Exercices de géométrie plane Corrigés des exercices Propriétés des figures planes

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1 Préparation accélérée RPE Mathématiques Exercices de géométrie plane orrigés des exercices Propriétés des figures planes Exercice 1 VRI / FUX a. Il est possible de construire le premier triangle. Il est impossible de construire le deuxième triangle. En effet 10 > Une des distances est supérieure à la somme des deux autres (contredit l inégalité triangulaire). Il est possible de placer les points, et qui sont en fait alignés. 7 = (cas particulier de l inégalité triangulaire). b. Faux. Le triangle doit être inscrit dans un cercle et avoir un côté qui est diamètre du cercle. c. Vrai. Un carré est un rectangle particulier : ses quatre angles sont droits. d. Vrai. est une propriété caractéristique des parallélogrammes. e. Faux. Si un quadrilatère a trois angles droits alors c est un rectangle, le fait qu il ait ses diagonales égales n ajoute rien puisque c est le cas de tous les rectangles. Il faudrait ajouter que ses diagonales sont perpendiculaires. f. Faux. Si ses diagonales ne se coupent pas en leur milieu alors ce n est pas un parallélogramme et donc pas un losange. g. Vrai. ela suffit en effet car si ses diagonales se coupent en leur milieu alors c est un parallélogramme et un parallélogramme a trois côtés de même longueur, en a nécessairement 2 côtés consécutifs de même longueur et donc c est un losange. Exercice 2 Dans cet exercice, tous les ensembles trouvés seront tracés sur une même figure. Soient et deux points distincts du plan. Quel est l'ensemble des points M du plan tels que : 1. M est un triangle rectangle en ou en si et seulement si M est sur la perpendiculaire à () passant par ou la perpendiculaire à () passant par. 2. M est un triangle rectangle en M si et seulement si M est sur le cercle de diamètre []. 3. M est un triangle isocèle en si et seulement si M est sur le cercle de centre passant par et est isocèle en si et seulement si M est sur le cercle de centre passant par. 4. M est un triangle isocèle en M si et seulement si M est sur la médiatrice de []. 1

2 Exercice 3 Soit un quadrilatère quelconque D et I, J, K, L les milieux respectifs des côtés [], [], [D] et [D]. 1) Dans le triangle, d après le théorème de la droite des milieuxla droite (IJ) passe par les milieux I et J des côtés [] et [] donc est parallèle au troisième côté. De plus la longueur du segment [IJ] est égale la moitié de celle de []. Donc (IJ) // () et IJ = 1 2. De même dans le triangle D : (LK) // () et LK = 1 2. Les deux côtés opposés [IJ] et [KL] sont donc parallèles et égaux par conséquent IJKL est un parallélogramme. utres méthodes : - On utilise uniquement la propriété sur le parallélisme conséquence du théorème de la droite des milieux dans les triangles, D, D et D pour montrer que les côtés de IJKL sont parallèles deux à deux. - On utilise uniquement la propriété sur l égalité entre les longueurs conséquence du théorème de la droite des milieux dans les triangles, D, D et D pour montrer que les côtés de IJKL Ou bien on montre avec l autre théorème que les longueurs des côtés de IJKL sont égales deux à deux. 2) Préciser la nature de ce parallélogramme quand D est : a) Si D est un rectangle alors ses diagonales ont même longueur et donc les côtés de IJKL sont tous même longueur. En effet chaque côté a pour longueur la moitié de la diagonale à laquelle il est parallèle. IJKL est donc un losange. b) Si D est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. Dans ce cas les côtés de IJKL qui sont parallèles à ces diagonales sont perpendiculaires deux à deux. IJKL est donc un rectangle. c) Si D est un carré, c'est-à-dire à la fois un rectangle et un losange alors IJKL est aussi à la fois un rectangle et un losange donc IJKL est un carré. d) Si D est un trapèze isocèle alors ses diagonales sont de même longueur et donc en reprenant le raisonnement du a), on montre que IJKL est un losange. Exercice 4 Il faut tracer deux cordes du cercle et leurs médiatrices respectives. Le centre du cercle est le point d intersection de ces dernières. es deux cordes peuvent avoir une extrémité commune ou non. En effet, le centre du cercle est le point équidistant de tous les points du cercle il est donc sur les médiatrices de deux cordes de l'. O 2

3 Exercice 1. K étant un point du cercle de diamètre [], le triangle K est rectangle en K, donc K = 90. omme la somme des angles d un triangle vaut 180, K = (K + K ). omme K = 4 et K = 90, K = 4.Le triangle K est donc isocèle (rectangle) de sommet K, en particulier K appartient à la médiatrice de []. I, centre du cercle de diamètre [] et donc milieu de [], est un autre point de cette médiatrice. (KI) est finalement la médiatrice du segment []. 2. K est rectangle en K donc (K) (). Pour des raisons similaires, L étant un point du cercle de diamètre [], (L) (). [K] et [K] sont des hauteurs du triangle, leur point d'intersection, O, est l'orthocentre du triangle. [H], la troisième hauteur, passe donc par O. En conclusion, les points, O et H sont alignés. 3. (H) et (KI) sont perpendiculaires à (), l une comme hauteur relative à [] de et l autre comme médiatrice de [], elles sont parallèles : le quadrilatère IKO est donc un trapèze. onstruction : - onstruction du triangle équilatéral S en traçant les cercles de centres et et de même rayon. insis = onstruction de l angle en de 4 en traçant la bissectrice d un angle droit. ette bissectrice coupe (S) en. - onstruction de la hauteur [H]. - onstruction de la médiatrice de [] qu'elle coupe en son milieu I. - onstruction du cercle de centre I passant par, il coupe la médiatrice de [] en K. (K) et (L) se coupent en O. S. L K O 60 H I 4 3

