Fonction Logarithmes Exercices

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1 Trmial S Foctio Logarithms Ercics Itroductio d L STL Frac, Jui STL, Frac, spt STL, Frac, jui 005 ( poits) 3 5 ROC+costructio géo, La Réuio ROC+ Étud, Atills-Guya, spt 00, 7 pts 5 7 ROC, Atills Étud+air, Frac, spt 00, 6 pts 6 9 Famill foctios, La Réuio spt 00, 6 pts 7 0 Foctio+suit itégrals, Liba ROC+tagt+suit, Liba ROC+limit, Am du Sud /008 3 Equatio+suit, Am du Sud rmplt Logarithm+suit récurrt, Frac Logarithm + suit, Polyési, ov Logarithm, Polyési, spt Distac poit-courb, Liba 00, 6 pts Tagts, N Calédoi, mars Tagt+itégral, La Réuio Logarithm, Frac, spt Logarithm t itégral, Atills, spt 00 ROC+foctio+air, Ctrs étragrs l+itégral, Liba Logarithm t calcul d air, Atills, spt Logarithm t potill 5 6 Logarithm t d dgré 5 7 Logarithm t valur absolu 6 8 Logarithm t équa diff 6 9 Logarithm t radical 30 Logarithm t primitivs Logarithm+ acc fiis 7 3 Logarithm+irratioll+itégrals+acc fiis 8 33 Logarithm+asymptot+acc fiis Famill d foctios l + air 3 35 Foctio l t rotatio 3 36 Etud d l(ch) t d so itégral Th ds valurs itrmédiairs Étud + suit, La Réuio 00, 6 poits Foctio+suit, Bac C, Paris, Dérivabilité, Ctrs étragrs, 000, trait 35 4 Limits+courbs, D après Japo, Equatios Paramètr+air+équatio, Am du Nord Itégrals L t itégral Limits, Bac S, Atills, U o d sup L t p () Distac miimum L t p (3) 40 5 Equatio+itégral, N Calédoi / Itroductio d L U foctio f st défii t dérivabl sur ]0; + [ Ell vérifi Parti A f '( ) = pour tout > 0 t f () = 0 E s ramat à la défiitio du ombr dérivé a (a > 0), motrr qu, pour h voisi d 0, o a : h f( a+ h) + f( a) a a Détrmir alors u valur approché ds imags par f d, t, b Mêm qustio pour l imag d 0,9 Parti B a Etudir ls variatios d f b Etudir l sig d f O s propos d étudir qulqus propriétés algébriqus d la foctio f : a Rapplr la formul doat la dérivé d f[ u( )] b Soit g la foctio défii sur ]0; + [ par : g( ) = f( a) f( ), a état u rél strictmt positif * E calculat g () motrr qu g st u foctio costat qu l o détrmira * E déduir qu la foctio f vérifi la propriété «l imag d u produit d du réls strictmt positifs st égal à la somm ds imags d cs du réls» c Déduir d la propriété précédt ls rlatios : Trmial S F Laroch

2 * * f = f( ) pour tout > 0 = f f( ) f( ) pour tous réls t strictmt positifs * f( ) = f( ) pour tout > 0 t pour tout tir aturl Trmial S F Laroch 3 A st u rél strictmt supériur à t st u tir aturl o ul Motrr qu si A alors f( ) f( A) E déduir lim f( ) puis, à l aid du chagmt d variabl + 4 Dor l tablau d variatio complt d f STL Frac, Jui poits Parti A O cosidèr la foctio f défli sur l itrvall ]0 ; + [ par f ( ) X =, détrmir l = O ot C la courb rpréstativ d f das u rpèr orthogoal ( O; i, j) Détrmir la limit d f 0 Itrprétr graphiqumt l résultat lim f( ) E rmarquat qu, pour tout ombr rél appartat à l itrvall ]0 ; + [, f() st égal à l, détrmir la limit d la foctio f + Itrprétr graphiqumt l résultat 3 a O ot f la foctio dérivé d la foctio f sur l itrvall ]0 ; + [ Motrr qu, pour tout ombr rél appartat à l itrvall ]0 ; + [, f ( ) 0 + l = b Étudir l sig d +l sur l itrvall ]0 ; + [ E déduir l sig d f sur l itrvall ]0 ; + [ c Drssr l tablau d variatios d la foctio f 4 O ot I l poit d itrsctio d C t d l a ( O; i) Détrmir ls coordoés du poit I 5 O ot T la tagt à la courb C au poit A d absciss Détrmir u équatio d la droit T 6 Sur la fuill d papir millimétré, tracr, das l rpèr ( O; i, j) la courb C t la droit T O prdra cm pour uité graphiqu sur l a ( O; i) t 5 cm pour uité graphiqu sur l a ( O; j) Parti B a O cosidèr la foctio g défii sur l itrvall ]0 ; + [ par g( ) ( l) dérivé d la foctio g sur l itrvall ]0 ; + [ Calculr g ( ) b E déduir u primitiv d la foctio a Calculr J ( ) l sur l itrvall ]0 ; + [ = f d où f st la foctio défii das la parti A b Itrprétr graphiqumt l itégral J 3 STL, Frac, spt 004 poits Parti A = O ot g la foctio

3 O cosidèr la foctio g défii sur ]0 ; + [ par ( ) g = + l Calculr g' ( ) pour tout d ]0 ; + [ Étudir so sig sur ]0 ; + [ Drssr l tablau d variatios d g sur ]0 ; + [ (O dmad pas ls limits d g au bors d so smbl d défiitio) 3 E déduir qu pour tout d ]0 ; + [, g() < 0 Parti B Soit f la foctio défii sur ]0 ; + [ par f ( ) l = + O désig par C sa courb rpréstativ das l pla mui d u rpèr orthogoal ( O; i, j) graphiqus cm sur l a ds abscisss t cm sur l a ds ordoés a Calculr la limit d f 0 Itrprétr graphiqumt c résultat b Calculr la limit d f + c Démotrr qu la droit d équatio y = + stasymptot à la courb C d Étudir la positio rlativ d C t sur ]0 ; + [ a Calculr f '( ) pour tout > 0 b Vérifir qu pour tout d ]0 ; + [, f '( ) ( ) g = c Déduir d la parti A l tablau d variatios d f sur ]0 ; + [ d Calculr f() E déduir l sig d f sur ]0 ; + [ 3 Das l pla mui du rpèr ( O; i, j), tracr la droit t la courb C Parti C Vérifir qu la foctio F défii sur ]0 ; + [ par F( ) ( ) ]0 ; + [ Calculr l itégral I ( ) = f d (o dora la valur act) d uités = + l st u primitiv d f sur 4 3 a Hachurr sur l graphiqu la parti E du pla limité par la courb C, l a ds abscisss t ls droits d équatios = t = b Déduir d la qustio d la parti C la valur act d l air S d E cm, puis dor la valur arrodi cm, au mm près 4 STL, Frac, jui 005 ( poits) Parti A : Étud d u foctio auiliair g O cosidèr la foctio g défii sur l itrvall ]0 ; + [ par g( ) = l Soit g la foctio dérivé d la foctio g Calculr g () Étudir l sig d g () sur ]0 ; + [ Drssr l tablau d variatios d la foctio g das lqul o précisra la valur act d l trmum (aucu limit st dmadé) Déduir du qu la foctio g st égativ sur l itrvall ]0 ; + [ Parti B : Étud d u foctio O cosidèr la foctio f défii sur l itrvall ]0 ; + [ par f ( ) l = O appll C la courb rpréstativ d la foctio f das u rpèr orthoormal ( O; i, j) graphiqu cm a Détrmir la limit d la foctio f + d uité Trmial S 3 F Laroch

