Table des matières. Cours. Méthodes. Entraînement Corrigés Chapitre 1 Les trinômes du second degré 11

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1 Table des matières Chapitre 1 Les trinômes du second degré 11 I. Les trinômes du second degré : caractérisation... 1 II. Variations des fonctions trinôme du second degré III. Représentation graphique IV. Racines du trinôme V. Factorisation du trinôme VI. Signe du trinôme... 0 Déterminer la forme canonique d un trinôme... 3 Montrer qu un réel est racine d un trinôme... 5 Donner les racines réelles d un trinôme du second degré... 5 Donner le signe d un trinôme du second degré... 6 Résoudre une équation irrationnelle... 8 Entraînement Corrigés

2 Chapitre Généralités sur les fonctions 43 I. Existence et représentation graphique...44 A. Le domaine de définition...44 B. La courbe représentative...44 C. Le signe d une fonction...44 II. Comportement A. Le sens de variation B. Les majorants et les minorants C. Les extremums Étudier le sens de variation d une fonction Entraînement Corrigés... 5 Chapitre 3 Les fonctions de référence 55 I. Les fonctions affines A. Le sens de variation B. La courbe représentative II. La fonction carrée III. La fonction racine carrée IV. La fonction inverse V. La fonction valeur absolue... 6 VI. Opérations sur les fonctions et variations Exprimer une fonction sans valeur absolue Expliciter une fonction définie par deux valeurs absolues et tracer sa courbe représentative Étudier le domaine de définition d une fonction...69 Donner le sens de variation du produit d une fonction par un réel

3 Entraînement Corrigés Chapitre 4 La dérivation 81 I. Le nombre dérivé... 8 A. Le taux d accroissement... 8 B. La tangente à la courbe représentative d une fonction en un point II. La fonction dérivée A. La dérivée sur un intervalle B. Les dérivées des fonctions usuelles C. Les opérations sur les dérivées III. Les applications de la dérivation A. Le sens de variation d une fonction B. Les extremums locaux d une fonction Déterminer le nombre dérivé de f en un réel Dériver une fonction à l aide des formules usuelles Étudier le sens de variation d une fonction... 9 Donner une équation d une tangente à la courbe d une fonction dérivable Entraînement Corrigés Chapitre 5 Les suites 107 I. Étude globale d une suite A. D é fi n i t i o n s B. Le sens de variation C. Représentation graphique II. Les suites particulières A. Les suites arithmétiques B. Les suites géométriques

4 Calculer les premiers termes d une suite Représenter graphiquement une suite définie par récurrence Montrer qu une suite est arithmétique et donner sa forme explicite Montrer qu une suite est géométrique et donner sa forme explicite Calculer une somme de termes consécutifs d une suite Entraînement Corrigés...17 Chapitre 6 La trigonométrie 135 I. Les angles orientés A. Les radians B. Le cercle trigonométrique C. L angle orienté de deux vecteurs D. Propriétés des angles orientés II. Le cosinus et le sinus...14 A. Caractérisation sur le cercle trigonométrique...14 B. Les valeurs remarquables C. Les formules des angles associés D. Formules d addition et de duplication III. Les équations trigonométriques A. Les équations du type cos(x) = cos(a) B. Les équations du type sin(x) = sin(a) Rechercher la mesure principale d un angle Déterminer le sinus ou le cosinus des angles associés Déterminer le cosinus d un angle à partir de son sinus, et réciproquement Donner les solutions d une équation trigonométrique dans un intervalle donné...15 Entraînement Corrigés

5 Chapitre 7 Les vecteurs 163 I. Les coordonnées cartésiennes dans le repère A. Les coordonnées d un point B. Les coordonnées d un vecteur II. Les vecteurs colinéaires A. D é fi n i t i o n B. La caractérisation analytique Déterminer les coordonnées d un vecteur Montrer que deux vecteurs sont colinéaires Entraînement...17 Corrigés Chapitre 8 Les équations de droites 179 I. Les vecteurs directeurs d une droite A. Les propriétés II. Les équations d une droite A. L équation réduite B. Les équations cartésiennes...18 Donner un vecteur directeur d une droite dont on connaît une équation cartésienne Représenter une droite dans un repère Déterminer une équation cartésienne d une droite Déterminer la position relative de deux droites...19 Entraînement Corrigés

