Partie I - Préliminaires
|
|
- Émilie Coutu
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 SESSION 25 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PC Partie I - Prélimiaires I.A - I.A. Soit N. Pour N, Puisque la série de terme gééral coverge, il e est de même de la série de terme gééral u,. 2 N, la série de terme gééral u,, N, est covergete. I.A.2 σ + lim N + N lim. + N + N + σ. I.A.3 Soit 2. Pour N, u, u +, u, I.A.4 E sommat ces égalités, o obtiet σ σ u, σ et doc σ u,!. N, σ!. I.B - Soit q 2. Pour N N, II.A - RN, q N+ q + N+ + t q dt N, q N 2, RN, q t q dt q q. q N q. Partie II - U eemle d accélératio de la covergece II.A. Motros ar récurrece que 2, il eiste des etiers aturels a 2,..., a, b 2,..., b, c 2,..., c, tels que Pour 2 et > >, 3 k2 a k k + b + c htt :// c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
2 et o eut redre a 2, b 2 3 et c 2 2. Soit 2. Suosos qu il eiste des etiers aturels a 2,..., a, b 2,..., b, c 2,..., c, tels que Alors, our >, >, 3 k2 a k k + b + c b + c b + c b b + c + + c b b + c + + c et o eut redre a + b, b + + b + c et c + + c ar hyothèse de récurrece, a +, b + et c + sot effectivemet des etiers. Le résultat est démotré ar récurrece. II.A.2 a 2, b 2 3 et c 2 2 et 2, a + b, b + + b + c et c + + c. II.A.3 Motros ar récurrece que 2, b c. Puisque b 2 3 et c 2 2, c est vrai our 2. Soit 2. Suosos que b c. Alors, c + +c uis b + +b +c +c + c +. O a motré ar récurrece que 2, b c. II.A.4 c 2 2, c 3 3c 2 6 et c 4 4c b 2 3, b 3 3b 2 + c 2, b 4 4b 3 + c 3 5. a 2, a 3 b 2 3 et a 4 b 3. a 2, a 3 3, a 4, b 2 3, b 3, b 4 5, c 2 2, c 3 6 et c II.B - II.B. Soit N N. D arès la questio I.B, N+ 3 2N 2 2N2 ζ N. 5 5 II.B.2 Soit N N. Toujours d arès la questio I.B, N+ b 4 + c uis, d arès les questios II.A. et II.A.4 ζ3 k2 + N+ 4 + a k k σ2 + 3σ3 + σ b 4 + c , N+ b 4 + c b 4 + c N 5, b 4 + c 4 3 d arès la questio I.A htt :// 2 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
3 uis, our N N, Or ζ3 7 N N N5. et doc 5N N 5 ζ N5 4 5 N 4, II.B , Doc et o e déduit que ζ3, III.A - III.A. Soit >. w u l l w u, ζ3, , ζ3, 225 à 5 5 rès. Partie III - Séries factorielles l O + v l v + + l 2 + l O l 2 + O e déduit que w >, la série umérique de terme gééral l coverge. w III.A.2 Soit >. La série de terme gééral lw lw coverge. O sait qu il e est de même de la suite de terme gééral lw, N, séries télescoiques. Si o ote a la limite de cette suite, alors w e lw ted vers l e a > quad ted vers +. >, l ], + [/ u lim + v l. III.B - Soit >. D arès ce qui récède et uisque l, u tel que, l 2 a v l a u 2l a v. + lv. Par suite, il eiste u rag Puisque l, ceci motre que la série umérique de terme a u coverge si et seulemet si la série umérique de terme gééral a v coverge. >, a N C N, a u est AC si et seulemet si a u est AC. III.C - III.C. Soit >. Pour tout etier aturel et tout [, + [, htt :// 3 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
4 et doc N, su a u [,+ [ a! a u a! , a! a! Par hyothèse, la série umérique de terme gééral coverge et o e déduit que la série de foctios de terme gééral a u, N, coverge ormalemet et doc uiformémet sur [, + [. Comme d autre art, chacue de ces foctios est cotiue sur [, + [ e tat que quotiet de foctios cotiues sur [, + [ dot le déomiateur e s aule as sur [, + [, la somme f a est cotiue sur [, + [ e tat que limite uiforme sur [, + [ d ue suite de foctios cotiues sur [, + [. Ceci état vrai our tout >, o a motré que a A, la foctio f a est cotiue sur ], + [. III.C.2 La série de foctios de terme gééral a u, N, coverge uiformémet