reconnaître Séquence 7

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1 c Séquence 7 Séance 4 Ce que tu devais faire Exercice 25 Les commentaires du professeur Les commentaires du professeur : On commence par construire avec l équerre et la règle graduée les deux côtés perpendiculaires [CN] et [NB] tels que : NC = 5 cm et NB = 3 cm. On trace la demi-droite [Cx) perpendiculaire en C à la droite (CN) puis la demi-droite [By) C 5 N perpendiculaire en B à la droite (BN). Le point V est le point commun à ces deux demi-droites. 3 y V x B À l aide de l équerre, on peut vérifier que l angle CVB semble droit. On verra par la suite à l aide d une démonstration que cet angle est un angle droit. Tu as déjà rencontré un tel quadrilatère : on l appelle un rectangle. Exercice 26 quadrilatère droits définition On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe «JE RETIENS» précédent. 18 Cned, mathématiques 6e

2 Séquence 7 c Exercice 27 Les droites (DH) et (FG) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (DF). Les droites (DH) et (FG) sont donc parallèles. On utilise la propriété 1 du paragraphe «JE RETIENS» de la séquence 1 séance 7. ) On vient de démontrer que les droites (DH) et (FG) sont parallèles. La droite (GH) est perpendiculaire à la droite (DH), elle est donc perpendiculaire à la droite (FG). 3) Le quadrilatère DFGH possède donc en fait 4 angles droits. Par définition, c est donc un rectangle. 4) On a démontré dans le que ses côtés opposés [DH] et [FG] sont parallèles. De même, les côtés opposés [DF] et [HG] sont parallèles parce qu ils sont tous les deux perpendiculaires au côté [DH]. Exercice 28 trois rectangle reconnaître On utilise la propriété 2 du paragraphe «JE RETIENS» de la séquence 1 séance 8. 3) En conclusion, dès qu un quadrilatère possède trois angles droits, son quatrième angle est droit également : ce quadrilatère est donc un rectangle. On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe «JE RETIENS» précédent. Exercice 29 On plie soigneusement de façon à faire une bonne observation. Seuls les pliages suivant les droites (d) et (d ) permettent d obtenir que les sommets, les côtés et les angles du rectangle KLMN se superposent exactement. Ce sont les deux seuls axes de symétrie du rectangle. Les axes de symétrie du rectangle sont les droites (d) et (d ). Cned, mathématiques 6e 1

3 c Séquence 7 Exercice 30 deux médiatrices propriété On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe «JE RETIENS» précédent. Exercice 31 a) Quel est le symétrique du segment [AD] par rapport à la droite (d)? [BC]. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AD] et [BC]? Elles sont égales. b) Quel est le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d )? [DC]. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AB] et [DC]? Elles sont égales. c) Quelle propriété viens-tu de démontrer? Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont de même longueur. ) I a) Quel est le point d intersection de ces diagonales? le point I b) Quel est le symétrique du segment [AC] par rapport à la droite (d )? [DB] Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AC] et [BD]? Elles sont égales. c) Quelle propriété viens-tu de démontrer? Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur. 3) a) En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d ), compare les distances IA et ID : IA =ID En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances ID et IC : ID =IC En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d ), compare les distances IC et IB : IC = IB En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances IB et IA : IB = IA b) Compare IA et IC : IA = IC puis IB et ID : IB = ID Le point I est le milieu des diagonales [AC] et [BD]. c) Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu. a) par la symétrie par rapport à la droite (d) : A a pour symétrique B D a pour symétrique C. [AD] a donc pour symétrique [BC]. On utilise la propriété de la symétrie suivante «un segment et son symétrique ont la même longueur». b) Par la symétrie par rapport à la droite (d ) : A a pour symétrique D B a pour symétrique C. [AB] a donc pour symétrique [DC]. c) C est une propriété importante que l on devra retenir. b) par rapport à la droite (d ) : Le symétrique de A est D. Le symétrique de C est B Donc : Le symétrique de [AC] est [DB]. c) N oublie pas que les segments [AC] et [BD] sont les diagonales. 3) a) En effet, [IA] et [ID] sont symétriques par rapport à la droite (d ) (le point I est son propre symétrique). [ID] et [IC] sont symétriques par rapport à la droite (d). [IC] et [IB] le sont par rapport à la droite (d ). [IB] et [IA] le sont par rapport à (d). b) IA = ID et ID = IC donc IA = IC IB = IC et IC = ID donc IB = ID Comme les points A, I et C sont alignés ainsi que les points B, I et D, on déduit que I est le milieu des diagonales. c) Cette propriété est importante : on devra la retenir. 0 Cned, mathématiques 6e

4 Séquence 7 c Exercice 32 milieu longueur propriété priété ) la même longueur propriété On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe «JE RETIENS» précédent. parallèles es propriété pri Cned, mathématiques 6e 1

