Cours d Algèbre I Bachelor Semestre 3 Prof. E. Bayer Fluckiger 24 septembre 2012

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1 Cours d Algèbre I Bachelor Semestre 3 Prof. E. Bayer Fluckiger 24 septembre 2012 Corrigé 1 Exercice 1. 1 Montrer qu un groupe G a exactement un élément neutre. 2 Soient a, b et c trois éléments d un groupe G. Montrer que si ac bc alors a b. 3 Montrer qu un élément x d un groupe G a exactement un inverse. 4 Soit E un ensemble muni d une loi de composition interne associative admettant un élément neutre e. Nous supposons de plus que tout élément de E a un inverse à gauche et un inverse à droite. Montrer que le couple E, est un groupe. 5 Dans un groupe G, quel est l inverse d un produit xy? 6 Soient a et b deux éléments d un groupe G. Montrer que l équation ax b a une unique solution x. Cette solution est elle aussi solution de l équation xa b? 7 Dans un groupe G, a-t-on ab n a n b n pour tout a, b G et tout n N? Solution. 1 Supposons que e 1 G et e 2 G soient deux éléments neutres dans G. Alors e 1 e 1 e 2 puisque e 2 est élément neutre. Cependant, e 1 étant un élément neutre, nous avons aussi e 1 e 2 e 2. Ainsi, e 1 e 1 e 2 e 2. 2 En multipliant à droite par l inverse c 1 de c nous obtenons a a1 G acc 1 acc 1 bcc 1 bcc 1 b1 G b. 3 Soient y 1 et y 2 deux inverses de x. Alors nous avons 1 G xy 2 et xy 1 1 G. Nous pouvons donc déduire de l associativité de loi de composition interne de G que y 1 y G y 1 xy 2 y 1 xy 2 1 G y 2 y 2. 4 Soit x un élément de E. Nous voulons montrer que x admet un inverse. Pour celà nous allons montrer que tout inverse à gauche de x est inverse à droite de x. La preuve s inspire de la réponse à la question précédente. Notons g l inverse à gauche de x et d l inverse à droite de x. Par définition d un inverse à gauche et d un inverse à droite, nous avons

2 2 g x e et x d e. De l associativité de et de la définition d un élément neutre, nous pouvons donc déduire que g g e g x d g x d e d d. Ainsi g d est bien inverse à gauche et inverse à droite de x. 5 Par associativité de la loi de composition interne nous avons xyy 1 x 1 xyy 1 x 1 x1 G x 1 xx 1 1 G. Ainsi l inverse du produit xy est xy 1 y 1 x 1. Attention à l ordre des termes dans cette formule : tous les groupes ne sont pas commutatifs! 6 Nous avons montré précédemment que a a un unique inverse a 1. Par définition de cet inverse, ax b si et seulement si x a 1 b. l équation ax b a donc une unique solution. De plus a 1 b est solution de l équation xa b si et seulement a 1 ba b c est-à-dire si et seulement si ba aa 1 ba ab. Si G GL 2 R et a et et b nous avons ab ba 1 1 Dans ce cas, ab ba. Les solutions aux équations ax b et xa b sont donc différentes. 7 Considérons le cas n 2. Si abab aabb, alors l associativité de la loi de groupe de G implique que Exercice 2. ba a 1 ababb 1 a 1 aabbb 1 ab Comme lors de la réponse précédente, nous obtenons un contre-exemple en considérant le cas où n 2 et a et b. 1 Parmi les couples suivants lesquels sont des groupes? {0}, +, N \ {0}, +, Z, +, R, +, N \ {0},, R 2, +, R \ {0},..

