FONCTIONS EXPONENTIELLES EXERCICES CORRIGES

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1 Cours t rcics d mathématiqus FONCTIONS EPONENTIELLES EERCICES CORRIGES Ercic n Résoudr dans ls équations suivants ln( ln 8 9 ln Ercic n Détrminr ls racins du polynôm + P + 4 En déduir ls solutions d l équation + 4 Résoudr ls équations suivants : + + a + b + c + Ercic n - Equations mêlant logarithms t ponntills A + Dévloppr l prssion : Résoudr ls équations suivants : (a + (b Ercic n 4 Résoudr ls systèms d'équations suivant : y y + + y y y + y M CUAZ, Ercic n Résoudr dans ls inéquations suivants : + 7< + > ( 4 < Ercic n 6 A l aid d polynôms bin choisis, résoudr ls inéquations suivants : + + > Ercic n 7 L nombr d habitants d un région ayant un fort tau d natalité st donné par la fonction ponntill,t f : t où f(t st la population primé n millions d habitants pour l anné +t A partir d qull dat la population aura-t-ll plus qu triplé? Ctt région n put pas nourrir plus d vingt millions d prsonns Pndant combin d annés après 99 la nourritur sra-t-ll suffisant? Ercic n 8 Détrminr ls limits suivants : a lim ( + b lim ( c lim + Ercic n 9 Etudiz ls limits d la fonction f donné au borns d son nsmbl d définition D, t trouvr ls asymptots évntulls à la courb rprésntativ d f f 4 f( f + 4 f + Ercic n On considèr la fonction numériqu f défini sur par f( + Détrminr la limit d f( quand tnd vrs Montrr qu f(, t calculr la limit d f( quand tnd vrs + + En déduir l istnc d du asymptots d la courb C Pag /4

2 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n Détrminr l nsmbl d définition, l nsmbl d dérivabilités t ls fonctions dérivés d chacun ds fonctions proposés : f + f f ( + 4 f f 6 f 7 f + 8 f + 9 f f f ln( + f Ercic n Soit f la fonction défini sur par : f On désign par C sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormal ( Oi ; ; j d unité graphiqu cm Détrminr ls limits d f n t + Qull conséqunc graphiqu pour C put-on n tirr? Montrr qu f st dérivabl sur Détrminr sa fonction dérivé f Drssr l tablau d variations d f t tracr sa courb C Ercic n Soint f t g définis par : f + t g Détrminr ls domains d définitions d f t g ainsi qu lur parité évntull Détrminr ls limits au borns du domains d étud d chacun ds fonctions f t g Détrminr ls dérivés ds fonctions f t g ; n déduir lur tablau d variations 4 Calculr, a étant un rél qulconqu : f ( a g( a Eprimr pour a t bdu réls, n fonction d g ( a+ b : f ( a g( b + g( a f ( b Ercic n Dévloppr Factorisr n produit d polynôms du prmir dgré Soit f la fonction défini pour différnt d ln par f 4 Donnr la limit d f n moins l'infini 4 Résoudr l'équation f( Soit Cf la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal Donnr un équation d la tangnt à Cf au point d'absciss Ercic n Détrminz un primitiv d la fonction f proposé sur l'intrvall I donné : f ( sur f sur f + sur 4 4 f sur f( sur + Ercic n 6 Soit f la fonction défini sur IR par f ( + Détrminz ls nombrs a t b tls qu la fonction F, défini sur IR, par Ercic n 7 Soit f la fonction défini sur par f Vérifiz qu pour tout d, on a f + Déduisz n la primitiv F d f qui s'annul pour + F a b + + soit un primitiv d f Pag /4