5 c Séquence 7 Exercice 33 O Les diagonales du rectangle ABCD se coupent en O. D après la propriété : «si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu», je peux affirmer que O est le milieu de [AC] et de [BD], et que AC = BD. J en déduis que : OA = OB = OC = OD Le cercle Ω de diamètre [AC] a pour centre le milieu O de [AC] et son rayon est OA. Comme OB = OD = OA, B et D appartiennent à Ω. Le centre d un cercle est le milieu de son diamètre. On utilise ici la carte 18 de la Boîte à Outils. Comme O est le milieu de [AC] : OA = OC = AC 2 De même, comme O est le milieu de [BD] : OB = OD = BD 2 On utilise la définition du cercle : séquence 1 séance 9 premier paragraphe «Je RETIENS». Les distances de B à O et de D à O sont égales au rayon OA. Exercice 34 ) 3) Je n y arrive pas. Les commentaires du professeur : 3) On a beau essayer tous les cas de figures, on a toujours l impression d avoir un rectangle... Par la suite, on va admettre et retenir que ce résultat est toujours vrai, à savoir : «Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et qui ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle». 22 Cned, mathématiques 6e

6 Séquence 7 c Exercice 35 milieu longueur rectangle reconnaître On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe «JE RETIENS» précédent. Exercice 36 x ) Je trace un segment [RT] de 6 cm. Je place le milieu V du segment [RT]. Je construis l angle TVx de mesure 53. Je trace un arc de cercle de centre V et de rayon RV (égal à 3 cm). Il coupe la demi-droite [Vx) en U. Je prolonge le tracé de la droite (UV). Je trace un autre arc de cercle de centre V et de rayon 3 cm. Il coupe la droite (UV) en un deuxième point : le point S. Je trace les côtés du quadrilatère RSTU. 3) Les diagonales du quadrilatère RSTU ainsi construit ont la même longueur 6 cm et le même milieu V. D après la propriété : «Si un quadrilatère a des diagonales qui ont la même longueur et le même milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle», je peux affirmer que RSTU est un rectangle. Les commentaires du professeur : On commence par tracer le segment [RT], son milieu V puis l angle TVx dont la mesure est 53. On pense ensuite à la propriété : «Si un quadrilatère a des diagonales qui ont la même longueur et le même milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle», car on veut construire un rectangle. On connaît déjà les longueurs VR et VT. On sait que l on doit avoir VR = VT = VU = VS = 3 cm. On pense alors à tracer le cercle de centre V et de rayon 3 cm. Il coupe la droite (Vx) en U et S. Il ne reste plus alors qu à tracer les côtés du quadrilatère. 3) On utilise la carte 24 de la Boîte à Outils : elle permet de reconnaître un rectangle à l aide de ses diagonales. Cned, mathématiques 6e 3

7 c Séquence 7 Séance Ce que tu devais faire Exercice 37 Les commentaires du professeur la figure 1 la figure la figure 3 la figure 4 est un losange? est un rectangle? ) La figure 3 est un carré. NON NON OUI OUI OUI NON OUI NON Les commentaires du professeur : La figure 1 et la figure 3 sont des rectangles d après la carte 3 de la boîte à Outils : «Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits». La figure 3 et la figure 4 sont des losanges d après la carte 2 de la boîte à Outils : «Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur». On peut voir sur ces quatre exemples qu un quadrilatère peut être : un losange et pas un rectangle (figure 4) un rectangle et pas un losange (figure ni un rectangle, ni un losange (figure mais aussi, et c est le cas qui va nous intéresser dans cette séance, un quadrilatère peut être à la fois un losange et un rectangle (figure 3). Tu as déjà rencontré ce quadrilatère à l école primaire, on l appelle le carré. Exercice 38 quadrilatère losange rectangle définition On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe «JE RETIENS» précédent. 4 Cned, mathématiques 6e

8 Séquence 7 c Exercice 39 Un carré est à la fois un losange et un rectangle, il a donc 4 axes de symétrie qui sont ses diagonales et les médiatrices de deux côtés consécutifs. On utilise les cartes 6 et 7 de la Boîte à Outils. 3) Le carré est un losange, donc ses diagonales sont perpendiculaires et elles ont le même milieu. 4) Le carré est un rectangle, donc ses diagonales ont la même longueur et ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. 3) On utilise les cartes 16 et 17 de la Boîte à Outils 4) On utilise les cartes 18, 12 et 13 de la Boîte à Outils. Cned, Mathématiques 6e 25

9 c Séquence 7 Exercice 40 quatre diagonales médiatrices propriété riété ) longueur milieu propriété prié riété perpendiculaires propriété 3) 4) droits propriétériété longueur propriété riété Les commentaires du professeur : Voir le paragraphe JE RETIENS précédent (premier ) Voir le paragraphe JE RETIENS précédent (trois derniers ) 3) Un carré est un rectangle donc il a quatre angles droits d après la carte 3. 4) Un carré est un losange donc il a quatre côtés de la même longueur d après la carte 2. 6 Cned, mathématiques 6e

