SÉRIE 1 : ANALYSE COMPLEXE Fonctions Holomorphes et Cauchy-Riemann

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1 F.S.K Variable complexe: Licence de Maths. Bouali Exercice : SÉRIE : ANALYSE COMPLEXE Fonctions Holomorphes et Cauchy-Riemann ) Trouver la fonction holomorphe f sur C dont la parite réelle est P (x, y) = x 2 y 2, telle que f(0) = 0. 2) Montrer que la fonction P : C R définie par P (z) = ln( z ) est harmonique mais n est la partie réelle d aucune fonction holomorphe. Exercice 2 : Soient Ω un ouvert connexe et f une fonction holomorphe dans Ω. On écrit f = P + iq, avec P et Q sont à valeurs dans R. Montrer qu on a les applications suivantes : ) f est constante ; 2) P est constante ; 3) Q est constante ; 4) f est holomorphe ; 5) f est constante. Exercice 3 : ) Soit f = P + iq une fonction holomorphe sur Ω. Montrer que P et Q sont harmoniques, c est-à-dire que 2 P x + 2 P 2 y = 0 2 2) Soit f(z) = xy, avec z = x + iy. Montrer que les équations de Cauchy-Riemann sont vérifiées au point z = 0, mais que f n est pas holomorphe z = 0 Exercice 4 : Dans cet exercice on identifie R 2 et C via l application (x, y) x + iy. Soit Ω un ouvert C et f C (Ω) à valeurs dans C. On note ) Montrer que f z = 2 ( f x i f y ) et f z = 2 ( f x + i f y ). f z = ( f z ). 2) Montrer que f est holomorphe si et seulement si f z = 0. Montrer que dans ce cas, f (z) = f z. 3) Montrer que f est holomorphe si et seulemnt si f z = 0. 4) On suppose que f est de classe C 2. Montrer que f = 4 2 f z z, avec f = 2 f x f y 2.

2 Bouali (On montrera plus tard que toute fonction holomorphe sur un ouvert de C est de classe C ). Exercice 5 : Soient U un ouvert de C, f une fonction holomorphe sur U et V = {z C : z U}. On pose pour tout z V, g(z) = f(z). Montrer que g est holomorphe sur V. 2

3 Exercice : SÉRIE 2 Singularité, Formule de Cauchy et Résidus Pour les fonctions suivantes, déterminer les singularités et spécifier leur type. Ensuite, discuter si ces singularités sont isolées. (a) f(z) = z sin( π z ), (b) f(z) = (z i) 2 sin( 2 z i ), (c) f(z) = sin(z) z(z 2) 3, (d) f(z) = (+ z ) sin z. Exercice 2 : ) Développer en séries de Laurent les fonctions suivantes : (a) f(z) = z 2 e z dans : {z C : z > 0}. (b) g(z) = (z )(z 2) dans : (i) {z C : z > 0}, (ii) {z C : < z < 2} et (iii) {z C : z > 2} (c) f(z) = ez. (z ) 2 2) Déterminer la couronne de convergence de la série de Laurent suivante : Exercice 3 : a n zn, a C. n Z Utiliser les formules de Cauchy pour calculer : avec C le cercle de centre 0 et de rayon 3. C z e z z dz, 3 Exercice 4 : () Calculer l intégrale : Γ (z z)e z2 +z 2 dz, avec Γ est le segment joignant la ligne droite de à + i. 2) Calculer l intégrale : e z (sin z + cos z)dz, avec Γ est la courbe paramétrée par : γ(t) = e πi t, avec t 4. Γ