3 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n 8 Calculz ls intégrals suivants : d d + d 6 + t t d 4 ( + d 7 ( d 8 ln ln d dt Ercic n 9 Calculz l intégral I d (indication : Ercic n Calculz l'intégral I n utilisant la formul d'intégration par partis: d I I ( + d I ( + + d Ercic n Calculz l'intégral I n utilisant du fois l théorèm d l'intégration par partis: I sin d I cos d Ercic n L atmosphèr trrstr contint d l azot qui st transformé sous l fft du rayonnmnt cosmiqu, n carbon 4, radioactif, noté 4 C Ls êtrs vivants continnnt donc du 4 C qui st rnouvlé constammnt A lur mort, il n y a plus d mprunt d 4 C à l tériur t l carbon 4 C qu ils continnnt s désintègr L tmps écoulé dpuis la mort d un êtr put donc êtr évalué n msurant la proportion d 4 C qui lui rst Soit N(t l nombr d atoms d 4 C istant à l instant t, primé n annés, dans un échantillon d matièr organiqu ; On montr qu N' ( t,8n( t La vitss d désintégration st donc proportionnll au nombr d atoms présnts En applant N l nombr d atoms d 4,8t C initial, démontrr qu N( t N Qul st l pourcntag d atoms d carbon prdus au bout d ans? On appll périod (ou dmi-vi du carbon 4 C, l tmps au bout duqul la moitié ds atoms s sont désintégrés Détrminr, à l aid d un calculatric, la périod du 4 C (à an près 4 On analys ds fragmnts d os trouvés dans un grott On constat qu ils ont prdu % d lur tnur n carbon Détrminr, à l aid d un calculatric, l âg du fragmnt d os Pag /4

4 Cours t rcics d mathématiqus FONCTIONS EPONENTIELLES CORRECTION M CUAZ, Cs équations rposnt sur du règls qui traduisnt la BIJECTIVITE ds fonctions logarithm t ponntill : Soint a t b du nombrs strictmnt positifs Alors ln a ln b a b a b Soint a t b du nombrs qulconqus Alors a b On utilis, n outr, d nombruss propriétés algébriqus d cs du fonctions Ercic n L équation st défini sur Pour tout, L équation st défini sur Pour tout, ln(7 7 ln(7 car pour tout a>, ln( a a Ainsi S { ln 7} Un autr manièr d l rédigr aurait pu êtr : 7 ln( ln( 7 ln(7 S { ln7} S L équation st défini sur Pour tout, 9 ln ( ln ( 9 ln(9 ln(9 ln( S { ln } 4 L équation st défini sur Pour tout, + impossibl car pour tout, > Ainsi S Un autr manièr d l rédigr aurait pu êtr : Pour tout, > donc + > >, donc n put êtr égal -, donc S L équation st défini sur Pour tout, 4 ou 4 Puisqu pour tout, > (donc, l équation st équivalnt à 4, donc ln 4 ln, donc S { ln} 6 L équation st défini sur En posant, puisqu, l équation dvint équivalnt à + 6, qu l on a résolu précédmmnt : ou En rvnant à la variabl on a : ln impossibl, car pour tout, > Finalmnt, S { ln } Ercic n On détrmin ls racins du polynôm P défini par P + 4 n calculant son discriminant : + d où l istnc d du racins rélls distincts : t Si on pos, alors, d sort qu l équation + 4 dvint équivalnt à , équation qui a été résolu dans la qustion : On a trouvé t On rvint à l inconnu n résolvant : équation qui n admt pas d solution réll, t Ainsi S {} a Pour résoudr l équation +, on pos, t on s rtrouv avc l équation + 4 9, donc qui admt du solutions rélls distincts équation dont l discriminant vaut t On rvint à l inconnu n résolvant : équation qui n admt pas d solution réll, t Pag 4/4 Ainsi S {}

