Série Maths. Nombres complexes. . Exercice n 1 : On considère l'équation : 2 Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0

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1 . Exercice n 1 : On considère l'équation : Z² - 4 i Z 3- i 3 = 0 1- Montrer que cette équation possède deux solutions complexes distinctes Z 1 et Z. - On désigne par M 1 et M les points du plan complexes d'affixes respectives Z 1 et Z 3. Placer les points M 1 et M dans le plan complexe rapporté à l'origine Soit I le milieu du segment [M 1 M ]. Calculer d'affixe Z 3 de I. 4- Calculer les modules de Z 3, Z 3 - Z 1 et Z 3 - Z. - Quelle est la nature du triangle OM 1 M. Exercice n : Soit dans C la fonction f définie par : f(z) = Z 3 - (1 + 3 i) Z² - ( - 7i) Z Montrer qu'il existe un réel unique b tel que "bi" soit solution de l'équation f (Z) = 0. - Factoriser la fonction f. 3- Résoudre dans C l'équation : f (Z) = 0. Exercice n 4 : et sont deux constantes réelles. 1- résoudre dans C l'équation : Z² - ( cos + i sin ) Z + ² - 1 = 0. - Préciser suivant le module et un argument de chaque solution. Exercice n : 1- Résoudre dans C l'équation : (1) : Z² - Z cos + 1 = 0 où R. Donner les solutions sous forme trigonométrique. En déduire la résolutio dans C de l'équation () : Z 4 - Z² cos + 1 = 0. - On désigne par M 1, M et M 4 les points d'affixes Z 1, Z, Z 3 et Z 4, solutions de (). Pour quelles valeurs de, (0 < < ) ces quatre points sont-ils les sommets d'un carré. 3- Décomposer en un produit de deux facteurs du second degré à coefficients réels le polynôme : F (x) = x 4 - x cos + 1 Exercice n 6 : Soit dans C l'équation : Z Z Z² + (6-i) Z i = 0. Cours En Ligne Pour s inscrire : Page 1 sur 8

2 1- Montrer que l'équation admet (-1) et (i) comme solution. En déduire la résolution de l'équation. 1- On désigne par Z 1 Z et Z 3 les solutions non réelles de l'équation. On désigne par M 0, M 1 M et M 3 les points d'affixes - 1, Z 1, Z et Z 3. Montrer que M 1 M M 3 est équilatéral de centre M 0. Exercice n 7 : Soit a un nombre complexe non nul, soit l'équation : (E) : Z² - a (7 + i 3 ) z + a² (3 + i 3 ) = Trouver les racines carrées de u i. - Calculer les racines Z 1 et Z de (E). 3- Vérifier que Z - a = u (Z 1 - a), (Z 1 est la racine de la forme a). En déduire la nature du triangle AM 1 M, où A(a), M 1 (Z 1 ) et M (Z ). 4- Dessiner le triangle dans le cas où a = 1 + i. Exercice n 8 : 1- Résoudre dans C l'équation P (Z) = 0. Où P (Z) = (Z²+3Z)² + (3Z+)². - Montrer que P(Z) est le produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels. Exercice n 9 : 1- Déterminer les racines carrées de i. - Soit dans C l'équation: Z² - (3+4i) Z + i -1 = 0 (1) résoudre cette équation. 3- Soit l'équation () : Z 3 - (3+7i) Z² + ( i) Z+1+3i = 0. Montrer que l'équation () admet une solution imaginaire pour que l'on précisera. Achever alors la résolution de (). 4- Placer dans le plan complexe rapporté à un r.o.n. (o, i, j) les points A (1+i), B (+3i) et C (3i). Déterminer l'affixe du point D pour que ABDC soit un parallélogramme. Montrer que ABDC est un losange. Exercice n 10 : On considère les nombres complexes 1i 3 et 3i 3. Cours En Ligne Pour s inscrire : Page sur 8

3 1- Ecrire et sous forme exponentielle. - Soit ]0, [ a) Résoudre dans C : Z² - Z e i = 0. Z 1 étant ls solution ayant une partie imaginaire positive et Z l'autre solution. b) Ecrire Z 1 et Z sous forme trigonométrique. 3- déterminer pour que l'on ait Z 1 = et Z =. Exercice n 11 :1- Résoudre dans C l'équation : (1+i) Z² - Z + 1-i = 0. - Soit m C et m =. Résoudre dans c l'équation : m Z²-Z + m = 0 (E); 3- Dans la suite de l'exercice on prend m = e i ; IR. a) Montrer que les racines z' et z'' de (E) s'écrivent sous la forme i( ) 4 i( ) 4 z' e et z'' e. b) Dans le plan complexe rapporté à un r.o.n. (o, i, j) on désigne par M' et M'' les pointss d'affixes respectives z' et z'' et M le point d'affixe z' + z''. Montrer que z ' = i. En déduire que les vecteurs OM' et OM'' sont orthogonaux. z'' c) Montrer que le quadrilatère OM'MM'' est un carré. Exercice n 1: 1- Résoudre dans C l'équation : Z² - ( +1 cos ) Z + = 0 ; où [0, [. Mettre les solutions sous forme trigonométrique. ) dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on désigne par A et B les points images de ces deux solutions. Déterminer pour que le triangle OAB soit rectangle. Cours En Ligne Pour s inscrire : Page 3 sur 8

