COURS. Demi-droite d origine Segment d extrémités Droite A et B (AB) ou (d) [AB) [AB]

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1 EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES PARALLELISME, PERPENDICULARITE, FIGURES PLANES ELEMENTAIRES COURS Objectifs du chapitre : Reconnaître et construire les figures de base de la géométrie Caractériser, reconnaître et décrire des figures géométriques à l aide de propriétés géométriques Reproduire ou construire des figures géométriques à l aide de différents instruments en utilisant un logiciel de géométrie dynamique 4 étapes pour décrire une figure : Repérer les figures de base (segment, droites, droites parallèles, droites perpendiculaires, triangles particuliers, etc.) qui constituent la figure. Aide : arriver à isoler des figures simples dans des figures complexes Repérer les liens (ou les relations) entre les figures de base Aide : faire des choix sur les figures qui vont servir à réaliser la figure Etablir une chronologie pour tracer les différentes configurations Aide : faire des essais au brouillon Communiquer les différentes étapes de la construction Aide : utiliser un vocabulaire précis (le milieu d un segment et non d une droite, on trace la perpendiculaire à une droite passant par un point, ) 1. Droite, demi-droite, segment Demi-droite d origine Segment d extrémités Droite A passant par B A et B (AB) ou (d) [AB) [AB] AB représente la longueur du segment [AB], c est-à-dire la distance de A à B. Parallélisme, perpendicularité, figures planes élémentaires : cours 1 9

2 2. Cercle, disque En rouge : cercle de centre O et de rayon r En vert : disque de centre O et de rayon r En bleu : petit arc de cercle PQ En noir : grand arc de cercle PQ 3. Droites particulières a. Droites perpendiculaires Construisons la perpendiculaire à (d) passant par A : Avec l équerre : Avec le compas : b. Droites parallèles Construisons la parallèle à (d) passant par A : Avec l équerre : Avec le compas : Parallélisme, perpendicularité, figures planes élémentaires : cours 2 9

3 c. Médiatrice d un segment C est la droite perpendiculaire au segment, passant par son milieu. Construisons la médiatrice du segment [AB] : Avec l équerre : Avec le compas : Propriété : l ensemble des points de la médiatrice d un segment sont équidistants des extrémités de ce segment (Si M est sur la médiatrice de [AB], alors MA=MB) d. Tangente à un cercle La tangente au cercle de centre C en un point M est la droite perpendiculaire au rayon [CM], passant par M. La tangente à un cercle en M n a que le point M comme point commun avec le cercle. e. Bissectrice d un angle La bissectrice d un angle est la droite qui passe par le sommet de l angle et qui partage l angle en deux angles de même mesure. Parallélisme, perpendicularité, figures planes élémentaires : cours 3 9

4 Construisons la bissectrice de l angle : Avec le rapporteur : Avec le compas : Propriété : l ensemble des points de la bissectrice d un angle sont équidistants des côtés de cet angle (Si M est sur la bissectrice de BAC, alors M est à même distance des droites (BA) et (BC), on obtient ces distances en traçant la perpendiculaire à (BA) puis à (BC) passant par M) 4. Angles Angle droit : sa mesure est de 90. Angle plat : sa mesure est de 180. Angle aigu : sa mesure est inférieure à un angle droit. Angle obtus : sa mesure est supérieure à un angle droit (mais inférieure à un angle plat). Angle saillant : sa mesure est inférieure à un angle plat. Angle rentrant : sa mesure est supérieure à un angle plat. Angles complémentaires : deux angles dont la somme de leur mesure est de 90. Angles supplémentaires : deux angles dont la somme de leur mesure est égale à 180. Angles adjacents : deux angles ayant un sommet et un côté en commun (étant situés de part et d autre du côté commun) Angles opposés par le sommet : deux angles ayant un sommet commun et leurs côtés dans le prolongement l un de l autre Propriété : deux angles opposés par le sommet sont égaux Parallélisme, perpendicularité, figures planes élémentaires : cours 4 9

5 Angles alternes-internes : Propriété : deux angles alternes-internes formés par des droites parallèles sont égaux Angles correspondants : Propriété : deux angles correspondants formés par des droites parallèles sont égaux Angle au centre et angle inscrit : Angle au centre : Angle inscrit : Propriété : si un angle inscrit intercepte le même arc qu un angle au centre, alors l angle inscrit mesure la moitié de l angle au centre. Propriété : si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure. Parallélisme, perpendicularité, figures planes élémentaires : cours 5 9

6 5. Polygones a. Généralités Un polygone est une figure dont les côtés sont des segments. Un polygone à 3 côtés est un triangle. Un polygone à 4 côtés est un quadrilatère. Un polygone à 5 côtés est un pentagone. Un polygone à 6 côtés est un hexagone. Un polygone à 8 côtés est un octogone. Un polygone à 10 côtés est un décagone. Un polygone à 12 côtés est un dodécagone. Un polygone est convexe s il est tout entier situé du même côté que toutes les droites support de ses côtés. Sinon, il est dit concave ou non convexe. Un polygone est croisé si deux de ses côtés se coupent. Un polygone est régulier s il est inscriptible dans un cercle et que tous ses côtés ont la même longueur. Propriété : tous les angles d un polygone régulier sont de même mesure. Construisons un hexagone régulier : Parallélisme, perpendicularité, figures planes élémentaires : cours 6 9

7 b. Triangles Inégalité triangulaire : dans un triangle, la longueur de n importe quel côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. La somme des angles d un triangle est égale à 180. Droites particulières d un triangle Figure Définition Propriété Une hauteur d un triangle est une droite perpendiculaire à un côté, passant par le sommet opposé. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé l orthocentre. Une médiane d un triangle est une droite passant par le milieu d un côté et par le sommet opposé. Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité (il est situé aux 2/3 de la médiane en partant du sommet). Une médiatrice d un triangle est une médiatrice d un de ses côtés. Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle (cercle qui passe par les trois sommets du triangle). Une bissectrice d un triangle est une bissectrice d un de ses angles. Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle inscrit au triangle (cercle tangent aux trois côtés du triangle). Parallélisme, perpendicularité, figures planes élémentaires : cours 7 9

8 Triangles particuliers Figure Définition Propriété Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit. Le côté opposé à l angle droit est appelé l hypoténuse. Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse. Un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur. La hauteur issue de A est aussi la médiane issue de A, la médiatrice de [BC] et la bissectrice de. Les angles et sont de même mesure. Un triangle équilatéral est un triangle ayant ses trois côtés de même longueur Chaque hauteur est confondue avec une médiane, une médiatrice et une bissectrice. Les trois angles mesurent 60. Parallélisme, perpendicularité, figures planes élémentaires : cours 8 9

9 c. Quadrilatères particuliers Parallélogramme : quadrilatère ayant ses côtés parallèles deux à deux. Propriétés : les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. les côtés opposés d un parallélogramme sont de même longueur. Losange : quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur. Propriété : les diagonales d un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Rectangle : quadrilatère ayant trois angles droits. Propriété : les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu et sont de même longueur. Carré : quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur et un angle droit. Propriété : les diagonales d un carré se coupent en leur milieu, sont de même longueur et perpendiculaires. Propriété : losange, rectangle et carré sont des parallélogrammes particuliers : rectangle Parallélogramme carré losange Parallélisme, perpendicularité, figures planes élémentaires : cours 9 9