5 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, b En transformant l écritur du mmbr d gauch, l équation + s réécrit +, donc après division par, st équivalnt à +, équation qu l on a déjà résolu On rtrouv S {} c En multipliant ls du mmbrs d l équation + par qui st non nul, l équation + dvint équivalnt à ( Ercic n A + + (a On pos L équation ( ( + + dvint alors équivalnt à + + (d après la factorisation d la qustion ( Pour qu un produit d facturs soit nul, il faut t il suffit qu au moins l un d ntr u l soit + ou ou En «rvnant» à l inconnu, on a donc Ainsi ou ou Puisqu pour tout rél, >, l équation n admt pas d solutions réll En rvanch t ln Ainsi S ;ln { } (b Par bijctivité d la fonction ponntill, a D après la factorisation d la qustion (, ( ( ( soit nul, il faut t il suffit qu au moins l un d ntr u l soit ou ou Ainsi ( ( + ( Donc S { ;; } Ercic n 4 En posant + + Pour qu un produit d facturs y t Y, l systèm + Y L Y L Y 4 L Y L 8 L + L 4 L + L Pag /4 b y + y dvint équivalnt à On rvint au inconnus t y n résolvant : 4 y 4 ln4 t Y y ln L systèm admt donc pour solution S { ln 4;} En posant y t Y, l systèm + Y L Y L L Y LL + Y L Y L L y + + y dvint équivalnt à On rvint au inconnus t y n résolvant : qui n admt pas d solution dans L systèm n admt donc pas d solution réll y y Puisqu + y, on aura + y y L systèm st donc équivalnt au systèm y y L ( L L + L + y L y L y L y L On résout l équation + n calculant son discriminant : 4 64, donc l équation + admt du solutions rélls distincts t Si, alors y ( Si alors y y Ls solutions du systèm sont donc S y {( ; ;(; } Puisqu lls jount ds rôls symétriqus on put affirmr qu ls du nombrs chrchés sont t

6 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n Cs inéquations rposnt sur du règls qui traduisnt la STRICTE CROISSANCE ds fonctions logarithm t ponntill : Soint a t b du nombrs strictmnt positifs Alors ln a< ln b a< b a b Soint a t b du nombrs qulconqus Alors < a< b On utilis, n outr, d nombruss propriétés algébriqus d cs du fonctions L inéquation st défini sur Pour tout, Ainsi L inéquation st défini sur Pour tout, ln(7 7 ln( < < <ln(7 car pour tout a>, a a Un autr manièr d l rédigr aurait pu êtr : 7 ln ln 7 ln(7 S ;ln7 < < < ] [ L inéquation st défini sur Pour tout, 9 ln ln 9 ln(9 ln(9 ln( S [ ln ; + [ 4 Pour tout, > donc + > >, donc Ainsi S ] ;ln7[ S L inéquation st défini sur Puisqu pour tout, >, ln4 ln < < < < S ] ;ln[ 6 L inéquation st défini sur En posant précédmmnt : Pag 6/4 S ;, puisqu, l inéquation dvint équivalnt à + 6, qu l on a résolu ; [ ] [ ] En rvnant à la variabl on a : ;, qui s décompos n du inéquations : t Puisqu pour tout, >, l inéquation a pour nsmbl d solutions S D plus ln Ctt duièm inéquation a pour nsmbl d solutions Finalmnt, S S S ] ] ] ] ;ln ;ln S ] ;ln] Ercic n 6 Pour résoudr l inéquation +, on pos, t on s rtrouv avc l inéquation + On calcul l discriminant du polynôm P( 4 9 Il admt donc du racins + : rélls distincts t + Ainsi + si t sulmnt si donc si t sulmnt si ; ; + On rvint à l inconnu n résolvant : P( ] ] [ [ ] ; ] [ ; + [ Ainsi S [ ; + [ Pour résoudr l inéquation +, on pos, qui n admt pas d solution dans, car pour tout, > On calcul l discriminant du polynôm P( + :, t on s rtrouv avc l inéquation + 4 Il admt donc du racins + rélls distincts t Ainsi + si t sulmnt si P( donc si t sulmnt si ; ; + On rvint à l inconnu n résolvant : ] ] ] ] [ [ ; Ainsi S ] ;] [ ln ; + [ t [ [ ; + ln Puisqu pour tout, >, l inéquation > st équivalnt, par multiplication par > > > > > Ainsi S ] ; + [, à l inéquation

