est donc une fonction. n=0 Remarque f (a) = c n (a a) n = c 0. Par conséquent, la série converge n=0 toujours pour x = a. 28 / 53

29 Les séries entières Théorème Pour une série entière c n (x a) n, il y a trois cas possibles : n=0 1 Elle converge seulement en x = a. 2 Elle converge pour tout x R. 3 Il existe un nombre R tel que la série converge pour x a < R et diverge pour x a > R. Remarque Dans le cas 3, la série peut être convergente ou divergente en x = a ± R. Il faut vérifier ces deux points séparément. 29 / 53

30 Les séries entières Définition : rayon de convergence R est appelé le rayon de convergence. Définition : intervalle de convergence Les valeurs de x pour lesquelles la série converge définissent l intervalle de convergence. Il est noté I et est donné par I = [a R, a + R], ]a R, a + R], [a R, a + R[ ou ]a R, a + R[. Dans le cas 2, on écrit I =], [ ou I = R. Dans le cas 1, on a I = [a, a]. 30 / 53

31 Développement des fonctions en séries entières Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 31 / 53

32 Développement des fonctions en séries entières Des fonctions peuvent s écrire comme des séries entières. Par exemple, à partir de la série géométrique, on déduit que f (x) = 1 1 x = 1 + x + x = x n pour x < 1. n=0 En utilisant des transformations de la série géométrique, on peut écrire d autres fonctions en séries entières. Par exemple, f (x) = x = 1 4 ( 1 4 )n x n pour x 4 < 1. n=0 32 / 53

33 Développement des fonctions en séries entières Théorème Si c n (x a) n a un rayon de convergence R > 0, alors la n=0 fonction f (x) = c n (x a) n est dérivable sur l intervalle ]a R, a + R[ et n=0 f (x) = c 1 +2c 2 (x a) +3c 3 (x a) = nc n (x a) n 1 n=1 f (x) dx = K + c0 (x a) + c 1 2 (x a) 2 + c 2 3 (x a) = K + c n n+1 (x a)n+1. n=0 Le rayon de convergence de ces deux séries est aussi R (le comportement aux bornes de l intervalle peut toutefois changer). 33 / 53

34 Séries de Taylor et MacLaurin Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 34 / 53

35 Séries de Taylor et MacLaurin Théorème Si une fonction f (x) admet une représentation en série entière centrée en a pour x a < R, alors f (x) = n=0 f (n) (a) (x a) n pour x a < R. n! Définitions : séries de Taylor et de MacLaurin Cette série est appelée la série de Taylor de f centrée en a. Lorsque a = 0, la série est aussi appelée la série de MacLaurin de f. 35 / 53

36 Séries de Taylor et MacLaurin Définition : polynôme de Taylor Le polynôme de Taylor de degré n de f (x) centré en a est T n (x) = n i=0 f (i) (a) (x a) i. i! Observation Pour x R donné, f (x) = n=0 f (n) (a) n! (x a) n si f (x) = lim n T n(x). 36 / 53

37 Séries de Taylor et MacLaurin Définition : reste du polynôme de Taylor Le reste du polynôme de Taylor de degré n, noté R n (x), est Théorème R n (x) = f (x) T n (x). Si lim R n(x) = 0 pour x a < R, alors n f (x) = f (n) (a) n! (x a) n pour x a < R. n=0 37 / 53

38 Séries de Taylor et MacLaurin Pour démontrer que lim n R n(x) = 0, on peut se servir de l inégalité suivante. Théorème (inégalité de Taylor) Si f (n+1) (x) M pour x a < d, alors R n (x) M (n + 1)! x a n+1 pour x a < d. Dans cette inégalité, M peut dépendre de n. Résultat utile x n lim n n! = 0 x R. 38 / 53

39 Séries de Taylor et MacLaurin Quelques séries de base e x = x n n! = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... n=0 sin x = ( 1) n x2n+1 (2n+1)! = x x3 n=0 cos x = ( 1) n x2n (2n)! = 1 x2 n=0 3! + x5 5! x7 2! + x4 4! x6 Pour ces trois séries, R = et I = R. 7! ! / 53