3 2 Soit E un ensemble. Montrer que l ensemble SE des bijections de E muni de la composition des fonctions est un groupe. Solution. 1 Il s agit de vérifier les axiomes de la définition d un groupe. L addition n a pas d élément neutre dans N \ {0}. Le couple N \ {0}, + n est donc pas un groupe. Par ailleurs, 2 n a pas d inverse dans N \ {0}. Le couple N \ {0}, n est donc pas un groupe. L addition usuelle est associative. Elle admet 0 pour élément neutre. Par ailleurs l opposé d un élément de {0} respectivement Z, R est un élément de {0} respectivement Z, R. Les couples {0}, +, Z, + et R, + sont des groupes. De même, la multiplication usuelle est associative et admet 1 pour élément neutre. L inverse d un élément de R \ {0} étant un élément de R \ {0}, le couple R \ {0}, est un groupe. Par définition, la loi d addition d un espace vectoriel V muni cet espace vectoriel V d une structure de groupe V, +. L exercice demande de montrer cette affirmation directement dans le cas où V R 2. L associativité de l addition dans R 2 se déduit de l associativité de l addition usuelle dans R : pour tout x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3 R 2 nous avons x 1, y 1 + x 2, y 2 + x 3, y 3 x 1 + x 2, y 1 + y 2 + x 3, y 3 x 1 + x 2 + x 3, y 1 + y 2 + y 3 x 1 + x 2 + x 3, y 1 + y 2 + y 3 x 1, y 1 + x 2 + x 3, y 2 + y 3 x 1, y 1 + x 2 + y 2 + x 3, y 3. Par ailleurs, l addition dans R 2 admet 0, 0 comme élément neutre, et tout x, y R 2 admet x, y comme opposé relativement à la loi de composition interne +. Ainsi, R 2, + est bien un groupe. 2 Soient f, g, h SE. Soit x E. Par définition de nous avons f g h x f ghx fghx f g hx f g h 3 x. Nous avons donc f g h f g h. La loi de composition interne est bien associative. Par ailleurs pour tout f SE et tout x E, nous

4 4 avons f Idx fidx fx Idfx Id fx. Ainsi la fonction identité Id est élément neutre pour. Enfin pour tout f SE l inverse f 1 de f au sens des fonctions bijectives est défini par les formules f f 1 x x et f 1 fx x. Cet inverse au sens des fonctions bijectives est donc aussi l inverse de f relativement à la loi de composition interne. Le couple SE, est donc un groupe. Exercice 3. Montrer que l ensemble des matrices inversibles GL 2 R muni de la multiplication des matrices est un groupe. Solution. Le produit de deux matrices inversibles est encore une matrice inversible. La multiplication matricielle induit donc une loi de composition interne sur l ensemble des matrices inversibles. Vous connaissez l associativité de cette loi de composition interne : vous avez vu en première année que la multiplication des matrices est associative. Cependant, l exercice demande une preuve directe de a1 b cette associativité. Soient 1 a2 b, 2 a3 b, 3 GL c 1 d 1 c 2 d 2 c 3 d 2 R. Alors 3 et a1 b 1 a2 b 2 a3 b 3 c 1 d 1 c 2 d 2 c 3 d 3 a1 a 2 + b 1 c 2 a 1 b 2 + b 1 d 2 a3 b 3 c 1 a 2 + d 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 d 2 c 3 d 3 a1 a 2 + b 1 c 2 a 3 + a 1 b 2 + b 1 d 2 c 3 a 1 a 2 + b 1 c 2 b 3 + a 1 b 2 + b 1 d 2 d 3 c 1 a 2 + d 1 c 2 a 3 + c 1 b 2 + d 1 d 2 c 3 c 1 a 2 + d 1 c 2 b 3 + c 1 b 2 + d 1 d 2 d 3 a1 b 1 a2 b 2 a3 b 3 c 1 d 1 c 2 d 2 c 3 d 3 a1 b 1 a2 a 3 + b 2 c 3 a 2 b 3 + b 2 d 3 c 1 d 1 c 2 a 3 + d 2 c 3 c 2 b 3 + d 2 d 3 a1 a 2 a 3 + b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + d 2 c 3 a 1 a 2 b 3 + b 2 d 3 + b 1 c 2 b 3 + d 2 d 3 c 1 a 2 a 3 + b 2 c 3 + d 1 c 2 a 3 + d 2 c 3 c 1 a 2 b 3 + b 2 d 3 + d 1 c 2 b 3 + d 2 d 3 En comparant les résultats de ces deux calculs, nous remarquons que l associativité de la multiplication des matrices est une conséquence de la distributivité de la multiplication dans R, ainsi que de la commutativité de l addition dans R.

