Aix Marseille Université Mathématiques II Parcours PEIP Planche 1 - Logique, applications et fonctions usuelles

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Chrystelle Blanchard
il y a 6 ans
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1 Aix Marseille Université Mathématiques II Parcours PEIP Planche - Logique, applications et fonctions usuelles Logique Exercice Traduire à l aide de quantificateurs les énoncés suivants Tout entier naturel est plus petit ou égal à son carré Si le produit de deux nombres réels est nul, alors un des deux facteurs est nul Tout ensemble non vide d entiers naturels contient un plus petit élément Exercice Soit f : une fonction Traduire à l aide de quantificateurs les énoncés suivants f est majorée f est bornée f ne s annule jamais 4 f est croissante Exercice Donner la négation des assertions ci-dessous puis déterminer si elles sont vraies ou fausses x R, y R, x + y > 0 x R, y R, x + y > 0 x R, y R, y > x Exercice 4 Soit f une application de R dans R Donner la négation des énoncés suivants Pour tout x R, f(x) L application f est croissante L application f est croissante et positive 4 Il existe x R, x 0 tel que f(x) 0 5 Il existe x R tel que quel que soit y R, si x < y alors f(x) > f(y) Exercice 5 Démontrer l implication 0 x y 0 x y Ecrire sa contraposée et sa réciproque Déterminer si sa réciproque est vraie Applications Exercice 6 On considère la fonction f : Déterminer les ensembles suivants : x x f([, ]), f([, ]), f([, ] [, ]), f (], ]), f (], + ]) et f (], ] ], + ])

2 Exercice 7 On considère les applications f : N R n n n + g : n n h : n n + k : x x Déterminer, lorsque c est possible les applications suivantes : f g, g f, f h, k f et k f g On considère les applications f : R + R + x x Montrer que g f = g La composition f g existe-t-elle? g : R + R x x x + Exercice 8 Soient f : et g : telles que f(x) = x + x A-t-on égalité des applications f g et g f? Exercice 9 Déterminer si les applications suivantes sont injectives, surjectives, bijectives ou rien de cela Le(s) cas échéant(s), déterminer explicitement l application réciproque a : b : c : d : e : f : g : h : i : j : n n + Z Z n n + R \ {} R x x + x R R (x, y) (x + y, x y) R R (x, y) (x + y, x y, xy) R [0, + [ x x x R\{} R x + x x R R (x, x ) x + 4x ]0, + [ ], + [ x ex + e x N ]0, + [ x + x k : R R (x, x ) x x [0, + [ [, + [ l : x ex + e x m : x ex e x n : x e x + 4e x o : R R (x, x ) x x 4 p : N (n, m) n + m q : N (n, m) n m r : R R (x, y) (e y, x + y) s : R R (x, y) (sin(x), x y)

3 Exercice 0 La fonction f : x x x + Montrer que la fonction g : est-elle injective? Surjective? Bijective? [, ] [, ] x f(x) est bijective Exercice Soit f : [, + [ [0, + [ x x f est elle bijective? Exercice Soit f : ], 0] [, + [ x x + Montrer que f est bijective et déterminer f Exercice Dans chacun des cas suivants, déterminer f(i), vérifier que f réalise une bijection de I sur J = f(i) puis déterminer son application réciproque f f(x) = x 4x + et I =], ] f(x) = x et I =], + [ x + f(x) = x + et I = [, + [ 4 f(x) = x et I = R + x Exercice 4 Soient A, B et C trois ensembles, f : A B et g : B C deux applications et on note h = g f : A C l application composée Montrer que si f et g sont injectives, alors h est injective Montrer que si f et g sont surjectives, alors h est surjective Montrer que si h est injective, alors f est injective 4 Montrer que si h est surjective, alors g est surjective Fonctions usuelles Exercice 5 Résoudre sur leur domaine de validité les équations et inéquations suivantes x + = 4 x = x + 5 = x = x x + + x = 5 4x = x x + + x = 4 x x + = x x x + = 4 x 7x = x + 7 x + = x x(0 x) = x x + x = x x 8 x = 5 x x 8 = 0 + x > x x + < x + < x + 7 x + x + x < x + x + 0 x + x x x 4 x +

