Outils mathématiques. Applications linéaires - Matrices

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1 Licence Sciences de la Terre et Environnement Outils mathématiques Applications linéaires - Matrices Exercice. On considère dans la base canonique de R les deux applications linéaires suivantes : σ u + τu + γu ω u ω u f(u,u,u )= τu + σ u + ηu g(u,u,u )= ω u ω u γu + ηu + σ u ω u ω u où σ, σ, σ, τ, γ, η, ω, ω et ω sont des nombres donnés. Donnez les matrices associées à f et à g. Quel est le type de chacune de ces matrices? Exercice. On donne les matrices suivantes A = 5 5 D = B = 0 E = 0 C = u = Quelles sont parmi ces matrices celles qui sont symétriques? antisymétriques? diagonales? Les opérations suivantes ont-elles du sens Calculer A B, A + C, C + D? A B, A C, D u, B u? A u et D B, D (A +B) et 5C u. Exercice. Calculer les produit D A et A D où D et A sont les deux matrices suivantes : 0 0 D = 0 0 A = 0 0

2 Exercice 4. Soient f : R R et g : R R deux applications linéaires définies par ( ) x + y + z x y f(x, y, z) = g(x, y) = x +4y z y x + y Donnez la matrice de l application composée f g. Exercice 5. On appelle transposée d une matrice A la matrice, notée A T, dont les lignes sont formées par les colonnes de A. Donnez les transposées des matrices A = B = Calculez : u T A et A T u, B A et A T B, B u et u T B. Que remarquez-vous? Que donne les produits : u T u et u u T C = u = Exercice. Écrire la matrice M donnée ci-dessous comme la somme d une matrice symétrique S (S T = S) et d une matrice antisymétrique A (A T = A). M = Exercice. A étant une matrice n p et B une matrice p m, montrer en utilisant la notation indicielle que (A B) T = B T A T. On rappelle que les composantes de C = A B sont données par C ij = k=p k= A ikb kj (avec i n et j m). Exercice 8. Résoudre par la méthode de Cramer le système linéaire suivant 0 x 4 y = z Licence STE e année er semestre

3 Licence Sciences de la Terre et Environnement Outils mathématiques Déterminant - Éléments propres Exercice. Soient M, M et M trois points de l espace dont les coordonnées dans un repère cartésien Oxyz sont : M (,, ), M (,, ), M (0, 5, 5).. Calculer l aire du triangle M M M.. Quel est le volume du parallélépipède qui s appuie sur les trois vecteurs OM, OM et OM? Pouvait-on le prévoir? Exercice. Calculer les déterminants des matrices suivantes 5 A = B = C = Que vaut le déterminant de la matrice D = B C? 8 5 Exercice. Pour quelle valeur du nombre a la matrice +a a M a = a +a est-elle singulière? Exercice 4. Soient M et u la matrice et le vecteur suivants : M = ( ) 5 u = 4. Calculer le vecteur image u = M u de u par M. Que remarquez-vous? Comparez les normes de u et de u.. Trouvez un second vecteur v, non colinéaire à u, ayant la même propriété. Comparez à nouveau les normes de v et de son image v = M v.. Conclusions?

4 Exercice 5. Calculer les valeurs propres de la matrice M a de l exercice?? puis déterminer des vecteurs propres correspondants. Exercice. Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice Exercice. La matrice S suivante admet-elle des vecteurs propres associés à des valeurs propres réelles? Expliquez pourquoi. S = Exercice 8. Soit l application linéaire donnée par sa matrice dans la base ( e x, e y ): 0 τ σ = τ 0. Calculer l image T du vecteur unitaire n =(n x,n y ).. Représenter graphiquement ce vecteur. On notera θ l angle que fait n avec l axe Ox.. On note T n et T t les projections de T selon n et selon un vecteur orthogonal à n, respectivement. Calculer T n et T t en fonction de θ. 4. Pour quelles valeurs de θ la projection T t est nulle et quelles sont alors les valeurs prises par T n? 5. Retrouver ce résultat en calculant les valeurs propres et les vecteurs propres de σ.. Pour quelles valeurs de θ la projection T t est maximale? Licence STE e année er semestre

5 Licence Sciences de la Terre et Environnement Outils mathématiques Opérateurs différentiels Rappels Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes On se donne deux champs dérivables : f un champ scalaire de R et v un champ vectoriel de R dans R. On a ( ) grad f = f, f, f, div v = vx + vy + vz, rot v = v z v x v y vy vz vx, grad v = On exprime aussi ces opérateurs grâce au symbole ( ) =,, : grad f = f, div v = v, v x v y v z rot v = v, v x v y v z v x v y v z. grad v = v, et désignant le produit scalaire et le produit vectoriel, respectivement. Exercice. f étant un champ scalaire de R et v un champ vectoriel de R dans R, les opérations suivantes ont-elles du sens et si oui, quelle est la nature du champ résultant (scalaire, vectoriel, etc.)? a) f (= rot ( grad f)) b) v (= rot (div v)) c) f (= div( grad f)) Exercice. Dérivée selon une direction Donner l expression du gradient de f(x, y) =x+e xy. a) Quel est le taux de variation de f au point (, ) dans la direction Ox? dans la direction Oy? dans la direction de la bissectrice de Ox et Oy? En déduire la variation df de f quand on passe du point (, ) au point ( + h, +h) où h est un infiniment petit. À l aide d une calculette vérifier que pour h =0.0 on a df(, ) f( + h, +h) f(, ). b) Préciser la direction selon laquelle f varie le plus. Quel est le taux de variation correspondant? Exercice. Glissement simple et dilatation uniforme On donne dans un système d axes cartésien Oxyz les deux champs de déplacement suivants u (x, y, z) = αy 0, u (x, y, z) = αx αy, 0 αz α étant une constante et on considère un parallélépipède rectangle occupant initialement le domaine D = 0,a 0,b 0,c.