vers la foctio f a sur [, + [. De lus, chaque foctio a u, N, a ue limite réelle l quad ted vers + à savoir l lim a a! u lim D arès le théorème d iterversio des limites, la foctio f a a ue limite réelle quad ted vers +, la série umérique de terme gééral l, N, coverge, lim + f a l. a A, lim + f a. III.D - III.D. Pour N, osos a. Soit >. + D arès la questio III.B -, la série umérique de terme gééral a u est de même ature que la série umérique de terme gééral a v + +. Puisque + >, est le terme gééral d ue série de Riema + + covergete. O e déduit que la série umérique de terme gééral a u coverge absolumet. A. + N III.D.2 Pour N, osos a. La série de terme gééral a v N / A. diverge quad et doc + III.E - III.E. Soit N. La foctio u est de classe C sur ], + [ e tat que quotiet de foctios de classe C sur ], + [ dot le déomiateur e s aule as sur ], + [. De lus, la foctio u est strictemet ositive sur ], + [ et our > lu l! l + k. E dérivat cette derière égalité dérivée logarithmique, o obtiet our > u u. Par suite, + k u u + u + k k u + k + t dt k + k k u + l + k + t dt. htt :// 4 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
5 N, u C ], + [, R et N, >, u u + l +. III.E.2 Soit >. Pour N et [, + [, u u + l + u + l +, et doc su a u a u [,+ [ + l +. + l + est de même ature que la D arès la questio III.B -, la série umérique de terme gééral a u série umérique de terme gééral a + l + +. Mais d arès u théorème de croissaces comarées, + /2 + l l + et doc + /2 + a + l + + o a. + /2 a Toujours d arès III.B-, la série de terme gééral est de même ature que la série de terme gééral a u /2 2 et est doc covergete ar défiitio d u élémet de A. O e déduit que la série umérique de terme gééral a u + l + uis que la série de foctios de terme gééral a u coverge ormalemet et doc uiformémet sur [, + [. E résumé, la série de foctios de terme gééral a u coverge simlemet vers la foctio f a sur [, + [, chaque foctio a u est de classe C sur sur [, + [, la série de foctios de terme gééral a u coverge uiformémet sur [, + [. D arès u corollaire du théorème de dérivatio terme à terme, la foctio f a est de classe C sur [, + [ et sa dérivée s obtiet ar dérivatio terme à terme. Ceci état vrai our tout >, o a motré que IV.A - a A, la foctio f a est de classe C sur ], + [. Partie IV - Rerésetatio itégrale IV.A. Chaque P k, k,, est de degré et doc das R [X]. De lus, cardp k k + dim R [X] < + et our motrer que la famille P k k est ue base de R [X], il suffit de vérifier que cette famille est libre. Soit λ i i R +. λ i P i k,, λ i P i k k,, λ k P k k i i k,, λ k car k,, P k k. La famille P k k est ue base de R [X]. IV.A.2 Le olyôme P! est de degré et doc est das R [X]. Par suite, il eiste α k k R + tel que! α k P k. O divise les deu membres de cette égalité ar XX +...X + et o obtiet k Soit k,. O sait que! XX +...X + α k X + k. k htt :// 5 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
6 α k lim + k! k ! k k +... k + k k + k +... k + k! k! k! k Q. k >,! k k k X + k. IV.B - Soiet > et k N. Puisque + k >, l itégrale ] y +k y+k dy [ + k + k. ], + [, k N, y +k eiste itégrale de référece. De lus, y +k dy + k. IV.C - Soiet > et N y. Soit A ], [.Les deu foctios segmet [, A]. O eut doc effectuer ue itégratio ar arties et o obtiet A ] A y y y dy [ y Quad A ted vers, o obtiet >, N, + A y y dy y y dy et y y sot de classe C sur le A A + y y dy. E aliquat lusieurs fois la formule récédete, o obtiet our > et N y y dy cette derière eressio restat valable quad. >, N, Par suite, our a A et >, f a IV.D - y y dy a! y + y