Section droite d une poutre : caractéristiques et contraintes

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1 Section droite d une poutre : caractéristiques et contraintes Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique 6 juin mars 011 Table des matières 1 Caractéristiques 1.1 Définitions Centre de gravité Moments quadratiques utres caractéristiques Calculs Calcul de, M y, M z, I y, I z et I yz Calcul de β Y et β Z Calcul des fonctions de gauchissement Calcul des modules plastiques W pl,y et W pl,z Contraintes 10 Références 11

2 Caractéristiques et contraintes 1 Caractéristiques 1.1 Définitions Soient une section droite et {O; yz} un repère orthonormé du plan de la section. On appelle aire de la section la quantité : = Centre de gravité d, d = dy dz (1.1) On appelle centre de gravité de la section, le point G dont les coordonnées y G et z G sont définies par les relations : (z z G ) d = 0, (y y G ) d = 0 (1.) d où : où : M y = y G = M z, z G = M y z d, M z = sont les moments statiques de la section par rapport aux axes y et z. Le point G est indépendant du choix du repère {O; yz} Moments quadratiques (1.3) y d (1.4) On appelle moments quadratiques de la section par rapport aux axes y et z, les quantités : I y = z d, I z = y d, I yz = yz d (1.5) Si l un des axes est un axe de symétrie, I yz = 0. Translation des axes : soit {G; y z } le repère parallèle à {O; yz} ; on a les relations : y = y y G, z = z z G, y d = 0, z d = 0 (1.6) d où (théorème de Huygens) : I y = I y z G, I z = I z y G, I y z = I yz y G z G (1.7)

3 Section droite d une poutre 3 Rotation des axes : soit le repère orthonormé {G; y z } faisant un angle α avec le repère {G; y z }. On a les relations : { } [ ] { } y cos α sin α y z sin α cos α z d où : I y (α) = z d = ( y sin α + z cos α) d = I y cos α + I z sin α I y z cos α sin α (1.8) (1.9a) = I y + I z Par un calcul analogue, on obtient : I z (α) = et : I y z (α) = + I y I z y d = I y + I z cos α I y z I y I z y z d = I y I z sin α cos α + I y z sin α (1.9b) sin α + I y z cos α (1.9c) Repère central principal : le repère {G; y z } est le repère principal en G si I y z = 0, c est à dire si α = α 0 tel que : tan α 0 = I y z I z I y (1.10) Les quantités I Y = I y (α 0 ) et I Z = I z (α 0 ) sont les moments quadratiques centraux principaux ; le repère {G; Y Z} est le repère central principal. Remarques : si y ou z est un axe de symétrie, le repère {G; y z } est le repère principal en G. le moment quadratique I y (α) peut s écrire : I y (α) = { cos α sin α } [ ] { } I y I y z cos α I y z I (1.11) z sin α [ ] Iy I Les axes Y et Z sont donc les directions principales de la matrice y z I y z I, d où (cours z d élasticité) : } I Y = I max = I y + I z ± 1 (I I Z = I y I z ) min + 4 Iy z (1.1) et : tan α Y = I y I Y, tan α Z = I y I Z (α Z = α Y + π/) (1.13) I y z I y z

4 4 Caractéristiques et contraintes utres caractéristiques Le module RDM-Ossatures évalue les quantités suivantes : le moment d inertie polaire (moment de la surface par rapport au centre de gravité) : ( I p = Y + Z ) d = I Y + I Z (1.14) les constantes de stabilité : β Y = Y (Y + Z ) d β Z = les modules plastiques : W pl,y = Z Z p d W pl,z = Z (Y + Z ) d (1.15) Y Y p d (1.16) où les droites Y = Y p et Z = Z p séparent la surface de la section droite en deux surfaces égales. les rayons de girations : i Y = IY i IZ Z = i IO O = (1.17) La constante de torsion de Saint Venant est égale à : ( J = Y ω Z Z ω ) Y + Y + Z d (1.18) où ω(y, Z) est la fonction de gauchissement de torsion. Si la section est circulaire (pleine ou creuse), ω est nul et J se réduit au moment d inertie polaire I p. Le centre de cisaillement/torsion est le point de la section qui reste fixe lorsque la force élastique sur la section se réduit à un moment de torsion. Il est défini par : Y C = 1 Z ω d, Z C = 1 Y ω d (1.19) I Y I Z Le moment d inertie de rotation (moment de la surface par rapport au centre de cisaillement) est égal à : ( I r = (Y YC ) + (Z Z C ) ) d = (YC + ZC) + I p (1.0) La constante de gauchissement est définie par : I ω = ω d (1.1)