4 b Détrmir la limit d la foctio f 0 Soit D la droit d équatio y = a Démotrr qu la droit D st asymptot à la courb C b Étudir la positio d la courb C par rapport à la droit D 3 a Soit f la foctio dérivé d la foctio f Démotrr qu pour tout d l itrvall ]0 ; + [, f '( ) ( ) g = b E utilisat la parti A déduir l sig d f () sur I itrvall ]0 ; + [ t drssr l tablau d variatios d la foctio f 4 Tracr la droit D t la courb C das l rpèr ( O; i, j) Parti C : Calcul d u air = l O cosidèr la foctio h défii sur l itrvall ]0 ; + [ par h( ) ( ) O désig par h la foctio dérivé d la foctio h Calculr h () pour tout rél d ]0 ; + [ O désig par A la msur, primé cm, d l air d la parti du pla compris tr la droit D, la courb C t ls droits d équatios = t = a Hachurr sur l graphiqu la parti du pla défii ci-dssus b Calculr la valur act du ombr rél A 5 ROC+costructio géo, La Réuio poits Soit a t b du ombrs réls strictmt positifs tls qu a < b O désig par A t par B ls poits d abscisss rspctivs a t b d la courb Γ rpréstativ d la foctio logarithm épéri das u rpèr orthoormal ( O; i, j) Ls poits Q t R sot ls projtés orthogoau rspctifs ds poits A t B sur l a ds ordoés a Dor l équatio réduit d la tagt T au poit A à la courb Γ b Détrmir l ordoé du poit d itrsctio P d T avc l a ds ordoés Calculr la loguur PQ E déduir u costructio simpl d T ; la réalisr sur la figur ci-dssous Rstitutio orgaisé d coaissacs : o suppos cou la propriété «Pour tout coupl ( ; y) d ombrs réls strictmt positifs, o a l(y) = l()+l(y)» E déduir qu, pour tout ombr rél m strictmt positif, o a l m = lm 3 Utilisr l résultat d la qustio pour placr sur l a ds abscisss l poit G d absciss ab Epliqur la costructio t la réalisr sur la figur (o laissra ls traits d costructio apparts) Trmial S 4 F Laroch

5 6 ROC+ Étud, Atills-Guya, spt 00, 7 pts PARTIE A - Rstitutio orgaisé ds coaissacs O suppos cous la dérivé d la foctio potill t la formul d dérivatio d u v aisi qu ss coditios d utilisatio O suppos savoir qu la foctio l st dérivabl sur ] 0;+ [ t qu pour tout d ] [ p( l) = Trmial S 5 F Laroch 0;+ o a : À partir d cs quatr argumts, motrr qu la dérivé d la foctio l st la foctio défii sur ] 0;+ [ qui à associ PARTIE B - Étud d foctio O cosidèr la foctio f défii sur ] 0;+ [ par f ( ) l = + L but du problèm st l étud d ctt foctio t l calcul d u air O ot C la courb rpréstativ d la foctio f das l pla mui d u rpèr orthoormal ( O; i, j) d uité graphiqu 3 cm I - Étud d u foctio auiliair O cosidèr la foctio g défii sur ] 0;+ [ par ( ) Étudir ls variatios d g sur ] 0;+ [ E déduir l sig d g sur ] 0;+ [ g = + l II - Étud d la foctio f t tracé d sa courb rpréstativ C Détrmir la limit 0 d la foctio f Qull st l itrprétatio graphiqu d c résultat? Détrmir la limit + d f puis motrr qu la droit D d équatio y = st asymptot à la courb C 3 Soit f la foctio dérivé d la foctio f Calculr f ( ) pour tout rél d ] 0;+ [

6 4 E déduir l ss d variatio d f sur ] 0;+ [ puis drssr l tablau d variatios d la foctio f 5 Détrmir l poit A d la courbc lqul la tagt T st parallèl à la droit D 6 Das l rpèr ( O; i, j) tracr ls droits D t T t la courb C III - Calcul d u air Motrr qu l d = E déduir l air d la régio du pla délimité par ls droits d équatio =, =, l a ds abscisss t la courb C O primra ctt air cm Hachurr ctt régio sur l graphiqu 7 ROC, Atills poits Rstitutio orgaisé ds coaissacs Pré-rquis : la foctio logarithm épéri st dérivabl sur ]0 ; + [ t sa foctio dérivé st la foctio ivrs ( ) l()= 0 Démotrr qu pour tous réls strictmt positifs a t, l(a) = l(a)+l() Utilisr l résultat précédt pour démotrr qu strictmt positifs a t b a l = lb t qu l = la lb pour tous réls b b 3 O do 0,69 l 0,70 t,09 l3,0 E déduir ds cadrmts d l6, 8 Étud+air, Frac, spt 00, 6 pts Soit f la foctio défii sur l itrvall ] 0;+ [ par f ( ) ( l) La courb rpréstativ C d la foctio f st doé ci-dssous = l 6 t 3 l 8 Trmial S 6 F Laroch

7 Parti I : Étud d la foctio f Étudir l sig d f ( ) suivat ls valurs du ombr rél Détrmir ls limits d la foctio f au bors d so smbl d défiitio 3 Détrmir la dérivé d la foctio f sur l itrvall ] 0;+ [ t drssr l tablau d variatios d la foctio f sur l itrvall ] 0;+ [ 4 Soit a u ombr rél strictmt positif O cosidèr la tagt (T A ) au poit A d la courb C d absciss a a Détrmir, foctio du ombr rél a, ls coordoés du poit A 0, poit d itrsctio d la droit (T A ) t d l a ds ordoés b Eplicitr u démarch simpl pour la costructio d la tagt (T A ) Costruir la tagt (T A ) au poit A placé sur la figur Parti II : U calcul d air Soit a u ombr rél strictmt positif O ot A(a) la msur, uité d air, d l air d la régio du pla limité par la courb C, l a ds abscisss t ls droits d équatios rspctivs = a t = Justifir qu ( a) ( ) A = f d, distiguat l cas a < t l cas a > a À l aid d u itégratio par partis, calculr A(a) foctio d a 9 Famill foctios, La Réuio spt 00, 6 pts Pour tout ombr rél k strictmt positif, o cosidèr la foctio f k défii sur l itrvall ] 0;+ [ par Parti A ( ) ( ) k f Détrmir la limit d la foctio f k 0 k = l + Trmial S 7 F Laroch

8 O rappll qu + l lim = 0 Démotrr qu + 3 Motrr qu, pour tout ombr rél strictmt positif, f ( ) l lim = 0 E déduir la limit d la foctio f + k k k = 4 Pour u ombr rél k strictmt positif o do ci-dssous l tablau d variatios d la foctio f k 0 + k f ( ) ( k) l Justifir ls rsigmts sur ls variatios d la foctio f k figurat das c tablau 5 O a tracé ci-dssous la courb C k rpréstativ d u foctio f k pour u crtai valur du ombr rél k strictmt positif L poit A ; appartit à la courb C k Qull st la valur du ombr rél k corrspodat? Justifir la démarch Parti B Das ctt parti o pos Calculr ( ) k= l d O pourra utilisr u itégratio par partis Calculr, uité d air, la msur d l air du domai délimité par la courb rpréstativ d la foctio f /, l a ds abscisss t ls droits d équatio = t = 0 Foctio+suit itégrals, Liba poits f = O cosidèr la foctio f défii sur R par ( ) l( ) La courb (C) rpréstativ d la foctio f das l pla mui d u rpèr orthogoal st doé cidssous Ctt figur sra complété t rmis avc la copi à la fi d l épruv Trmial S 8 F Laroch

9 Parti A a Détrmir la limit d la foctio f + b Motrr qu la droit (D) d équatio c Étudir ls positios rlativs d (D) t d (C) d Motrr qu pour tout rél, ( ) l( ) E déduir la limit d f y= st asymptot à la courb (C) Tracr (D) 3 f = + 3 a O ot f la foctio dérivé d la foctio f Motrr qu pour tout rél, f '( ) b E déduir ls variatios d la foctio f Parti B = 3 ( + ) Soit u tir aturl o ul O appll d, l air, uités d air, du domai du pla délimité par la courb (C), la droit (D) d équatio y= t ls droits d équatios = 0 t = 3 Justifir qu pour tout tir aturl o ul, = l( + ) O admt qu pour tout rél, l( ), d La suit (d ) st-ll covrgt? Parti C d d 0 + Motrr qu pour tout tir aturl supériur ou égal à Das ctt parti, o chrch à mttr évidc u propriété d la courb (C) O ot (T) la tagt à la courb (C) au poit d absciss 0 Calculr l cofficit dirctur d (T) puis costruir (T) sur l graphiqu Das ctt qustio, tout trac d rchrch, mêm icomplèt, ou d iitiativ, mêm o fructuus, sra pris compt das l évaluatio Soit M t N du poits d la courb (C) d abscisss o ulls t opposés Motrr qu la droit (MN) st parallèl à la droit (T) ROC+tagt+suit, Liba poits Parti A Démostratio d cours Prérquis : défiitio d'u suit tdat vrs + Trmial S 9 F Laroch