dy! a A y y dy.! , y y dy. IV.D. Soit a A. Par défiitio de A et d arès III.B-, our tout >, la série de terme gééral a a + coverge. E articulier, la suite + ted vers quad ted vers + ou ecore a o. Puisque le rayo de la série + etière associée à la suite N est, le rayo de la série etière associée à la suite a N est suérieur ou égal à. IV.D.2 Soit >. Pour y [, [, o a y φ a y a y y. Pour y [, [, o ose Φy y φ a y et our N et y [, [, o ose ϕ y a y y. O sait que la somme d ue série etière est cotiue sur so itervalle ouvert de covergece. Doc la foctio φ a est cotiue sur [, [ et il e est de même de la foctio Φ. D autre art, chaque foctio ϕ est cotiue ar morceau sur [, [ et la série de foctios de terme gééral ϕ coverge simlemet vers la foctio Φ sur [, [. Efi, ar défiitio de A, ϕ y dy a y y dy htt :// 6 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés. a u < +.
7 E résumé, chaque foctio ϕ est cotiue ar morceau sur [, [ et la série de foctios de terme gééral ϕ coverge simlemet vers la foctio Φ sur [, [. la foctio Φ est cotiue ar morceau sur [, [, ϕ y dy < +. D arès u théorème d itégratio terme à terme, - chaque foctio ϕ est itégrable sur [, [ et la foctio Φ est itégrable sur [, [, - la série umérique de terme gééral E articulier, la foctio V.A - y φ a d a A, >, f a f y dy coverge et Φ d ϕ d a! y φ a y dy est DSFA. a u f a. y φ a y dy. Partie V - Dérivabilité d ue série factorielle V.A. D arès la questio III.E.2, la foctio f a est de classe C sur ], + [ et d arès la questio IV.D.2, >, f a y φ a y dy. Soit >. Soit F : [, + [ [, [ R., y y φ a y Pour chaque de [, + [, la foctio y F, y est cotiue ar morceau et itégrable sur [, [ d arès IV.D.2. La foctio F admet sur [, + [ admet sur [, + [ [, [ ue dérivée artielle ar raort à sa remière variable défiie ar De lus,, t [, + [ [, [, F, y l y y φ a y. - our chaque [, + [, la foctio y F, y est cotiue ar morceau sur [, [, - our chaque y [, [ la foctio F, y est cotiue sur [, + [, - our chaque, y [, + [ [, [, F, y l y y φ a y ϕ y. Vérifios alors que la foctio ϕ qui est cotiue ar morceau et ositive sur [, [ est itégrable sur [, [. Quad y ted vers, y 2 l y y y /2 l y y et doc l y y φ a y o y + 2 φ a y. Puisque 2 >, la foctio y y + 2 φ a y est itégrable sur [, [ d arès IV.D.2 et il e est de même de la foctio ϕ. D arès u corollaire du théorème de dérivatio des itégrales à aramètres théorème de Leibiz, la foctio f a est de classe C sur [, + [ et sa dérivée s obtiet ar dérivatio sous le sige somme. Ceci état vrai our tout >, o a motré que f a est de classe C sur ], + [ et >, f a y φ a y dy. V.A.2 La foctio ψ a est déveloable e série etière sur ], [ e tat que roduit de foctios déveloables e série etière sur ], [. V.A.3 Pour tout y ], [ + + b y φ a y φ a yl y a y y a y roduit de Cauchy de deu séries etières. htt :// 7 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
8 Par uicité des coefficiets d u déveloemet e série etière, o e déduit que b et N a, b. V.B - Soiet > et N N. N b N + N a N k N + kk + + >, N N, N N + e osat k. N b + N k N + kk V.C - Soiet >, N N et, N. La foctio t est cotiue et ositive sur [, + [, itégrable tt + + sur [, + [ car équivalete e + à t + avec + >. De lus la foctio t est décroissate sur tt + + [, + [ et o e déduit que N k N kk k2 k N V.D - Soiet >, N N et, N. kk + + k2 k tt + + dt N + + tt + + dt. tt + + dt + dt tt tt + dt dt + t [ l t + tt + + dt tt + + dt + + tt + t + dt tt + dt t dt t + + ] + l + + t + + et doc N k kk l + l V.E - Soit > et N N. D arès les questios V.B- et V.D-, N N b + N k l Par défiitio d u élémet de A, o a déjà N kk l < +. D autre art, a + l + + o + + /2 htt :// 8 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