10 Séquence 7 c Exercice 41 On commence par représenter une figure à main levée : ) Ce losange est un carré. Exercice 42 angle droit carré reconnaître On commence par construire le triangle ABC rectangle en B tel que BA = BC = 4,5 cm. On termine ensuite la construction du losange avec le compas. On trace deux arcs de cercle : un de centre A et de rayon 4,5 cm, l autre de centre C et de rayon 4,5 cm. Ces deux arcs se coupent en D. Il semble que ce losange qui possède un angle droit soit un carré, c est-à-dire qu il possède en fait quatre angles droits. Ceci est en fait toujours vrai (nous l admettrons, c est-à-dire que nous allons considérer que ce résultat est toujours vrai, mais nous n allons pas le démontrer). A savoir : Si un losange possède un angle droit, alors c est un carré. On recopie ce qui manque sur le paragraphe précédent. On n oublie pas de coder la figure. Cned, mathématiques 6e 7

11 c Séquence 7 Exercice 43 On construit le rectangle comme on le fait habituellement, la seule particularité ici, est que deux côtés consécutifs ont la même longueur donc tous les côtés mesurent 6,2 cm. ) D après la propriété : «Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés ont la même longueur», on a : EF = HG et EH = FG. Comme EF = EH = 6,2 cm, on a : EF = FG = GH = EH = 6,2 cm. Le quadrilatère EFGH a quatre côtés de la même longueur, c est donc (par définition du losange) un losange. Le quadrilatère EFGH est donc à la fois un rectangle et un losange, c est donc (par définition du carré) un carré. EFGH est donc un carré. Exercice 44 longueur carré reconnaître naît On applique la carte 12 de la boîte à Outils. On applique la carte 2 de la boîte à Outils. On applique la carte 4 de la boîte à Outils. On recopie sur le paragraphe précédent ce qui manque. On n oublie pas de coder. 8 Cned, mathématiques 6e

12 Séquence 7 c Exercice 45 Les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu. D après la propriété : «si les diagonales d un quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un losange», on déduit que EFGH est un losange. ) Les diagonales de ce quadrilatère ont, de plus, la même longueur. D après la propriété : «si les diagonales d un quadrilatère ont la même longueur et ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle», on déduit que ce EFGH est un rectangle. 3) Ce quadrilatère est donc un losange et un rectangle. D après la définition «un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré», on peut affirmer que EFGH est un carré. Exercice 46 perpendiculaires milieu longueur carré reconnaître na Le codage montre que les diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu. 3) On utilise la carte 4 de la Boîte à Outils. Aide-toi du paragraphe précédent et n oublie pas le codage. Exercice 47 On représente une figure à main levée codée : ) Je trace un segment [EG] de 5 cm. Je place le milieu de ce segment. Je trace la perpendiculaire à ce segment en son milieu. Je place les points F et H de cette perpendiculaire de telle sorte que le milieu de [EG] soit aussi le milieu de [FH] et de telle sorte que FH = 5 cm. Je trace le quadrilatère EFGH. J affirme que c est un carré. Je justifie : Les diagonales [EG] et [FH] ont le même milieu, elles ont la même longueur et elles sont perpendiculaires donc d après la propriété : «si les diagonales d un quadrilatère sont perpendiculaires, ont le même milieu et ont la même longueur alors ce quadrilatère est un carré», je peux affirmer que EFGH est un carré. On trace la première diagonale [EG] de 5 cm de longueur. On place son milieu, appelons-le O par exemple. On a : OE =OG = 2,5 cm. On trace la droite (d), perpendiculaire en O à la droite (EG). On place les deux points F et H de cette médiatrice qui sont situés à 2,5 cm de O à l aide d un compas. On trace pour cela deux arcs de cercle de centre O et de rayon OE. Ces deux arcs coupent la droite (d) en F et H. On termine la construction du carré en traçant ses côtés. On utilise la carte 25. Cned, mathématiques 6e

13 c Séquence 7 Séance 6 Ce que tu devais faire Exercice 48 Le quadrilatère ABCD a trois angles droits. D après la propriété : «Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle», je peux affirmer que ABCD est un rectangle. Le quadrilatère DHGB a trois angles droits. D après la propriété : «Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle», je peux affirmer que DHGB est un rectangle. On a de plus : BD = DH d après le codage. D après la propriété : «Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c est un carré», je peux affirmer que DHGB est un carré. 3) DB = DH et IB = IH. D après la définition du cerf-volant, le quadrilatère DBIH est un cerf-volant. 4) BD = DE = EF = FB. D après la définition du losange, le quadrilatère EDBF est un losange. Exercice 49 Les angles ADB et ABD sont égaux d après le codage. D après la propriété : «Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle», je peux affirmer que le triangle ADB est isocèle en A. Comme le triangle ADB est isocèle en A, on a (par définition du triangle isocèle) : AD = AB. On a donc : AD = AB et CD = CB d après le codage. Le quadrilatère ADCB est donc (par définition du cerf-volant) un cerf-volant. Exercice 50 Les points E et C sont sur le cercle C de centre O donc : OE = OC. D après le codage, on a donc : OE = OC = CD = DE. D après la définition du losange, je peux affirmer que OCDE est un losange. Le quadrilatère ABCO a trois angles droits. D après la propriété : «Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle», je peux affirmer que ABCO est un rectangle. Les points A et C sont sur le cercle C de centre O donc : OA = OC. D après la propriété : «Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c est un carré», je peux affirmer que ABCO est un carré. Les commentaires du professeur On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils. Le quadrilatère DHGB est également un rectangle (mais, et on le verra dans le, c est de plus un carré). On utilise à nouveau la carte 23 de la Boîte à Outils. On utilise la carte 27 de la Boîte à Outils. 3) On utilise la carte 1 de la Boîte à Outils. 4) On utilise la carte 2 de la Boîte à Outils. Le quadrilatère EDBF est également un cerfvolant (puisque c est un losange). On pense à utiliser une propriété qui permet de reconnaître un triangle isocèle. Elle a été vue dans la séance 7 de la séquence 5. On utilise la carte 1 de la Boîte à Outils. On utilise la carte 2 de la Boîte à Outils. On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils. On utilise la carte 27 de la Boîte à Outils. 30 Cned, mathématiques 6e

