Nombres complexes I C H A P I T R E

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1 4 C H A P I T R E Nombres complexes I Jérôme CARDAN mathématicien, philosophe et astrologue se passionne pour les équations du troisième et quatrième degré. Il fait venir chez lui TARTAGLIA et lui arrache sa formule de résolution d une équation du type x 3 + px = q. CARDAN découvre la résolution générale et la publie en Son domestique et protégé Ludovico FERRARI en déduit la résolution des équations de degré 4. Il est également l inventeur du joint qui porte son nom. Pour la petite histoire, CARDAN prédit que sa propre mort aura lieu trois jours avant de fêter ses soixante-quinze ans ; peu de temps avant la date fatidique, il cesse de s alimenter et meure le jour dit! Des mathématiciens de A à Z. B. HAUCHECONE et D.SURATTEAU aux éditions ellipses

2 Sommaire 0 Généralités 0.1 Programme de la classe de Première S 0.2 Programme partiel de la classe de Terminale S 0.3 Programme intégral libanais de Terminale série SG 1 Introduction 1.1 Activités d introductions. a Présentation historique. b Application à l équation x 3 15x 4 = 0 c Conclusion 2 Aspect algébrique des nombres complexes 2.1 Définitions et premières propriétés. a Définitions b Premières propriétés 2.2 Interprétation géométrique. a Définitions b Propriétés 2.3 Calculs sur les nombres complexes. 2.4 Propriétés de la conjugaison et du module. 2.5 Exemples d équations dans C a Équations classiques et équations en z et z b Équation du second degré dans C à coefficients réels. 2.6 Exercices types. a Exemple d équations du second degré à coefficients complexes. b Exemple d équations du troisième degré à coefficients complexes. c Détermination de partie réelle et imaginaire. 3 Considérations historiques 3.1 Les algébristes italiens du XVI ème siècle 3.2 Les mathématiciens du XVII-XVIII ème siècle 4 Résumé du cours 5 Démonstrations du cours 6 Exercices 178 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

3 0 Généralités 0 1 Programme de la classe de Première S Ne figure pas au programme de la classe de Première S 0 2 Programme partiel de la classe de Terminale S En classe terminale, les nombres complexes sont vus essentiellement comme constituant un nouvel ensemble de nombres avec ses opérations propres. Cette introduction s inscrit dans la perspective d un approfondissement lors d une poursuite d études. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient. Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes. On introduit dans ce chapitre des éléments lui donnant une dimension historique. Équation du second degré à coefficients réels. Résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels. géomé- Représentation trique. Représenter un nombre complexe par un point ou un vecteur. Le plan est muni d un repère orthonormé O, u, v Affixe d un point, d un vecteur. Déterminer l affixe d un point ou d un vecteur. Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 179

4 0 3 Programme intégral libanais de Terminale série SG?? EN CLASSE DE PREMIÈRE SÉRIE SG Forme algébrique, cas d égalité, parties réelles et imaginaires. Opérations sur les nombres complexes et nombres complexes conjugués. Équation du second degré à coefficients réels et à discriminant négatif. Racines carrées d un nombre complexe. Représentation géométrique. EN CLASSE DE TERMINALE SÉRIE SG Les élèves ont déjà fait connaissance avec les nombres complexes et leur représentation géométrique. Cette année, ils entreprennent l étude approfondie de ces nombres et de leur applications. Le travail proposé s articule sur trois axes: Introduction des formes trigonométrique et exponentielle du nombre complexe et exploitation des propriétés relatives aux modules et arguments qui en découlent. Utilisation des nombres complexes pour établir des relations et résoudre des problèmes de nature trigonométrique. Utilisation des nombres complexes afin d élaborer des méthodes et résoudre des problèmes de nature géométrique. Module et argument d un nombre complexe, propriétés 1. Calculer et interpréter géométriquement le module et l argument d un nombre complexe non nul écrit sous forme algébrique 2. Caractérisation des nombres réels et imaginaires purs en termes d arguments. 3. Connaître et utiliser les formules suivantes relatives aux modules et arguments des nombres complexes. L élève est déjà familiarisé avec le plan complexe muni d un repère orthonormé direct O, u, v. z 0 ; z R ; z 0 z = 0 z = 0 z = z = z ; z 2 = zz ; z n = z n ; z + z z + z ; 1 z = 1 z ; zz = z z z z = z z z z z + z arg z = π + argz[2π] ; argz = argz[2π] argzz = argz + argz [2π] ; argz n = n argz[2π] arg 1 z z = argz[2π] ; arg z = argz argz [2π] 180 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

5 Il est conseillé de définir géométriquement le module d un nombre complexe z comme étant la distance OA où A est le point d affixe z, et son argument comme l angle u, OA, puis chercher à écrire les formules permettant de les calculer. On insistera sur le fait que l argument d un nombre complexe est défini à 2kπ près. On évitera de définir l argument par sa détermination principale notée Argz, une telle limitation alourdissant considérablement les formules ainsi que la résolution des équations complexes. On utilisera les notations 2π ou «mod 2π» pour exprimer que l argument est défini à 2kπ près. Les relations OA = z A et u, OA = argz A 2π forment les éléments de base pour toutes les interprétations géométriques qui vont suivre. Il importe alors d entraîner les élèves à représenter géométriquement les nombres complexes afin de fixer le lien entre les notions de module et d argument, d une part, et leurs aspects géométriques, d autre part. L élève aura intérêt, particulièrement à se former une image mentale de quelques nombres complexes simples tels que 1, i, 1, i, 2i, 3i, 1 + i, etc. Cette activité, conduisant l élève à lire mentalement le module et l argument d un nombre complexe, est hautement formatrice. Les formules relatives aux modules et aux arguments pourront être démontrées directement, en exercice pour quelques-unes ou géométriquement pour d autres. On caractérisera, en particulier, les nombres réels par leur argument : 0 modulo π, et les nombres imaginaires purs par leur argument π modulo π. 2 Formes trigonométrique et exponentielle d un nombre complexe. 1. Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique. 2. Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle. 3. Passer entre les différentes formes d écriture d un nombre complexe non nul. Écrire un nombre complexe z non nul, donné en forme algébrique sous forme trigonométrique z = r cosθ + i sinθ où r et θ sont des réels et r > 0. Écrire un nombre complexe z non nul, donné en forme trigonométrique sous la forme algébrique. Utiliser la notation e iθ = cosθ + i sinθ. Écrire un nombre complexe z non nul, donné en forme trigonométrique, sous la forme exponentielle :z = r e iθ Écrire un nombre complexe z non nul, donné en forme exponentielle, sous la forme trigonométrique. Le passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique ainsi que le passage réciproque, sont presque immédiats. Seule l introduction de la notation exponentielle pourra poser problème. Toute justification de l écriture e iθ = cosθ + i sinθ ne fera que compliquer la situation, aussi insistera-t-on sur le côté conventionnel de cette écriture. On demandera à l élève de vérifier sa comptabilité avec les propriétés relatives à la multiplication et à la division des nombres complexes : e iθ e iθ = e i θ+θ 1, et = e iθ eiθ On ne manquera pas de mentionner l unicité de l écriture trigonométrique d un nombre complexe donné. Par ailleurs, cette écriture aidera à : Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 181