10 «U suit td vrs + si, pour tout rél A, tous ls trms d la suit sot, à partir d'u crtai rag, supériurs à A» Démotrr l théorèm suivat : U suit croissat o majoré td vrs + Parti B = + + O cosidèr la foctio f défii sur l'itrvall [ 0;+ [ par f ( ) l( ) La courb (C) rpréstativ d la foctio f das u rpèr orthogoal st doé ci-dssous Ctt courb sra complété t rmis avc la copi à la fi d l'épruv Étudir l ss d variatio d la foctio f sur l'itrvall [ 0;+ [ Détrmir u équatio d la tagt (T) à la courb (C) au poit d'absciss 0 3 Tracr la droit (T) sur l graphiqu Das la suit d l'rcic, o admt qu, sur l'itrvall ] 0;+ [, la courb (C) st situé au dssus d la droit (T) Parti C O cosidèr la suit ( u ) défii sur N par : u 0 = t, pour tout tir aturl, u f ( u ) + = Costruir sur l'a ds abscisss ls ciq prmirs trms d la suit ( u ) laissat apparts ls traits d costructio (utilisr l graphiqu doé) À partir d c graphiqu, qu put-o cojcturr cocrat l ss d variatio d la suit ( u ) t so comportmt lorsqu td vrs +? 3 a Motrr à l'aid d'u raisomt par récurrc qu, pour tout tir aturl, u b Motrr qu la suit ( u ) st croissat c Motrr qu la suit ( u ) 'st pas majoré d E déduir la limit d la suit ( u ) Trmial S 0 F Laroch

11 ROC+limit, Am du Sud /008 3 poits Das ct rcic, o dmad au cadidats d établir, suivat la démarch proposé, du résultats d cours O rappll qu la foctio l st défii t dérivabl sur ] 0;+ [, positiv sur [ ;+ [, t vérifi : * l = 0 ; * pour tous réls strictmt positifs t y, l(y) = l +l y ; * pour tout rél strictmt positif, l ( ) * l() 0,69 à 0 près Trmial S F Laroch ' = ; O cosidèr la foctio f défii sur ] 0;+ [ par ( ) f = l a Étudir ls variatios d f t déduir qu f admt u miimum sur ] 0;+ [ l( ) b E déduir l sig d f puis qu, pour tout >, 0 < < c E déduir qu l lim = 0 Soit u tir aturl o ul l = O cosidèr la foctio f défii sur ] 0;+ [ par : f( ) E utilisat la qustio, détrmir, si ll ist, la limit + d la foctio f

12 3 Equatio+suit, Am du Sud rmplt poits O cosidèr la foctio f défii sur [0 ; + [ par f ( ) l( ) a Détrmir la limit d f + b Détrmir la dérivé d f c Drssr l tablau d variatios d f = + + Soit u tir aturl o ul O cosidèr la foctio f, défii sur [0 ; + [ par a Détrmir la limit d f + ( ) f ( + ) l = + b Démotrr qu la foctio f st strictmt croissat sur [0 ; + [ c Démotrr qu l équatio f( ) = 0 admt u uiqu solutio α sur [0 ; + [ d Justifir qu, pour tout tir aturl, 0 < α < f α + > 3 Motrr qu pour tout tir aturl o ul, ( ) 4 Étud d la suit ( α ) a Motrr qu la suit ( α ) st croissat b E déduir qu ll st covrgt ( ) 0 l α + c Utilisr l prssio α = pour détrmir la limit d ctt suit 4 Logarithm+suit récurrt, Frac poits O cosidèr la foctio f défii sur l itrvall ] ; + [ par : f ( ) ( + ) l = + La courb C rpréstativ d f st doé sur la figur ci-dssous qu l o complétra Parti A : Étud d crtais propriétés d la courb C O ot f la foctio dérivé d f Calculr f '( ) pour tout d l itrvall ] ; [ Pour tout d l itrvall ] ; + [, o pos N( ) ( ) l( ) = Vérifir qu l o défiit aisi u foctio strictmt croissat sur ] ; + [ Calculr N ( 0) E déduir ls variatios d f + 3 Soit D la droit d équatio y = Calculr ls coordoés du poit d itrsctio d la courb C t d la droit D Parti B : Étud d u suit récurrt défii à partir d la foctio f Démotrr qu si [ 0 ;4], alors ( ) [ 0 ;4] u O cosidèr la suit (u ) défii par : u f 0 + = 4 ( ) = f u pour tout d N a Sur l graphiqu, utilisat la courb C t la droit D, placr ls poits d C d abscisss u 0, u, u t u 3 b Démotrr qu pour tout d N o a : [ 0 ;4] c Étudir la mootoi d la suit (u ) u d Démotrr qu la suit (u ) st covrgt O désig par l sa limit Trmial S F Laroch

13 Utilisr la parti A pour dor la valur d l Logarithm + suit, Polyési, ov poits La courb C doé ci-dssous st la rpréstatio graphiqu d la foctio f défii sur ]0 ; + [ par : l f( ) = + Trmial S 3 F Laroch

14 y 0,5 0 α 0 0,5,5,5 3-0,5 - C -,5 - -,5-3 -3,5-4 a Motrr qu f st dérivabl t qu, pour tout strictmt positif, f() st du sig d ( ) N( ) = + l b Calculr N() t détrmir l sig d N() distiguat ls cas 0 < < t > c E déduir l ss d variatio d f sur ]0 ; + [ t ls coordoés du poit d C d ordoé maimal O ot Aα ( ) l air, primé uités d air, d la parti du pla grisé sur la figur, où α désig u rél d ]0 ; [ a Eprimr Aα ( ) foctio d α (o pourra utilisr u itégratio par partis) b Calculr la limit d Aα ( ) lorsqu α td vrs 0 Dor u itrprétatio d ctt limit 3 O défiit u suit ( u) N par so prmir trm u 0 élémt d [ ; ] t : lu pour tout tir aturl, u+ = u + l a Démotrr, pour tout rél élémt d [ ; ], la doubl iégalité : 0 b Démotrr par récurrc qu, pour tout tir aturl, u appartit à [ ; ] 4 E rmarquat qu, pour tout tir aturl, u = f( u ) + u, détrmir l ss d variatio d la suit ( u ) 5 a Motrr qu la suit ( u) N b Détrmir la valur act d l 6 Logarithm, Polyési, spt poits + st covrgt O ot l sa limit O cosidèr la foctio f défii sur l itrvall [0 ; + [ par : O ot C la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormal ( O; i, j) f(0) = f( ) = ( 3 l) si > 0 Trmial S 4 F Laroch

15 Parti A a Calculr lim f( ) Qu put-o déduir pour la foctio f? 0 b Détrmir la limit d f + a Étudir la dérivabilité d f 0 b Motrr qu f st dérivabl sur l itrvall [0 ; + [ t calculr f () pour > 0 3 Étudir l ss d variatios d f sur [0 ; + [, puis drssr so tablau d variatios 4 Motrr qu l équatio f() = 0 possèd u solutio uiqu α sur l itrvall [0 ; + [ Détrmir u valur approché décimal d α à 0 près Parti B Calculr u équatio d la tagt D à la courb C au poit d absciss = O cosidèr la foctio g : f( ) défii sur l itrvall ]0 ; + [ a Calculr g (), puis g () où g t g désigt rspctivmt ls foctios dérivés prmièr t scod d g Étudir l ss d variatios d g E déduir l sig d g () sur ]0 ; + [ b Étudir l ss d variatios d g E déduir la positio d la courb C par rapport à la tagt D 3 Costruir la courb C t la tagt D (uité graphiqu : cm) Parti C st u tir aturl o ul Eprimr foctio d l rél u itégratio par partis) I = ld (o pourra utilisr E déduir foctio d l tir, l air A primé cm du domai pla délimité par la courb C, la tagt D t ls du droits d équatio = t = 3 Calculr lim A t itrprétr l résultat obtu + 7 Distac poit-courb, Liba 00, 6 pts Parti A Soit u la foctio défii sur ] 0;+ [ par ( ) u = + l Étudir ls variatios d u sur ] 0;+ [ t précisr ss limits 0 t + a Motrr qu l équatio u( ) = 0 admt u solutio uiqu sur ] 0;+ [ O ot α ctt solutio b À l aid d la calculatric, détrmir u cadrmt d amplitud 0 d α 3 Détrmir l sig d u( ) suivat ls valurs d 4 Motrr l égalité : lα = α Parti B O cosidèr la foctio f défii t dérivabl sur ] 0;+ [ par f ( ) ( l) O ot f ' la foctio dérivé d f sur ] 0;+ [ Eprimr, pour tout d ] 0;+ [, f '( ) foctio d ( ) E déduir ls variatios d f sur ] 0;+ [ u Parti C Das l pla rapporté à u rpèr orthoormé ( O; i, j) o ot : * Γ la courb rpréstativ d la foctio l (logarithm épéri) ; = + Trmial S 5 F Laroch