14 Séquence 7 c Exercice 51 Le quadrilatère BEAU est un rectangle, donc par définition les angles EBU et BUA sont droits. La droite (MN) est perpendiculaire à la droite (BE) donc l angle BMN est droit. Le quadrilatère BMNU a trois angles droits. D après la propriété : «Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle», je peux affirmer que BMNU est un rectangle. M est un point du cercle Ω donc BU = BM. D après la propriété : «Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c est un carré», je peux affirmer que BMNU est un carré. On utilise la carte 3 de la Boîte à Outils. On sait également d après cette définition que les angles BEA et UAE sont droits, mais ce résultat ne nous intéresse pas ici. On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils On utilise la carte 27 de la Boîte à Outils Cned, Mathématiques 6e 31

15 c Séquence 7 Exercice 52 Pour construire le triangle ABC, on commence par faire une figure à main levée codée : 65 C 65 ABC est isocèle en B donc : BA = BC = 4 cm. On a déjà rencontré ce type de construction dans l exercice 42 de la séquence 3 (2ème question). C ' 65 3) AB = 4 cm donc le point B est sur le cercle de centre A et de rayon 4 cm, c est-à-dire sur le cercle C. Comme le triangle ABC est isocèle en B, on a CB = AB = 4 cm. CB = 4 cm donc le point B est sur le cercle de centre C et de rayon 4 cm, c est-à-dire sur le cercle C 4) D C donc DA = 4 cm. D C donc DC = 4 cm On a donc AB = BC = CD = DA. Les quatre côtés du quadrilatère ABCD ont la même longueur donc, d après la définition du losange, je peux affirmer que ABCD est un losange. 3) On utilise la définition du cercle. On utilise à nouveau la définition du cercle 4) D est le point d intersection des cercles C et C donc il est à la fois sur C et sur C. On utilise la carte 2 de la Boîte à Outils 32 Cned, mathématiques 6e

16 Séquence 7 c Séance 7 Ce que tu devais faire Exercice 53 Les commentaires du professeur ) Les commentaires du professeur : EFGH est un cerf-volant donc le côté [EF] a un côté consécutif qui a la même longueur que lui. Comme : [EH] n a pas la même longueur que [EF], [FG] a donc la même longueur que [EF]. Par un même raisonnement, on déduit que : EH = GH. étape 1 On trace le côté [FG] de 3 cm. On trace un angle étape 2 On trace un arc de cercle de centre G, de rayon 4 cm, de sommet G, de côté [GF) et de mesure 130. qui coupe le deuxième côté de l angle en H F 3 cm G étape 3 On trace un arc de cercle de centre H et de rayon HG = 4 cm. étape 4 On trace un autre arc de cercle, de centre F et de rayon FG qui coupe le premier arc en E. On trace alors les côtés du cerf-volant. Cned, mathématiques 6e 33