4 Exercice 6 Donner les domaines de définition maximale dans R des applications suivantes : f (x) = x 4 x + 6 x + f (x) = x + x x + f (x) = x x + f 4 (x) = x f 5 (x) = x x f 6 (x) = x x 4 x x f 7 (x) = x f 8 (x) = cos (x) sin(x) + sin(x) f 9 (x) = ln ( (x) ) ( ) + x f 0 (x) = ln x f (x) = ln(x x) f (x) = ( ln(x) ) sin(x) x 5 f (x) = x f 4 (x) = x f 5 (x) = cos(x) x + f 6 (x) = sin(4x) f 7 (x) = cos(x) f 8 (x) = tan(cos( x)) Exercice 7 Donner un encadrement de la fonction f sur l intervalle I lorsque f(x) = x et I = [ 5, 4] f(x) = x + + x et I = [0, 5] f(x) = x + et I = [, 5] Exercice 8 Montrer que x > 0, x + x < x Exercice 9 Donner les domaines de définition D f et D g des applications f et g suivantes Lorsque c est possible, simplifier f sur D f et g sur D g En déduire éventuellement l égalité des fonctions f et g, sinon déterminer la plus grande partie A de R sur laquelle les restrictions à A de f et g sont égales f(x) = x + x x f(x) = x + x x f(x) = x x 4 f(x) = x + x + x + x x x x x 5 f(x) = ( x ) (x ) Exercice 0 (a) Pour tout x, y R, exprimer cos(x y), cos(x + y), sin(x + y) et sin(x y) en fonction de cos(x), cos(y), sin(x) et sin(y) (b) En déduire une expression tan(x + y) et tan(x y) en fonction de tan(x) et tan(y) en précisant les valeurs de x et y qui conviennent (a) Pour tout x qui convient, donner une formule pour cos(x) et sin(x) en fonction de cos(x) et sin(x) et une formule pour tan(x) en fonction de tan(x) (b) Linéariser les polynômes trigonométriques suivants : + cos (x) et cos (x) + sin (x) 4

5 Pour tous p et q dans R, montrer les formules cos p + cos q = cos p + q sin p + sin q = sin p + q 4 Montrer que, avec t = tan x cos p q p + q, cos p cos q = sin sin p q, cos p q p q, sin p sin q = sin cos p + q et pour des valeurs de x que l on précisera, on a cos x = t t t, sin x =, tan x = + t + t t Exercice Pour tout x R, montrer que cos(x) = 4 cos (x) cos(x) Exercice Résoudre dans R les équations suivantes cos ( ) ( x 5π 4 = cos π 4 x) cos ( ) ( ) x + π = sin x + π 4 cos(x) + sin(x) = tan x = tan x cos(x) + cos(x) + cos(x) = 0 cos 4 (x) + sin 4 (x) = ( π ) tan x = tan(x) cos(x) = 4 cos (x) 6 cos(x) sin (x) sin(x) = 0 cos(x) = sin(x) cos (x) sin (x) = sin(x) cos 4 (x) sin 4 (x) = Exercice Montrer, pour certaines valeurs de x qui seront précisées, que + tan x = cos x Exercice 4 En étudiant deux fonctions, montrez l inégalité suivante, due à Neper : x R +, x x < ln x < x Exercice 5 Montrer que pour tout x, y > 0, on a xy x + y En déduire que pour tout α, β >, on a ln(α) ln(β) ln ( αβ ) Exercice 6 Montrer que, avec t = th ( x ) et pour des valeurs de x que l on précisera, on a ch(x) = + t t, sh(x) = t t et th(x) = t + t 5

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