Géométrie Chapitre 1 : Vecteurs et droites du plan

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1 Géométrie Chapitre 1 : Vecteurs et droites du plan I- Rappels et compléments sur les vecteurs 1) Vecteurs égaux La translation qui transforme en est appelée la translation de vecteur. Le point s appelle l origine du vecteur, le point l extrémité. Définition : Si D est l image de C par la translation de vecteur, on dit que les et CD sont égaux et on note = CD Propriété : = CD si et seulement si DC est un parallélogramme. 1 er cas : C () ème cas : C () D C D Remarque : Si C (), alors le parallélogramme DC est dit aplati. C Remarque : L expression «si et seulement si» permet de regrouper en une seule phrase une propriété (par exemple : «si = CD, alors DC est un parallélogramme») et sa réciproque (ici : «si DC est un parallélogramme, alors = CD»). Définition : Si = DC, alors les vecteurs et DC sont des représentants (parmi une infinité) d un même vecteur que l on peut noter u ; dès que l on choisit une nouvelle origine, on obtient un nouveau représentant de u ). s appelle le représentant de u d origine. Remarque : Le vecteur de la translation qui transforme en s appelle vecteur nul, noté 0 ; ainsi, = = ZZ = 0 Définition : Le vecteur opposé au vecteur est noté et on a = Propriété : I est le milieu du segment [] si et seulement si I = I I ) Vecteurs et coordonnées Définitions : Un repère du plan est la donnée de trois points non alignés Dans le repère (O, I, J), O s appelle l origine, la droite (OI) s appelle l axe des abscisses et la droite (OJ) s appelle l axe des ordonnées En notant i = OI et j = OJ, le repère se note (O, i, j) ; ainsi, on peut définir un repère du plan par la donnée du plan par la donnée d un point et deux vecteurs non colinéaires Le repère (O, I, J) est dit orthogonal si (OI) (OJ) ; il est dit orthonormal (ou orthonormé) si (OI) (OJ) et OI = OJ

2 Un repère qui n est ni orthogonal, ni orthonormal est dit quelconque. Définition : Le plan est muni d un repère (O, i, j) tout point M du plan, on peut associer un unique couple (x ; y) de réels appelé le couple des coordonnées du point M dans le repère (O, i, j). x s appelle l abscisse de M (on la note souvent x m ) et y est l ordonnée de M (notée souvent y m ). On écrit M(x ; y) Tout vecteur u admet un unique représentant d origine O ; on note alors M l unique point du plan tel que u = OM ; on dit que les coordonnées (x ; y) du point M dans le repère(o, i, j) sont également les coordonnées du vecteur u dans ce même repère. On note u (x ; y) ou u ( x y ). Dans un repère du plan, on donne les points (x a ; y a ) et (x ; y ) Si I est le milieu de [], alors I a pour coordonnées I ( x +x ; y +y ) Le vecteur a pour coordonnées (x x ; y y ) Si le repère est orthonormé, alors la distance est donnée par la formule = (x x ) + (y y ) Propriété : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les même coordonnées 3) Somme de vecteurs Savoir construire la somme de deux vecteurs en partant de n importe quelle origine Savoir utiliser «dans les deux sens» la relation de Chasles : Pour simplifier des égalités vectorielles : + C = C Pour décomposer un vecteur à l aide d un point bien choisi : C = + C Remarque : La relation de Chasles est une égalité valable uniquement avec des vecteurs, pas avec des distances. En général, + C C u + 0 = u et u + v = v + u Dans un repère du plan : si u (x ; y) et v (x ; y ), alors u + v (x + x ; y + y ) 4) Différence de vecteurs Définitions : u v = u + ( v) Propriété : Dans un repère du plan : si u (x ; y) et v (x ; y ), alors u v (x x ; y y ) 5) Multiplication d un vecteur par un réel Définition : Dans un plan muni d un repère, soit u (x ; y) un vecteur et k un nombre réel Le vecteur ku est le vecteur dont les coordonnées sont ku (kx; ky) dans ce repère k (u + v ) = ku + kv (k + k ) u = ku + k u k (k u ) = (k k ) u

3 Propriété : I est le milieu du segment [] si et seulement si I = 1 6) Vecteur colinéaires I Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires s il existe un réel k tel que u = kv (ou v = ku ) Soit,, C et D quatre points du plan Les droites () et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et CD sont colinéaires. Soit, et C trois points du plan lors les points, et C sont alignés si et seulement si les vecteurs et C (ou et C ) sont colinéaires. Exemple : On donne RS (; 8) et KL ( 1; 4). l aide des coordonnées, on remarque que RS = KL (les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles) donc les vecteurs RS et KL sont colinéaires donc (RS) // (KL). Condition de colinéarité dans un repère : Définition : Dans un repère du plan, u (x; y) et v (x ; y ). On appelle déterminant des vecteurs u et v le nombre réel noté det (u, v), défini par det(u, v) = xy x y Propriété : Dans un repère, u et v sont colinéaires det(u ; v) = 0 7) Décomposition d un vecteur d une base THEOREME : Soit u et v deux vecteurs non colinéaires alors quel que soit le vecteur w du plan, il existe un unique couple de réel (x; y) tel que w (xu + yv). Cette égalité est la décomposition de w dans la base de vecteurs (u ; v) Démonstration : Il y a deux étapes Existence de x et y Soit un point du plan et on considère les représentants d origine de u, v et w. Q M v C w u P On construit P et Q sur () et (C) tels que (MP) // (C) et (MQ) // (). lors PMQ est un parallélogramme (côtés parallèles deux à deux) Donc M = P + PM (Chasles) M = P + Q (PM = Q dans le parallélogramme) Or les point, et P sont alignés donc et P sont colinéaires. Il existe donc un réel tel que P = x