40 Les nombres complexes Table des matières 1 Les suites infinies Les séries Tests de l intégrale et de comparaison Autres tests de convergence Les séries entières Développement des fonctions en séries entières Séries de Taylor et MacLaurin Les nombres complexes 40 / 53

41 Les nombres complexes Les nombres complexes sont une généralisation des nombres réels. Ils ont été inventés pour combler les failles des nombres réels pour les fonctions telles que, ln,... Dans plusieurs cas, les nombres complexes facilitent la résolution de problèmes d ingénierie. 41 / 53

42 Les nombres complexes Définition : nombre complexe Un nombre complexe se représente sous la forme z = a + bi où a et b sont des réels et i est un symbole tel que i 2 = 1. i est appelé le nombre imaginaire. a est appelé la partie réelle de z et notée Re(z). b est appelé la partie imaginaire de z et notée Im(z). C = {a + bi a, b R} est l ensemble des nombres complexes. Remarque Un nombre réel a est aussi un nombre complexe avec b = / 53

43 Les nombres complexes Les nombres complexes peuvent se représenter dans un plan (partie réelle sur l axe horizontal, partie imaginaire sur l axe vertical). Quelques propriétés Soit a + bi et c + di deux nombres complexes. a + bi = c + di si et seulement si a = c et b = d (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i 43 / 53

44 Les nombres complexes Définition : conjugué complexe Soit z = a + bi un nombre complexe. Le conjugué complexe de z est z = a + bi = a bi. Quelques lois Soit z et w deux nombres complexes. z + w = z + w zw = z w (z n ) = (z) n 44 / 53

45 Les nombres complexes Division de nombres complexes Pour faire une division de nombres complexes, on doit multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Par exemple : 3 + 2i 2 4i = Convention c = c i pour c > 0. (3 + 2i) (2 4i) (2 + 4i) (2 + 4i) = i. 45 / 53

46 Les nombres complexes Racines d un polynôme de degré 2 Le polynôme ax 2 + bx + c possède les racines même si b 2 4ac < 0. x = b ± b 2 4ac 2a Si z = α + βi, β 0, est racine, alors z = α βi est aussi racine. 46 / 53

47 Les nombres complexes Théorème fondamental de l algèbre Soit P n (x) = n c j x j un polynôme de degré n tel que c j R, j=0 j = 0, 1,..., n, et c n 0. Alors il existe n nombres complexes z 1, z 2,..., z n (possiblement identiques) tels que P n (x) = c n (x z 1 )(x z 2 )... (x z n ). 47 / 53

48 Les nombres complexes Définition : forme polaire La forme polaire d un nombre complexe z = a + bi est z = r(cos θ + i sin θ) où r = z = a 2 + b 2 est le module de z, θ est l argument de z : il satisfait sin θ = b r n est pas unique. et cos θ = a r et 48 / 53

49 Les nombres complexes Multiplication sous forme polaire Si z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) et z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ), alors z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )). Formule de de Moivre Si z = r(cos θ + i sin θ), alors z n = r n (cos(nθ) + i sin(nθ)). 49 / 53

50 Les nombres complexes Division sous forme polaire Si z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) et z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ), alors z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )) si z 2 0. Inverse sous forme polaire Si z = r(cos θ + i sin θ) 0, alors 1 z = 1 (cos θ i sin θ). r 50 / 53

51 Les nombres complexes Racines d un nombre complexe Soit z = r(cos θ + i sin θ) un nombre complexe. Quelles sont les racines n e de z? On cherche donc n nombres complexes w 0, w 1,..., w n 1 tels que (w k ) n = z pour k = 0, 1,..., n 1. Ces nombres sont : w k = r 1 n ( cos (θ + 2kπ n ) (θ + 2kπ )) +i sin, k = 0, 1,..., n 1. n 51 / 53

52 Les nombres complexes Définition : fonction exponentielle complexe Soit z un nombre complexe. Alors Une propriété e z = n=0 z n n! = 1 + z + z2 2! + z3 3! +... Soit z 1 et z 2 des nombres complexes. Alors e z 1+z 2 = e z 1 e z / 53

53 Les nombres complexes Formule d Euler e iθ = cos θ + i sin θ On peut donc écrire z = r(cos θ + i sin θ) = re iθ. D où ln z = ln re iθ = ln r + iθ. 53 / 53