Activités numériques sur 12 points. Fonction : image et antécédents. Exercice 2 Décomposition d un multiple de 4

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1 Activités numériques sur 12 points Rappels : Exercice 1 Fonction : image et antécédents L image d un nombre par une fonction se lit sur l axe des ordonnées (axe vertical). Le ou les antécédents d un nombre par une fonction se lit(sent) sur l axe des abscisses (axe horizontal) quand il en existe. 1) L image par h du nombre 8 est 2. 2) h( 1) = 3 3) Les antécédents par h du nombre 0 sont 3 et 7. 4) Les antécédents par h du nombre 2 sont -2 ; 0 ; 2 et 8. 5) x et 6 h(x) Exercice 2 Décomposition d un multiple de 4 1) 7² 5² = = 16 = 4 4 donc, le nombre 7² 5² est un multiple de 4. 10² 8² = = 36 = 4 9 donc, le nombre 10² 8² est un multiple de 4. 25² 23² = = 96 = 4 24 donc, le nombre 25² 23² est un multiple de 4. On peut conjecturer que : ( n +2 )² n² est un multiple de 4 pour tout nombre n. 2) Démontrons la conjecture précédente. ( n +2 )² n² = ( n² + 4n + 4 ) n² = 4n + 4 = 4( n + 1 ) = 4 ( n + 1 ) Par conséquent, le nombre (n+2)² n² est un multiple de 4 pour tout nombre n.

2 3) Décomposition du nombre 52. De la question précédente, on peut affirmer qu un multiple de 4 peut s écrire sous la forme d une différence de deux carrés. Montrons tout d abord que 52 est un multiple de 4. Comme 52 = 4 13, le nombre 52 est un multiple de 4 donc on peut utiliser la question précédente à savoir que 4 ( n + 1 ) = ( n + 2 )² n². 52 = 4 13 = 4 ( ) = ( )² 12² = 14² 12² Par conséquent, le nombre 52 s écrit comme la différence de deux carrés d entiers. Exercice 3 Question de pourcentage Il ne fallait pas répondre trop rapidement! Il fallait bien lire l énoncé et bien observer les deux diagrammes circulaires et les légendes associées. Déjà, il fallait remarquer que les deux villes ne comptaient pas le même nombre de voitures, donc on ne peut pas comparer les secteurs circulaires des deux diagrammes donnés! Calculons le nombre de voitures blanches dans chaque ville en utilisant le pourcentage correspondant. Faire attention à la légende du diagramme et plus particulièrement aux hachures associées aux couleurs! Dans la ville A, il y a 25% de voitures blanches. 25% de voitures correspond au calcul Dans la ville A, il y a voitures blanches. Dans la ville B, il y a 60% de voitures blanches. 60% de voitures correspond au calcul Dans la ville B, il y a voitures blanches. Par suite, il y a plus de voitures blanches dans la ville A que dans la ville B. Et, par conséquent, l élève n a pas raison.

3 Activités géométriques sur 12 points Exercice 1 Octogone et Disque dans un carré 1) Dans la figure ci-contre : ABCD est un carré de côté 9cm AI = IJ = JB = 3cm BK = KL = LC = 3cm CM = MN = ND = 3cm DO = OP = PA = 3cm Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en S Le cercle a pour centre S et de diamètre 9cm. 2) Pour calculer la longueur JK, je vais utiliser la propriété de Pythagore dans le triangle JBK rectangle en B. «Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.» Comme le triangle JBK est rectangle en B, je peux utiliser la propriété de Pythagore et écrire : JK² = JB² + BK² d où JK² = (3c + (3c = = 18c donc, JK= La longueur JK est cm. Ou encore, JK= question supplémentaire : L octogone IJKLMNOP est-il régulier? Rappel : Un polygone est régulier si tous ses côtés ont la même longueur. Comme JK IJ, l octogone n est pas régulier.

4 3) Pour calculer l aire de l octogone IJKLMNOP, je vais décomposer le calcul comme indiqué ci-dessous : = - aire de l octogone IJKLMNOP A= aire du carré ABCD L aire de l octogone IJKLMNOP est de 63cm². aire des 4 triangles 4) J utilise la formule suivante : A disque Le diamètre du disque est 9cm donc son rayon est de 4,5cm A d = La valeur exacte de l aire du disque est. Pour le nombre la calculatrice affiche 63, L aire du disque est de 63,6 cm² à 0,1cm² près. L aire du disque est de 63,62 cm² à 1mm² près. Or, l aire de l octogone est de 63cm². Par conséquent, l aire du disque est supérieure à l aire de l octogone. Exercice 2 des calculs de Volumes 1) J utilise la formule suivante : V cylindre Le diamètre du disque de base est 4cm donc le rayon est de 2cm V 1 = La valeur exacte du volume du cylindre est de.

5 Le volume de ce verre est de 113 à 1 près. 2) La capacité d un verre est d environ 11,3cL et la capacité de la bouteille est de 70cL. Avec une bouteille de 70cL, on peut remplir 6 verres entièrement. Exercice 3 Triangle et angle 1) Pour démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles, je vais utiliser la réciproque de la propriété de Thalès Si les quotients et sont égaux et si les points D, C, A et les points E, C,B sont alignés dans ce même ordre alors les droites (DE) et (AB) sont parallèles. Comme les points D, C, A sont alignés, CD = AD AC = 12,6cm 7cm = 5,6cm. Comme les points E, C, B sont alignés, CB = BE CE = 10,8cm 4,8cm = 6cm. D une part, D autre part, = Donc, = Comme les quotients et sont égaux et comme les points D, C, A et les points E, C, B sont alignés dans ce même ordre alors je peux conclure que les droites (DE) et (AB) sont parallèles d après la réciproque de la propriété de Thalès.