4 De même, il existe un réel tel que Q = y C On obtient donc la relation suivante : M = x + y C w = xu + yv Unicité de x et y Raisonnement par l absurde : On suppose qu il existe deux couples (x; y) et (x ; y ) tels que w = xu + yv et w = x u + y v et on suppose que (x; y) (x ; y ) donc par exemple x x On a xu + yv = x u + y v (= w ) On obtient (x x ) u = (y y) v Donc u = y y x x v (x x 0 car x x ) de la forme u = kv où k R donc les vecteurs u et v sont colinéaires, ce qui est faux par hypothèse («ce qui est absurde»). Donc l hypothèse qu il existe deux couples différents pour décomposer w est forcément fausse, ce qui prouve qu il n existe qu un seul couple possible. Remarques : Le couple (x; y) est aussi le couple des coordonnées de w dans la base (u ; v) Soit (O; i, j) un repère du plan (ainsi i et j) ne sont pas colinéaires. Soit M un point du plan ; on utilise le théorème avec OM = w. On obtient un unique couple de (x; y) tel que OM = xi + yj. On en déduit que M a pour coordonnées (x; y) dans ce repère. RETENIR : M(x; y) dans le repère (O; i, j) OM = xi + yj w (x; y) dans le repère (O; i, j) w = xi + yj Exemple : Dans le repère (; C, D ), et M(; 3) signifie M = C 3D u ( 1; 4) signifie u = 1C + 4D II- Equations de droite 1) Vecteurs directeurs d une droite Définition : Un vecteur u est un vecteur directeur de la droite (d) s il existe deux points distincts et de la droite (d) tels que u = Remarques : Un vecteur directeur n est donc jamais nul ( ) Si u est un vecteur directeur d une droite, alors tous les (autres) vecteurs colinéaires à u sont aussi des vecteurs directeurs de (d). Un point du plan et un vecteur non nul permettent de définir une seule droite Propriété : Deux droites sont parallèles si et seulement si deux vecteurs directeurs quelconques de ces deux droites dont colinéaires ) Equations réduites Rappels et compléments : Dans un repère quelconque du plan : Toute droite non parallèle à l axe des ordonnées admet une équation réduite (une seule) de la forme y = mx + p où m est le coefficient directeur et p l ordonnée à l origine. Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur u tel que u (1; m) Toute droite parallèle à l axe des ordonnées admet une équation unique de la forme x = k ou k R ; un vecteur directeur de cette droite est u (0; 1)

5 Démonstration (vecteurs directeurs) : Pour (d) d équation y = mx + p : (0 ; p) (d) (car si x = 0, y = m 0 + p = p) et (1 ; m+p) (d) (car si x = 1, y = m 1 + p = m + p), alors est un vecteur directeur de (car ) (x x ; y y ) (1 0; m + p p) (1; m) Pour (d) d équation x = k, (k; ) (d) et (k; 3) (d), alors est un vecteur directeur de (d). ( ) (x x ; y y ) (k k; 3 ) (0; 1) 3) Equations cartésiennes d une droite Propriété : Dans un repère du plan, toute droite admet une équation de la forme ax + by + c = 0 où a, b et c sont trois réels fixés tels que (a; b) (0; 0). Une telle équation s appelle équation cartésienne de la droite. Démonstration : On sait qu une droite a soit une équation réduite y = mx + p, soit une équation x = k. Or y = mx + p 0 = mx y + p, équation cartésienne avec a = m, b = -1 et c = p x = k x k = 0 1x + 0y k = 0, équation cartésienne avec a = 1, b = 0 et c = -k. Propriété réciproque : L ensemble des points M (x; y) vérifiant l équation ax + by + c = 0 avec (a; b) (0; 0). Cet ensemble de points est une droite dont un vecteur directeur est u ( b; a). Exemple : On donne d 3x 7y = 0 L ensemble d est une droite car on reconnait une forme cartésienne. Un vecteur directeur de d est u ( b; a) u (7; 3) Démonstration : Soit ξ l ensemble cherché. Je sais que M ξ ax + by + c = 0 1 er cas : Si b = 0 M ξ ax + c = 0 x = c (a 0 car b = 0). On reconnait une équation de la forme x = k donc a ξ est une droite, dont on connait un vecteur directeur de coordonnées u (0; 1), mais aussi au (0; a). Puisque b = 0, au (0; a) au ( b; a) ème cas : Si b 0 M ξ ax + by + c = 0 by = ax c y = ax c y = a x c b b b Je reconnais une équation réduite donc ξ est une droite dont on connait un vecteur directeur u (1; m) u (1; a ) donc bu ( b; a) en est aussi un. b