6 Simplifier des expressions complexes. Résoudre dans C des équations pratiquement non résolubles à travers la forme algébrique. Déterminer les racines n-èmes d un nombre complexe. Déterminer les lignes trigonométriques de quelques arcs, tels que : π 5 ; π 10 ; π 12 etc. Interprétation géométrique de l addition, de la multiplication, et du passage au conjugué. 1. Interpréter géométriquement le passage au conjugué. 2. Interpréter géométriquement l addition de deux nombres complexes. 3. Interpréter géométriquement la multiplication de deux nombres complexes. Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormal direct O, u, v, A et B sont deux points d affixes respectives z A et z B, z et z sont deux nombres complexes. Construire le point d affixe z à partir de celui d affixe z. Construire le vecteur d affixe z à partir de celui d affixe z. Construire le point d affixe z à partir de celui d affixe z. Savoir que le vecteur d affixe z + z est la somme des affixes des vecteurs d affixes z et z. Construire le vecteur d affixe z + z à partir des vecteurs d affixes z et z. Utiliser une rotation et une homothétie de centre O pour construire le vecteur d affixe z z à partir des vecteurs d affixes z et z. Savoir que l affixe du vecteur AB est égale à z B z A, Savoir que AB = z B z A. Les activités géométriques sur les nombres complexes fourniront des occasions formatrices très précieuses. En particulier, elles développeront chez l élève la capacité de : Vérifier le résultat d un calcul complexe. Élaborer un calcul complexe mental. Résoudre géométriquement un problème sur les complexes. Utiliser les nombres complexes pour résoudre un problème de géométrie. Formule de Moivre et applications 1. Connaître et utiliser la formule de Moivre. 2. Linéariser des polynômes trigonométriques simples. Connaître et utiliser les formules. cosθ = eiθ + e iθ et sinθ = eiθ e iθ 2 2i Calculer cosnθ et sinnθ en fonction de cosθ et sinθ. Linéariser des expressions de la forme cos n θ; sin n θ; cos m θsin n θ 182 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

7 La formule de Moivre sera présentée sous sa forme trigonométrique [r cosθ + i sinθ] n = r n cosnθ + i sinnθ et sous sa forme exponentielle r e iθ n = r n e niθ Les égalités cosθ = eiθ + e iθ et sinθ = eiθ e iθ 2 2i serviront à linéariser des expressions de la forme cos n θ; sin n θ; cos m θsin n θ où m et n sont des entiers. On se limitera dans les applications à des valeurs de m et de n ne dépassant pas 6. Racines n-émes d un nombre complexe, représentation géométrique des racines n-émes de l unité 1. Définir et calculer les racines n-èmes d un nombre complexe. 2. Représenter géométriquement les racines n-èmes de l unité. Reconnaître une racine n-ème d un nombre complexe z. Calculer les racines n-èmes d un nombre complexe. Savoir que les points qui représentent les racines n-èmes de l unité sont les sommets d un polygone régulier. L élève sait déjà calculer algébriquement les deux racines carrées d un nombre complexe.l écriture exponentielle ou trigonométrique fournira un outil très pratique pour calculer les racines n-èmes d un tel nombre. La répartition régulière, sur le cercle trigonométrique, des n racines n-ièmes de l unité est presque immédiate. On amènera l élève à remarquer que la la somme de ces racines est nulle : par voie géométrique somme vectorielle ou par le calcul on utilisera la formule 1 + z + + z n 1 = 1 zn 1 z, z 1. Interprétation géométrique de l argument et du module d un quotient de eux nombres complexes. 1. Interpréter géométriquement z a arg et z a z b z b 2. Utiliser cette interprétation pour l étude des configurations d alignement et d orthogonalité. A, B et M étant des points du plan d affixes respectives a, b et z, distincts deux à deux. Connaître et utiliser la relation z a = MA z b MB Déterminer, géométriquement et par le calcul, l ensemble des points M du plan tels que z a = k, où k est une constante réelle. z b Connaître et utiliser la relation z a arg = BM, AM [2π] z b z a Savoir que les points A, B et M sont alignés si et seulement si, arg = 0[π] z b z a Savoir que les droites AM et BM sont orthogonales si et seulement si arg z b = π 2 [π] Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 183

8 Déterminer, géométriquement, l ensemble des points M du plan tels que z a arg = α[2π], où α est un réel. z b Les applications géométriques des calculs élaborés sur les complexes sont considérables. Des égalités comme z a = uz b, où a, b, z et u sont des nombres complexes, permettent de comparer des distances et des directions, et par là, d étudier la nature de quelques figures géométriques. Les activités aideront à étudier, en plus de l alignement et de l orthogonalité, la cocyclicité de quatre points du plan. Ces activités doivent aboutir à la traduction des transformations géométriques du plan rotation, translation, homothétie et similitude en des applications de C dans C et, réciproquement, à reconnaître l effet géométrique de quelques applications complexes particulières. 184 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

9 1 Introduction 1 1 Activités d introductions. a Présentation historique. Questions 1. Où et quand les textes ci-dessous ont-ils été publiés? 2. Qui en est l auteur? 3. Écrire ces textes en français actuel et en employant les notations mathématiques usuelles 4. Y-a-t-il quelque chose de choquant dans ces écrits? 5. Qu est-ce-qui est mis en évidence dans le premier texte? 6. Comment qualifie-t-il ces quantités dans le second texte et qu affirme-t-il? 7. Dans le texte n 3, qu est-ce-qui justifie l utilisation de ces expressions? Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 185

