Nombres Complexes Part Two

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1 Nombres Complexes Part Two Catherine Decayeux Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 1 / 22

2 Prérequis : Forme algébrique d un nombre complexe. Lignes trigonométriques (cosinus et sinus) des angles remarquables. Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les lignes trigonométriques des angles associés. Dans toute le suite on se place dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct O,, v. Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 2 / 22

3 I- Module d un nombre complexe Définition Définition Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x + iy (avec x 2 R et y 2 R), et M l image de z. Le module de z noté z est la longueur OM ; ainsi z = p x 2 + y 2. Remarque : On a z 2 = x 2 + y 2 donc z 2 = z z Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 3 / 22

4 I- Module d un nombre complexe M (z ) v z O Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 4 / 22

5 I- Module d un nombre complexe Propriétés Propriété 1 Soit z un nombre complexe. On a z = z = z v z M (z ) O M 1 ( z ) M 2 (z ) Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 5 / 22

6 I- Module d un nombre complexe Propriétés Propriété 2 Soit z 1 et z 2 deux nombres complexes. On a : z 1 z 2 = z 1 z 2 1 z 1 = 1 z 1 pour z 1 6= 0 z 2 = z 2 z 1 pour z 1 6= 0 z 1 8n 2 N, z n 1 = z 1 n Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 6 / 22

7 I- Module d un nombre complexe Interprétation géométrique du module Théorème Soit A et B deux points du plan complexe d affixes respectives z A et z B. On a : AB = z B z A B(z B ) z B z A v A(z A ) O Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 7 / 22

8 I- Module d un nombre complexe Interprétation géométrique du module Exemple : Soit A, B et C trois points du plan complexe d affixes respectives : z A = 4i, z B = p 3 + 3i et z C = 2 + 2i. 1 Placer les points A, B et C dans le plan complexe. 2 Montrer que A, B et C sont situés sur un même cercle dont vous déterminerez le centre I et le rayon R. Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 8 / 22

9 I- Module d un nombre complexe Interprétation géométrique du module Caractérisation d un cercle Soit A un point du plan complexe d affixe z A et R un nombre réel strictement positif. On note C le cercle de centre A et de rayon R. M (z ) 2 C z z A = R M (z ) v R A(z A ) O Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 9 / 22

10 I- Module d un nombre complexe Interprétation géométrique du module Caractérisation d une médiatrice Soit A et B deux points du plan complexe d affixes respectives z A et z B. On note la médiatrice de [AB]. M (z ) 2 z z A = z z B M B(z B ) I v A(z A ) O Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 10 / 22

11 I- Module d un nombre complexe Exemples Exemples : Soit A et B deux points du plan complexe d affixes respectives i et 1 i. Dns chacun des cas suivants, déterminer et représenter l ensemble E des points M (z ) du plan complexe dont l affixe z vérifie : 1 z i = 2 2 z i = z 1 + i 3 z = z i 4 z + i = 3 Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 11 / 22

12 II- Argument d un nombre complexe non nul Définition Définition Soit z un nombre complexe non nul et M l image de z. Un argument de z noté arg(z ) est une mesure en radian de l angle (, OM ). Remarque : Si θ est un argument de z, alors tout nombre de la forme θ+2kπ k 2 Z est un argument de z. Au lieu d écrire arg(z ) = θ + 2kπ avec k 2 Z on peut écrire arg(z ) = θ [2π] Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 12 / 22

13 II- Argument d un nombre complexe non nul Forme trigonométrique y v O z θ x M (z ) Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 13 / 22

14 II- Argument d un nombre complexe non nul Forme trigonométrique y v O z θ x M (z ) Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique x + iy. On a x = z cos θ et y = z sin θ Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 14 / 22

15 II- Argument d un nombre complexe non nul Forme trigonométrique Définition Tout nombre complexe z non nul s écrit sous la forme suivante, appelée forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ) où r = z et θ = arg(z ) [2π] Remarques : Ainsi on a r = p x 2 + y 2 et θ est défini par : cos θ = x r et sin θ = y r Deux nombres complexes non nul sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument à 2π près. Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 15 / 22

16 II- Argument d un nombre complexe non nul Forme trigonométrique Exemples : 1 Soit z le nombre complexe égale à 1 + i p 3 (a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe. (b) En déduire une écriture de z sous forme trigonométrique. (c) Placer le point M d affixe z dans le plan complexe ainsi que les points M 1 (z ) et M 2 ( z ). (d) En vous aidant du graphique, donner sans calcul une écriture trigonométrique des nombres complexes z et z.! 2 Le nombre z = 2 cos π 4 + i sin π est-il écrit sous forme 4 trigonométrique? Si non l écrire sous forme trigonométrique et dans tous les cas l écrire sous forme algébrique. 3 Donner le module, un argument et une écriture trigonométrique de 1, 1 i et i. Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 16 / 22

17 II- Argument d un nombre complexe non nul Propriétés Propriété 3 Soit z un nombre complexe non nul. On a : arg(z ) = arg(z ) [2π] arg( z ) = arg(z ) + π [2π] arg( z ) = π arg(z ) [2π] M 3 ( z ) M (z ) v θ O M 1 ( z ) M 2 (z ) Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 17 / 22

18 II- Argument d un nombre complexe non nul Propriétés Propriété 4 Soit z et z 0 deux nombres complexes non nuls. On a : arg(zz 0 ) = arg(z ) + arg(z 0 ) [2π]! 1 arg = arg(z ) [2π] z! arg z 0 z = arg(z 0 ) arg(z ) [2π] arg(z n ) = n arg(z ) pour tout n 2 N Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 18 / 22

19 II- Argument d un nombre complexe non nul Exemples Exemples : Soit z 1 = 1 + i p 3 et z 2 = p 2 i p 2 1 Donner le module, un argument et une écriture trigonométrique de z 1 et z 2. 2 En déduire une écriture trigonométrique de : z 3 = z 1 z 2 z 4 = z 1 z 2 z 6 = z 4 2 et z 7 = z z 5 = 2i z 1 Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 19 / 22

20 II- Argument d un nombre complexe non nul Interprétation géométrique de l argument Théorème Soit A et B deux points distincts du plan complexe d affixes respectives z A et z B. On a : (, AB) = arg(z B z A ) [2π] B v θ = arg(z AB ) O A Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 20 / 22

21 II- Argument d un nombre complexe non nul Interprétation géométrique de l argument Soit A un point du plan complexe d affixe z A. L ensemble des points M d affixe z du plan complexe distinct de A tels que arg(z z A ) = α [2π] est une demi droite d origine A. v α O A Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 21 / 22

22 II- Argument d un nombre complexe non nul Exemples Soit A et B deux points du plan complexe d affixes respectives i et 1 i. Dans chacun des cas suivants, déterminer et représenter l ensemble E des points M (z ) du plan complexe (distincts de A et/ou de B) dont l affixe z vérifie : 1 arg(z i) = π 2 [2π] 2 arg(z 1 + i) = π 4 [2π]! z 1 + i 3 arg = 0 [π] z i! z 1 + i 4 arg = π z i 2 [π] Catherine Decayeux () Nombres Complexes Part Two 22 / 22