16 * A l poit d coordoés (0 ; ) ; * M l poit d Γ d absciss, appartat à ] 0;+ [ Motrr qu la distac AM st doé par AM f ( ) = Soit g la foctio défii sur ] 0;+ [ par g( ) f ( ) = a Motrr qu ls foctios f t g ot ls mêms variatios sur ] 0;+ [ b Motrr qu la distac AM st miimal u poit d Γ, oté P, dot o précisra ls coordoés c Motrr qu AP = α + α 3 Pour ctt qustio, tout trac d rchrch, mêm icomplèt, ou d iitiativ, mêm o fructuus, sra pris compt das l évaluatio La droit (AP) st-ll prpdiculair à la tagt à Γ P? 8 Tagts, N Calédoi, mars poits PARTIE I Sur la figur ci-dssous st tracé das u rpèr orthogoal la courb (C) rpréstativ d la foctio f où * f st u foctio défii t dérivabl sur R + Ls poits A, B, C t D sot ls poits d la courb (C) d abscisss rspctivs,, t ; d plus, A appartit à l a ds abscisss La droit (T) st la tagt à (C) au poit D Das ctt qustio, o dmad qu u obsrvatio graphiqu Avc la précisio prmis par c graphiqu : a Dor u stimatio à 50 près ds cofficits dircturs ds tagts à la courb (C) au poits A, B, C t D b Précisr combi la courb (C) admt d tagts horizotals, d tagts passat par l origi, d tagts d cofficit dirctur Pour chacu d cs tagts, dor l absciss du poit d cotact avc la courb (C) c Choisir l sul tablau pouvat décrir ls variatios d la foctio dérivé d f Justifir c choi Trmial S 6 F Laroch

17 O admt qu la foctio dérivé d f st défii sur Trmial S 7 F Laroch * R + par l g( ) = a Étudir ls variatios d g Cla corrobor-t-il votr choi das la qustio c? b Détrmir ls limits d g 0, puis + c Calculr g(), g( ) ; puis démotrr qu l équatio g() = a qu u sul solutio Qull obsrvatio d la qustio b a-t-o démotré? d Epliqur pourquoi f st défii sur par partis Parti II O étudi la foctio f défii sur * R + par * R + par lt f( ) = dt Calculr f () à l aid d u itégratio t l f( ) =

18 Étudir ls variatios d f, précisr ss limits 0 puis + O chrch à justifir ls obsrvatios d la qustio I cocrat ls tagts à la courb (C) qui sot horizotals, qui ot u cofficit dirctur égal à ou qui passt par l poit O origi du rpèr Démotrr qu, das chacu d cs cas, u sul tagt vérifi la coditio doé, précisr ls abscisss ds poits d cotact corrspodats (o pourra utilisr ls résultats démotrés das la parti I c t précisr cs poits 3 Étud d la tagt (T) à la courb (C) au poit D (l poit D a pour absciss ) a Démotrr qu u équatio d la tagt (T) à (C) au poit D st 3 b Motrr qu l sig d ( ) l 4( ) rapport à ctt tagt c La foctio ϕ st défii sur par rapport à la tagt (T) Parti III Calcul d airs + 4 y= 3 ϕ = + détrmi la positio d la courb (C) par * R + À partir ds variatios d ϕ, détrmir la positio d la courb (C) Démotrr qu ls abscisss ds poits A, B t C sot ls trois prmirs trms d u suit géométriqu dot o précisra la raiso Vérifir qu l absciss d D st l quatrièm trm d ctt suit Soit 0 u ombr rél strictmt supériur à t E l poit d la courb (C) d absciss 0 O cosidèr ls droits d A, d B, d C, d D t d E parallèls à l a ds ordoés t passat rspctivmt par A, B, C, D t E O ot U l air d la parti du pla limit par l a ds abscisss, la courb (C) t ls droits d A t d C ; U l air d la parti du pla limité par l a ds abscisss, la courb (C) t ls droits d B t d D t U 3 l air d la parti du pla limité par l a ds abscisss, la courb (C) t ls droits d C t d E a Calculr U, puis U b Détrmir 0 pour qu U, U t U 3 soit ls trois prmirs trms d u suit arithmétiqu Qull rmarqu put-o fair sur l absciss du poit E? 9 Tagt+itégral, La Réuio poits Ls partis A t B puvt êtr traités idépdammt Parti A l = Soit f la foctio umériqu d la variabl réll défii sur ] 0;+ [ par : f ( ) Sa courb rpréstativ (C), costruit das u rpèr orthoormal, t so tablau d variatios sot doés ci-dssous L tablau d variatios d f do ds propriétés sur ls variatios d la foctio, ls limits au bors d l'smbl d défiitio aisi qu l'trmum Eocr puis démotrr cs propriétés Das ctt qustio, tout trac d rchrch, mêm icomplèt, sra pris compt das î 'évaluatio Eist-t-il ds tagts à la courb (C) qui cotit l poit O origi du rpèr? Si oui dor lur équatio Parti B lt = dt Soit g la foctio défii sur l'itrvall ] 0;+ [ par g( ) a Qu rprést f pour la foctio g? b E déduir l ss d variatios d g sur ] 0;+ [ t Trmial S 8 F Laroch

19 Itrprétr géométriqumt ls réls g ( 3) t g 3 a À l'aid d'u itégratio par partis, motrr qu g( ) b Détrmir la limit d g + l+ = 0 f ( ) Logarithm, Frac, spt 00 poits Parti A Motrr qu pour tout > 0, o a : > 0 Soit g la foctio défii sur ]0 ; + [ par : g( ) = a Détrmir ls limits d g 0 t + Itrprétr graphiqumt ls résultats b Calculr g () Étudir l ss d variatio d g puis drssr so tablau d variatios Parti B O cosidèr la foctio f défii sur ]0 ; + [ dot la courb rpréstativ C das u rpèr orthogoal ( O; i, j) st doé ci-dssous avc sa tagt au poit d absciss Trmial S 9 F Laroch

20 O admt l égalité suivat : ( ) Eprimr f '( ) foctio d a, b t c ( ) f( ) = a l + bl+ c où a, b t c désigt trois réls À l aid ds iformatios doés sur l graphiqu, détrmir ls valurs d 3 E déduir l égalité : ( ) ( ) ( ) f = l 3l+ pour tout ]0 ; + [ f ', '( ) f, '( ) f 4 Détrmir la limit d f 0 O pourra posr t= l t vérifir pour tout ]0 ; + [ l égalité : t ( ) ( 3 ) f t = t + t+ 5 Détrmir la limit d f = + 6 Motrr pour tout ]0 ; + [ l égalité : f '( ) ( l )( l ) 7 Étudir l sig d f () t drssr l tablau d variatios d f Parti C Tracr, das l rpèr ( O; i, j) ci-dssus, la courb rpréstativ Γ d la foctio g étudié parti A a Motrr qu pour tout > 0, o a g( ) = b Calculr, t primr uités d air, l air d la surfac délimité par l a ds abscisss, la courb Γ t 7 y ,5,5,5 3 3,5 4 Trmial S 0 F Laroch