10 186 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

11 Réponses 1. Ces textes ont été publiés dans la revue de l Académie Royale des Sciences et Belles Lettres, à Berlin en 1746 et la traduction française proposée date de L auteur est Jean Le ROND D ALEMBERT , mathématicien et physicien français, collaborateur de DIDEROT pour la rédaction de son encyclopédie. 3. Traduction Texte n 1 : Soit un polynôme quelconque a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, qui n a aucune racine réelle, alors il existe une quantité «p + q 1» qui annule ce polynôme. Traduction Texte n 2 : On peut toujours écrire sous la forme «p + q 1» l expression imaginaire quelconque de la racine d un polynôme, ou d une quantité quelconque. Traduction Texte n 3 : Ainsi il est évident que l expression q + 27 p3 1 4 q q 27 p3 1 4 q2 1 qui représente la racine d une équation du troisième degré x 3 px + q = 0 sera réductible à une expression algébrique réelle sous certaines conditions, car si 3 a + b a b 1 est l expression de la racine, la première étant réduite à l expression algébrique la seconde se réduira à l expression algébrique et leur somme 2A sera réelle. A +B 1 A B 1 4. D ALEMBERT utilise constamment une quantité «p +q 1» dans laquelle figure «1» qui n est pas définie dans R. 5. Le texte n o 1, affirme que ces quantités permettent de trouver une racine à un polynôme de degré n, même dans le cas où celui-ci n aurait pas de racines réelles. 6. Dans le second texte, il emploie le terme «d expression imaginaire» pour ces quantités. Il affirme ensuite, que ces quantités pourront toujours s écrire sous la forme p + q 1 7. Dans le texte n o 3, D ALEMBERT explique que, dans certains cas, la somme de deux «expressions imaginaires», peut produire un résultat réel et permettre ainsi de retrouver une certaine expression d une racine d une équation du troisième degré. b Application à l équation x 3 15x 4 = 0 Exercice 1 En 1545 le mathématicien italien Jérome CARDAN publia une formule permettant sous certaines conditions de trouver une solution à une équation du troisième degré. On montre qu une équation du troisième degré quelconque peut toujours s écrire sous la forme : x 3 + px + q = 0 Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 187

12 p et q étant deux nombres réels. Une solution à cette équation est alors donnée par la formule suivante : x = 3 q p q q + 3 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par p q 2 f x = x 3 + 2x + 3 et g x = x 3 15x 4 Le but de cet exercice est de vérifier ces formules sur deux équations dont on connaît une solution à priori. 1. a Étudier les variations de ces deux fonctions sur R et dresser leur tableau de variations. b Trouver une solution évidente à l équations f x = 0, calculer g 10 et g 10. c En déduire le nombre de solutions sur R des équations f x = 0 puis g x = Étude de l équation F : x 3 + 2x + 3 = 0. a Appliquer la formule de Cardan à cette équation. b Vérifier que : [ ] = [ 6 3 et ] 3 = c En déduire une expression simple d une solution à l équation F. 3. Étude de l équation G : x 3 15x 4 = 0. a Appliquer la formule de CARDAN à cette équation, que se passe t-il? b Le mathématicien italien BOMBELLI eu l idée d appliquer la formule de Cardan à l équation G et de poursuivre les calculs en considérant que «484» est une certaine entité, que l on va qualifié de "nombre imaginaire". Par utilisation des règles usuelles de calcul on obtient " 484 = 22 2 = 22 1". En 1777 Euler nota i le «nombre imaginaire 1» tel que «i 2 = 1». Cette notation permet de poser «484 = 22i». Écrire alors la formule de CARDAN obtenue pour l équation G. c En appliquant les formules usuelles de calcul dans R, développer 2 + i 3 et 2 i 3 d En déduire une expression simple d une solution à l équation G. Solution 1. a f x = 3x donc f x est positif pour tout réel x, il s ensuit que la fonction f est strictement croissante sur R. On obtient donc le tableau de variations suivant. 3 x + f x + f x g x = 3x 2 15 : c est un trinôme du second degré qui admet deux racines 5 et 5. De plus : M = g 5 = = > 0 m = g 5 = = < 0 On obtient donc le tableau de variations suivant. 188 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

13 x g x g x b On vérifie que 1 est une solution évidente de l équation f x = 0, d après le tableau de variations de la fonction f, c est la seule solution. g 10 = = 846 > 0 et g 10 = = 854 < 0. D après le tableau de variations de g, on peut affirmer que l équation g x = 0 admet trois solutions : Une sur [ 10, 5], une sur [ 5, 5] et une autre sur [ 5, 10]. 2. a Pour cette équation nous avons p = 2 et q = 3, ce qui donne d où De même D où la solution q p q = p q 2 27 q = p q 2 27 = = = = x = b On utilise pour cela les identités remarquables suivantes : a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 et a b 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 3 d où [ ] = = = De même [ ] = = = Donc D où = [ ] 3 [ 1 = 1 + = 1 ] [ 6 3 = 3 1 ] = Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 189

14 et de même [ ] = = En définitive, nous obtenons la solution sous la forme x = = La formule de Cardan permet donc de déterminer l unique solution de l équation E mise en évidence dans la question 2.b. 3. a Pour cette équation, nous avons p = 15 et q = 4 ce qui donne 4p q 2 27 = = 484 Ce nombre étant négatif, il ne sera pas possible d en calculer la racine carrée, bien que nous sachions d après la question 2.b que cette équation admet trois solutions. b La formule de Cardan s écrit alors sous la forme, x = i i = i i c Comme i 2 = 1, on obtient i 3 = i, d où 2 + i 3 = i+6i 2 +ı 3 = i 6 i = 2 + i et 2 i 3 = 8 12i 6 + i = 2 i d Ce qui donne pour la formule de Cardan, c Conclusion 2 x = i + + i = 2 i+2 + i = 4 Nous pouvons remarquer que ces calculs sur des «nombres imaginaires» ont permis d étendre le champs d application de la formule de CARDAN et de trouver des solutions réelles à certaines équations. Il ne reste plus qu à donner un cadre mathématique rigoureux à ces «nombres imaginaires» en précisant leur définition et les règles de calcul. La dénomination «nombres imaginaires» a été abandonnée au profit de celle de «nombre complexe», ce qui fait l objet de la définition suivante. 2 Aspect algébrique des nombres complexes 2 1 Définitions et premières propriétés. a Définitions Définition 1 On appelle nombre complexe un nombre de la forme z = a + ib où a et b sont deux réels et i un symbole tel que i 2 = 1 L ensemble de tous les nombres complexes se note C. Remarque. Ce symbole «i», n est pas un nombre réel, car il n existe pas de nombre réel dont le carré soit égal à Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