4 Bouali Exercice 5 : On considère la fonction f(z) = z + z 2z 2. () Trouver les coefficients a 2, a, a 0, a, a 2 de la série de Laurent de f autour de la singularité en z = 0 et déterminer son rayon de convergence R. (2)Trouver les coefficients a 2, a, a 0, a, a 2 de la série de Laurent de f, centré en z = 0 et qui converge dans la couronne z > R Exercice 6 : Soit Γ C une courbe fermée simple et régulière. Calculer en fonction de Γ : () z 2 +. Γ (z ) 2 (2) e z. Γ (z ) 2 Exercice 7 : Soit Γ = {z = x + iy C : (x ) 2 + y 2 = 4}. Calculer Exercice 8 : Γ z dz. Evaluer, à l aide du théorème des résidus, les intégrales suivantes : () 2π ( cos 0 θ)n cos(nθ)dθ. (2) 2π e cos θ cos(sin θ)dθ, 0 ( on peut considèrer l intégrale e z dz). Γ z Exercice 9 : ) Donner une suite de fonctions dérivables sur un ouvert de R qui converge uniformément, mais sa limite n est pas dérivable. 2) Soient Ω un ouvert de C et (f n ) une suite de fonctions holomorphes sur Ω. Montrer que si (f n ) converge uniformément vers f sur tout compacat de Ω, alors f est holomorphe sur Ω. Exercice 0 : Soient z 0 Ω et f H(Ω) \ {z 0 } C(Ω). Montrer que si f est bornée au voisinage de z 0, alors f est holomorphe sur Ω 4

5 F.S.K Variable complexe: Licence de Maths. Bouali Exercice : Sient f et g deux fonctions entières telles que f(z)g(z) = 0 pour tout z C. Montrer que l une des deux est identiquement nulle. 5

6 SÉRIE 3 Principe du maximum, Théorème du prolongement analytique, Théorème de Schwartz et Théorème de Schwartz-Pick Exercice : Principe des zéros isolés Trouver toutes les fonctions holomorphes sur C telles que pour tour tout n, on f( n ) = n 2. Exercice 2 : Conséquence du principe du maximum Soit f une fonction holomorphe dans D(0, R), le disque de centre 0 et de rayon R. Pour 0 r R, on pose M f (r) = max z =r f(z) () Montrer que l application r M f (r) est une fonction croissante. (2) Montrer que si, f n est pas constante, r M f (r) est strictement croissante. (3) On suppose que f est un polynôme de degré n, et on pose g(z) = z n f( ). Quel z est le lien entre M f (r) et M g ( )? En déduire que la fonction r M f (r) est strictement r r n décroissante, sauf si f est de la forme az n. (4) On suppose de plus que f est unitaire. Montrer que si pour tout z de module, f(z), alors f(z) = z n. Exercice 3 : Deux fonctions ayant le même module () Soient f et g deux fonctions holomorphes ne s annulant pas dans un ouvert connexe Ω contenant le disque unité fermé. On suppose que f(z) = g(z) pour z =. Montrer qu il existe λ C avec λ = tel que f = λg sur Ω. (2) La conclusion est-elle encore vraie si on ne suppose plus que f et g ne s annulent pas? Exercice 4 : A valeur réelle sur le bord Soit Ω un ouvert connexe de C contenant le disque unité fermé. On suppose que f(z) R si z =. Montrer que f est une constante. Exercice 5 : Convergence uniforme Soient Ω un ouvert de C contenant a et (g n ) une suite de fonctions holomorphes sur Ω. Pour n, z Ω, on pose f n (z) = (z a)g n (z). On suppose que la suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers 0 sur Ω. Montrer que (g n ) converge uniformément sur Ω.

7 F.S.K Variable complexe: Licence de Maths. Bouali Exercice 6 : Un théorème de Schwartz précisé Soit f une fonction holomorphe sur le disque unité D. On suppose qu il existe k tel que f(0) = f (0) =... = f (k ) (0) = 0 et f(z) M si z D. () Montrer que la formule g(z) = z k f(z) définit une fonction holomorphe sur D vérifiant g(z) M si z D. (2) En déduire que f(z) M z k pour tout z D. Que peut-on dire s il existe a D \ {0} tel que f(a) = M a k? Exercice 7 : Théorème de Schwartz-Pick Soit f une fonction holomorphe du disque unité dans lui même. Pour a D, on considère l homographie Φ a : z z a az. () Montrer que Φ a est une bijection de D dans lui-même. Quelle est son inverse? (2) Calculer Φ a. 7