5 Section droite d une poutre 5 La constante de stabilité β ω est définie par : β ω = ω (Y + Z ) d (1.) Les études de stabilité utilisent les coefficients : Y β = β Y I Z Y C, Z β = β Z I Y Z C (1.3) L énergie de déformation linéique due à l effort tranchant est égale à : T Y G k Y + T Z G k Z (1.4) où k Y et k Z sont les coefficients d aire cisaillée. Ces coefficients sont définis par : k Y = 1 g Y d, k Z = 1 h Z d (1.5) I Z I Y où g et h les fonctions de gauchissement associées aux efforts tranchants T Y et T Z. Y = k Y est l aire cisaillée suivant Y et Z = k Z est l aire cisaillée suivant Z. Certains auteurs appellent coefficients de cisaillement les quantités : k Y = 1/k Y, kz = 1/k Z (1.6) 1. Calculs 1..1 Calcul de, M y, M z, I y, I z et I yz Ces quantités sont calculées par intégration sur le contour extérieur de la section par utilisation de la formule de Green qui permet la transformation d une intégrale double en intégrale simple de contour : ( M y N ) d = N dy + M dz (1.7) z Par exemple, le calcul de I y s effectue en posant N = 0 et M = y z d où : I y = y z dz De même : = y dz, M y = yz dz, M z = yz dy I z = zy dy, I yz = 1 y z dz (1.8a) (1.8b)

6 6 Caractéristiques et contraintes Contribution d un segment : Soit l élément de contour d origine 1 (y 1, z 1 ) et d extrémité (y, z ) : avec : N 1 = 1 ξ { y = N1 y 1 + N y z = N 1 z 1 + N z, N = 1 + ξ, N 1 = 1 dy = y ξ dξ = ( N 1 y 1 + N y ) dξ dz = z ξ dξ = ( N 1 z 1 + N z ) dξ, N = 1 (1.9a), 1 ξ 1 (1.9b) La contribution du segment 1 à chacune des quantités recherchées est de la forme : 1 et est calculée numériquement par la méthode de Gauss : f(ξ) dξ (1.30) npi f(ξ) dξ f(ξ i ) w i (1.31) où npi, w i et ξ i sont respectivement le nombre de points d intégration, le poids et l abscisse du i e point d intégration. i=1 Contribution d un cercle : La contribution du cercle de centre C(y C, z C ), de rayon R et parcouru dans le sens trigonométrique aux quantités recherchées est égale à : = π R M y = z C, M z = y C ( ) ( ) R R I y = 4 + z C, I z = 4 + y C, I yz = y C z C (1.3)

7 Section droite d une poutre 7 Contribution d un arc de cercle : La contribution de l arc de cercle d origine 1 (y 1, z 1 ), d extrémité (y, z ), de centre C (y C, z C ) et parcouru dans le sens trigonométrique à l aire (I y,... ) est égale à l aire (I y,... ) du segment circulaire (S) moins la contribution à l aire (I y,... ) du segment 1. Soient R le rayon de l arc, α son angle au centre et L la longueur de sa corde. Soient G le centre de gravité de (S), G a et G b les axes centraux principaux de (S). Introduisons les axes G u et G v parallèles respectivement aux axes y et z. On a les relations : S = 1 R (α sin α), d = CG = L3 1 S Ia S = R4 8 (α sin α cos α) d S, Ib S = R4 (3 α 4 sin α + sin α cos α) 4 (1.33) Posons : c = cos θ = y 1 y L, s = sin θ = z 1 z L, L = (y y 1 ) + (z z 1 ) Les quantités recherchées sont : { M S y = z G S Mz S = y G S, I S y = I S u + z G S I S z = I S v + y G S I S yz = I S uv + y G z G S (1.34a) où : { yg = y C s d z G = z C + c d, I S u = I S a c + I S b s I S v = I S a s + I S b c I S uv = I S a c s + I S b c s (1.34b) Remarque : si l angle de l arc est très petit, l arc est remplacé par un élément de contour quadratique. Contribution d un élément de contour quadratique : Soit l élément de contour quadratique d origine 1 (y 1, z 1 ), de milieu (y, z ) et d extrémité 3 (y 3, z 3 ) :

8 8 Caractéristiques et contraintes { y = N1 y 1 + N y + N 3 y 3 z = N 1 z 1 + N z + N 3 z 3, avec : ξ (1 ξ) N 1 = N 1 = 1 + ξ, N = 1 ξ, N 3 = dy = y ξ dξ = ( N 1 y 1 + N y + N 3 y 3 ) dξ dz = z ξ dξ = ( N 1 z 1 + N z + N 3 z 3 ) dξ, N = ξ, N 3 = 1 + ξ ξ (1 + ξ) (1.35a), 1 ξ 1 (1.35b) La contribution de l élément 1 3 à chacune des quantités recherchées est calculée numériquement par quadrature de Gauss ( Contribution d un segment). 1.. Calcul de β Y et β Z Ces quantités sont calculées par intégration sur le contour extérieur : β Y = Z Y 3 dy + Y Z dz, β Z = Y Z dy + Y Z 3 dz (1.36) Le contour est discrétisé en éléments quadratiques. La contribution d un élément à chacune des quantités recherchées est calculée numériquement par la méthode de Gauss Calcul des fonctions de gauchissement Gauchissement dû à la torsion ( : La fonction de gauchissement de torsion ω(y, Z) est la solution du problème : ω Y + ω Z = 0 (1.37a)