6 ) Représenter, dans le plan xoy, ces champs de déplacement en quelques points du domaine D (on pourra prendre α =/ pour faire le dessin et a = b = ). ) Calculer la variation relative de volume que D subit s il est soumis au déplacement u. Même question mais pour u. Que donne ce dernier calcul si α est petit? Retrouver ces résultats par le calcul de la divergence de u et de u. ) Calculer e = grad u et e = grad u. 4) Calculer les valeurs propres et des vecteurs propres de ε partie symétrique de e. 5) Calculer rot u et rot u. Exercice 4. Équation de la chaleur On désigne par q(x, y, z) le vecteur flux de chaleur (quantité de chaleur par unité de temps et par unité d aire. Unités dans le SI : W m ). On rappelle que la quantité de chaleur qui, au cours du temps dt, transite (rentre ou sort) par l élément de surface d aire da d un corps matériel se calcule par où n est la normale extérieure. Q = q n da dt, On considère un élément de volume dv = dx dy dz ayant la forme d un parallélépipède rectangle aligné avec les axes. On note r(x, y, z) la production de chaleur interne (quantité de chaleur produite par unité de temps et par unité de volume. Unités dans le SI : W m ). ) Donner l expression des quantités de chaleur Q x et Q x+dx qui passent par les deux faces orthogonales à l axe Ox au cours du temps dt. ) Faire de même sur les deux faces orthogonales à l axe Oy pour obtenir Q y et Q y+dy puis sur celles orthogonales à l axe Oz pour obtenir Q z et Q z+dz. ) Exprimer la quantité de chaleur Q V produite par l élément de volume au cours de dt. 4) Exprimer la conservation de l énergie en faisant le bilan de toutes ces énergies. La loi de Fourier relie linéairement le flux de chaleur q(x, y, z) au gradient thermique grad T (x, y, z): q = λ grad T, λ est appelé coefficient de conductivité thermique (unités dans le SI : W m K ). 5) En supposant que λ est constant, introduire la loi de Fourier dans l équation de bilan précédente pour retrouver l équation de la chaleur en régime stationnaire où = + + est le laplacien. λ T + r =0, Licence STE e année er semestre

7 Licence Sciences de la Terre et Environnement Outils mathématiques Exercices supplémentaires sur les matrices Exercice. On donne les deux matrices 0 0 A = 4 5 Est-ce que a) A est symétrique? b) B est symétrique? 4 4 et B = c) A + B, A B et B A ont du sens? Si oui, donner les dimensions des matrices résultantes. d) A et B ont du sens? Si oui, donner les dimensions des matrices résultantes. e) A T A et A A T ont du sens? Si oui, donner les dimensions des matrices résultantes. Exercice. Soient trois matrices A, B, C de dimensions n n. Dire si les énoncés suivants sont toujours vrais : a) A +(B + C) = (A + B)+C. b) (A B) = A AB + B. c) A(B + C) =AB + AC. d) AB + BC =(A + C)B. e) A 0 et B 0 AB 0. Exercice. Quelles sont les dimensions de la matrice A pour que le produit ci-dessous ait du sens? Quelles sont alors les dimensions de la matrice produit? " # 0 A Exercice 4. A, B, C étant trois matrices telles que C = A B A. Si B a lignes et 4 colonnes, qu en est-il des dimensions de A et de C? Exercice 5. Calculer A B et B + C où les trois matrices A, B, C sont données ci-dessous. " # " A = , B = 4 0, C = #. Exercice. Trouver les nombres manquants a) ˆ =, b) ˆ =, c) = Exercice. Une application linéaire f de R dans R admet pour vecteurs propres les vecteurs v =(, ) et v = (, 0), de valeurs propres respectives λ = et λ =. a) Représenter v et v. b) Représenter l image f(v) du vecteur v = v + v.

8 Exercice 8. Vérifier que le vecteur (, ) est un vecteur propre de la matrice " # 0 puis donné la valeur propre associée. Exercice 9. Trouver les nombres manquants pour que le vecteur v soit un vecteur propre de la matrice A associé à la valeur propre 4. 0 B v 5 C A, A = Exercice 0. Écrire les systèmes linéaires suivants sous forme matricielle. Admettent-ils une solution unique? Si oui, la calculer. 8 8 x + y +z + u =, ( x y = 5, >< x +y + z =, >< x y +u = 4, a) b) x +y + z =, c) 0x +5y =. >: y z +u = 0, x + y + z =. >: x u =. Exercice. On donne 5 0 A = Pourquoi est-on sûr que toutes les valeurs propres de A sont réelles? Quelle particularité ont les vecteurs propres de A? Calculer les valeurs propres puis trouver des vecteurs propres associés. Exercice. Calculer la trace et le déterminant de la matrice ci-dessous. Donner l expression de son polynôme caractéristique puis calculer ses valeurs propres et des vecteurs propres associés. 0 A = Licence STE e année er semestre