15 Exemple i; 1 + i 2 sont des nombres complexes i = 0 est un nombre complexe particulier et d une façon générale : si x est un nombre réel alors x + 0 i = x est un nombre complexe. On peut donc énoncer la propriété suivante : Propriété 1 Tout nombre réel est un nombre complexe particulier, on dit que l ensemble des nombre réels est inclus dans l ensemble des nombres complexes et on note R C De même 3i = 0 + 3i et 2i = 0 + 2i sont des nombres complexes : On dit qu ils sont imaginaires purs : Définition 2 On appelle imaginaire pur tout nombre complexe de la forme ib où b est un nombre réel. L ensemble des nombres imaginaires purs se note ir. On remarquera que 0 est imaginaire pur. Parmi les nombres complexes a +ib, les deux cas particuliers des nombres réels et imaginaires purs, sont obtenus en faisant a = 0 ou b = 0. On définit ainsi la partie réelle et la partie imaginaire d un nombre complexe par : Définition 3 Soient a et b deux nombres réels, et z le nombre complexe a + ib. a est appelé partie réelle de z et b partie imaginaire de z. On note a = Rez et b = Imz On remarquera que la partie imaginaire d un nombre complexe est un nombre réel, il n y a pas de "i". Exemple. La partie réelle de z = 1 i 2 est 1 et sa partie imaginaire est 2 b Premières propriétés Puisque 0 = i il s ensuit que la partie réelle et la partie imaginaire de 0 sont toutes deux nulles, c est à dire que si a = b = 0, alors z = a + ib = 0. Réciproquement supposons que z = a + ib = 0, avec a et b réels. Si b 0, alors z = 0 b i = a i = a b. Ce qui implique que «i» est un nombre réel, ce qui est faux. Donc b = 0, d où z = 0 a + i 0 = 0 a = b = 0, conclusion : Théorème 1 Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont nulles : z = 0 Rez = Imz = 0 D après la définition des parties réelle et imaginaire d un nombres complexe, il est évident que : a. Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Propriété 2 b. Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. z R Imz = 0 et z ir Rez = 0 Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 191

16 On peut donc affirmer que 0 est le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur. Dans l introduction nous avons dit que l on calcule dans C comme dans R, considérons alors deux nombres complexes z = a + ib et z = a + ib, il vient z = z z z = 0 a + ib a + ib = 0 a a + ib ib = 0 a a + i b b = 0 a a = 0 et b b = 0 a = a et b = b Ce qui signifie que z et z on même partie réelle et même partie imaginaire, d où : Théorème 2 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. z = z Rez = Rez et Imz = Imz ou encore a + ib = a + ib a = a et b = b 2 2 Interprétation géométrique. a Définitions Dans les classes antérieures, nous avons vu qu à tout nombre réel on pouvait associer un unique point d une droite, et que réciproquement à tout point M d une droite D on pouvait associer un unique réel appelé abscisse de ce point M et noté x M, à condition d avoir muni cette droite d un repère. Soit un nombre complexe z = a + ib, a et b étant deux réels, il sera naturel de lui associer l unique point M du plan ayant pour coordonnées a,b. Réciproquement à tout point M du plan on associera l unique nombre complexe z = a + ib où a et b sont respectivement l abscisse et l ordonnée de ce point M. Ce nombre complexe se nomme affixe du point M. Il faut au préalable munir le plan d un repère que l on va choisir orthonormé direct. On évitera d avoir recourt à la lettre «i» pour désigner un des vecteurs du repère dans la mesure où cette lettre désigne un nombre complexe particulier. Muni d un tel repère noté O, u, v ou bien O, e 1, e 2, le plan est appelé plan complexe. Dans tout ce qui suit, le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct O, e 1, e 2 Définition 4 On appelle affixe du point M, le nombre complexe z = a + ib où a et b sont dans cet ordre, l abscisse et l ordonnée de ce point M. M est appelé point image du nombre complexe z = a + ib. De la même façon que l on note M a, b pour signifier que M a pour coordonnées a et b, on notera Mz pour exprimer le fait que M a pour affixe z. Si l on considère plusieurs points, on notera z A l affixe de A, z B l affixe de B, etc... Comme la notion de coordonnée s applique également aux vecteurs du plan, on définit de façon analogue l affixe d un vecteur u par : Définition 5 L affixe du vecteur u x, y est le nombre complexe noté Aff u ou Z u défini par Aff u = x + i y 192 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

17 Supposons maintenant que u = AB où A et B ont pour affixes respectives z A = x A + i y A et z B = x B + i y B. Puisque le vecteur AB a pour coordonnées x B x A ; y B y A, nous obtenons : Aff AB = x B x A + iy B y A = x B x A + i y B i y A = x B + i y B x A + i y A = z B z A Théorème 3 Soient deux points Az A et Bz B alors le vecteur AB a pour affixe Z AB = z B z A b Propriétés Nous avons vu qu un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Le point image M d un tel nombre complexe aura comme affixe z = x + 0 i et donc comme coordonnées x, 0 ce qui signifie qu il appartient à l axe des abscisses. Réciproquement, un point de l axe des abscisses a pour coordonnées x, 0 et pour affixe z = x + 0 i = x ce qui implique qu il soit réel. C est pour cette raison que l on nomme l axe des abscisses «axe des réels» et l axe des ordonnées «axe des imaginaires purs». Propriété 3 a. Un nombre complexe est réel si et seulement si son point image appartient à l axe des abscisses. b. un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si son point image appartient à l axe des ordonnées. Exercice 2 Placer les points suivants dans le plan complexe muni d un repère orthonormé O, u, v A 1 ; A 1 ; B i ; B i ; C 1 + i ; C 1 1 i ; D 3 2i ; D i Solution Il suffit de penser à convertir les affixes en coordonnées, cela ne posant aucun problème. D i Bi C1 + i A 1 0 A1 B i C 1 1 i D3 2i Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 193