9 Section droite d une poutre 9 sur le domaine de la section avec la condition aux limites : ω Y n Y + ω Z n Z = Z n Y Y n Z (1.37b) sur le contour extérieur ( τ. n = 0) et la condition d unicité : ω d = 0 (1.37c) où n Y et n Z sont les cosinus directeurs de la normale extérieure au contour. Gauchissement dû à l effort tranchant : La fonction de gauchissement d effort tranchant suivant Y : g(y, Z) est la solution de l équation : g Y + g Z = Y I Z (1.38a) sur le domaine de la section avec la condition aux limites : g Y n Y + g Z n Z = 0 (1.38b) sur le contour extérieur ( τ. n = 0) et la condition d unicité : g d = 0 (1.38c) De même, la fonction de gauchissement d effort tranchant suivant Z : h(y, Z) est la solution de l équation : h Y + h Z = I Y Z sur le domaine de la section avec la condition aux limites : (1.39a) h Y n Y + h Z n Z = 0 (1.39b) sur le contour extérieur ( τ. n = 0) et la condition d unicité : h d = 0 (1.39c) Ces problèmes sont résolus par la méthode des éléments finis après triangulation de la section par la méthode de Delaunay. Les éléments utilisés reposent sur une formulation déplacement Calcul des modules plastiques W pl,y et W pl,z Ces quantités sont évaluées en utilisant le maillage de la section.

10 10 Caractéristiques et contraintes Contraintes G est le centre de gravité de la section. L axe X est la fibre moyenne de la poutre et {G; Y Z} est le repère central principal de la section. Soit [ N TY T Z Mt Mf Y Mf Z ] la force intérieure qui s exerce sur la section. u point M(Y, Z), le tenseur des contraintes a pour expression : où la contrainte normale est égale à : σ XX σ XY σ XZ [σ(m)] = σ XY 0 0 (.1) σ XZ 0 0 σ XX = N + Z Mf Y I Y Y Mf Z I Z (.) et les contraintes de cisaillement sont égales à : σ XY = Mt J σ XZ = Mt J ( ) ω Y Z ( ω Z + Y + T Y ) + T Y g Y + T Z h Y g Z + T Z h Z et T Z ( Carac- où ω, g et h sont respectivement les fonctions de gauchissement associées à Mt, T Y téristiques d une section droite). (.3) On en déduit : les contraintes principales : { σ1 σ σ 3 = 0 = σ XX ± 1 σxx + 4 τ avec τ = σxy + σxz (.4) Remarque : on a la relation : σ σ 3 = 0 σ 1 (.5)

11 Section droite d une poutre 11 la contrainte équivalente de Von Mises : σ VM = σxx + 3 τ la contrainte équivalente de Tresca : Références σ T = σ XX + 4 τ [1] J.-L. Batoz et G. Dhatt Modélisation des structures par éléments finis, Volume 1. Solides élastiques, Hermès, [], Modélisation des structures par éléments finis, Volume. Poutres et plaques, Hermès, [3] J. Courbon Résistance des matériaux, Tome 1, éd., Dunod, [4], Résistance des matériaux, Tome, Dunod, [5] G. Cowper The shear coefficient in Timoshenko s beam theory, Journal of pplied Mechanics, SME 33 (1966), p [6] Z. Friedman et J. Kosmatka Torsion and flexure of a prismatic isotropic beam using the boundary element method, Computers & Structures 74 (000), p [7] D. Gay Matériaux composites, Hermès, [8] D. Gay et J. Gambelin Dimensionnement des structures. Une introduction, Hermès, [9] F. Gruttman, R. Sauer et W. Wagner Shear stresses in prismatic beams with arbitrary cross-sections, International Journal for Numerical Methods in Engineering 45 (1999), p [10] L. Hermann Elastic torsional analysis of irregular shapes, Journal of the Engineering Mechanics Division, SCE 91 (1965), p [11] S. Laroze Mécanique des structures, Tome. Théorie des poutres, éd., Eyrolles/Masson, [1] S. Laroze et J.-J. Barrau Mécanique des structures, Tome 4. Calcul des structures en matériaux composites, Eyrolles/Masson, [13] J. Mandel Détermination du centre de torsion à l aide du théorème de réciprocité, nnales des Ponts et Chaussées 118 (1948), p [14] T. Nouri, D. Gay et J. Cieaux Homogénéisation et contraintes de cisaillement dans une poutre composite à phases orthotropes, Revue des composites et des matériaux avancés (199), no., p [15] W. D. Pilkey nalysis and Design of Elastic Beams. Computational Methods, Wiley, 00. [16] K. Surana Isoparametric elements for cross-sectional properties and stress analysis of beams, International Journal for Numerical Methods in Engineering 14 (1979), p [17] W. Wagner et F. Gruttman Finite element analysis of Saint-Venant torsion problem with exact integration of the elastic-plastic constitutive equations, Computer Methods in pplied Mechanics and Engineering 190 (001), p