7 Cours t rcics d mathématiqus Ercic n 7, En, la population d la région s élèv à f millions d habitants,t,t La population aura plus qu triplé pour ls valurs d t tlls qu,t,t la fonction logarithm népérin, on obtint ln( ln ( M CUAZ, f t 6 6 Par bijctivité d ln ln(,t ln( t, Puisqu,97 à, près, on put affirmr qu la population aura plus qu triplé pour t, soit à partir d, l anné +,t, La nourritur sra suffisant tant qu f ( t t Par bijctivité d la fonction logarithm ln,, ln t t népérin, on obtint ln ln,t ln t, Puisqu, à, près, on, put affirmr qu la nourritur sra suffisant tant qu t, soit jusqu n + Ercic n 8 lim + t lim, donc par somm, lim ( lim + t lim 4 (car lim, donc par somm, lim t lim +, donc par soustraction, + + lim ( + 4 lim + Ercic n 9 Puisqu lim u ( lim où on a posé u, on déduit qu lim f 4 donc la droit d équation y 4 + u st asymptot horizontal à C f n + D plus lim + + lim + donc par somm ( f( + Puisqu lim, on déduit, par somm t quotint, qu lim f, donc la droit d équation y st asymptot horizontal à Puisqu lim + C f n +, on déduit, par somm t quotint, qu lim f, donc la droit d équation y (l a ds abscisss st asymptot horizontal à C f n + Puisqu lim + t lim +, alors par produit lim + Puisqu lim +, alors par somm, + lim f + + Puisqu lim (limit du cours t lim, alors par somm, lim f Mais comm lim f lim, on n déduit qu la droit d équation y st asymptot obliqu à C f n lim 4 Puisqu, on déduit, par différnc t quotint, qu lim f, donc la droit d équation y st asymptot horizontal à Puisqu lim + C f n + +, on déduit, par différnc t quotint, qu lim f, donc la droit d équation y (l a ds abscisss st asymptot horizontal à C f n + + Enfin, puisqu lim (car < < <, on déduit qu < + lim (car > > >, on déduit qu lim + > ordonnés st donc asymptot vrtical à C f > lim Et puisqu < La droit d équation (l a ds Pag 7/4

8 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n Puisqu lim, on déduit, par somm t quotint, qu lim f, On transform l prssion : Pour tout rél, Puisqu lim u ( lim où on a posé u, on déduit, par somm t quotint qu lim f u + La courb admt donc du asymptots horizontals : La droit d équation y n t la droit d équation y n + Ercic n La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu somm d fonctions qui l sont, t pour tout, f La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu produit d fonctions qui l sont Puisqu pour tout, f u v avc u u v v, on aura u v f u v avc t La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu produit d fonctions qui l sont Puisqu pour tout, f u v u + u t v v, on aura u f u v + v La fonction f st défini t dérivabl sur ] ;[ ] ; + [ n tant qu quotint d fonctions qui l sont, l dénominatur n s annulant pas sur ] ;[ ] ;+ [ Puisqu pour tout ] ;[ ] ; +, [ aura v u v ( v f u f u avc u( u t v v v ( La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu composé d fonctions qui l sont En fft, pour tout, u f où u u, donc u f u, on 6 La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu composé t somms d fonctions qui l sont Pour tout, u f u u f u c st-à-dir pour tout, 6 f où u( donc 7 La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu composé d fonctions qui l sont En fft, pour tout, f u où u + u, donc 8 La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu composé d fonctions qui l sont En fft, pour tout, u f u + f u où u + u, donc u f u + Pag 8/4

