Fonction exponentielle
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- Anne-Laure Desroches
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1 Foctio potill I. Crctéristios d l foctio potill., Défiitios. Déf : Il ist u uiqu foctio dérivl sur R qui st égl à s dérivé t qui prd l vlur 0 : ctt foctio st oté p t vérifi : pour tout ЄR, p (p( t p(0). Rm : L méthod d Eulr prmt d pprochr l cour rprésttiv d l foctio p. (séc Ecl ) L istc d ctt foctio st dmis. Avt d démotrr l uicité, prouvos qu ll vérifi églmt ls propriétés suivts : Pour tout ЄR, p( ) >0 t p( ) p( Démostrtio d l propriété : Soit g( p( p(. Ep(-vou( vc d u(p( t v(- : comm u t v sot dérivl sur R, p(- l st églmt. Aisi, g st dérivl sur R comm produit d foctios dérivls sur R. g '( p( p( + ( p( ) p( p( p( 0 : g st doc p( p( costt sur R. Or g(0)p(0)p(-0)p(0)p(0). p( 0 Doc, pour tout ЄR, g(. D où, pour tout ЄR : p( p( Aisi p( st u foctio cotiu sur R tll qu p(0). Si il ist ЄR tl qu p()<0, l théorèm ds vlurs itrmédiir coclurit qu p( s ul qulqu prt tr t 0. Doc, pour tout ЄR, p(>0. Démotros mitt l uicité d l foctio p. Pr Miszczk Christoph
2 Soit f u foctio dérivl sur R tll qu, pour tout ЄR : f '( f (. f (0) f ( Soit g (. Comm, pour tout ЄR, p( 0 t qu g st l quotit d du foctios p( dérivls sur R, o déduit qu g st dérivl sur R. f '( p( p( f ( f ( p( p( f ( g' ( 0 p( ² p( ² Doc g st costt sur R. Or g(0). Doc, pour tout ЄR, g( t f(p(., Solutio d l équtio différtill f kf. Ls foctios f dérivls sur R qui vérifit l équtio différtill f kf (c'st-à-dir qu pour tout ЄR, f (kf() où kєr sot touts d l form f(ap(k où AЄR. Pour tout réls t k, il ist u t u sul foctio f dérivl sur R qui vérifit l équtio différtill f kf t tll qu f(0) : c st l foctio f(p(k Commços pr l istc d l solutio. Soit f(ap(k. f(avou( vc u(k t v(p( : ctt foctio st dérivl sur R. f (Au (v ou(akp(kkap(kkf( : f vérifi i f kf. Démotros qu tout solutio st d l form f(ap(k. Soit f u foctio tll qu f kf. f ( Soit g ( : Comm, pour tout ЄR, p(k 0 t qu g st l quotit d du foctios p( k dérivls sur R, o déduit qu g st dérivl sur R. f '( p( k k p( k f ( kf ( p( k k p( f ( g' ( 0 p( k² p( k² Doc g st costt sur R : pour tout ЄR, g(a. D où f(ap(k. Pr Miszczk Christoph
3 Si plus l solutio d f kf doit vérifir f(0), f (0) Alors g(0) p(0) : otr costt A st fié t vut soit g(0). 3, Crctéristio lgériqu. ls suls f foctios dérivls sur R tll qu pour tout réls t y f(+y)f(f(y) sot du gr p(k où k st u rél. Dém ; Démotros qu f(p(k vérifi f(+y)f(f(y). Soir f(p(k : f st u foctio dérivl sur R tll qu f (kf(. Soit g(f(+y)-f(f(y). g ((+y) f (+y)-f (f(y)-f (y)f( f (+y)-f (f(y) kf(+y)-k(f(y) kg( Doc g st d l form p(k où g(0). D plus g(0)f(y)-f(0)f(y)f(y)-f(y)0. O déduit qu A0. doc g(0 t f(+y)f(f(y). Démotros qu si f vérifi f(+y)f(f(y) lors f(p(k. Soit f u foctio dérivl sur R tll qu tout rél t y f(+y)f(f(y). f(0+f(0)f( doc f(f(0)f( doc f(0) f (+y)(f(f(y)) f (f(y) cci pour tout rél t y. Doc f (y)f (0)f(y) pour tout rél y. Doc f st d l form p(k vc f(0). Pr Miszczk Christoph
4 II. Propriétés t ottios.. Propriétés Pour tout réls t y, p( + y) p( p( y) p( p( y) p( y) p( ) p( L prmièr propriété st l pplictio dirct d l crctéristio lgèriqu. Démotros l scod : p( p( y) p( p( y) p( p( y) p( y) Rst l drièr : Soit g ) ( p( : ctt foctio st dérivl sur R t, pour tout ЄR : g' ( (p( )' p( p( g( Doc g st d l form g(g(0)p( vc g(0)p(0).. U ouvll ottio. O rmrqu qu pour tout ЄN, p( ) ) p( ) p(. E pplt p(), o otit lors p(). Nous vrros TD qu,78. L foctio potill prtgt,d plus, ls propriétés du. vc ls puisscs tièrs d étudiés clss d 4 ém, o dopt l ottio ci-dssous : Nottio : O otr désormis p(. Ls propriétés s écrivt lors : + y y y ( ) y Pr Miszczk Christoph