5 La multiplication des matrices admet pour élément neutre. L inverse d une matrice inversible M est par définition l inverse de M relativement à la multiplication des matrices. Ainsi GL 2 R muni de la multiplication des matrices est bien un groupe. Exercice 4. * Un triplet pythagoricien primitif est un triplet d entiers naturels x, y, z premiers entre eux dans leur ensemble, et tels que x 2 + y 2 z 2. Un exemple célèbre est le triplet 3, 4, 5. Plus généralement, si u et v sont deux entiers naturels non nuls, premiers entre eux, de parités différentes, et tels que u > v, alors u 2 v 2, 2uv, u 2 + v 2 est un triplet pythagoricien primitif. 1 Soit x, y, z un triplet pythagoricien primitif. Montrer que x et y sont de parités différentes. Il sera utile de remarquer qu aucun carré dans N n est de la forme 4m + 2 avec m N. 2 Nous supposons x impair. a Montrer que s : z +x/2 et t : z x/2 sont des entiers premiers entre eux. b Montrer que s et t sont des carrés. c En déduire l existence deux entiers naturels u, v N \ {0} premiers entre eux, de parités différentes tels que u > v tels que x, y, z u 2 v 2, 2uv, u 2 + v 2. Indice : Le théorème fondamental de l arithmétique affirme que tout entier naturel n 1 se décompose de façon unique à l ordre des facteurs près en produit de nombres premiers. Si P désigne l ensemble des nombres premiers, une telle décomposition peut s écrire sous la forme n p vp. 5 où les entiers v p 0 sont presque tous nuls, c est-à-dire qu ils sont tous nuls, sauf un nombre fini d entre eux. Le produit ci-dessus est donc un produit fini. Solution. 1 Supposons que x et y soient pairs. Alors x 2 et y 2 sont pairs. En particulier z 2 x 2 + y 2 est pair. Un produit de nombres impairs étant impair, z est pair. Ainsi 2 divise x, y, et z. Ceci contredit l hypothèse selon laquelle x, y, et z sont premiers entre eux dans leur ensemble. Supposons l existence de n, m N tels que x 2n + 1 et y 2m + 1. Alors v x 2 +y 2 4n 2 +n+m 2 +n+2 est un carré divisible par 2 mais pas par 4. Ce n est pas possible : un carré est soit impair soit divisible par

6 6 4. En effet, si la décomposition de z en facteur premier est z p vp alors la décomposition de z 2 en facteur premier est z 2 p 2vp 2 a Comme x et y sont de parités différentes, z 2 x 2 + y 2 est impair. Par suite z est impair et donc z + x et z x sont pairs. Si n N divise z x/2 et z + x/2, alors n divise x z + x/2 + z x/2 et z z + x/2 z x/2 qui sont premiers entre eux. Dans ce cas n 1. Les entiers z x/2 et z + x/2 sont donc premiers entre eux. b Soient s p αp et t p βp et y p γp les décompositions en facteurs premiers de s, t et y. Puisque 4st z 2 x 2 y 2, nous avons p αp+βp p 2γp. Soit p P. L unicité de la décomposition en facteurs premiers de 4st y 2 impose la parité de α p + β p. Les entiers s et t étant premiers entre eux nous avons α p 0 ou β p 0. Ainsi nous pouvons déduire du théorème fondamental de l arithmétique que α p et β p sont forcément tous deux pairs. c D après la question précédente, il existe u, v N\{0} tels que s u 2 et t v 2. Ces entiers u et v premiers entre eux, puisque s et t sont premiers entre eux. De plus, x s t u 2 v 2 et z s+t u 2 +v 2. Comme y 2 4st et y > 0, nous avons aussi y 2uv. Par ailleurs, les entiers x et z étant impairs, les entiers u et v sont de parités différentes. Enfin, comme x 1, nous devons avoir u > v.