9 Cours t rcics d mathématiqus 9 La fonction f st défini t dérivabl sur ] ; + [ n tant qu composé d fonctions qui l sont M CUAZ, En fft, f u où u( n st dérivabl qu sur ] ; + [, avc u pour tout ] ; [ u f u + Ainsi La fonction f st défini t dérivabl sur n tant qu produit t composé d fonctions qui l sont Pour tout, f u v u u t v v w avc w w Ainsi ( f u v + u v + Puisqu pour tout, + > t qu la fonction ln sra défini t dérivabl sur Pour tout, ln( + u f u st défini t dérivabl sur ] [ f u avc u( u ; +, la fonction f +, donc Puisqu pour tout, + >, la fonction f sra défini t dérivabl sur n tant qu quotint d fonctions u qu l sont, l dénominatur n s annulant Pour tout, f avc v ( u u + ( + ( + ( ( ( ( + ( ( t v v ( + +, donc ( + ( ( f ( ( + Ercic n D un part lim +, d autr part lim + donc par composition lim + (car lim u + Par produit, on n déduit donc qu lim f + Pour tout rél, on écrit f Puisqu lim + (limit du cours bin connu, dit + «d croissanc comparé», on n déduit lim, donc par suit, lim f + On n déduit qu la droit + d équation y (c st-à-dir l a ds abscisss st asymptot horizontal à la courb C n + f st dérivabl sur n tant qu produit d du fonctions qui l sont, t puisqu pour tout, f u v où u t v v, on calcul : Pour tout, u( ( + + ( ( f u v u v Puisqu pour tout, >, f aura l mêm sign qu (, prssion du scond dgré factorisé, dont ls racins sont t D après la règl ds signs d un trinôm du scond dgré, ( < si t sulmnt si ] ;[ ] ;+ [ («à l tériur ds racins» t ( > si t sulmnt si ] ; [ La fonction f st donc strictmnt décroissant sur ] ;], strictmnt croissant sur sur [ ;], t strictmnt décroissant sur [ ; + [ u + Pag 9/4

10 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, 4 f On calcul f t d drssr l tablau d variations d f, c qui prmt puis d tracr la courb C Ercic n La fonction ponntill étant défini sur, il n sra d mêm pour ls fonctions f t g D plus, pour tout, D plus, pour tout, f f + + donc f st pair g g donc g st impair Puisqu lim + t lim u lim (où on a posé lim g + Puisqu lim g u u lim t lim lim + (où on a posé u u + u, on n déduit qu lim f +, on n déduit qu lim f La fonction ponntill étant dérivabl sur, il n sra d mêm pour ls fonctions f t g f g g + f Pour tout + ( t Puisqu pour tout, > t, on n conclut qu > f ( >, c st-à-dir g croissant sur Puisqu g st strictmnt croissant sur t puisqu + t + t >, donc g st strictmnt g ] ;[ g( <, c st-à-dir f <, t pour tout ] ; + [, g( >, c st-à-dir f ] ;] t strictmnt croissant sur [ ;+ [ tout, f st donc strictmnt décroissant sur On résum dans du tablau d variations :, on n déduit qu pour > La focntion 4 Pour tout rél a, a a a a f ( a g( a ( + ( a a a a a a a a ( ( ( ( a a a a Pour tous réls a t b, f a g b + g a f b a a b b a a b b ( ( ( ( a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a+ b ( a+ b ( ( b g a+ Pag /4

11 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, Ercic n 4 Pour tout rél, ( ( ( 8 + ( + ( ( On not Pour tout rél, P + 8, t on calcul son 6 discriminant : 4 ( L polynôm admt du racins rélls distincts 4 t + 6, donc P ( ( + 4, t par suit ( ( ( + 4 lim + t lim + donc lim + t lim + Comm lim, lim 4 4, t par quotint lim f En simplifiant par, l équation dvint équivalnt à En posant, l équation dvint équivalnt à + + 8, c st-à-dir, grâc à la factorisation d la qustion, à ( ( ( + 4 D après la règl du produit nul, ctt prssion admt trois solutions, ( 4 ( t 4, soit, n rvnant à la variabl,, ln t 4 4 impossibl dans L équation S ;ln f admt donc pour nsmbl d solutions { } L équation d la tangnt à Cf au point d'absciss a pour form y f ( + f ( L calcul d la dérivé : f f ( ( ( 4 ( ( ( f f nous fournit f ( 4 ( la tangnt à Cf au point d'absciss st y +, t puisqu f 4 4 +, l équation d Ercic n f f st défini t continu sur n tant qu produit d fonctions qui l sont, donc admt ds primitivs 4 sur, t pour tout F 4 f f st défini t continu sur n tant qu produit d fonctions qui l sont, donc admt ds primitivs u u sur, t puisqu pour tout, f u ou u( u, F f + f st défini t continu sur n tant qu produit d fonctions qui l sont, donc admt ds primitivs sur, t puisqu pour tout, F + u f u ou u + u u +, Pag /4