5 III. Etud d l foctio potill. Sigs t ss d vritio. Nous svos qu otr foctio st dérivl, t doc cotiu, sur R t qu, pour tout ЄR, ((. D plus ous vos démotré qu pour tout ЄR, (>0 : l foctio potill st doc strictmt croisst sur R.. Approimtio u voisig d 0. ( l im : L millur pproimtio ffi d ( 0 st f(+. l cour d f st l 0 droit tgt à l cour d p 0. O écrit qu u voisig d 0 ( +. ( ( (0). 0 ( ( Puisqu l foctio potill st dérivl sur R, lim ' (0) (0). 0 0 L tgt à l cour d p 0 doc pour équtio : Y (0)(-0)+(0)+. 3. limits à l ifii. lim ( + + t lim ( 0. O vut démotrr qu pour tout rél AЄR, il ist u rél tl qu si > lors (>A. Soit A u rél qulcoqu. Soit (U ) l suit défii sur N pr U Comm >, l suit (U) divrg vrs +oo. Il ist u rg tl qu si > lors U >A. Comm l foctio potill st strictmt croisst sur R, pour tout >, > >A. Pr Miszczk Christoph
6 Démotros mitt qu lim ( 0 Posos X-. lim X + lim lim 0 X + X + X 4. Cour rprésttiv. Voici l tlu d vritio d l foctio potill : -oo +oo Ep ( + +oo 0 + Voici l cour rprésttiv d d l foctio potill vc l tgt 0. O rmrqu u pssg qu,7 Pr Miszczk Christoph
7 5. Croissc compré. Pour tout ЄN, lim 0 (0 + si st pir t 0 - sio) lim + + Rm : Cl sigifi qu l foctio potill croit plus vit qu tout puissc d : 3 4, , , , , , , , , , Tout d ord, motros qu > pour tout Є[0 ;+oo[ Soit f( - : ctt foctio st dérivl sur R t f ( -. Comm l foctio potill st strictmt croisst sur R t qu 0, o déduit qu f ( st strictmt positif sur ]0 ;+oo[ t doc qu f st strictmt croisst sur ]0 ;+oo[. Puisqu f(0), f st strictmt positif sur [0 ;+oo[. Démotros qu lim +. + E rprt l iéglité précédt, o put ffirmr qu pour tout Є[0 ;+oo[ t ЄN, o : + > + Il découl : Pr Miszczk Christoph
8 + + + > cr chqu mmr st positif. + + D où > + t doc > +. ( + ) ( + ) Puisqu lim + + +, o otit lim + ( + ) +. Démotros qu lim 0 E rprt l limit précédt, o : lim +. ( D où lim +. ( Aisi, si st pir, lim ( 0 + sio lim ( 0-6. Equtio du gr y Pour tout ЄR t yєr, y équivut à y. Soit ЄR t yєr tls qu y. Puisqu l foctio potill st strictmt croisst sur R, si <y lors < y. si >y lors > y. Aisi l sul possiilité pour voir y st qu y. 3 E : + 3 ² Equivut à +3² C'st-à-dir ² Pr Miszczk Christoph
9 IV. Equtio différtill du typ y y+. Ds tout l suit t sot du réls vc o ul.. Qu st-c? O chrch à détrmir touts ls foctios dérivls sur R tlls qu pour tout ЄR f (f(+. Géérlmt o utilis pour c gr d équtio où l icou st u foctio u utr ottio : o pos y l foctio t y s dérivé. O chrch lors à résoudr sur R l équtio différtill y y+. dy E Sc. Physiqu o otr plutôt y cr l foctio y put dépdr d plusiurs vrils t d o dériv qu pr rpport à l u d ll qu il fut précisr... Form ds solutios. Soit (E) l équtio différtill y y+. Ls solutios d (E) sur R sot ls foctios d l form f + costt réll. st l uiqu foctio costt solutio d (E) sur R. Pour tout coupl ( 0 ;y 0 ) d réls, (E) dmt u uiqu solutio f tll qu f( 0 )y 0. ( K où K st u Si y st costt lors y 0. (E) dvit 0y+ d où y Soit g t h du foctios dérivls sur R vc pour tout ЄR, h ( + g( t doc g( h(. Pr Miszczk Christoph
10 Pour tout ЄR, g '( h'( t g ( + ( h( ) + h( Aisi g st solutio d (E) si t sulmt si h h c qui t vri si t sulmt si h st d l form h( K pour tout ЄR (cf I..). O déduit lors qu g st solutio d (E) si t sulmt si ll s écrit pour tout ЄR sous l form g( K. 0 g( 0 )y 0 équivut à K y0 + y0 c'st-à-dir à 0 K ( y ) K st lors fié t il y u uiqu solutio à (E) sur R qui st f ( ( y0 + ) ( 0 ) C'st-à-dir f ( ( y0 + ) E : 0 Résoudr sur R 3y -y4 Ctt équtio s écrit églmt y' y Ls solutios sot touts d l form f ( K K K 3 3 Si l cour d f pss pr A(3 ;-) lors f(3) D où 3 K d où K t + 3 f (. Pr Miszczk Christoph
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