17 c Séquence 7 Exercice 54 On réfléchit sur une figure à main levée codée. I I On constate que les côtés de même longueur sont d une part [IJ] et [JK] et d autre part [IL] et [LK]. On peut commencer par tracer le triangle IJL dont on connaît les longueurs des trois côtés. Au besoin, revoir la rubrique «je comprends la méthode» de la séance 6 de la séquence 3. Comme IJKL est un cerf-volant, on a : JK = JI = 2,5 cm KL = LI = 3,5 cm. Je trace un segment [JL] de 5 cm. Je trace un cercle de centre J et de rayon 2,5 cm. Je trace un cercle de centre L et de rayon 3,5 cm. Je place les deux points d intersection des deux cercles I et K. Je trace les côtés du quadrilatère IJKL. Exercice 55 On peut donc tracer le triangle JKL connaissant les trois longueurs de ses côtés. Les cercles que l on trace sont en fait les mêmes que ceux qui nous ont permis de construire le point I. Il nous suffisait donc de tracer deux cercles : l un de centre J et de rayon 2,5 cm, l autre de centre L et de rayon 3,5 cm pour obtenir les points I et K. On pense à la carte 22 de la Boîte à Outils. On se dit : «Si j arrivais à construire des diagonales perpendiculaires qui ont le même milieu, j obtiendrais alors un losange». On trace un segment de 7 cm. On trace ensuite sa médiatrice au compas qui le coupe en son milieu M. 5,4 2 = 2,7 On trace deux arcs de cercle de centre M et de rayon 2,7 cm qui coupent cette médiatrice en deux points. a) Voici une figure à main levée : b) ABCD est un losange donc sa diagonale (BD) est un axe de symétrie de ce quadrilatère. (BD) est donc la bissectrice de l angle ADC. On a donc : ADC = 2 x ADB = 80. c) A 3 cm D 80 B C x b) On a utilisé la carte 6 de la boîte à outils. c) On construit le losange de la façon suivante : On trace le côté [DA], On construit un angle ADx de mesure 80. On reporte au compas la longueur AD à partir de D sur [Dx) ; on obtient le point C. On trace deux arcs de cercle de rayon AD, l un de centre A, l autre de centre C. Ils se coupent en B. On trace les deux côtés qu il reste à tracer. 34 Cned, mathématiques 6e

18 Séquence 7 c Exercice 56 Q T 35 6 cm R S Les commentaires du professeur : étape 1 On trace le côté [QR] de 6 cm puis un angle étape 2 On trace les perpendiculaires à la droite (QR) passant de sommet Q, de côté [QR), de mesure 35. par Q et R. On obtient S. Q Q cm 6 cm R S étape 3 On trace la perpendiculaire à la droite (RS) passant par le point S. On obtient T. Q T 35 D après la carte 23 de la boîte à outils, QRST est un rectangle. 6 cm R S Cned, Mathématiques 6e 35

19 c Séquence 7 H E 5 cm G 4 cm F Les commentaires du professeur : étape 1 On trace le segment[eg] de 5 cm. Soit M le milieu de [EG]. Comme les diagonales d un rectangle ont la même longueur et le même milieu, on a : ME = MG = MH = MF = 2,5 cm. Les points F et H sont donc sur le cercle de centre M et de rayon 2,5 cm soit sur le cercle de diamètre [EG]. étape 2 Comme EF = 4 cm, le point F se trouve sur le cercle de centre E et de rayon 4 cm. EFGH est un rectangle donc ses côtés opposés ont la même longueur, d où : GH = EF = 4 cm. Le point H se trouve donc sur le cercle de centre G et de rayon 4 cm H E G M M E G 2,5 cm F étape 3 On trace les quatre côtés du quadrilatère EFGH. H E M G F On a bien respecté la consigne de ne pas utiliser l équerre. 36 Cned, mathématiques 6e

20 Séquence 7 c Exercice 57 L 4 cm J K Les commentaires du professeur : étape 1 On trace un côté [IJ] de 4 cm, puis on trace une demi-droite d origine J, perpendiculaire à (IJ) à l aide d une équerre. On reporte ensuite la longueur IJ à partir de J sur cette demi-droite à l aide d un compas. 4 cm J K étape 2 On trace deux arcs de cercle de rayon 4 cm de centres respectifs I et K. Ces deux arcs se coupent en L. L 4 cm J K Cned, Mathématiques 6e 37

21 c Séquence 7 Exercice 58 J M L On trace la diagonale [JL] qui mesure 6 cm, puis on cherche à tracer une deuxième diagonale. On utilise la carte 24 : JKLM est un rectangle donc cette deuxième diagonale a la même longueur que l autre, soit 6 cm, et les deux diagonales se coupent en leur milieu que l on nomme O. On trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm. On trace un diamètre [MK], mais on a un nombre infini de possibilités. En voici trois : M'' M' M K H E G F Les deux rectangles sont-ils toujours superposables? NON D C A R J K K' Si on choisit un autre diamètre pour deuxième diagonale, on peut par exemple obtenir le quadrilatère EFGH. On voit facilement que ces deux rectangles ne sont pas superposables. On utilise la carte 25 : Ce n est pas la même chose pour le carré puisque les diagonales d un carré sont perpendiculaires : dès qu on trace la première diagonale, la seconde est unique. K'' L D B S U A C B T Les deux carrés sont-ils toujours superposables? OUI Exercice 59 (d) On utilise la carte 7. A E B E' (d') Il n y a donc qu un seul carré qui a une diagonale de 6 cm. C est pour cette raison que les carrés ABCD et RSTU sont superposables. A et B sont les symétriques respectifs de E par rapport à (d) et (d ). (Revoir au besoin la construction du symétrique d un point par rapport à une droite dans la séquence 5, séance 2 ou 6) Pour construire E : E est le symétrique de A par rapport à (d ), ou encore celui de B par rapport à (d) ou encore lorsqu on reporte EB à partir de A et EA à partir de B : E est le point commun aux deux arcs de cercle. 38 Cned, mathématiques 6e