21 ls droits d équatio Trmial S F Laroch = t = 4 3 Soit ϕ la foctio défii sur [0, ; 0,3] par : ϕ () = f() g() a Motrr qu, pour tout appartat [0, ; 0,3], o a : ϕ '( ) > 0 b Motrr qu l équatio f() = g() possèd u solutio uiqu α sur [0, ; 0,3] t détrmir u cadrmt d α d amplitud 0 Parti D Motrr qu pour tout > 0, f ( ) > 0 O défiit la foctio h sur ]0 ; + [ par l prssio suivat : h= g f a Détrmir ls limits 0 t + d h b Détrmir l ss d variatio d h sur ]0 ; + [ c Motrr qu h( α) = g g( α) Détrmir u valur approché d hα ( ) à 0 4 près Logarithm t itégral, Atills, spt 00 poits f(0) = 0, f() = 0, Soit f la foctio défii sur [0 ; ] par : f( ) = ( l) l( ), ]0;[ O ot C sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormal (uité graphiqu : 0 cm) O admt qu lim f( ) = 0 t lim f( ) = 0, aisi qu l résultat suivat : pour α > 0, lim l = 0 0 Parti A - Étud d la foctio f a Détrmir la limit quad td vrs 0 d l prssio b E déduir la limit quad td vrs 0 d l prssio Motrr qu pour tout f( ) ( ) l 0 ; qu put-o déduir pour la courb C? ;, f = f + Qu put-o coclur pour C? ϕ ( ) = l l 3 Soit ϕ la foctio défii sur ]0 ; [ par : ( ) ( ) a Détrmir ϕ '( ), puis motrr l égalité ϕ ( ) = ( ) ; déduir ls variatios d ϕ ' sur ]0 ; [ b Motrr qu ϕ ' s aul du valurs a t a sur ]0 ; [ (o chrchra pas à calculr cs valurs) Dor l sig d ϕ ' sur ]0 ; [ c Détrmir la limit quad td vrs 0 d ϕ ( ) t la limit quad td vrs d ϕ ( ) Calculr ϕ E déduir l sig d ϕ ( ) sur ]0 ; [ 4 a Motrr qu f () a mêm sig qu ϕ ( ) sur ]0 ; [ b Dor l tablau d variatios d f c Motrr qu, pour tout d ]0 ; [, ls iégalités suivats sot vrais : 0 ( l) l( ) ( l) d Tracr C Parti B - Ecadrmt d u itégral Pour t 0;, o pos : I( t) = ld, a À l aid d itégratios par partis, motrr qu : t I( t) = ld, t < I( t) = f( ) d t α

22 l t I( t) = t lt+ ; b Détrmir ls limits d I (t) t d I (t) quad t td vrs 0 Soit g t h ls foctios défiis sur a Étudir sur 0; l 3 t I( t) = t lt ; par : g( ) = + t h( ) = g( ) ls variatios d la foctio ( ) b E déduir qu, pour tout d 0;, l( ) g () l g( ) c Par u procédé aalogu,motrr qu pour tout d 0;, l( ) h() d E déduir u cadrmt d f () sur 0; 3 a Motrr qu I( t) I( t) I( t) I( t) I( t) b E supposat qu I (t) admt u limit ot l quad t td vrs 0, dor u cadrmt d l ROC+foctio+air, Ctrs étragrs poits I Rstitutio orgaisé ds coaissacs Prérquis : o rappll qu : lim Démotrr qu + l lim = 0 + = + E déduir qu pour tout tir aturl o ul : II Étud d'u foctio f l lim = 0 + Soit f la foctio défii sur l'itrvall ] 0;+ [ par : f ( ) O ot (C) sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormal ( O; i, j) 3 Soit u la foctio défii sur l'itrvall ] 0;+ [ par ( ) l = (uité graphiqu cm) u = + l a Étudir l ss d variatio d la foctio u sur l'itrvall ] 0;+ [ b Calculr u ( ) t déduir l sig d u( ) pour appartat à l'itrvall ] 0;+ [ Étud d la foctio f a Détrmir ls limits d f 0 t + b Détrmir la foctio dérivé d f t costruir l tablau d variatio d la foctio f 3 Élémts graphiqus t tracés a Démotrr qu la droit ( ) d'équatio y= st asymptot obliqu à la courb (C) b Détrmir la positio d (C) par rapport à ( ) c Tracr la courb (C) t la droit ( ) III Calculs d'airs 3 Trmial S F Laroch

23 O ot α u ombr rél strictmt positif t o désig par A( α ) l'air, primé uités d'air, d la parti du pla délimité par la courb (C), la droit ( ) t ls droits d'équatio = t = α O suppos das ctt qustio qu α > a À l aid d'u itégratio par partis, démotrr qu : A( α ) b Détrmir la limit l d A( α ) lorsqu α td vrs + = lα α α Das ctt qustio, tout trac d rchrch, mêm icomplèt, ou d'iitiativ, mêm o fructuus, sra pris compt das l évaluatio Démotrr qu l = A 3 l+itégral, Liba poits Soit f t g ls foctios défiis sur l itrvall ] 0 ;+ [ par : f ( ) = l t g( ) ( l) = O ot C t C ls courbs rpréstativs rspctivs d f t g das u rpèr orthogoal Ls courbs C t C sot doés ci-dssous a Étudir l sig d l( l) sur ] [ 0 ;+ b E déduir la positio rlativ ds du courbs C t C sur ] 0 ;+ [ Pour appartat à ] 0 ;+ [, M st l poit d C d absciss t N st l poit d C dmêm absciss a Soit h la foctio défii sur ] 0 ;+ [ par h( ) f ( ) g( ) sur ] 0 ;+ [ = Étudir ls variatios d la foctio h b E déduir qu sur l itrvall [ ; ], la valur maimal d la distac MN st obtu pour = c Résoudr das ] 0 ;+ [ l équatio ( ) d E déduir qu, sur ] 0 ;[ ] ; [ égal à l l = 3 a À l aid d u itégratio par partis, calculr +, il ist du réls a t b (a < b) pour lsquls la distac MN st ld b Vérifir qu la foctiog défii sur ] 0 ;+ [ par ( ) ( ) la foctio g sur ] 0 ;+ [ G = l l+ st u primitiv d c O cosidèr la parti du pla délimité par ls courbs C, C t ls droits d équatios = t = Détrmir l air A uités d air d ctt parti du pla Trmial S 3 F Laroch

24 4 Logarithm t calcul d air, Atills, spt 00 L pla st rapporté à u rpèr orthoormal ( O; i, j) O cosidèr la foctio f, défii sur l itrvall ]0 ; + [ par : O ot (C) sa courb rpréstativ f ()= 3 l +(l ) Parti A - Étud d la foctio f t tracé d la courb (C) a Résoudr das ]0 ; + [ l équatio f() = 0 (O pourra posr l = X) b Résoudr das ]0 ; + [ l iéquatio f() > 0 a Détrmir ls limits d f 0 t + b Calculr f () c Étudir l ss d variatio d f t drssr so tablau d variatios 3 Détrmir u équatio d la tagt (T) à la courb (C) au poit d absciss 4 O s propos d étudir la positio d la courb (C) par rapport à la droit (T) 5 4 Pour cla, o cosidèr la foctio ϕ, défii sur ]0 ; + [ par : ϕ( ) = f( ) l a Motrr qu ϕ'( ) = 4 4 puis calculr ϕ ''( ) Trmial S 4 F Laroch