4 Exercice n 13: Soit,. On considère l'équation d'inconnue complexe Z : (E) (1+iZ) 3. (1-i tan ) = (1 - i Z) 3. (1+ i tan ). 1- Soit Z 0 une solution de (E) a) Montrer que 1+ i Z 0 = 1 - i Z 0. b) En déduire que Z 0 est réel. -a) Exprimer 1 itan 1itan en fonction de ei. b) Soit Z un réel. On pose Z = tg, où résoudre.. Ecrire l'équation portant sur, traduisant (E). La c) Déterminer alors les solutions Z 1, Z et Z 3 de (E); Exercice n 14: Soit Z 0 cos isin 1- On pose = Z 0 + Z 4 0 et = Z 0 + Z 3 0. a) Montrer que 1 + Z 0 + Z 0 + Z Z 4 0 = 0 En déduire que et sont solutions de l'équation (1) suivante : X² + X - 1 = 0 b) Déterminer en fonction de cos b) Résoudre (1). En déduire la valeur de cos Exercice n 1: Soit A(1) et B(-1). Deux points N et M d affixes z et Z varient de manière : Z 1(z1). z 1 /Démontrer que (MN) est la bissectrice de ), et que MN =MA.MB. ( MA MB Cours En Ligne Pour s inscrire : Page 4 sur 8

5 / Démontrer que Z z. En déduire que : ( MA, ) MB NA, NB Z 1 1 z /Quel est l ensemble des points M lorsque N décrit un cercle passant par A et B. Exercice n 16: Soit a un complexe non nul et n N ; n. 1 /On suppose que z et z sont deux racines n-ièmes de a. Démontrer qu alors z =u k z, où u k est l une des n racines n-ièmes de l unité,avec 0 k n-1. /Réciproquement, supposons que z soit une racine n-ième de a, démontrer qu alors u k z en est également une. 3 /a-déterminer sous forme trigonométrique les solutions de l équation : z i. b-en utilisant les racines cubiques de l unité, écrire les solutions de cette équation sous forme algébrique. c-en déduire les valeurs de cos 11 et de sin Exercice n 17: Résoudre dans C l'équation (1): z 3 =-1. En déduire une méthode de résolution dans C de l équation : (z-1) 3 +(z+) 3 =0 ;(). Résoudre l équation () par une autre méthode. Exercice n 18: 1 /Résoudre dans C l'équation (1): z =1.Montrer que les racines de cette équation sont :z 0 =1, i 3 4, z = z 1, z 3 = z 1, z 4 = z 1. z 1 e En déduire que : a-les images de z 0, z 1, z, z 3 et z 4 sont les sommets d un pentagone régulier convexe inscrit dans le cercle trigonométrique. b- z 0 + z 1 +z + z 3 + z 4 =0. Interpréter géométriquement cette égalité. Exercice n 19: 1 /Résoudre dans C l'équation (1): z =-i.on écrira les racines sous forme trigonométrique /Calculer la somme des racines et interpréter géométriquement ce résultat 3 / Résoudre dans C l'équation :1+iz- z -i z 3 +z 4 =0. Exercice n 0: On se propose de résoudre dans C l'équation (1): z 6 =117+44i. Cours En Ligne Pour s inscrire : Page sur 8

6 a- Vérifier que 1+i est une solution de l équation (1). b- Résoudre dans C l'équation u 6 =1.On exprimera les solutions sous forme trigonométrique et sous forme algébrique. c- En déduire les solutions de l équation (1).. Exercice n 1: 1 /Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé O,u,v Au nombre complexe a, on associe le point A (a). a- Représenter dans le plan P l ensemble (S) des points A tels que : a-1 = a. b- Montrer que si A (S), on a : a 1 a. En déduire la relation : a) arg(a 1) arg(. /On se propose de résoudre dans C, l'équation (E) : z 3 =i( z-1 ) 3. a- Montrer que si z est solution de (E), on a : z-1 = z. A quel ensemble appartient alors l image de z? b- On pose arg(z)= θ. Pour quelles valeurs de θ, z est-il solution de l équation (E)? c- Construire dans P, les images des solutions de (E) puis écrire sous forme trigonométrique ces solutions. Exercice n : Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé O,u,v. 1 /Soit dans P les points M 1,M,M 3 d affixes respectives les complexes z 1, z, z 3. Soit j= 1 i 3. Montrer que le triangle M1 M M 3 est équilatéral si, et seulement si : z 1 +j z +j z 3 =0 ou z 1 + j z +jz 3 =0. /Soit dans l ensemble C des nombres complexes l équation (E) : z 3 -(1+a+ia) z +a(1+i+ia)z-ia =0;où a C. a- Vérifier que (E) admet une solution réelle pure γ. Achever la résolution de (E). On notera α et ß,les deux autres solutions. b- Soit dans P les points A,B,C d affixes respectives α, ß et. Déterminer a de manière que ABC soit équilatéral. Exercice n 3: Soit θ un paramètre réel de ]0, [ et (E) l équation dans C définie par : z 3-4 z +(-e i )z - +e i =0. 1 /a- Vérifier que z 0 =,est une solution de l équation (E). b- Trouver alors les deux autres solutions z 1 et z de (E) ; avec Im(z 1 )>0. c- Ecrire sous forme trigonométrique z 1 et z. /Soit A, M 1,M les points d affixes respectives les complexes, z 1, z dans Le plan P muni d un repère orthonormé O,u,v. a- Montrer que M 1 et M sont symétriques par rapport à un point fixe I que l on déterminera. b- Trouver l ensemble (γ 1 ) décrit par le point M 1 lorsque θ varie. En déduire l ensemble (γ ) décrit par le point M. c-en utilisant les résultats précédents, montrer que OM 1 A M est un rectangle. Dans quel cas OM 1 A M est un carré? 3 /On considère l application f : P P Cours En Ligne Pour s inscrire : Page 6 sur 8

