Exercices supplémentaires : Complexes

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1 Exercices supplémentaires : Complexes Partie A : Calculs et propriétés algébriques Exercice 1 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : Exercice 2 On considère les nombres complexes 2 3 et- 5. Calculer la forme algébrique des nombres complexes suivants : ; ; ; 1 4 ; ; 1 1 Exercice 3 Pour quelles valeurs du réel, le nombre complexe 5 7 est-il imaginaire pur? Exercice 4 A quelles conditions sur les réels et le nombre complexe 2 est-il réel? Exercice 5 Résoudre dans les équations suivantes. Vous donnerez les résultats sous forme algébrique Exercice 6 Déterminer dans chaque cas, l ensemble des points d affixe tels que le point d affixe appartienne à l axe des réels. a) 2 1 b) 3 2 c) d) Partie B : Equations du second degré Exercice 7 Résoudre dans les équations suivantes

2 Exercice 8 Résoudre dans l équation Exercice 9 On considère le polynôme avec. 1) Calculer 8. 2) Déterminer les réels, et tels que pour tout, 8. 3) Résoudre dans l équation 0. Exercice 10 On considère la fonction : avec. 1) Déterminer et réels tels que 4 pour tout complexe. 2) Résoudre dans l équation 0. Exercice 11 Résoudre dans l équation Partie C : Module, argument, forme trigonométrique, forme exponentielle Exercice 12 Calculer le module et l argument de chacun des nombres complexes suivants Exercice 13 Ecrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique Exercice 14 On considère le nombre complexe ) Ecrire sous forme algébrique. 2) Déterminer le module et un argument de. 3) En déduire le module et un argument de. 4) Déterminer à l aide des questions précédentes les valeurs exactes de cos et sin.

3 Correction exercices supplémentaires Partie A : Calculs et propriétés algébriques Exercice Exercice 2 On considère les nombres complexes 2 3 et- 5. Calculer la forme algébrique des nombres complexes suivants : Exercice 3 Commençons par calculer la forme algébrique de : Un complexe est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. Ici, ceci signifie que 670. Δ64 donc il y a deux solutions 1 et 7. Exercice 4 Commençons par écrire sous forme algébrique :

4 3 est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle donc 0. Ceci donne donc deux conditions : soit, soit. Exercice ou ou ou 230 ou pour tout tel que 10 et Or est une valeur interdite donc pour tout z tel que Ce n est pas une valeur interdite donc Exercice 6 a) On considère la forme algébrique (;) de et on détermine la forme algébrique de : ou 1 L ensemble des points d affixe tels que d affixe appartiennent à l axe des réels est la réunion de deux droites : la droite d équation 0 et la droite d équation 1. b) avec, ;1 et de rayon. Comme il y a équivalence, tous les points Le point appartient donc au cercle de centre sont atteints. c) Par définition de, on doit avoir 1. Par ailleurs, en utilisant (;, on a Donc le point appartient au cercle de centre et de rayon 1. Cependant, on doit avoir 1 donc le cercle est privé du point d affixe 1.

5 d) On a 3. On pose avec, Le point appartient au cercle de centre 1; et de rayon privé du point d affixe 3. Partie B : Equations du second degré Exercice : Δ donc l équation a deux solutions complexes 27 et ; : Δ20 donc l équation a deux solutions complexes : 1 5; : Δ donc l équation a deux solutions complexes ; : Δ Il y a deux solutions réelles : Exercice 8 1 et 2 1; 2 On effectue un changement de variables : pour 2 : Δ16 donc il y a deux valeurs possibles pour : 32 et 32. On est donc ramené à deux équations : avec ; Exercice 9 1) ) 8 est une racine de donc peut se factoriser par Par identification : 4 donc

6 3) Dans : ou La première équation donne 8. La seconde équation : Δ 48 donc il y a deux solutions complexes Finalement 8; 2 2 3; et Exercice 10 1) Pour tout complexe : Par identification : donc ) ou Pour la première équation : Δ 16 donc il y a deux solutions complexes : 2 et 2 Pour la deuxième équation : Δ 18 donc il y a deux solutions réelles : Finalement 2; 2; 2 2; et 2 Exercice 11 On effectue un changement de variable en posant. On résout alors Δ 169 donc il y a deux valeurs possibles pour : On doit donc résoudre et 2. et ou ou ou 2 Finalement, ; ; 2; 2 Partie C : Module, argument, forme trigonométrique, forme exponentielle Exercice 12 Calculer le module et l argument de chacun des nombres complexes suivants 6 2 : Pour l argument de que nous notons : cos sin donc 2 1 : Pour l argument de, noté, on commence par développer pour avoir sa forme algébrique : donc cos 0 sin 1 donc : cos donc sin 1 donc :

7 donc 2 Autre méthode : arg 3 2 et arg donc arg arg 3 arg : La méthode pour déterminer l argument en utilisant la partie réelle et la partie imaginaire ne fonctionne pas ici car on ne retrouve pas des cosinus et des sinus connus. On peut par contre déterminer l argument du numérateur et du dénominateur : cos Pour 1 : 1 2 donc sin donc arg1 2 Pour : donc cos sin donc 2 arg arg1 arg : 2 2 donc 2 2 cos donc 2 sin Autre méthode en passant par les arguments du numérateur et du dénominateur Pour 4 : arg4 2 cos Pour 1 : 1 2 donc sin donc 2 arg arg4 arg Exercice 13 Ecrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique 1 : cos donc 2 donc sin 2 cos sin 5 5 cos 2 sin : donc 2 2 cos sin : arg1 2 et arg1 3 2 donc arg arg1 arg1 3 2 Donc 2 2 cos sin : cos 2 3 sin 2 3

8 Exercice 14 1) ) (on pouvait aussi calculer le module de et prendre le carré ) cos sin donc 2 3) car 0 arg 2 2 arg 2 arg donc arg 2 ou arg 2 Or comme la partie réelle et la partie imaginaire de sont positives, il n y a que la première possibilité de valable. donc arg 2 4) En utilisant cos 3 1 cos sin et sin, on trouve

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