TS Exercices sur les fonctions puissances et racines n-ièmes

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Juliette Paré
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1 TS Eercices sur les octios puissaces et racies -ièmes Calculer sas utiliser la calculatrice e détaillat les étapes de calcul 4 4 A ; B 6 ; C 8 ) Développer et ) E déduire la valeur eacte de A a a Soit a u réel strictemet positi Simpliier A Calculer A 4 Résoudre das l équatio a a a O commecera par préciser le domaie de résolutio de l équatio Bie mettre les poitillés e abscisse et e ordoées avec les valeurs eactes au poit correspodat à l etremum Détermier l esemble de déiitio de la octio : Justiier que est dérivable sur so esemble de déiitio et calculer ' Détermier l esemble de déiitio de la octio : Détermier Détermier sa ite e + 6 Résoudre das l équatio 0 O commecera par préciser le domaie de résolutio de l équatio 7 Détermier l esemble de déiitio de la octio : ; justiier que est dérivable sur so esemble de déiitio et calculer '( ) 8 Détermier l esemble de déiitio de la octio : l ; justiier que est dérivable sur so esemble de déiitio et calculer '( ) 9 O cosidère la octio : ) Doer l esemble de déiitio de ) Justiier que est dérivable sur so esemble de déiitio et calculer ) Étudier les ites de au bores de so esemble de déiitio 4 ) Dresser le tableau de variatio de ' 0 O cosidère la octio : 6 l et l o ote C sa courbe représetative das le pla mui d u repère orthoormé O, i, j ) Doer l esemble de déiitio de ) Étudier la ite de e 0 à droite Que peut-o e déduire pour C? ) Étudier la ite de e + 4 ) Calculer '( ) et dresser le tableau de variatio de ; o détaillera le sige de '( ) Calculer l etremum de (valeur eacte) ) Détermier E déduire que C présete ue brache parabolique e + dot o précisera la directio 6 ) Faire u petit tableau de valeurs et tracer C e preat cm pour uité graphique Tracer la tagete horizotale aisi que la tagete T au poit A d abscisse

2 Corrigé (O passe au eposats ractioaires pour certais des calculs) A ; B ; C A Autre versio : 4 4 A 4 4 A 4 4 A 4 4 A A ) 0 4 ; O rappelle que pour tout couple a b a a b ab b 6 B 6 6 B B B B 0 4 C 8 8 C 4 C 4 C a ; b de réels o a : a b a a b ab b (idetités cubiques à coaître) ) A ) Développos et ; ) Déduisos-e la valeur eacte de A A A A 6 A a A a a a a 6 a a a a a a 4 4 a A a a a a a a a a 4 4 A A 4 A A A 7 4 A 4 8

3 O résout das l itervalle ; ; Idée pour la résolutio : o élève au cube les deu membres : Résolvos das l équatio () O commece par préciser le domaie de résolutio de l équatio O doit avoir 0 soit O résout l iéquatio das ; () 8 ; Soit S l esemble des solutios de () S 6 O résout l équatio das pose ou (e eet l e ; la présece du logarithme épérie impose 0 ) ; o 8 l Remarque : o obtiet soit e ce qui est impossible car le résultat d ue epoetielle est toujours strictemet positive L écriture suppose que 0 Das ce cas, o a : O a déii cette aée uiquemet la racie cubique d u réel positi ou ul Aisi, o e peut écrire Aisi l équatio (qui est équivalet das Résolvos das l équatio 0 () l l e et e doc o doit avoir 0 Doc o résout l iéquatio das ]0 ; + [ O pose (chagemet d icoue) L équatio () s écrit : 0 () () ou (O a procédé par racies évidetes) Or Doc () ou 8 (impossible) Soit S l esemble des solutios de () S 8 7 : D ; ' O commece par cherche l esemble de déiitio de Doc eiste si et seulemet si 0 (toujours vrai) D à ) a aucue solutio