18 Sur la figure précédente, nous pouvons constater que les points C et C 1 d une part ainsi que D et D 1 d autre part sont symétriques par rapport à l axe des réels. D une façon générale, si un point M a pour affixe z = a + ib alors son symétrique M par rapport à l axe des abscisses aura pour affixe a ib, on dit que les affixes sont conjuguées l une de l autre. Définition 6 Soit un nombre complexe z = a + ib avec a et b réel. On appelle nombre complexe conjugué de z le nombre complexe noté z définit par z = a ib Exemple. 1 + i = 1 i ; 3 2i = 3 + 2i ; i = 0 + i = 0 i = i ; 1 = i = 1 0 i = 1 On remarque que i et i sont opposés alors que 1 et 1 sont égaux. En effet si Mz avec z réel, M sera invariant par la symétrie d axe Ox et donc M z et M z seront confondus d où z = z, et réciproquement. Dans le cas où M a pour affixe un nombre z imaginaire pur, M appartient à l axe Oy et son symétrique par rapport à Ox aura pour affixe z et donc z = z. La réciproque, de ce résultat étant vraie. Ce qui permet de caractériser les nombres réels ainsi que des imaginaires purs par : Propriété 4 a. Un nombre complexe est réel si et seulement s il est égal à son conjugué. b. Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement s il est égal à l opposé de son conjugué. z R z = z et z ir z = z Naturellement si M z est le symétrique de M z par rapport à l axe des abscisses, M z est aussi le symétrique de M z par rapport à l axe des abscisses. Cela signifie que z est le conjugué de z, et donc que z et z sont conjugués l un de l autre ce qui se traduit mathématiquement par z = z D autre part, si l on pose z = a + ib, avec a et b réels, nous obtenons : z + z = a + ib + a ib = = 2Rez et z z = a + ib a ib = a + ib a + ib = 2ib = 2i Imz Ce que l on résume dans la propriété suivante : Propriété 5 z + z = 2Rez Rez = z + z 2 z z = 2i Imz Imz = z z 2i Remarque. Dans la formule donnant Imz en fonction de z et z on n oubliera pas le «i» au dénominateur. Ce résultat signifie aussi que pour tout nombre complexe z la quantité z +z est réelle alors que l expression z z est imaginaire pure. 194 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

19 2 3 Calculs sur les nombres complexes. Exercice 3 Effectuer les opérations suivantes puis placer les points obtenus dans le plan complexe muni d un repère orthonormé O, e 1, e 2 : Solution z 1 = 2 + 5i + 1 2i ; z 2 = 2 + 4i 1 + 3i z 3 = 3 + 2i 1 i ; z 4 = 2 + 3i 3 ; z 5 = 1 + 2i 1 + i z 1 = 3 + 3i ; z 2 = 3 + i ; z 3 = 3 3i+2i 2i 2 = 5 i ; z 4 = i Nous obtenons les points M i ; M2 3 + i ; M3 5 i ; et M i. Concernant le point M 5 z5, il faut exprimer son affixe sous la forme z4 = a + ib avec a et b réels pour en déduire ses coordonnées a, b. La difficulté provient de la présence du «i» au dénominateur, il faut donc pouvoir exprimer l affixe de ce point M 5 sans «i» au dénominateur, c est à dire avec un dénominateur réel. On remarque que le produit 1 + i 1 i = 1 2 i 2 = 1 1 = 2 fournit un résultat réel, d où z 5 = 1 + 2i 1 + i = 1 + 2i 1 i 1 + i 1 i = 3 + i 2 = i 2 M i M i M i M i 2 0 M 3 5 i Une telle expression de z 5, qui permet de lire directement sa partie réelle et sa partie imaginaire s appelle la forme algébrique de z 5. Définition 7 L écriture d un nombre complexe z sous la forme a + ib avec a et b réels s appelle la forme algébrique du nombre complexe z. Nous avons obtenu la forme algébrique de z 5 = 1 + 2i à l aide du produit 1 + i 1 + i 1 i c est à dire le produit 1 + i 1 + i Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 195

20 cette règle est générale Propriété 6 Règle pratique. Pour mettre un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur de ce quotient par le conjugué du dénominateur Soit, z 2 0 alors : Propriété 7 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 Si le dénominateur est sous la forme z = a + ib, avec a et b réels, on obtient alors z z = a + ib a ib = a 2 ib 2 = a 2 i 2 b 2 = a 2 + b 2 On retiendra ce résultat sous la forme de la propriété suivante. Propriété 8 Soit z = a + ib avec a et b réels, alors z z = a 2 + b 2 Exercice 4 Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants : z 1 = 2 + 3i 2 3i ; z 2 = 2 + 3i 2 ; z 3 = 1 i ; z 4 = 2 3i 2 i Solution z 1 = 2 2 3i 2 = 4 9i = 13 z 2 = i+ 3i 2 = i+9i 2 = i 9 = i z 3 = 1 i = i 1 = i 2 3i 2 + i z 4 = = i 6i 2 i 2 + i = 7 4i = i Remarque. On remarque que l on peut appliquer, au même titre que dans R, les identités remarquables classiques. Cependant, dans R il est impossible de factoriser une expression de la forme a 2 + b 2, mais dans C nous avons obtenu que a 2 + b 2 = a + ib a ib cette «nouvelle identité remarquable» se généralise au cas où les deux termes sont des nombres complexes. Identités remarquables dans C z + z 2 = z 2 + 2z z + z 2 Propriété 9 z z 2 = z 2 2z z + z 2 z 2 z 2 = z z z + z z 2 + z 2 = z + i z z i z 196 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

21 Remarque. A ce stade de l étude des nombres complexes, nous constatons que dans l ensemble C nous pouvons calculer comme dans R avec une identité remarquable en plus! Considérons à présent l équation x = 0, elle n a pas de solution dans R, mais si maintenant nous considérons cette même équation dans C, nous obtenons : z = 0 z = 0 z + i z i = 0 z + i = 0 ou z i = 0 Ce qui donne cette fois ci deux solutions distinctes z = i ou z = i. Nous montrerons prochainement que toute équation du second degré à coefficients réels admet dans C deux solutions distinctes ou confondues. Un théorème, qui dépasse très largement le cadre de ce cours, va plus loin et affirme que : toute équation de degré n dans C admet exactement n solutions distinctes ou confondues. Cet énoncé est le célèbre théorème de D Alembert-Gauss. Mais y a-t-il une contre partie à tout cela? Essayons de déterminer le signe de i, que i soit positif ou négatif, comme on retrouve les règles de calcul applicables dans R, on aurait i 2 = i i positif. Or i 2 = 1, cela n a donc pas de sens de parler du «signe de i» ainsi que du signe de tout autre nombre complexe quelconque : La notion de signe d un nombre complexe quelconque n a pas de sens. Revenons sur l expression zz = a 2 + b 2 lorsque z = a + ib avec a et b réels. L expression du résultat sous la forme d une somme de deux carrés fait penser géométriquement au théorème de Pythagore. En effet, si nous considérons le point Ma + ib alors la distance OM est égale à OM = a b 0 2 = a 2 + b 2 Ainsi le produit zz = a 2 + b 2 apparaît comme le carré de la distance OM, cela va donc nous permettre d obtenir d autres interprétations géométriques des nombres complexes, et réciproquement de traduire des propriétés géométriques faisant intervenir les distances à l aide des nombres complexes. L intérêt de cette remarque est manifeste, par commodité on pose la définition suivante. Définition 8 On appelle module du nombre complexe z = a + ib avec a et b réels la distance OM où M est le point du plan complexe d affixe z, on note ce module z donc : z = a + ib = a 2 + b 2 = OM Donnons une première application géométrique de cette notion : Considérons deux points A x A, y A et B xb, y B d affixes respectives za = x A + i y A et z B = x B + i y B, puisque z B z A = x B + i y B xa + i y A = xb x A + i y B y A d après la formule usuelle donnant la distance entre deux points du plan, il vient D où le théorème xb 2 2 AB = x A + yb y A = z B z A Théorème 4 Soient A et B deux points d affixes respectives z A et z B alors AB = z B z A Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 197