9 et doc l + < +. Fialemet + N N, N b + + La suite des sommes artielles de la série de terme gééral l >, la série umérique de terme gééral + < +. b est majorée et doc + b +, N, coverge. V.F - D arès les questios V.E- et III.B-, our tout >, la série de terme gééral b u, N, coverge absolumet ou ecore b A. O eut doc aliquer à la suite b le travail de la questio IV.D- et o obtiet our > e remlaçat a ar b et φ a ar ψ a Ceci motre que f a est DFSA sur ], + [ et f a y ψ a y dy + >, f a b u. b u. V.G - Pour tout > u + u + u a u avec N, a δ, { si si. Aisi, la foctio f : : est DFSA et f f a où a δ, N. La questio récédete motre que les foctios f : 2 uis e réitérat f : 2 3 sot DFSA. O ote a et a les suites associées. D arès la questio V.A.3, a uis N, a a δ,. E articulier, a, a, a 2 2, a 3 3 et a 4 4. Esuite, a uis N, a a. Doc a uis our 2, a a a, a 2, a 3 et a E articulier, Doc, >, 3 2! ! ! et o retrouve les résultats de la artie II htt :// 9 c Jea-Louis Rouget, 29. Tous droits réservés.
Etude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailMathématiques Financières : l essentiel Les 10 formules incontournables (Fin de période)
A-PDF OFFICE TO PDF DEMO: Purchase from www.a-pdf.com to remove the watermark Mathématques Facères : l essetel Les formules cotourables (F de érode) htt://www.ecogesam.ac-a-marselle.fr/esed/gesto/mathf/mathf.html#e5aels
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailLa spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».
Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailTransformations nucléaires
I Introduction Activité p286 du livre Transformations nucléaires II Les transformations nucléaires II.a Définition La désintégration radioactive d un noyau est une transformation nucléaire particulière
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailConditions Générales d'utilisation
Conditions Générales d'utilisation Préambule Le présent site Internet www.tournoi7decoeur.com (le " Site Internet") est édité par l association Côté Ouvert, Association loi de 1901, enregistrée à la préfecture
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailConditions générales (CG)
Conditions générales (CG) pour l achat et l utilisation de l appli mobile pour les titres de transport communautaires Libero et les titres de transport électroniques Libero (application mobile LiberoTickets)
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailBTS BAT 1 Notions élémentaires de chimie 1
BTS BAT 1 Notions élémentaires de chimie 1 I. L ATOME NOTIONS EÉLEÉMENTAIRES DE CIMIE Les atomes sont des «petits grains de matière» qui constituent la matière. L atome est un système complexe que l on
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailAGRÉGATION DE SCIENCES DE LA VIE - SCIENCES DE LA TERRE ET DE L UNIVERS
AGRÉGATION DE SCIENCES DE LA VIE - SCIENCES DE LA TERRE ET DE L UNIVERS CONCOURS EXTERNE ÉPREUVES D ADMISSION session 2010 TRAVAUX PRATIQUES DE CONTRE-OPTION DU SECTEUR A CANDIDATS DES SECTEURS B ET C
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailMATIERES PM 2. VERT (Axe/mesures/actions) AXE I
AXE I CAPITAL HUMAIN MESURE I.1 I.1.A I.1.B I.1.C Mobiliser collectivement les acteurs de l'enseignement, de la formation professionnelle et de l'emploi Développer les bassins de vie et créer des pôles
Plus en détaildénombrement, loi binomiale
dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................