22 Séquence 7 c Séance 8 Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Exercice 60 et 3) a) C est Lou-Ann. b) Maillon 1 Comme la droite (Δ) est la médiatrice du segment [AB], d après la définition de la médiatrice, (Δ) coupe [AB] en son milieu. Le point M est donc le milieu de [AB] et c est le centre du cercle Ω. Maillon 3 Comme les segments [EF] et [AB] sont deux diamètres du cercle Ω, ils ont la même longueur. Maillon 5 Comme les diagonales du quadrilatère AEBF sont perpendiculaires et ont le même milieu M, je peux conclure que AEBF est un losange. c) démonstration de Henri : d) démonstration de Victor : e) En conclusion, AEBF est un losange et un rectangle donc c est un carré. Maillon 2 Les points E, M et F sont alignés et les points E et F sont sur le cercle de centre M donc : le segment [EF] est un diamètre du cercle Ω. le point M est le milieu du segment [EF]. Maillon 4 Comme (Δ) est la médiatrice du segment [AB], d après la définition de la médiatrice, on a : (EF) (AB). Maillon 6 Comme les diagonales du quadrilatère AEBF ont le même milieu M et ont la même longueur, je peux conclure que AEBF est un rectangle. Les commentaires du professeur : On trace la médiatrice au compas : on revoit au besoin le paragraphe «Je comprends la méthode» de la séquence 5, séance 5. Pour tracer le cercle Ω, on revoit éventuellement le paragraphe «Je comprends la méthode», séquence 1, séance 9. Ici, on a déjà le milieu de [AB] : c est le point M commun aux droites (AB) et (Δ). Les diagonales sont les segments [AB] et [EF]. 3) a) C est Lou-Ann qui a raison. Cependant, on peut déjà le «tester» sur la figure : les quatre angles semblent être droits et les quatre côtés semblent avoir la même longueur. c) On utilise la carte 22. d) On utilise la carte 24. e) On utilise la carte 4. Cned, Mathématiques 6e 39

23 c Séquence 7 Exercice 61 et A F On n oublie pas qu un diamètre est une corde qui passe par le centre du cercle. Une fois qu on a tracé [EF], on trace une droite perpendiculaire à (EF) passant par I : elle coupe Ω en deux points A et B diamétralement opposés. 3 cm E B 3) Comme [EF] est un diamètre du cercle Ω, le centre I de Ω est le milieu de [EF]. Comme [AB] est un diamètre du cercle Ω, le centre I de ce cercle Ω est aussi le milieu de [AB]. Les diagonales [EF] et [AB] ont donc le même milieu I. On sait que : (AB) (EF). Les diagonales de AEBF sont donc perpendiculaires. D après la propriété «si un quadrilatère a ses diagonales qui sont perpendiculaires et qui ont le même milieu alors ce quadrilatère est un losange», je peux affirmer que AEBF est un losange. 3) Comme le point I est le centre du cercle Ω, il est le milieu du diamètre [EF]. Comme I est aussi le centre de Ω, c est également le milieu du diamètre [AB]. On utilise la carte 22 de la Boîte à Outils. Prends le temps de recopier soigneusement la démonstration si la tienne est incomplète : cela t entraînera à rédiger. 40 Cned, mathématiques 6e

24 Séquence 7 c Exercice 62 a) «Un carré est un losange.» OUI «Un losange est un carré.» NON b) «Un carré est un rectangle.» OUI «Un rectangle est un carré.» NON c) «Un carré est un cerf-volant.» OUI «Un cerf-volant est un carré.» NON d) «Les côtés opposés d un losange ont la même longueur.» OUI «Les côtés opposés d un cerf-volant ont la même longueur.» NON Exercice 63 HKJI est un losange. D après la propriété : «si un quadrilatère est un losange alors ses angles opposés sont égaux», je peux affirmer que les angles KHI et KJI sont égaux. D après le codage, les angles HKL et KJI sont égaux mais KJI = KHL d après la question 1, donc on a : HKL = KHL. D après la propriété «si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle», je peux affirmer que le triangle HKL est isocèle. Comme les sommets de ses angles égaux sont H et K, le triangle HKL est isocèle en L. Exercice 64 B', et 3) A B C Les segments [AB] et [AB ] sont symétriques par rapport à la droite (AC) donc ils ont la même longueur : AB = AB. De même, les segments [BC] et [B C] sont symétriques par rapport à la droite (AC) donc : BC = B C. On a : AB = AB et : BC = B C. Le quadrilatère AB CB est donc par définition un cerf-volant. a) Un carré est un losange par définition (carte 4 de la Boîte à Outils). Par contre, on a rencontré beaucoup de losanges dans cette séquence qui ne sont pas des carrés : il suffit qu aucun de leurs angles ne soit droit. b) Un carré est un rectangle par définition (carte 4 de la Boîte à Outils). Par contre, on a rencontré beaucoup de rectangles dans cette séquence qui ne sont pas des carrés : il suffit que leurs côtés consécutifs n aient pas la même longueur. c) Un carré est un losange donc c est un cerfvolant puisqu un losange est un cerf-volant avec la particularité d avoir tous ses côtés de la même longueur. Par contre, un cerf-volant n est pas forcément un losange comme on l a déjà vu dans l exercice 17 donc encore moins un carré! d) Comme tous les côtés d un losange ont la même longueur, les côtés opposés aussi ont la même longueur. Par contre, les côtés opposés d un cerf-volant n ont pas généralement la même longueur : il n y a qu à observer, par exemple, celui du premier paragraphe «Je retiens» de la séance 2 de cette séquence. On utilise la carte 10 de la Boîte à Outils. On utilise ici une donnée fournie par le codage. De plus, KHI = KHL. On utilise ici le second paragraphe «Je retiens» de la séquence 5 séance 7. On donne une réponse complète c est-àdire que l on précise bien en quel sommet le triangle est isocèle : on donne le nom du sommet principal. et On revoit au besoin le paragraphe «Je comprends la méthode» de la séquence 5 séance 6 pour construire B. 3) On utilise la propriété du troisième paragraphe «Je retiens» de la séquence 5 séance 3. On utilise ici la carte 1 de la Boîte à Outils. Cned, Mathématiques 6e 41

