Chapitre 2 : Symétrie centrale

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1 Chapitre 2 : Symétrie centrale I- Symétrie axiale (rappel) Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) lorsque, en pliant suivant cette droite, les deux figures se superposent. Cette droite est l axe de la symétrie. Les figures 1 et 2 sont symétriques par rapport à la droite (d). Construction du symétrique d un point par rapport à une droite avec l équerre et le compas : Remarques : - La droite (d) est la médiatrice du segment [AA ]. - Si un point appartient à la droite (d), alors son symétrique par rapport à la droite (d) est lui-même. Construction du symétrique d une droite par rapport à une droite (d). (construction faite en classe) - On place deux points A et B sur la droite - On trace les symétriques A et B de ces points par rapport à (d) - On trace la droite passant par A et B. La droite (A B ) est la droite symétrique de la droite (AB) par rapport à (d). II- Symétrie centrale 1) Définition Deux figures sont symétriques par rapport à un point lorsque, en effectuant un demi-tour autour de ce

2 point, les deux figures se superposent. Ce point est le centre de la symétrie. Les figures et sont symétriques par rapport au point O. Le point O est le centre de la symétrie. 2) Symétrique d un point On dit que le point M est le symétrique du point M par rapport à un point O lorsque le point O est le milieu du segment [MM ]. Le point O est le milieu du segment [MM ] signifie que les point M et M sont symétriques par rapport au point O. Remarque : Dans la symétrie de centre O, le symétrique du point O est lui-même. Méthodes : Pour construire le symétrique A d un point A par rapport à un point O : - Avec la règle et le compas : - Avec les carreaux : A retenir : - Si deux points A et B sont symétriques par rapport à un point I, alors le point I est le milieu du segment [AB]. - Si un point J est le milieu du segment [CD], alors les points C et D sont symétriques par rapport au point J.

3 III- Propriétés de la symétrie centrale 1) Symétrique d un segment Le symétrique d un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. La symétrie centrale conserve les longueurs. Construction du symétrique du segment [CD] par rapport au point O : Les segments [CD] et [C D ] sont symétriques par rapport au point O. Donc C D =CD. On a aussi. 2) Symétrique d une droite, d une demi-droite Propriétés: - Le symétrique d une droite par rapport à un point est une droite. - Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles. - Les points A, B et C sont alignés. Donc leurs symétriques A, B, et C par rapport au point O sont alignés. - Le symétrique de la droite (d) par rapport au point O est la droite (d ). Donc les droites (d) et (d ) sont parallèles. Le symétrique d une demi-droite par rapport à un point est une demi-droite. Les points L et G sont les symétriques respectifs des points L et G par rapport au point O. Donc le symétrique de la demi-droite [LG) par rapport au point O est la demi-droite [L G ).

4 3) Symétrique d un cercle Le symétrique d un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon. Les centres de ces cercles sont symétriques par rapport au point O. Construction du symétrique ( ) du cercle ( ) par rapport au point M 4) Symétrique d une figure Le symétrique d une figure par rapport à un point est une figure qui lui est superposable. Ces deux figures ont donc la même forme, les mêmes longueurs, les mêmes mesures d angles Construction du symétrique de la figure ABCD par rapport au point O 5) Symétrique d un polygone Le symétrique d un polygone par rapport à un point est un polygone superposable. La symétrie centrale conserve les mesures des angles, les périmètres et les aires. - Le symétrique du polygone ABCD par rapport au point S est le polygone A B C D. Donc, leurs périmètres et leurs aires sont égaux. - Les angles et sont symétriques par rapport au point S. Donc,.

5 IV- Centre de symétrie d une figure Propriété : Lorsque le symétrique d une figure par rapport à un point est elle-même, on dit que ce point est un centre de symétrie de la figure. Cette figure possède un centre de symétrie mais pas d axe de symétrie.