25 b Étudir l ss d variatio d ϕ ' sur ]0 ; + [ E déduir qu, pour tout appartat à ]0 ; + [, o a ϕ'( ) 0 5 c Calculr ϕ 4 Pour tout appartat à ]0 ; + [ détrmir l sig d ϕ ( ) E déduir la positio d la courb (C) par rapport à la droit (T) 5 Tracr la courb (C) t la droit (T) (Uité graphiqu : cm) Parti B - Calcul d u air Vérifir qu la foctio h, défii par h( ) = l, st u primitiv d la foctio logarithm épéri sur ]0 ; + [ O pos Trmial S 5 F Laroch I a Calculr I 3/ = ld t I 3/ = (l ) d b E utilisat u itégratio par partis, motrr qu c Calculr qu 3/ I = 5 4 f( ) d E déduir l air, uités d air, d l smbl ds poits M( ; y) du pla tls t f( ) y 0 5 Logarithm t potill O cosidèr la foctio défii sur [0; + [ par f( ) = l t sa courb rpréstativ C das u pla rapporté à u rpèr orthoormé ( O; i, j) (uité graphiqu : cm) a Étudir ls variatios d la foctio g défii sur R par g( ) = a b E déduir qu'il ist u rél uiqu a tl qu : a = Dor u cadrmt d a d'amplitud 0 3 c Précisr l sig d g() slo ls valurs d a Détrmir ls limits d f au bors d ]0, + [ b Calculr la foctio dérivé f' d f t étudir so sig sur ]0; + [ utilisat la qustio Drssr l tablau ds variatios d f c Motrr qu f admt u miimum m égal à a+ a Justifir qu :,3 m,34 3 Dor u équatio d la tagt T à C so poit d'absciss Détrmir l poit d'itrsctio d T t d l'a ds ordoés 4 Tracr C t T 6 Logarithm t d dgré O désig par a u rél d l itrvall ]0; π [ t o cosidèr la famill d foctios umériqus f a défiis par ( ) fa( ) = l cosa+ ) O appll C a la rpréstatio graphiqu d fa das u pla mui d u rpèr orthoormé ( O; i, j) Motrz qu l smbl d défiitio d f a st R Détrmiz ls limits d f a + t 3 Motrz qu la droit d équatio = cos a st a d symétri d C a 4 a t a état du réls disticts, motrz qu C a t C a sot sécats u uiqu poit qu l o précisra

26 5 Calculz f ( ) t déduisz- so ss d variatio a 6 Doz l allur ds courbs C a 7 Logarithm t valur absolu Soit f la foctio défii sur D = { 3} Trmial S 6 F Laroch R par f( ) = ( + )l 3 où l désig la foctio logarithm O; i, j (uité cm) épéri C st la courbrpréstativ d f das u rpèr orthoormal ( ) a Vérifir qu si D alors + f '( ) = + l 3 3 b Pour appartat à D, calculr f () où f désig la dérivé scod d f E déduir ls variatios d f c Calculr ls limits d f t 3 a Motrr qu f s aul sur ] ;3[ pour u sul valur α Dor u cadrmt d α d amplitud 0, Etudir l sig d f () sur ] ;3[ b Etudir l sig d f '( ) sur ] 3;+ [ t drssr l tablau d variatios d f Etudir ls limits d f au bors d D Précisr ls asymptots évtulls à C 3 Calculr ls coordoés ds poits d itrsctio d C t d l a ds abcisss 4 Tracr la courb C 8 Logarithm t équa diff Prmièr parti O cosidèr la foctio umériqu f défii sur [ 0 ; [ par : a Motrr qu f st cotiu 0 b f st-ll dérivabl 0? c O pos h = avc ( > 0) trouvr la limit d f quad td vrs + a Pour > 0 calculr f '( ) t f ''( ) t vérifir qu 4 f ''( ) = ( + ) + f( ) = l si 0 f(0) = 0 b Etudir l ss d variatio d f '( ) t trouvr la limit d f '( ) quad td vrs + E déduir l sig d f '( ) c Drssr l tablau d variatios d f( ) 3 O appll C la courb rpréstativ d f( ) (uités : 4 cm) Tracr C idiquat la tagt O t au poit A d abciss 4 Soit u la foctio défii sur [ 0;+ [ par rpèr qu C u( ) = t H sa rpréstatio graphiqu das l mêm + a Drssr l tablau d variatio d u t vérifir qu pour tout >0 o a f( ) u( ) = f '( ) E déduir la positio rlativ d C t H Tracr H idiquat l poit B d abciss b λ état u rél strictmt positif, motrr qu la tagt à C au poit d abciss λ rcotr l a ds ordoés au poit J d ordoé u(λ) E déduir à l aid du tracé d H la costructio d la tagt à C au poit d abciss λ Idiqur la costructio aisi d la tagt à C au poit A Duièm parti O s propos d détrmir l smbl (E) ds foctios g, défiis t dérivabls sur ]0, + [ t possédat g( ) la propriété suivat P : g( ) g'( ) = g état défii t dérivabl sur ]0, + [ o pos G( ) = +

27 Motrr qu g possèd la propriété P si t sulmt si G'( ) = + E déduir l smbl (E) 9 Logarithm t radical La foctio g st défii sur ]0 ; + [ par g( ) = 3l+ 6 E utilisat ls variatios d g, détrmir so sig suivat ls valurs d La foctio umériqu f st défii sur ]0 ; + [ par a Démostratio d cours : démotrr qu Trmial S 7 F Laroch l lim = 0 + 3l f( ) = + b Détrmir ls limits d f 0 t + ( +, o pourra posr X = ) c Utilisr la qustio pour détrmir l ss d variatio d f 3 Soit la droit d'équatio y = t C la rpréstatio graphiqu d f das u rpèr orthoormé du pla Motrr qu st asymptot d C t étudir lurs positios rlativs Costruir C t 30 Logarithm t primitivs Parti A Étud d la foctio f défii sur + R par f() = + l O appllra C sa courb rpréstativ Étudir la limit d f + Étudir la limit d f 0 Étudir ls variatios d f ; drssr l tablau d variatios Détrmir la valur d tll qu f() = 0 Écrir l'équatio d la tagt T à C c poit 3 Tracr C t T Parti B Motrr qu'u primitiv d l st (l ) E déduir l'smbl ds primitivs F d f Détrmir la primitiv d f qui s'aul pour = Ctt primitiv sra applé F Déduir d la parti A l ss d variatio d F ; détrmir ls limits au bors d l'smbl d défiitio, drssr l tablau d variatios t dor ls itrsctios d la courb rpréstativ d F avc O Rpréstr graphiqumt F 3 O appll F la primitiv d f qui prd la valur 0,5 pour = Dor l'prssio d F Epliqur la costructio d la courb rpréstativ d F à partir d cll d F Tracr la courb rpréstativ d F 3 Logarithm+ acc fiis L but d c problèm st d'étudir, das u prmir tmps (parti A), la foctio f défii sur [ 0;+ [ par + f( ) = l + + pour > 0 t 4 f (0) =, puis (parti B) d trouvr u approimatio d la solutio d l'équatio f() = Parti A Das ctt parti l pla st rapporté au rpèr orthoormal(o; i,j ), uité graphiqu : cm O désig par C la rpréstatio graphiqu d f I Étud d'u foctio auiliair Soit g la foctio défii sur ]0 ;+ [ par : g( ) = l( + ) l

28 a Étudir l ss d variatio d g b Détrmir lim g( ) + c E déduir l sig d g() pour tout d ]0 ;+ [ Motrr qu, pour tout d [ ; 3], o a II Etud d f g( ) < Détrmir la limit, quad td vrs zéro par valurs strictmt positivs, d pourra posr = ) t démotrr qu f st cotiu 0 t La foctio f st-ll dérivabl 0? Dor u itrprétatio graphiqu du résultat 3 Étudir l ss d variatio d f (o vérifira qu f ( ) = g( ) ) 4 a Démotrr qu b E déduir lim f( ) + c Motrr qu la droit d'équatio 5 Tracr das l rpèr (O; i,j ) Parti B + l( + h) lim l = (o pourra utilisr l résultat : lim = ) + h 0 h Das ctt parti, o désig par I l'itrvall [ ; 3] 5 y= + st asymptot à C au voisiag d + 4 la droit, la courb C t la droit D d'équatio y = Soit la foctio h défii sur I par h() = f() Motrr qu, pour tout d I, h () < 0 O rmarqura qu h () = g() l + (o E déduir l ss d variatio d h t motrr qu l'équatio h() = 0 admt u uiqu solutio das I ; o ot α ctt solutio 3 Motrr qu, pour tout d I, 0 < f () < 4 E déduir qu, pour tout d I, f() α α O défiit la suit ( u) N par u 0 = t, pour tout d N, u + = f(u ) O admt qu, pour tout d N, u appartit à I a Établir ls iégalités suivats : () pour tout d N, u+ α u α, () pour tout d N, u α b E déduir qu la suit (u ) covrg Qull st sa limit? c Détrmir 0 tir aturl tl qu E déduir alors u approimatio d α à 0 3 près 3 Logarithm+irratioll+itégrals+acc fiis u 0 soit u valur approché d α à 0 3 près Soit f, défii sur l'itrvall [0 ;+ [ par f( ) = ( ) ; C f sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormé Trmial S 8 F Laroch

