Première S chapitre 3 partie 3 opérations sur les fonctions dérivées

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1 1. Dérivée d'une somme u et v sont deux fonctions dérivables en x. Si ces deux conditions sont remplies alors : La fonction u + v est dérivable en x. Le nombre dérivé au point x de la somme u + v est la somme des nombres dérivés de u et v au point x. (u + v)' (x) u'(x) + v'(x) (u + v)' u' + v' Et aussi (u - v)' u' - v' soit la fonction f(x) x + x² les fonctions sin x et x 2 sont dérivables sur R et de dérivées respectives 1 et 2x alors : f (x) 1 + 2x 2. Dérivée d'une fonction par un scalaire On suppose que u est une fonction dérivable en x et k est un nombre réel. Si ces conditions sont remplies alors : La fonction ku est dérivable en x. Le nombre dérivé au point x de la fonction ku est égal au produit de k et du nombre dérivé de u au point x. (ku)' (x) k u'(x) (ku)' ku' Soit la fonction f(x) 7x 5. La fonction f est dérivable sur R et la dérivée de la fonction x 5 est égale à 5x 4. D'où : f '(x) (7x 5 )' 7 (x 5 )' 7 (5x 4 ) 35x 4 chapderiv3s 1/6

2 3. Dérivée d'un produit de fonctions. u et v sont deux fonctions dérivables en x. Si ces deux conditions sont remplies alors : La fonction uv est dérivable en x. Le nombre dérivé au point x du produit uv est égal à u(x) v'(x) + u'(x) v(x). (uv)' (x) u(x) v'(x) + u'(x) v(x) (uv)' u v'+ u' v Soit la fonction f(x) (x² - 1)(2x +3) La fonction f est le produit des fonctions : u(x) x² - 1 dont la dérivée est u (x) 2x v(x) 2x + 3 dont la dérivée est 2 f (x) u(x) v'(x) + u'(x) v(x) f (x) (x² - 1)( 2 ) + 2x(2x + 3) f (x) 2x² x² + 6x f (x) 6x² + 6x Dérivée de u²(x) u une fonctions dérivable en x. La fonction u² est dérivable en x. Le nombre dérivé au point x de u² est égal à 2u(x) u'(x) (u²)' (x) 2u(x) u'(x) (u²)' 2u u' chapderiv3s 2/6

3 Soit la fonction f(x) (x² - 1)² La fonction f est égale à u² donc f 2uu avec : u(x) x² - 1 et u (x) 2x f (x) 2u(x) u (x) f (x) 2(x² - 1)(2x) f (x) 4x(x² - 1) f (x) 4x 3 4x 5. Dérivée de u 3 (x) u une fonctions dérivable en x. La fonction u 3 est dérivable en x. Le nombre dérivé au point x de u 3 est égal à 3u²(x) u'(x) (u 3 )' (x) 3u²(x) u'(x) (u 3 )' 3u² u' Soit la fonction f(x) (x² - 1) 3 La fonction f est égale à u² donc f 3u²u avec : u(x) x² - 1 et u (x) 2x f (x) 3u²(x) u (x) f (x) 3(x² - 1)²(2x) f (x) 6x(x² - 1)² 6. Dérivée de u n (x) u une fonctions dérivable en x et n un entier 2 La fonction u n est dérivable en x. Le nombre dérivé au point x de u n est égal à nu n-1 (x) u'(x) (u n )' (x) nu n-1 (x) u'(x) chapderiv3s 3/6

4 7. Dérivée de l'inverse d'une fonction. (u n )' nu n-1 u' v est une fonction dérivable en x. On suppose également que v(x) est non nul. Si ces deux conditions sont remplies alors : La fonction 1 est dérivable en x. v Le nombre dérivé au point x de 1 v est égal à v (x) [v(x)]². 1 v (x) v(x) [v(x)]². 1' v' v - v² soit la fonction f(x) 1 définie sur R. x² + 1 Cette fonction est de la forme f 1 v Ainsi : 6. Dérivée d'un quotient qui se dérive en f - v' v² f (x) - 2x x² + 1 avec v(x) x² + 1 et v (x) 2x u et v sont deux fonctions dérivables en x. On suppose également que v(x) est non nul. Si ces trois conditions sont vérifiées alors : La fonction u v est dérivable en x. Le nombre dérivé au point x du quotient u v est égal à v(x) u (x) v (x) u(x) [v(x)]² chapderiv3s 4/6

5 u(x) v(x) u (x) v (x) u(x) v(x) [v(x)]² u vu v u v v² Soit la fonction f(x) 2x + 1 définie sur R x² + 1 La fonction f est de la forme u v qui donne u v vu v u avec : v² u(x) 2.x +1 dont la dérivée est u (x) 2. v(x) x dont la dérivée est v (x) 2x. f (x) 2(x² + 1) 2x(2x+1) (x²+1)² 2x² + 2 4x² - 2x (x²+1)² - 2x² - 2x + 2 (x²+1)² 7. Dérivée d'une fonction composée de la forme f(ax + b) a et b étant deux réels, dont a non nul, et f étant une fonction dérivable en x sur un intervalle I, tel que ax + b appartient à I. Si ces conditions sont vérifiées alors : La fonction g : x f(ax + b) est dérivable en x de I et on a g (x) [f(ax + b)] a f (ax + b) [f(ax + b)] a f (ax + b) [f(u)] u f (u) avec u(x) ax + b Soit la fonction g(x) 2x + 3 et I [0 ; + [ La fonction g est définie sur I et 2x + 3 I pour tout x de I. De plus g(x) f (ax + b) alors g a f (ax + b) avec ax + b 2x + 3 dont la dérivée est a 2. chapderiv3s 5/6

6 f(x) x dont la dérivée est f (x) 1 2 x g (x) 2 f (2x + 3) x 3 1 2x 3 chapderiv3s 6/6