25 c Séquence 7 Exercice 65, et 3) a) E S 45 A b) Les angles AEU et SEU sont symétriques par rapport à la droite (EU) donc ils ont la même mesure. AEU = SEU = 45. On a : SEA = SEU + UEA SEA == = 90. L angle SEA =est droit. c) Le triangle EAU est rectangle en A donc : EAU = 90. Les angles ESU et EAU sont symétriques par rapport à la droite (EU) donc ils sont égaux. On a donc : ES U = EAU = 90 d) Les trois angles ESU, EAU =et SEA sont droits. D après la propriété : «Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle», je peux affirmer que SEAU est un rectangle. e) Les segments [EA] et [ES] sont symétriques par rapport à la droite (EU) donc ils ont la même longueur c est-à-dire : EA = ES. f) [EA] et [ES] ont la même longueur. D après la propriété : «Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur alors c est un carré», je peux affirmer que SEAU est un carré. U 3) b) Dans la symétrie axiale par rapport à la droite (EU) : le symétrique de E est lui-même le symétrique de U est lui-même A et S sont symétriques les demi-droites [EA) et [ES) sont symétriques la demi-droite [EU) est sa propre symétrique c) Revoir au besoin le premier paragraphe «Je retiens» de la séquence 5 séance 4. d) On utilise ici la carte 23 de la Boîte à Outils. e) On utilise ici le troisième paragraphe «Je retiens» de la séquence 5 séance 3. f) On utilise ici la carte 27 de la Boîte à Outils. Recopie bien ces démonstrations si les tiennes sont différentes de celles du corrigé ou bien si elles sont incomplètes. 42 Cned, mathématiques 6e

26 Séquence 7 c Séance 9 Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Exercice 66 A B C D Lorsqu on trace une figure, il faut essayer de ne pas représenter de cas particuliers. Ici, on ne doit pas tracer des diagonales qui se coupent en leur milieu, sinon on peut obtenir une figure particulière. Lorsque les diagonales sont «uniquement» perpendiculaires, le quadrilatère n a aucune particularité (cet exercice est un piège, puisque la consigne fait penser qu il y en a une). Ce quadrilatère n a aucune particularité : ce n est pas un cerfvolant (donc n est pas un losange) ; il n est pas non plus un rectangle (donc n est pas un carré). Exercice 67 Ce losange n existe pas! Les quatre côtés d un losange ont la même longueur or ici : RS TU Cela n est pas possible! Cet exercice est un piège : il comporte une erreur (volontaire) dans la consigne. Le losange qu on demande de construire ne peut pas exister! Cned, Mathématiques 6e 43