22 Une conséquence de la définition du module est que zz = a 2 + b 2 = z 2 Propriété 10 et donc que pour z 0 on a z z = z z z 2 Le symbole ne doit être utilisé, conformément à sa définition, qu avec des nombres réels positifs, même si dans l introduction on a "travaillé" sur des radicaux contenant le symbole i. Remarque. Que se passe-t-il si le nombre complexe z est réel? Nous obtenons z = a + 0i = a = a 2 Or a 2 est égale à la valeur absolue du nombre réel a que l on note de la même façon a! Ce qui signifie, que si l on se restreint aux nombres réels, les notions de module et de valeur absolue se confondent. Précisons à présent les liens entre module, complexes conjugués et les quatre opérations : 2 4 Propriétés de la conjugaison et du module. Dans tout ce qui suit z = a + ib et z = a + ib sont deux nombres complexes écrits sous forme algébrique et le plan complexe est muni d un repère orthonormé O, u, v On rappelle que z = a ib et que z = a 2 + b 2 = OM avec Mz. Comme Mz et Pz sont symétriques par rapport à Ox, les distances OM et OP sont égales z = z Mz et Q z étant symétriques par rapport à O, les distances OM et OQ seront égales z = z z = a + i b = a i b = a ib = z, d où z = z Conjugué d une somme ou d une différence : z + z = a + ib + a + ib = a + a + i b + b = a + a i b + b = a ib + a ib, d où z + z = z + z et de même z z = z z Module d une somme ou d une différence : Soient M z, M z et R z+z, alors z + z = OR, or d après l inégalité triangulaire valable pour tous les points du plan, on obtient z + z = OR OM +MR z M + z R z M z + z + z z z + z 198 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

23 On retiendra donc que z + z z + z Cette inégalité étant valable également pour une différence. Elle porte le même nom que l inégalité géométrique servant à sa démonstration, à savoir inégalité triangulaire entre nombres complexes. Conjugué d un produit. z z = a + ib a + ib = aa bb + i ab + i a b = aa bb + i ab + a b = aa bb i ab + a b = aa i ab bb i a b = a a ib + i 2 bb i a b = a a ib i a b + i 2 bb = a a ib ib a ib = a ib a ib = z z On peut également procéder en deux temps : z z = a + iba + ib = aa bb + i ab + i a b = aa bb + i ab + i a b = aa bb + i ab + a b = aa bb i ab + a b et z z = a ib a ib = a a ib ib a ib = aa i ab ba i bb = aa bb i ab + a b Donc z z = z z On retiendra que : Le conjugué d un produit est égal au produit des conjugués Module d un produit. z z 2 = z z z z = z z z z d après le résultat précédent. Il s ensuit que z z 2 = z z z z = z 2 z 2 = z z 2 Les quantités z z et z z ont donc des carrés égaux, or comme se sont des nombres réels positifs nous pouvons en conclure qu ils sont égaux, d où : z z = z z Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 199

24 On retiendra que : Le module d un produit est égal au produit des modules Module et conjugué d une puissance. Soit n un entier naturel non nul. Considérons un produit de n facteurs égaux à z, en réitérant n fois les deux propriétés précédentes, nous obtenons que : z n = z n et z n = z n Conjugué d un quotient. Supposons z 0, il vient z z z = z Or z z z = z, d où z z = z et donc : z z z d après la propriété précédente. z z z z = z z = z z On retiendra que : Le conjugué d un quotient est égal au quotient des conjugués. En particulier si le numérateur vaut 1, nous obtenons pour z 0 Module d un quotient. Par un raisonnement analogue, il vient que : D où 1 z = 1 z z z z = z z z = z z z = z z On retiendra que : Le module d un quotient est égal au quotient des modules. En particulier si le numérateur vaut 1, nous obtenons pour z 0 1 z = 1 z Nous allons résumer tous ces résultats dans la propriété suivante. Propriété z + z = z + z z z = z z z + z z + z z z = z z z n = z n z n = z n z z = z z z = z z z 1 = 1 1 z z z = 1 z Donnons comme application de ces propriétés un exercice dont le résultat nous servira ultérieurement. 200 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

25 Exercice 5 Soient a, b et c trois réels tels que a 0. Montrer que si l équation E : az 2 + bz + c = 0 admet une solution complexe ζ, alors ζ est aussi solution de cette équation. Solution ζ solution de az 2 + bz + c = 0 aζ 2 + bζ + c = 0 aζ 2 + bζ + c = 0 aζ 2 + bζ + c = 0 a ζ 2 + b ζ + c = 0 a ζ 2 + b ζ + c = 0 d après les propriétés de la conjugaison. Or les coefficients a,b et c sont supposés réels d où a = a ; b = b ; c = c Donc aζ 2 + bζ + c = 0 Ce qui signifie que ζ est une solution de l équation az 2 + bz + c = 0. Pour clore cet exercice, on peut remarquer que ce résultat restera valable pour une équation de degré quelconque à condition que ses coefficients soient réels. 2 5 Exemples d équations dans C a Équations classiques et équations en z et z Résoudre dans C les équations suivantes : 1. i z + 2 i = 0 i z = 2 + i z = 2 + i i z = 2 i + 1 z = 2i+1 z = 1 + 2i Conclusion : S = { 1 + 2i } On résout ces équations par les mêmes méthodes que l on utilise dans R. On donnera les solutions sous forme algébrique. 2. z 1 z i = i Le domaine de cette équation est C \ {i}, il vient pour tout z i Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 201