7 M(z) M (z ) tel que z =z-z. Soit () le cercle de centre I et de rayon 1.Montrer que f()=(). 4 /Soit M un point de (γ 1 ) et M un point du segment [MO] tel que MM =AM. a- Placer M et M dans un cas de figure. b- Déterminer l affixe z de M. c-en déduire l ensemble des points M lorsque θ varie. Exercice n 4: Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v 3 i 1 i 3 C et D d'affixes respectives,, a= et b=. 1 / Ecrire, et sous forme trigonométrique. En déduire la nature du triangle ABO. / Placer les points A, B, C et D dans le plan et montrer que OACB est un carré. 3 / En déduire la forme trigonométrique de a et b., on considère les points A, B, / Déterminer alors les valeurs de cos, sin, cos et sin Exercice n : Soit un réel de l'intervalle ]0, [. 1 /a)déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants: i 3i z 1 =1- e et z =1- e. b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z 3 =1+ e i i + e. / Résoudre dans C l'équation ( E ): z i 3i -(+ e )z+1- e =0. On donnera les solutions sous forme exponentielle. Exercice n 6: Soit un réel de l'intervalle ]0, [. et l'équation dans C : (E): z 3 + 4z i i + (- e )z - 4isin. e = 0. i i 1 /a) Prouver que e est une racine carrée de 1+isin. e. b) Montrer que z 0 =- est une solution de (E) puis la résoudre. / On donne les points A, M 1 et M d'affixes respectives -, z 1 = -1+ e i i et z = -1- e. z 1 a) Mettre sous forme exponentielle z 1 et. z b) Montrer que les points M 1 et M sont symétriques par rapport à un point fixe I. c) Déterminer l'ensemble ( 1 ) des points M 1 lorsque varie et en déduire l'ensemble ( ) des points M et les construire. d) Montrer que OM 1 AM est un rectangle puis déterminer la valeur de pour laquelle on obtient un carré. Exercice n 7: étant un réel de ]0, [ et z un nombre complexe. On pose P(z)=z 3 -(1-sin )z +(1-sin )z-1. 1 /a) Calculer P(1). a) Résoudre dans C l'équation P(z)=0. et écrire les solutions sous forme exponentielle. / Résoudre dans C l'équation U 3 = e i( ). 3 / Vérifier que pour tout réel, on a: 1+ e i = cos ( ).e i 4 / Résoudre dans C l'équation (z-1) 6 + sin (z-1) = 0. Cours En Ligne Pour s inscrire : Page 7 sur 8.

8 Exercice n 8: Soit le nombre complexe u=1+i et son conjugué. 1)a- Mettre u= et sous forme trigonométrique n b- Soit n un entier naturel. On pose S n =.Déduire que S n = cos( n ) où n est un réel 4 à préciser en fonction de n. c-pour quelles valeurs de n a-t-on S n =0? d- Prouver que si n est pair, S n est un entier relatif. ) On suppose que n est un entier naturel pair et on pose n=m. a- Ecrire, par la formule du binôme, les développements de (1+i) m et de (1-i) m à l aide des puissances de i, puissances que l on ne cherchera pas à simplifier dans cette question. b- Pour p, entier naturel, simplifier : i p+1 + (-i) p+1 et i p + (-i) p. c- Application : pour n=4 (donc m=1). En utilisant ce qui précède, montrer que : Exercice n 9: 1 p0 ( 1) p C p 4 On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, u, v ). désigne un nombre réel de l intervalle ]-π,+π[. Pour tout, on définit le nombre complexe z( )= 1 (1+e i ). 1 i 1)a-Calculer (1+e i ). e b-calculer le module et un argument de z( ). ; en déduire que le nombre complexe (1+e i ) a pour argument. c-représenter dans le plan complexe z( 6 ). ) Soit M le point d affixe z( ) et A le point d affixe 1. On projette orthogonalement A en P sur la droite (OM). Quel est l ensemble des points P quand varie dans ]-π,+π[? Calculer la distance PM. (On discutera suivant ). 3) Donner une construction géométrique de l ensemble des points M (construction point par point). Cours En Ligne Pour s inscrire : Page 8 sur 8