6 2) Dans tout triangle ABC, on a la formule suivante : Pour déterminer la mesure de l angle, on va utiliser la formule valable dans tout triangle. Dans le triangle CBA, on connait : a = CB = 6cm et b= CA= 7cm et cherche la mesure de l angle. 53 et on On a donc l égalité Les produits en croix sont égaux D où Avec la calculatrice, on trouve un angle d environ 43, L angle mesure 43 à 1 près. Remarque 1: Avec les nouvelles calculatrices, on peut taper la séquence suivante seconde sin 6 sin 5 3 ) 7 ) EXE Sur l écran de la calculatrice, apparait le calcul Remarque 2: La formule de Héron d Alexandrie donne l aire d un triangle. Dans tout triangle ABC, on a la formule suivante : Aire (ABC) = où est le demi-périmètre du triangle ABC

7 Problème sur 12 points Première épreuve : la descente en tyrolienne Le quadrilatère AMEB a 3 angles droits donc c est un rectangle et par suite les côtés [AB] et [ME] ont la même longueur ainsi AB = ME. Pour calculer la longueur ME, je vais utiliser la trigonométrie dans le triangle DME rectangle en M. d où ME = m donc AB=69,73m à 1cm près. La distance entre les deux arbres est de 69,73m à 1cm près.

8 Deuxième épreuve : le parcours du cross 1) Comme le triangle FBC est rectangle en B, je peux utiliser la propriété de Pythagore et écrire : FC² = FB² + BC² d où FC² = (300 + (400 = = donc, FC= = 500 m La longueur FC est de 500m. 2) Pour calculer la longueur DF, je vais utiliser la propriété de Thalès dans les triangles BFC et BGH. Si, dans les triangles BFC et BGH, les droites (FC) et (GH) sont parallèles alors les longueurs des côtés de ces triangles sont proportionnelles c-à-d que : Dans les triangles BFC et BGH, étant donné que F [BG] et C [BH] et comme les droites (FC) et (GH) sont parallèles, je peux utiliser la propriété de Thalès et écrire : (*) Comme les points B, C et H sont alignés, on a BH = BC + CH = 400m + 800m = 1200m d où On peut déduire que : La longueur BG est de 900m Comme les points B, F et G sont alignés, on a FG = BG BF = 900m 300m = 600m La longueur FG est de 600m 3) Pour calculer la longueur GH, je vais utiliser les égalités (*) obtenues à la question précédente. d où On peut déduire que : La longueur GH est de 1500m (*)

9 Remarque : On pouvait aussi appliquer la propriété de Pythagore dans le triangle GBH rectangle en B. GH² = GB² + BH² d où GH² = (900 + (1200 = = Donc GH = m = 1 500m 4) Pour calculer la longueur totale du parcours entre D et H, je vais additionner 6 longueurs L = DE + EB + BC + CF + FG + GH L = 70m + 5m + 400m + 500m + 600m m =3 075m La longueur totale du parcours entre D et H est de 3 075m. 5) Calcul de la vitesse de l élève 1 ère méthode en raisonnant sur les durées En 15minutes, l élève a parcouru une distance de 3 075m ; or 1h = 60min = 4 15min Donc en une heure, il aura parcouru une distance 4 fois plus grande soit = m m = 12,3km L élève a parcouru 12,3km en 1h ce qui signifie que sa vitesse est de 12,3km/h. 2 ème méthode en utilisant la formule de la vitesse Distance parcourue : 3 075m = 3,075km Durée du parcours : 15min = 0,25h Si la distance de l épreuve en VTT représente les Troisième épreuve : le parcours en VTT distance totale de la première et de la deuxième épreuve représente de la distance totale de la compétition alors la de la distance totale de la compétition m du parcours total Il suffit donc de multiplier par 3 la distance 3 075m pour obtenir la distance à faire en VTT m 3 = 9 225m La distance à parcourir en VTT est de 9 225m (distance que l on retrouve sur le graphique ci-dessous)

10 Des lectures graphiques Nicolas a pris son VTT orange à 14H. 1) A quelle heure Cyril a-t-il pris son VTT gris? 14h10 2) A quelle heure Nicolas et Cyril se sont-ils rencontrés? 14h15.. 3) A quelle distance du point H Nicolas et Cyril se sont-ils rencontrés? environ 1550m 4) A quelle heure Nicolas et Cyril sont-ils arrivés? 15h20 5) Qui a été le plus rapide? Cyril c est de la logique! Cyril est parti après Nicolas et ils arrivent ensemble!! Questions complémentaires : 1) Déterminer la vitesse moyenne de Nicolas en VTT Durée sur le parcours pour Nicolas 15h20 14h =1h20= 1h+ = V Nicolas 6,92 km/h 2) Déterminer la vitesse moyenne de Cyril en VTT Durée sur le parcours pour Cyril 15h20 14h10 =1h10= 1h+ = V Cyril 7,91 km/h 3) Commenter leur allure sur le parcours en VTT. Nicolas a roulé de façon presque uniforme sur l ensemble du parcours tandis que Cyril a roulé plus vite dès le départ, puis il a ralenti, puis il a accéléré jusqu à l arrivée en A.