26 z 1 z i = i z 1 = i z i z i z = 2 z = 2 1 i z = i 2 Conclusion : S = { 1 + i } 3. 2i z + 3z 1 + i = 0 Cette équation présente la particularité de faire intervenir à la fois z et z. Comme z C, nous devons distinguer z de z. Ce qui conduit à faire intervenir la forme algébrique de z en posant z = x + i y avec x et y réels, et donc z = x i y, Il vient : 2i z + 3z 1 + i = 0 2i x + i y + 3 x i y 1 + i = 0 2i x 2y + 3x 3i y 1 + i = 0 3x 2y 1 + i 2x 3y + 1 = 0 Les parties réelle et imaginaire du nombre complexe figurant au membre de gauche de cette dernière égalité sont donc nulles, il en résulte le système : 3x 2y 1 = 0 6x 4y = 2 2x 3y + 1 = 0 6x 9y = 3 On soustrait la deuxième de la première équation, il vient 5y = 5 soit y = 1. En remplaçant dans la première, on obtient 6x 4 = 2 d où x = 1. En définitive, nous obtenons z = x + i y = 1 + i, soit S = { 1 + i } b Équation du second degré dans C à coefficients réels. Considérons l équation du second degré d inconnue z C et de coefficients réels a,b et c avec a 0 : E : az 2 + bz + c = 0 La forme canonique du trinôme du second degré est valable également dans C, nous obtenons donc : [ az 2 + bz + c = a z + b 2 ] b2 4ac 4a 2 Posons = b 2 4ac, tous les coefficients étant réels on peut discuter selon le signe de, il vient Si = 0 alors [ E a z + b 2 ] = 0 z + b = 0 z = b On retrouve une solution double 202 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

27 Dans le cas où > 0, l expression canonique se factorise comme dans R, et nous obtenons les deux solutions réelles : z 1 = b + Si est strictement négatif, alors > 0 et donc et z 2 = b [ E a z + b 2 ] 4a 2 = 0 [ a z + b 2 + ] 4a 2 = 0 [ a z + b 2 2 ] + = 0 z + b = 0 Cette dernière expression ne se factorisant pas dans R nous obtenons aucune solution réelle. Mais nous avons vu que Z 2 +Z 2 = Z + iz Z iz En posant Z = z + b et Z = nous obtenons : E z + b + i z + b + i z = b + i z = b i Ce qui donne deux solutions complexes conjuguées. z + b i z + b i ou z = b i ou z = b + i = 0 = 0 Dans C une équation admet toujours deux solutions distinctes ou confondues. Si = 0 une solution double z 0 = b Théorème 5 Si > 0 deux solutions réelles distinctes : z 1 = b + ou z 2 = b Si < 0 deux solutions complexes conjuguées : z = b + i ou z = b i Remarque. Dans le cas particulier où a = 1, b = 0 nous obtenons l équation z 2 + c = 0 z 2 = c Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 203

28 équation que l on va écrire sous la forme z 2 = β, où β est un nombre réel quelconque Si β > 0, on obtient Si β < 0, on obtient z = β ou z = β z = i β ou z = i β Remarque. Si l on considère une équation à coefficients complexes, le raisonnement ci-dessus ne s applique plus car il est alors impossible de discuter selon le signe de puisque la notion de signe n a pas de sens dans C. Nous traiterons en exercice des exemples de telles équations. Exercice 6 Résoudre dans C les équations suivantes. 1. z 2 5z + 6 = 0 : = 1 : deux solutions réelles. 2. z 2 + 6z + 9 = 0 : = 0 : une solution double réelle z 1 = 2 ou z 2 = 3 z 0 = 3 3. z 2 + z + 1 = 0 = 3 : deux solutions complexes conjuguées. z 1 = 1 + i 3 2 z 2 = 1 i 3 2 = i 3 2 = 1 2 i z iz + i = 0 La méthode ne s applique pas car les coefficients ne sont pas tous réels, on ne peut pas actuellement résoudre une telle équation. 2 6 Exercices types. a Exemple d équations du second degré à coefficients complexes. On considère la dernière équation de l exemple précédent : z i z + i = 0 La méthode consiste à trouver une solution évidente ou bien à vérifier qu un certain nombre complexe est effectivement solution de cette équation. 1. Montrer que i est solution. 2. Déterminer le nombre complexe ζ tels que i i i+i = 1 i i 2 +i = 1 i+1 + i = 0 z i z + i = z i z ζ 204 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

29 Nous obtenons z i z + i = z i z ζ z i z + i = z 2 ζ z i z + i ζ Nous obtenons directement ζ = 1, d où 3. En déduire les solutions à l équation proposée. On trouve directement z = i ou z = 1, soit z i z + i = z 2 + i ζ z + i ζ 1 i = i ζ i = i ζ z iz + i = z iz 1 S = { 1; i } On peut également montrer que 1 est racine évidente et procéder en suite à la factorisation. On constate que cette équation admet deux solutions, mais qui ne sont pas conjuguées. b Exemple d équations du troisième degré à coefficients complexes. Exercice 7 On considère l équation : E : z i z i z i = 0 1. Montrer que E possède une solution imaginaire pure que l on déterminera. Un nombre complexe imaginaire pur s écrit sous la forme z = ib où b est un réel quelconque. Dire que ib est une solution de l équation E signifie que le nombre complexe i b vérifie l équation, donc que si l on remplace z par ib nous obtenons 0 z = ib solution de E ib i ib i ib i = 0 i 3 b i i 2 b 2 ib + i 2 b i = 0 ib i b 2 ib b i = 0 ib 3 b 2 ib 2 ib b i = 0 Le nombre complexe obtenu dans le membre de gauche de la dernière égalité est donc nul. Or un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles, il faudra donc écrire ce nombre complexe sous forme algébrique afin d en déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire. z = ib solution de E b 2 b + i b 3 b 2 b 1 = 0 b 2 b = 0 b 3 b 2 b 1 = 0 La première équation donne facilement b = 0 ou b = 1, en vérifiant dans la deuxième on constate que 0 ne convient pas mais que 1 convient. En conclusion z = i 1 = i est une solution imaginaire pure à l équation E. Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 205