6 Chapitre 9 Le produit scalaire 199 I. Le produit scalaire de deux vecteurs A. Généralités B. L expression avec le projeté orthogonal...0 C. L expression analytique...03 D. L expression avec les normes II. Vecteurs orthogonaux A. La caractérisation analytique B. Vecteur normal à une droite...05 C. Équation de cercles III. Applications...07 A. Théorème de la médiane...07 B. Théorème d Al-Kashi C. Formule des aires D. Formule des sinus...10 Démontrer que deux droites sont perpendiculaires Démontrer que deux droites sont parallèles...14 Déterminer une équation d un cercle...16 Entraînement...19 Corrigés... Chapitre 10 Les statistiques 7 I. Les séries statistiques...8 A. Vocabulaire...8 B. Les séries quantitatives discrètes...8 C. Les séries quantitatives regroupées en classes D. Les séries qualitatives...31 II. Les paramètres de position d une série quantitative...31 A. Le mode...31 B. La moyenne...31 C. Les médianes

7 III. Les paramètres de dispersion d une série quantitative...35 A. L étendue...35 B. Les quartiles...35 C. La variance et l écart-type D. Associer le paramètre de dispersion au paramètre de position...39 IV. Les représentations graphiques...40 A. Les histogrammes...40 B. Les diagrammes en boîte...40 Déterminer la moyenne, la variance et l écart-type d une série statistique...4 Construire la courbe des fréquences cumulées croissantes...43 Déterminer une médiane et les quartiles d une série statistique...45 Entraînement...49 Corrigés...51 Chapitre 11 Les probabilités 57 I. Probabilité sur un ensemble fini A. L environnement probabiliste B. La réunion d événements...59 C. L événement contraire...61 II. Les lois de probabilité discrètes...61 A. Les variables aléatoires...61 B. Loi de probabilité...6 C. Espérance, variance, écart-type...63 III. Répétition d expériences identiques et indépendantes...66 A. Modélisation à l aide d un arbre...66 B. Expériences indépendantes...67 C. Modélisation de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes...67 Représenter une expérience aléatoire à l aide d un arbre pondéré...69 Calculer une espérance et l interpréter

8 Entraînement...73 Corrigés...76 Chapitre 1 La loi binomiale et les fluctuations d échantillonnage 83 I. Schéma de Bernoulli et loi binomiale A. Schéma de Bernoulli Épreuve et loi de Bernoulli Schéma de Bernoulli...86 B. Coefficients binomiaux...87 C. La loi binomiale...89 II. Échantillonnage...91 A. Échantillon...91 B. Intervalle de fluctuation...91 C. Prise de décision sur un échantillon...93 Reconnaître une loi binomiale...94 Calculer et interpréter E(X) dans une loi binomiale...95 Déterminer un intervalle de fluctuation...96 Déterminer si un échantillon est représentatif d une population...97 Entraînement Corrigés

9 Chapitre 1 Les trinômes du second degré

10 1 Les trinômes du second degré I. Les trinômes du second degré : caractérisation Définition On appelle fonction trinôme du second degré (ou fonction polynôme du second degré, ou plus simplement trinôme) toute fonction T définie sur et admettant une expression du type : T ( x) = ax + bx + c Où a, b et c sont des réels quelconques avec a 0. Exemple La fonction définie pour tout réel x par second degré. Px ( ) = x + x 3 est un trinôme du Définition Définition Avec les notations précédentes, on appelle discriminant du trinôme T le réel : = b 4ac Exemple On calcule le discriminant du trinôme défini pour tout réel x par Px ( ) = x + 1x 3: = 1 4 ( 3) = 1 ( 4) = 1+ 4 = 5 Soit T une fonction trinôme du second degré. On appelle forme canonique de T( x ) toute forme du type : T( x) = a[( x α ) ] +β Où a, α et β sont des réels quelconques avec a 0. Théorème Soit T une fonction trinôme du second degré, définie sur par T ( x) = ax + bx + c, avec a 0. Alors, la forme canonique de T( x ) est unique et donnée par : T( x) = a ( x α ) +β avec α= b a et β=. 4 a Exemple La forme canonique du trinôme P, défi ni sur par détermine en calculant α et β. ( 5) 5 (( 5) 4 3 1) 13 α= = et β= = Px ( ) = 3x 5x + 1, se 1