27 c Séquence 7 Exercice 68 a) Le quadrilatère ABGH a trois angles droits. D après la propriété : «Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle», je peux affirmer que ABGH est un rectangle donc HGB = 90. b) D après les codages : GB = GD = BC = DC. Par définition, le quadrilatère BCDG est un losange. D après la propriété : «Si un quadrilatère est un losange alors ses angles opposés sont égaux», je peux affirmer que : BGD = BCD = 40. c) D après le codage du quadrilatère DEFG, les côtés consécutifs [DG] et [GF] ont la même longueur ainsi que les côtés consécutifs [DE] et [EF]. Ce quadrilatère est donc par définition un cerf-volant. D après la propriété : «Si un quadrilatère est un cerf-volant alors il admet un axe de symétrie : la diagonale qui est la médiatrice de l autre» et grâce aux codages, je peux déduire que la diagonale (GE) est un axe de symétrie de DGFE. Les angles DGE et EGF sont symétriques donc DGE = EGF = 50 d) On a : HGE = HGB + BGD + DGE donc HGE = = 180. L angle HGE est plat donc les points H, G et E sont alignés dans cet ordre. a) On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils b) On utilise la carte 2 de la Boîte à Outils On utilise la carte 10 de la Boîte à Outils Code ce résultat sur la figure. c) On utilise la carte 1 de la Boîte à Outils On utilise la carte 5 de la Boîte à Outils Code ce résultat sur la figure. d) Voir le premier paragraphe «Je RETIENS» séquence 3 séance 5 puis l exercice 27 séquence 3. On commence par construire un rectangle AHGB ayant les dimensions données. La meilleure méthode consiste à tracer un triangle rectangle HAB puis à utiliser le compas pour obtenir le sommet G. On construit ensuite le losange BGDC. On commence par construire l angle BGD de 40 à l aide d un rapporteur. On obtient ensuite le sommet C à l aide du compas. On construit enfin le cerf-volant GFED. Pour cela, on commence par construire le point E qui est sur la droite (HG) d après le d), et qui est tel que : GE = HG. On prolonge donc le tracé du segment [HG] puis on utilise le compas pour obtenir le point E. À l aide d un compas, on trace des arcs de cercle de rayons GD et DE de centres respectifs G et E. Ces arcs se coupent en F. 44 Cned, mathématiques 6e

28 Séquence 7 c Je m évalue La figure à main levée codée ci-dessous est : un cerf-volant un carré un rectangle un losange Les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu. D après la carte 22 de la Boîte à Outils, le quadrilatère ABCD est un losange. C est donc aussi un cerf-volant. Sans indication sur les angles formés par les côtés, on ne peut pas affirmer que ce quadrilatère est un carré, même si la forme du quadrilatère y fait penser. La figure à main levée codée ci-dessous est : un cerf-volant un carré un rectangle un losange Ce quadrilatère possède trois angles droits, donc d après la carte 23, c est un rectangle. Ce rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur donc d après la carte 27, c est un carré. EFGH est un carré, c est donc un losange (donc un cerf-volant). 3) La figure à main levée codée ci-dessous représente : un cerf-volant un carré un rectangle un losange 3) Ce quadrilatère a une diagonale qui est la médiatrice de l autre, donc d après la carte 21, c est un cerf-volant. On ne peut pas affirmer que c est un losange car d après le codage seule une diagonale est la médiatrice de l autre. 4) Coche les phrases vraies : «Si un quadrilatère possède deux angles droits alors c est un rectangle.» «Si une diagonale d un quadrilatère est la médiatrice de l autre alors ce quadrilatère est un cerf-volant.» «Si une diagonale d un quadrilatère est la médiatrice de l autre alors ce quadrilatère est un losange.» «Si un quadrilatère possède deux côtés consécutifs de la même longueur alors c est un carré.» 4) Deux angles droits ne suffisent pas pour avoir un rectangle. Voir la carte 21 de la Boîte à Outils. Cela ne suffit pas. Par contre, si l autre diagonale est la médiatrice de la première, alors on a un losange. Cela suffit avec un rectangle, mais ne suffit pas avec un quadrilatère quelconque. Cned, Mathématiques 6e 45

29 c Séquence 7 5) Coche les phrases fausses : «Un carré est un cerf-volant.» «Un carré est un rectangle.» «Un carré est un losange.» «Un losange est un cerf-volant.» 5) Voir l exercice 17 de cette séquence. Il n y a pas de phrase fausse donc on n en coche aucune. 6) Coche les phrases vraies : «Un rectangle est un carré.» «Un losange est un carré.» «Un cerf-volant est un losange.» «Les diagonales d un cerf-volant se coupent en leur milieu.» 6) Voir l exercice 17 de cette séquence. Il n y a pas de phrase vraie donc on n en coche aucune. Le point commun des diagonales n est le milieu que d une seule diagonale. 7) Que peux-tu affirmer sur les côtés opposés d un carré? Ils sont parallèles Ils sont perpendiculaires Ils ont la même longueur Ils ont le même milieu 7) Voir les cartes 12 et 13 de la Boîte à Outils, sachant qu un carré est un rectangle. 8) Que peux-tu affirmer sur les diagonales d un carré? Elles sont perpendiculaires Elles ont le même milieu Elles ont la même longueur L une est la médiatrice de l autre 8) Il faut tout cocher! Voir les cartes 19 et 20 de la Boîte à Outils, ainsi que le deuxième paragraphe «JE RETIENS» de la séance Cned, mathématiques 6e

30 Séquence 7 c ) ABCD est un losange tel que les triangles ABD et BDC sont équilatéraux. Coche les égalités vraies : AB = BC AB = DC AB = BD AC = BD 9) La longueur de la diagonale [AC] est différente de la longueur des côtés, mais AB = BD car le triangle ABD est équilatéral. 10) Dans quel cas les triangles ABC et BCD sont-ils isocèles et superposables? quand ABDC est un losange quand ABCD est un losange quand ABCD est un carré quand ABCD est un rectangle 10) Voici les deux cas où les triangles ABC et BCD sont superposables et isocèles : Cned, mathématiques 6e 47