4 ' O applique la ormule O écrit : u ' u ' u Solutio plus compliquée : ( ) l e est dérivable sur comme composée de octios dérivables sur ' e l Cette aée, o a déii la racie cubique d u ombre réel positi ou ul Nous verros plus tard que l o peut déiir la racie cubique d u réel quelcoque (de sorte que l o peut par eemple écrire 7 ) l 8 D 0 ; + ; ' : l Détermios l esemble de déiitio de eiste si et seulemet si 0 Doc D Justiios que est dérivable sur so esemble de déiitio est le produit de octios dérivables sur doc est dérivable sur Calculos ' 9 ' l l l l ) Pour les ites, o écrit : 0 O peut aussi écrire : ) Esemble de déiitio de l e O utilise u chagemet de variable eiste si et seulemet si 0 si et seulemet si D ; ) Dérivabilité et dérivée de est dérivable sur ; (règle sur les composées de octios dérivables) ; ' 8 ) Limites au bores de l esemble de déiitio 0 doc par ite d ue composée 0

5 0 doc par ite d ue composée 0 4 ) Variatios de est strictemet croissate sur ; Das le tableau de variatio, e pas oublier de mettre ue double barre sous le au iveau de Compléter le tableau avec les ites Remarque : ' et de L observatio sur la calculatrice graphique de la représetatio graphique de la courbe de la octio doe ue courbe e deu morceau, sur l itervalle ; et sur l itervalle ; La partie sur ; e ous itéresse pas ; elle proviet du ait que la calculatrice accepte de déiir la racie cubique d u ombre égati ce que ous avos pas ait cette aée (mais cela est souvet ait das les classes supérieures) 0 : Sige de 6 l ) Détermios l esemble de déiitio de eiste si et seulemet si 0 Variatios de ' ) Étudios la ite de e + E +, o recotre ue orme idétermiée du type «+» O eectue ue réécriture : l 6 l doc par ite d u produit, o a : 6 4 ) Calculos ' est dérivable sur comme somme de octios dérivables sur 6 ' 6 Étudios les variatios de Le sige de ' est le même que celui de Pour coaître le sige de, o résout deu iéquatios et ue équatio : 0, 0 et Doc D ) Étudios la ite de e l doc par ite d ue somme, o a : 0 La courbe C admet doc l ae des ordoées (Oy) pour asymptote verticale (ou : la droite (Oy) est asymptote à la courbe C) Das le tableau de variatio, e pas oublier de mettre ue double barre sous le 0 au iveau de Compléter le tableau avec les ites ' et de

6 La octio est strictemet décroissate sur l itervalle 0 ; et strictemet croissate sur l itervalle ; l l 6l ) Détermios Attetio : o écrit 6 l l 6 pour 0 l 6 0 doc par ite d ue somme 0 Déduisos-e que C présete ue brache parabolique e + O e déduit que C présete ue brache parabolique e + de directio Oy NB : Pour détermier de l, le quotiet 0 + Sige de 0 + Sige de Sige de Variatios de ' l, o e peut pas utiliser la règle des moômes de plus haut degré car, à cause e correspod pas à l epressio d ue octio ratioelle 6 ) Tracé de la courbe C et de deu tagetes,990,67069 A ; ' soit y La tagete T à C e A a pour équatio y ' D ; Méthode : O écrit O ' l e l est dérivable sur comme produit de deu octios dérivables sur l l ' e l e l e l A Erreur : calculer la dérivée de la octio e utilisat la ormule de la dérivée des octios l j O obtiet alors qui est u résultat complètemet au i C

7 D ; 0 (méthode : chagemet de variable ; o pose l, o obtiet ) l e l e (car selo la ormule de puissace d eposat réel : l e ) O pose l l + + l e l e l e l e l est ue costate (attetio : l l ) e (ite de réérece ; croissace comparée) d où 0 e Par suite, 0 Détermier

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