30 2. Déterminer deux réels b et c tels que z i z i z i = z + i z 2 + bz + c : 1 La méthode consiste à développer et ordonner selon les puissances de z le membre de droite. Puis d identifier les coefficients des puissances de z de part et d autre de l égalité obtenue. C est un raisonnement par équivalence, on utilisera donc le symbole " ". 1 z i z i z i = z 3 + bz 2 + cz + i z 2 + ibz + ic z i z i z i = z 3 + b + i z 2 + c + ib z+ic 1 + i = b + i 1 + i = c + ib i = ic La dernière équation donne directement c = 1 et dans la deuxième nous obtenons b = 1, valeur qui vérifie la première équation d où 3. En déduire les solutions de l équation E z i z i z i = z + i z 2 + z 1 E z + i z 2 + z 1 = 0 z + i = 0 où z 2 + z 1 = 0 La première équation fourni la solution imaginaire pure déterminée au début de l exercice, à savoir z 1 = i. Résolvons la seconde équation : = 5, nous obtenons donc deux solutions réelles : z 2 = 1 5 ou z 3 = En conclusion, l équation E admet trois solutions : S = { i; 1 5 ; 1 + } c Détermination de partie réelle et imaginaire. Soit z un nombre complexe différent de i, on pose z = x + i y avec x et y réels, et on considère le nombre complexe Z = z i z Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et de y. Il faut donc mettre Z sous forme algébrique, c est à dire multiplier le numérateur et le dénominateur de Z par le conjugué de 1 + i z, c est à dire par 1 + i z = 1 + i z = 1 + i z = 1 i z D où Or nous savons que Z = z i z 1 + i z 1 i z = z i zz + 1 i z 1 i z + i z i 2 zz zz = x 2 + y 2 z + z = 2x et z z = 2i y Faisons apparaître ces relations dans l égalité précédente. 206 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

31 Z = z i zz + 1 i z 1 + i z z + zz = x + i y i x 2 + y i x i y 1 + i 2i y + x 2 + y 2 = x + i y i x2 i y i x y 1 2y + x 2 + y 2 = x + 1 y + i x 2 y 2 + y x 1 2y + x 2 + y 2 Le dénominateur étant réel il suffit de «séparer en deux» le numérateur de Z pour obtenir le résultat souhaité : x + 1 y Z = 1 2y + x 2 + y 2 + i x2 y 2 + y x 1 2y + x 2 + y 2 Ce qui donne ReZ = x + 1 y 1 2y + x 2 + y 2 et ImZ = x2 y 2 + y x 1 2y + x 2 + y 2 3 Considérations historiques 3 1 Les algébristes italiens du XVI ème siècle La formule permettant de trouver une solution réelle à une équation du troisième degré à l aide d un "calcul symbolique" faisant intervenir " 1", porte le nom de formule de CARDAN Mais la paternité de cette dernière semble revenir en fait à NICCOLO FONTANA dit TARTA- GLIA qui s est inspiré lui même des travaux de SCIPIONE DEL FERRO Mais c est RAPHAËL BOMBELLI qui le premier à introduit et manipulé de manière systématique les nombres imaginaires. L étude de la résolution des équations a été poussée jusqu au degré 4 par LUDOVICO FERRARI qui résolu l équation x 4 + 6x = 60x en 1540, et généralisa sa méthode à toute équation de degré Les mathématiciens du XVII-XVIII ème siècle C est RENÉ DESCARTES , qui bien que réticent à leur utilisation, leur donna le nom de "nombres imaginaires" qui restera en vigueur jusqu en Au début de cette période, les mathématiciens ont utilisés les nombres imaginaires, mais en essayant de les faire disparaitre au maximum. C est au cours du XVIII ème siècle que se manifesta tout leur intérêt avec les travaux de LEON- HARD EULER , qui a introduit le premier la notation "ı" pour " 1", de JEAN LE ROND D ALEMBERT pour sa démonstration presque complète du théorème fondamental de l algèbre, et de CARL FRIEDRICH GAUSS à qui on doit l appellation de "nombres complexes" l introduction d une correspondance avec les points du plan. AUGUSTIN LOUIS CAUCHY donna aux nombres complexes toute la rigueur nécessaire à leur utilisation dans les branches les plus diverses des mathématiques. Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 207

32 Résumé du cours Définitions Définition 1 Définition d un nombre complexe. On appelle nombre complexe un nombre de la forme z = a + ib où a et b sont deux réels et i un symbole tel que i 2 = 1. L ensemble de tous les nombres complexes se note C Dans tout ce qui suit a et b seront deux réels. Définition 2 Partie réelle et imaginaire, forme algébrique. Le réel a est appelé partie réelle du nombre complexe z = a + ib, on le note Rez. Le réel b est appelé partie imaginaire du nombre complexe z = a + ib, on le note Imz. L écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du complexe z. Définition 3 Nombre complexe imaginaire pur. On appelle imaginaire pur un nombre complexe dont la partie réelle est nulle. L ensemble des nombres imaginaires purs se note ir. z ir Rez = 0 Définition 4 Nombres complexes conjugués. Soit le nombre complexes z = a + ib, on appelle conjugué de z le nombre complexe noté z et défini par : z = a + ib = a ib On remarque que z = z Définition 5 Module d un nombre complexe. Soit z = a + ib, on appelle module de z, le nombre réel positif noté z et défini par z = zz = a 2 + b 2 Soit zz = z 2 Propriétés Égalité de deux nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : Propriété 1 z = z Rez = Rez et Imz = Imz En particulier z = 0 Rez = Imz = Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

33 Soit z = a + ib, alors : Propriété 2 z + z = = 2Rez a = Rez = z + z 2 z z = 2ib = 2i Imz b = Imz = z z 2i Propriété 3 Pour z 0 on a zz = a 2 + b 2 = z 2 z z = z z z 2 Propriété 4 z + z = z + z z z = z z z + z z + z z z = z z z n = z n z n = z n z z = z z z = z z z 1 = 1 1 z z z = 1 z Résolution dans C de l équation à coefficients réels az 2 + bz + c = 0. Soit = b 2 4ac, alors : Si > 0, deux solutions réelles distinctes : Propriété 5 z 1 = b + et z 2 = b Si = 0, une solution double réelle : z 0 = b Si < 0, deux solutions complexes conjuguées : z 1 = b + i et z 2 = z 1 = b i Aspect géométrique. Le plan est muni d un repère orthonormé direct O, e 1, e 2 Définition 6 Affixe et point image. A tout point M a, b on associe un unique complexe z M = a + ib appelé affixe du point M. Réciproquement, a tout nombre complexe z = a + ib on associe un unique point M de coordonnées a,b appelé point image du complexe z = a + ib. Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 209