4 Exercice 6 1. Le cercle de centre O et de rayon 4 cm étant tracé : - Placer un point sur ce cercle. - Reporter sur le cercle successivement cinq fois le rayon à partir de, les points obtenus sont dans l ordre,, D, E et F. - Tracer le polygone DEF. 2. Par construction = 4 cm et O = 4 O cm donc est équidistant des points O et. De même O = 4 cm et = 4 cm donc est équidistant des points O et. Par conséquent, la droite passant par ces deux points et est donc la médiatrice du segment [O]. E et sont deux points du cercle donc O est équidistant de et de. DEF est un hexagone régulier donc est D équidistant de et de. La droite passant par ces deux points O et est donc la médiatrice du segment []. F utre méthode : On peut aussi montrer que O est un losange. En effet O=O et l angle O= 60 donc O est équilatéral. Il en est de même pour O. Donc O = = = O. Or les diagonales d un losange sont perpendiculaires en leur milieu, donc sont médiatrices l une de l autre. 3. Les angles au centre d un hexagone régulier sont tous égaux à 60 par conséquent OD = 3 x 60 = 180 Les points, O et D sont donc alignés et O = OD donc O est le milieu du segment [D]. est-à-dire que et D sont diamétralement opposés (on pourrait dire que D est le symétrique de par rapport à O). 4. On démontrerait de la même manière que et F sont diamétralement opposés. Les diagonales du quadrilatère DF sont donc deux diamètres de, donc elles sont de même longueur et se coupent en leur milieu ce qui est une propriété caractéristique du rectangle. DF est donc un rectangle. Théorème de Pythagore Exercice 7 1) K est le point d intersection des hauteurs du triangle, c est orthocentre de ce triangle. étant un triangle équilatéral, ses hauteurs sont également ses médianes (et aussi bissectrices et médiatrices) donc K est également le centre de gravité du triangle, il est donc aux 2 3 des K médianes à partir des sommets. 2) Il faut commencer par calculer la longueur des hauteurs en utilisant le théorème de Pythagore dans un des triangles rectangles. Par exemple dans le triangle H rectangle en H : 4

5 H² + H² = ² H² = a 4a a a H² = a a 3 a 3 donc H = = = D après la question précédente : K = 2 2 a 3 a 3 H donc K = = Exercice 8 1. Dans le triangle HM rectangle en H d une part et le triangle KM rectangle en K d autre part, d après le théorème de Pythagore, et en posant HM = x : M² = H² + HM² et M² = K² + KM² L² = 3² + x² et L² = 4² + ( x)² les longueurs des deux échelles étant égales on en déduit l égalité suivante : 3² + x² = 4² + ( x)² donc 9 + x² = 16 + (2 2 x + x²) soit 9 + x² = x + x² x² x² + 10x = d où x = 32 : 10 donc HM = 3,2 m En remplaçant maintenant x dans par exemple L² = 3² + x² on obtient L² = 19,24 donc L = 19, 24 4,39 H M K Les échelles doivent mesurer à 1 cm près 4,39 m. 2. M = M donc M est le point d intersection de la médiatrice du segment [] avec le segment [HK]. Exercice 9 Le triangle semble équilatéral. alculons la mesure du côté [] en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle H rectangle H. H est le pied de la hauteur issue de du triangle isocèle en, qui est donc aussi la médiane issue de (ou médiatrice de []) et donc H est le milieu de [] et H = 4 cm. ² = H² + H² = 7² + 4² = = 6 ² 64 donc 8 Le triangle n est pas équilatéral! 7 cm 8 cm Théorème de Thalès Exercice 10 FIG 1 : Dans les triangles QPN et QLM, L (QP) ; M (QN) et (PN) // (LM) donc d après le théorème de Thalès : QN QP = soit QN = 2 donc QN = 6, 2 = 2,6. QM QL 6, 2+3 FIG 2 : Dans les triangles RUV et RST, T (RU) ; S (RV) et (UV) // (ST) donc d après le théorème de Thalès : RV RU = soit RV = 3 donc RV = 3 3 donc RV = 4,. RS RT FIG 3 : Dans les triangles DGH et DEF, E (DG) ; F (DH) et (GH) // (EF) donc d après le théorème de Thalès : DF DE EF DF 4 = = soit = DH DG GH 3,6 3 = EF, 1 donc 3 DF = 3,6 4 et 3GH = 4,1