Plus en détailCOURS 470 Série 10. Comptabilité Générale
COURS 470 Série 10 Comptabilité Générale Administration générale de l'enseignement et de la Recherche scientifique Direction de l'enseignement à distance REPRODUCTION INTERDITE Communauté française de
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailLes emprunts indivis. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M
Les emprunts indivis Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M Les emprunts indivis sont les emprunts faits auprès d un seul prêteur. On va étudier le cas où le prêteur met à disposition
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailDéfinition d un Template
Objectif Ce document a pour objectif de vous accompagner dans l utilisation des templates EuroPerformance. Il définit les différents modèles et exemples proposés. Définition d un Template Un template est
Plus en détailDéveloppement d'un projet informatique
Développement d'un projet informatique par Emmanuel Delahaye (Espace personnel d'emmanuel Delahaye) Date de publication : 27 janvier 2008 Dernière mise à jour : 25 avril 2009 Cet article présente un certain
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailPHYSIQUE-CHIMIE. Partie I - Propriétés de l atome
PHYSIQUE-CHIMIE Ce sujet traite de quelques propriétés de l aluminium et de leurs applications. Certaines données fondamentales sont regroupées à la fin du texte. Partie I - Propriétés de l atome I.A -
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailIntérêts. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M
Intérêts Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M 1. LA NOTION D INTÉRÊT 1.1. Définition. Définition 1. L intérêt est la rémunération d un prêt d argent effectué par un agent économique
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailPartie 1 Automatique 1 et 2 (Asservissements Linéaires Continus)
Réublique Algériee Démocratique et Poulaire Miistère de l'eseigemet Suérieur et de la Recherche Scietifique Uiversité Djillali Liabès Sidi Bel-Abbès Faculté de Techologie Déartemet d'electrotechique Partie
Plus en détailCirculaire sur l'assurance protection juridique
Circulaire _2010_22 du 19 octobre 2010 Circulaire sur l'assurance protection juridique Champ d'application: La présente circulaire est destinée aux entreprises d'assurances qui proposent des assurances
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailPlan comptable. Octobre 2005. B.I.B.F. Beroepsinstituut van erkende Boekhouders en Fiscalisten
I.P.C.F. Institut Professionnel des Comptables et Fiscalistes agréés B.I.B.F. Beroepsinstituut van erkende Boekhouders en Fiscalisten Plan comptable Octobre 2005 Avenue Legrand 45-1050 BRUXELLES Tél. (02)
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailGérer les applications
Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailS2I 1. quartz circuit de commande. Figure 1. Engrenage
TSI 4 heures Calculatrices autorisées 214 S2I 1 L essor de l électronique nomade s accomagne d un besoin accru de sources d énergies miniaturisées. Les contraintes imosées à ces objets nomades sont multiles
Plus en détailSCIENCES INDUSTRIELLES POUR L INGÉNIEUR. Partie I - Analyse système
SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L INGÉNIEUR COMPORTEMENT DYNAMIQUE D UN VEHICULE AUTO-BALANCÉ DE TYPE SEGWAY Partie I - Analyse système Poignée directionnelle Barre d appui Plate-forme Photographies 1 Le support
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailUn modèle de composition automatique et distribuée de services web par planification
Un modèle de comosition automatique et distribuée de services web ar lanification Damien Pellier * Humbert Fiorino ** * Centre de Recherche en Informatique de Paris 5 Université Paris Descartes 45, rue
Plus en détailn tr tr tr tr tr tr tr tr tr tr n tr tr tr Nom:... Prénom :...
Nom:... Préom :... Chaque répose peut valoir : c) 2 poits si le choix est totalemet exact + poit si le choix est partiellemet exact + 0 poit si le choix est erroé + -i poit si le choix est u coeses Ue
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détail