29 Soit g défii sur l'itrvall [0 ; + [ par : mêm rpèr Parti A g( ) = lpour > 0 g(0) = 0 Etudir ls variatios ds du foctios f t g, détrmir lurs limits 0 t + La foctio g st ll-dérivabl 0? 3 Tracr ls courbs C f t C g Parti B rprésté par la courb C g das l O s'itérss à la différc f() g() t o s propos d' étudir l sig À ct fft, o pos, pour tout f( ) g( ) rél d l'itrvall ]0 ; + [, ϕ( ) = Qull iformatio apport l fait d coaîtr l sig d ϕ ( )? Vérifir qu : ( ) ϕ'( ) = ϕ ( ) = l + Calculr la foctio dérivé ϕ ' d ϕ t vérifir qu Qul st l ss d variatio d ϕ sur ]0 ; + [? (L'étud ds limits d ϕ au bors d so domai d défiitio 'st pas dmadé) 3 E déduir l sig d ϕ Qulls coclusios tirz-vous? 4 Est-c qu ls courbs C f t C g ot mêm tagt au poit d cotact? 5 Motrr qu il ist du ombrs réls α t β tls qu ϕ( ) 0 pour tout d l itrvall [ α ; β ] Dor ds valurs approchés d α t β à 0 près Dor alors u cadrmt d la distac vrtical tr ls courbs C f t C g, soit f( ) g( ), sur l itrvall [ α ; β ] Parti C : Calcul d'itégrals Pour tout rél a d l'itrvall ]0 ; ] o pos : I( a) = f( )d t J( a) g( )d = a Calculr l'itégral I(a) foctio d a À ct fft, o pourra rmarqur qu f() put s'écrir 3 f( ) = À l'aid d'u itégratio par partis, calculr J(a) foctio d a 3 a Calculr : lim(i( a) J( a)) [o admttra qu lim( l ) = 0] a 0 0 b Dor u itrprétatio géométriqu d ctt limit Parti D O cosidèr l'équatio, défii das R + : g() = 4 Das ctt parti, o s propos d détrmir u valur approché d la solutio α d ctt équatio Justifir qu l'équatio proposé a das R + u solutio α t u sul t qu 9 < α < Vérifir qu α 4 st solutio d l'équatio : = l Soit h la foctio défii sur [9 ; ] par : 4 h( ) = l a Démotrr qu, pour tout rél d l'itrvall [9 ; ], h() appartit aussi à l'itrvall [9 ; ] a Trmial S 9 F Laroch

30 b Démotrr, pour tout rél d l'itrvall [9 ; ], la doubl iégalité : Trmial S 30 F Laroch h'( ) < 0,56 3(l 3) c E déduir, pour tout rél d l'itrvall [9 ; ], l'iégalité : h( ) α 0,56 α u 3 O cosidèr la suit (u ) défii par récurrc : u 0 = 9 pour tout tir = hu ( ) a Démotrr par récurrc qu, pour tout tir aturl, u appartit à l'itrvall [9 ; ], puis qu l'iégalité u α 0, 56 u α st vérifié + b E déduir qu, pour tout tir aturl, l'iégalité : u α (0,56) st vérifié Démotrr qu la suit (u ) covrg vrs α c Trouvr l plus ptit tir aturl pour lqul o a l'iégalité : (0,56) < 0,0 Soit 0 ct tir : qu rprést pour α l trm + u 0 corrspodat? À l'aid d votr calculatric dor u approimatio décimal à 0 près du 33 Logarithm+asymptot+acc fiis L pla P st rapporté à u rpèr orthoormal (O; i, j) d'uité graphiqu cm Parti A Soit f l'applicatio défii sur ]0 ; + [ par Calculr ls limits d f au bors d ] 0 ; + [ Justifir qu C f admt u asymptot t dor u équatio l f( ) = 4 t C f sa courb rpréstativ 4 a Étudir ls variatios d f sur ]0 ; + [ t drssr so tablau d variatios b E déduir qu l'équatio f() = 0 admt u solutio uiqu α appartat à [3 ; 4] c Tracr C f 3 Soit D l domai limité par C f, l'a ds abscisss t ls droits d'équatios rspctivs = α t = 4 a Calculr, pour > 0, la dérivé d l b E utilisat l résultat du a, primr l'air cm du domai D à l'aid d'u polyôm du scod dgré α Parti B Das ctt parti, I désig l'itrvall [3 ; 4] Soit g l'applicatio défii sur ]0 ;+ [ par a Motrr qu α st solutio d l'équatio : g() = g( ) = 4 l 4 b Motrr qu l'imag d l'itrvall I par g st iclus das I c Motrr qu, pour tout élémt appartat à I : g'( ) Soit ( u) N la suit défii par : u 0 = 3 t pour tout tir aturl, u+ = g( u) a E utilisat B b, motrr par récurrc qu : pour tout tir aturl, u st élémt d I b Prouvr qu, pour tout tir aturl : u+ α u α E déduir par récurrc qu, pour tout tir aturl : u α Qull st la limit d la suit u? c Résoudr sur ]0 ; + [ l'iéquatio : près 3 0 E déduir qu u 3 st u valur approché d α à

31 34 Famill d foctios l + air Soit k u ombr rél O cosidèr la foctio f k défii sur [0 ; ] par fk( ) = (l ) + k si > 0 t f k (0) = 0 O ot C k la courb rpréstativ d la foctio f k das l pla rapporté au rpèr orthoormal (O; i,j ) (uité graphiqu : 0 cm) O ot I, J t L ls poits d coordoés rspctivs ( ; 0), (0 ; ) t ( ; ) Prmièr parti : Étud ds foctios f k A Étud t rpréstatio d f 0 Das ctt qustio k = 0 Sig d la dérivé a Calculr la dérivé f 0 d f 0 sur ]0 ; ] t motrr qu f 0 ( ) put s'écrir f 0 ( ) = (l )(l ) b Détrmir ls solutios d l'équatio f 0 ( ) = 0 sur ]0 ; ] c Étudir l sig d f 0 sur ]0 ; ] Étud à l'origi a Détrmir la limit d lu u, puis d (l u) u b E déduir qu c Détrmir la limit d lorsqu u td vrs + (l ) td vrs 0 lorsqu td vrs 0, puis qu f 0 st cotiu 0 f0( ) 3 Tracé d la courb C 0 a Drssr l tablau ds variatios d f 0 b Tracr la courb C 0 B Étud d f k Dérivé d f k a Calculr f ( ) sur ]0 ; ] k lorsqu td vrs 0 E déduir la tagt O à la courb C 0 b Soit A k l poit d C k d'absciss Motrr qu la tagt T k à C k au poit A k st la droit (OA k ) Étud à l'origi a Établir qu f k st cotiu 0 b Détrmir la tagt à C k O O dmad pas d'étudir ls variatios d f k C Étud t rpréstatio d f t f Étud d f t tracé d C a Prouvr qu, pour tout ]0 ; ], f( ) = (l+ ) b Détrmir la positio rlativ ds courbs C 0 t C c Établir l tablau d variatio d f t tracr C sur l mêm graphiqu qu C 0 précisat l cofficit dirctur d la tagt T à C au poit A Étud d f t tracé d C a Prouvr qu, pour tout d [0 ; ], f0( ) + f( ) f ( ) = Trmial S 3 F Laroch