12 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, 4 f f st défini t continu sur n tant qu produit d fonctions qui l sont, donc admt ds primitivs u sur, t puisqu pour tout, f u ou u( u, u F f f st défini t continu sur n tant qu quotint d fonctions qui l sont, l dénominatur n + s annulant pas (car + > donc donc admt ds primitivs sur, t puisqu pour tout, u f ou u u, F ln ( u ln( + ln( + car + > u Ercic n 6 La fonction F, défini sur, par F ( a+ b st dérivabl sur n tant qu produit d fonction qui l sont, t pour tout, F a + ( a + b ( a + a + b F sra un primitiv d f si t sulmnt si pour tout, F f Un primitiv d f sur Ercic n 7 Pour tout, st donc F ( + ( a a + b f f st défini t continu sur n tant qu quotint d fonctions qui l sont, l dénominatur n s annulant pas (car u + > donc donc admt ds primitivs sur, t n utilisant l écritur f ou + u, on obtint u + ( Ercic n 8 F ln u + k ln + + k ln + + k car + > sur d u u d u d 7 4 u u d u d t t t t dt + t d F( F( où F st un primitiv d d + + ( u 6 u u f u, donc u F + Ainsi + d d ln ( u ln ( + ln ( + ln ( + ln ln + Pag /4

13 Cours t rcics d mathématiqus ln 7 ( ln ln ln ln ( ( u d u u d ln ln ( 49 8 ( ln ( u d d u u d ( ( ( + + M CUAZ, Ercic n Puisqu pour tout,, on utilis ctt drnièr écritur pour calculr l intégral I d + En fft [,] u I d d ln( u ln( + ln( + + u car pour tout, On conclut donc qu Ercic n + > où u I d u v d I ln + ln + ln + + ln ln + u t v v sont continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, I u v u v d d ( où u ( + I d u v d u + t v v sont continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, I u v u v d ( + d + où u u ( + I d u v d continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, t v v sont I u v u v d + d Ercic n sin I d u v d où dérivabls D après la formul d intégration par partis, u u t sin v v cos sont continûmnt cos I u v u v d cos d + + cos d Pag /4

14 Cours t rcics d mathématiqus M CUAZ, On calcul J cos d n ffctuant un duièm intégration par partis : J cos d u v d où u u dérivabls D après la formul d intégration par partis, [ ] t cos J u v u v d sin sin d I v v sin sont continûmnt On aboutit donc à l équation I + I c st-à-dir I + t on conclut ainsi qu I cos I d u v d où continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, + u u t cos I u v u v d sin sin d sin d On calcul J sind n ffctuant un duièm intégration par partis : J sind u v d où u 4 continûmnt dérivabls D après la formul d intégration par partis, v v sin sont v v cos sont u t sin cos 4 ( cos 4 cos 4 + On aboutit donc à l équation I 4I c st-à-dir I t on conclut ainsi qu I ( + J u v u v d d + + d + I Ercic n La fonction N st solution d l équation différntill N ( t an( t avc a -,8,8 t D après l cours, ll st donc d la form Nt ( C où C st un constant réll Si on not N( t N N N(, alors, 8t Au bout d ans l nombr d atoms d 4 C rstant vaut,8 N N( C N C N c qui prmt d conclur qu N( N N,8,476,476 N N,476 La variations n pourcntags du nombr d atoms vaut donc ( 9, 6% N La matièr organiqu aura donc prdu nviron 9,6 % d atoms Il faut trouvr la valur d t pour laqull Nt ( N,8 t,8 t ln (, On résout donc N N,,8t ln (, t 99,8 annés La périod (ou dmi-vi du carbon 4 C vaut donc 99 ans 4 Puisqu l fragmnt a prdu % d sa matièr originll, il lui n rst 7 %, t il faut donc trouvr la valur d t pour laqull Nt (,7N,8 t,8 t ln (,7 On résout donc N,7N,7,8t ln (,7 t 8,8 L fragmnt a donc un âg d nviron 8 ans Pag 4/4