6 donc DF = 3,6 4 et EF = 20,4 3 3 DF = 4,8 et EF = 6,8 H est un point de [DF] donc HF = DF DH = 4,8 3,6 donc HF = 1,2 Exercice 11 Dans les triangles et EF, les points, E, et, F, sont alignés dans le même ordre. omparons les rapports E F et. E 4,1 41 = = 7, 7 F 4, 4 et = =. 8,3 83 Plusieurs méthodes de comparaison des fractions : 4 41 et ,3 4, 6 7, E F - Par les valeurs approchées : 41 : 7 0,466 et 4 : 83 0,421 donc. ttention! ette méthode ne peut pas être utilisée pour montrer que les quotients sont égaux! Des valeurs approchées égales ne prouvent pas que les quotients sont égaux. - En mettant au même dénominateur : 41 = = et 4 = 4 7 = En comparant les produits en croix : or donc E F. E F 4 x 7 = 3 37 et 83 x 41 = or donc. Dans les triangles et EF, les points, E, et, F, sont alignés dans le même ordre E F mais l égalité des rapports et n est pas vérifiée. D après la contraposée du thérème de Thalès, les droites (EF) et () ne sont pas parallèles. Exercice 12 On trace une demi-droite d origine distincte de [). On place sur cette demi-droite les points M 7 et M 12 tels que M 7 = 7 u et M 12 = 12 u où u est une unité de longueur quelconque reportée au compas. On trace la droite (M 7 ) puis sa parallèle passant par M 12. Elle coupe () en. On a alors les points,, et, M 7, M 12 alignés et les droites (M 7 ) et (M 12 ) donc d après le théorème de Thalès dans les triangles M 7 et M 12 : M 12 M 7 12 = = et par conséquent = M 1 M 7 M 12 6

7 Exercice 13 D est un rectangle et (EF) est parallèle à (D). = 10 F = 2 F = 3 D étant un rectangle, le triangle D est rectangle en et d après le théorème de Pythagore : D² = ² + D² = (2 + 3)² + 10² = 12 D = 12 = 2 = 2 = Dans les triangles FG et D, les points, F, et, G, D sont alignés dans cet ordre et les droites (FG) et (D) sont parallèles donc d après le théorème de Thalès : G F = D G = 2 2 G = G = 2 E D G F Exercice 14 b) Il semblerait que les points Q, U et soient alignés. c) Méthode en utilisant le théorème de Pythagore Les points Q, U et sont alignés si et seulement si QU + U = Q. alculons ces trois longueurs avec le théorème de Pythagore respectivement dans les triangles rectangles QEU, UT et QR : QU² = QE² + EU² U² = UT² + T² Q² = QR² + R² QU² = ² + 8² U² = 8² + 13² Q² = (8 + )² + (8 + 13)² QU = 89 U = 233 Q = 610 QU + U = donc QU + U 24,6983 et Q 24,6982 donc QU + U > Q En conclusion, les points Q, U et ne sont pas alignés. ttention! Ne jamais affirmer une égalité à partir de valeurs approchées. Méthode en utilisant le théorème de Thalès Dans les triangles Q et QEU, Les points Q, E et sont alignés et les droites (EU) et () parallèles. QE EU 8 QE EU = et = Par conséquent. Q Q L égalité du théorème de Thalès n étant pas vérifiée, la dernière condition du théorème ne l est pas non plus, c est-à-dire que les points Q, U et ne sont pas alignés. Remarque : D autres méthodes permettent d arriver à la même conclusion (en utilisant les aires, les angles, ) 7

8 Exercice 1 E ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) T H r a I O J 1) Dans les triangles EOH et EJT, les points E, O, J et E, H, T sont alignés dans le même ordre et les droites sont parallèles donc d après le théorème de Thalès : EO EH OH = = EJ ET JT OH donc = 3 r r r soit a = 3 r. 2) = 3 r a et, d après l énoncé, le nombre r est un nombre entier donc a est le quotient de deux entiers, a est donc bien toujours un rationnel. 3) a est un rationnel dont le numérateur est, on peut donc toujours écrire a sous forme de fraction décimale, a est toujours un nombre décimal. 3r 6r a = = 10 4) a est un nombre entier si et seulement si le dénominateur se simplifie, c'est-à-dire que le numérateur est un multiple de. a sera entier si et seulement si r est un multiple de. ) Si a = alors r = 3 et est donc un nombre premier. 6) Dans le triangle OH rectangle en H, d après le théorème de Pythagore : H 2 + OH 2 = O 2 H 2 = r 2 3r 2 2r 9r 2 16r = = H 2 2 H 2 donc = 4 r H 7) O et O sont deux rayons du cercle ( 2 ) de centre O donc le triangle O est isocèle en O et la hauteur issue de O est aussi médiane issue de O (médiatrice de []) donc H est le milieu de []. b = = 2 x H = 8 r. 8) b est un nombre entier si et seulement si r est un multiple de. Le plus petit multiple de non nul est, dans ce cas b = 8 et n est pas premier. Dans tous les autres cas, b sera le produit de 8 par un nombre entier et ne sera donc pas premier. Non, il n existe pas de nombres r pour lesquels le nombre b est un nombre premier. 8