32 b E déduir u costructio d C à partir d C 0 t C t tracr Csur l mêm graphiqu qu C 0 t C précisat la tagt T à Cau poit A Duièm parti : Partag du carré OILJ quatr partis d mêm air Soit α u ombr rél tl qu 0< α Calcul d'u itégral : o pos I( α) = (l ) d α a Prouvr, ffctuat u itégratio par partis, qu α = α α I( α) (l ) ld α α α b E ffctuat à ouvau u itégratio par partis, prouvr qu : I( α) = (l α) + l α c Détrmir la limit I d I( α ) lorsqu α td vrs 0 Calcul d'airs a O pos S ( α ) = f ( )d k k α Eprimr Sk( α ) foctio d α E déduir la limit S k d Sk( α ) quad α td vrs 0 O admttra qu ctt limit rprést l'air (primé uités d'air) du domai pla limité par la courb C k, l'a (O) t la droit d'équatio = b E déduir qu ls courbs C 0, Ct C partagt l carré OILJ quatr partis d mêm air 35 Foctio l t rotatio Das tout l problèm l pla st rapporté à u rpèr orthoormal ( O; i, j) Touts ls courbs dmadés srot rpréstés sur u mêm graphiqu (uité graphiqu : cm) A Etud d'u foctio f t d sa courb rpréstativ (C) O cosidèr la foctio f, défii sur ]0 ; + [ par : f( ) l( ) = + Calculr ls limits d f 0 t + Etudir l ss d variatio d f sur ]0 ; + [ 3 Soit (C) la courb rpréstativ d f das ( O; i, j) t A l poit d (C) d'absciss 3 Calculr l ordoé d A Soit B l poit d (C) d'absciss 5 4 orthogoal d B sur l'a ( O; j), P l projté orthogoal d B sur l'a ( O ; i ) t H l projté Détrmir ls valurs acts ds coordoés ds poits B, P t H Placr ls poits A, B, P t H das l rpèr ( O; i, j) t rpréstr la courb (C) B Utilisatio d u rotatio Soit r la rotatio d ctr O t d'agl π A tout poit M du pla d'affi z, la rotatio r associ l poit M ' d'affi z' a Dor z' foctio d z O ot z = + iy t z' = ' + iy' (, y, ' t y' réls), primr ' t y' foctio d t y, puis primr t y foctio d ' t y' b Détrmir ls coordoés ds poits A, B t P imags rspctivs ds poits A, B t P par la rotatio r Trmial S 3 F Laroch

33 O appll g la foctio défii sur R par rpèr ( O; i, j) g( ) = + t ( Γ ) sa courb rpréstativ das l a Motrr qu lorsqu'u poit M appartit à (C), so imag M par r appartit à ( Γ ) O admt qu lorsqu l poit M décrit (C), l poit M décrit ( Γ ) b Tracr sur l graphiqu précédt ls poits A, B, P t la courb ( Γ ) (l'étud ds variatios d g 'st pas dmadé) C : Calcul d itégrals O rappll qu l'imag d'u domai pla par u rotatio st u domai d mêm air Calculr l'itégral l 0 g( ) d Itrprétr graphiqumt ctt itégral a Détrmir, uités d'air, l'air A du domai pla D limité par ls sgmts [AO], [OH] t [HB] t l'arc d courb d'trémités B t A b O pos I= l( + ) l'itégral I 3 5/4 d Trouvr u rlatio tr A t I puis déduir la valur act d 36 Etud d l(ch) t d so itégral L pla st rapporté à u rpèr orthoormal ( O; i, j) L uité graphiqu st 3 cm A Étud d f O cosidèr la foctio f défii sur [0 ; + [ par f( ) = l( + ) t o désig par (C) sa courb rpréstativ das l rpèr ( O; i, j) a Détrmir la limit d f + b Démotrr qu, pour tout d l itrvall [0 ; + [, o a ( ) courb (C) admt comm asymptot la droit D d équatio y = c Étudir la positio d la courb (C) par rapport à so asymptot D f = + l( + ) E déduir qu la Étudir ls variatios d f t drssr so tablau d variatio Costruir la courb (C) t l asymptot D, B Itégrals liés à f Pour tout d l itrvall [0 ; + [ o pos 0 t F( ) = l( + ) dt O chrchra pas à calculr F() Soit a u rél positif E utilisat la parti A, dor u itrprétatio géométriqu d F(a) Étudir l ss d variatio d F sur l itrvall [0 ; + [ 3 Soit a u rél strictmt positif Démotrz qu : a Pour tout t d [0 ; a], E déduir qu l( a) a + a + t +a + 4 Soit u rél positif Déduir d la qustio 3 qu t t dt F( ) dt puis qu t l l( + ) F( ) 5 O admt qu la limit d F(), lorsqu td vrs +, ist t st u ombr rél oté L Etablir qu l L Trmial S 33 F Laroch

34 6 Pour tout tir aturl, o pos u + t l( ) dt = + a O cosidèr la foctio h défii sur [0 ; + [ par t h( t) = l( + ) Étudir l ss d variatio d h b Démotrr qu pour tout aturl : 0 u l( + ) c Détrmir la limit d (u ) lorsqu td vrs + 7 Pour tout tir aturl o pos S = u Eprimr S à l aid d F t d La suit (S ) st ll i= 0 covrgt? Das l affirmativ qull st sa limit? 37 Th ds valurs itrmédiairs O cosidèr la foctio f défii sur ]0 ;+ [ par Détrmir ls limits d f 0 t + Motrr qu f st dérivabl sur]0 ; + [ t calculr f '( ) i f( ) = (l ) 3 Soit u la foctio défii sur ]0 ; + [ par u( ) = l+ 3 a Etudir ls variatios d u b Motrr qu l équatio u() = 0 possèd u solutio uiqu α das l itrvall [ ; 3] Motrr qu,0 < α <, c Etudir l sig d u() sur ]0 ; + [ 4 a Etudir ls variatios d f b Eprimr lα comm u polyôm α Motrr qu f(α ) d amplitud 0 ( α ) f( α) = E déduir u cadrmt d α 5 a Etudir l sig d f() sur ]0 ; + [ b Tracr la courb rpréstativ d f das l pla mui d u rpèr orthoormal ( O; i, j) d uité cm 38 Étud + suit, La Réuio 00, 6 poits Soit f la foctio défii sur l itrvall ] ; + [ par f ( ) l( ) rpréstativ das u rpèr orthoormal ( O; i, j) Parti A a Étudir l ss d variatio d la foctio f = + + O ot C f sa courb O ot D la droit d équatio y = b Détrmir ls limits d la foctio f au bors d so smbl d défiitio O désig par g la foctio défii sur l itrvall ] ; + [ par g( ) ( ) a Détrmir lim g( ) b Détrmir l lim + + ( + ) E déduir lim g( ) + = f c Étudir l ss d variatio d la foctio g puis drssr l tablau d variatios d la foctio g d Motrr qu sur l itrvall ] ; + [ l équatio g( ) = 0 admt actmt du solutios α t β, avc α égativ t β appartat à l itrvall [ ; 3] À l aid ds qustios précédts, détrmir l sig d g() E déduir la positio rlativ d la courb C f t d la droit D Parti B Trmial S 34 F Laroch

35 Das ctt parti, tout trac d rchrch, mêm icomplèt, ou d iitiativ, mêm o fructuus, sra pris compt das l évaluatio Soit (u ) la suit défii pour tout ombr tir aturl par : u 0 = t u f ( u ) Motrr qu, pour tout ombr tir aturl, u β La suit (u ) st-ll covrgt? Justifir la répos 39 Foctio+suit, Bac C, Paris, 990 f st la foctio défii sur ]0 ;+ [ par l f( ) = + Motrr qu l o a, pour tout rél d ]0 ; + [, + + l f '( ) = ( + ) + = La foctio ϕ st défii sur ]0 ;+ [ par ϕ ( ) = + + l Etudir ss variatios, déduir qu l équatio ϕ ( ) = 0 admt u solutio uiqu β Etudir l sig d ϕ 3 E déduir ls variatios d f, étudir ls limits d f 0 t + 4 Motrr qu, pour tout tir strictmt positif, l équatio f( ) = admt u solutio uiqu qu l o otra α O chrch maitat à étudir la suit ( ) 5 Motrr qu, pour tout tir > 0, f( ) α < E déduir qu α > t la limit d ( α ) α 6 Prouvr qu la rlatio f( α ) = put s mttr sous la form l = α α E déduir la limit d 40 Dérivabilité, Ctrs étragrs, 000, trait La foctio f st défii sur [0 ;+ [ par f (0) = 0 t si > 0, rapporté à u rpèr d origi O, st doé ci-dssous ( + ) l f( ) = Sa courb das l pla Motrr qu, pour tout rél positif t, 0 l( + t) t E déduir la cotiuité d f 0 f( ) Motrr qu lim = E déduir la dérivabilité d f 0 0 Trmial S 35 F Laroch