11 Ainsi, la forme canonique est : Px ( ) 5 13 = 3 x 6 1 II. Variations des fonctions trinôme du second degré Soit T une fonction trinôme du second degré, définie sur par T ( x) = ax + bx + c, où a, b et c sont des réels quelconques avec a 0. Notons T( x) = a ( x α ) +β sa forme canonique. Cas 1 : Si a > 0 Le trinôme est décroissant sur ] ; α] et croissant sur [ α ; + [. Cas : Si a < 0 Le trinôme est croissant sur ] ; α] et décroissant sur [ α ; + [. 13

12 1 Les trinômes du second degré III. Représentation graphique Propriété Théorème Définition Définition On appelle parabole toute représentation graphique d une fonction trinôme dans un repère du plan. On appelle sommet de la parabole le point correspondant à l extremum de la fonction trinôme. Soit T une fonction trinôme du second degré, définie sur par T ( x) = ax + bx + c, avec a 0. La courbe représentative du trinôme T est une parabole, de sommet S : b S ; 4 a a Exemple Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f( x) = 5x x + 1. On a ici : a = 5, b =, c = 1 Donc : 1 b a = 10 = 5 ( ) = = = 4a La courbe représentative de la fonction f( x) = 5x x + 1est donc une parabole 1 4 de sommet S de coordonnées : 5 5 ;. L allure de la parabole représentative du trinôme T dépend du signe de a : Si a > 0, alors la parabole décroît puis croît et le trinôme admet donc un minimum (égal à l ordonnée du sommet de la parabole). Si a < 0, alors la parabole croît puis décroît et le trinôme admet donc un maximum (égal à l ordonnée du sommet de la parabole). 14

13 Soit T une fonction trinôme du second degré, définie sur par T ( x) = ax + bx + c, avec a 0. On note son discriminant. On peut donner le tableau récapitulatif suivant donnant l allure de la parabole représentative du trinôme T : 15

14 1 Les trinômes du second degré IV. Racines du trinôme Définition Soit T une fonction trinôme définie sur par T ( x) = ax + bx + c, avec a 0. Les racines du trinôme T( x ) sont les valeurs de x pour lesquelles celui-ci s annule. Ce sont les solutions de l équation T( x ) = 0, c est-à-dire ax + bx + c =0. Soit T une fonction trinôme du second degré, définie sur par T ( x) = ax + bx + c, avec a 0. Notons son discriminant. Cas 1 : Si < 0 Le trinôme n a pas de racine réelle. Exemple Considérons le polynôme Px ( ) = 5x x + 1. = ( ) = 16 Le polynôme ne possède pas de racine réelle, car < 0. On constate effectivement que sa courbe représentative n a pas d intersection avec l axe des abscisses : 16

15 Cas : Si = 0 Le trinôme a une racine unique que l on appelle racine double : x0 = b a Exemple Considérons le polynôme Px ( ) = 5x 70x 45. = ( 70) 4 ( 5) ( 45) = 0 Le polynôme possède une racine double, car = 0. x 0 ( 70) = = 7 ( 5) On constate effectivement que sa courbe representative a un unique point d intersection avec l axe des abscisses : Cas 3 : Si > 0 Le trinôme a deux racines réelles distinctes : x1 x = b a + = b a Exemple Considérons le polynôme = ( ) 4 3 ( 1) = 16 Px ( ) = 3x x 1. 17

16 1 Les trinômes du second degré On a donc > 0. Le trinôme possède deux racines : ( ) x 1 = = et x ( ) + 16 = = 1 3 On constate effectivement que sa courbe representative a deux points d intersection sur l axe des abscisses : V. Factorisation du trinôme Soit T une fonction trinôme du second degré, définie sur par T ( x) = ax + bx + c, avec a 0. Notons son discriminant. Cas 1 : Si < 0 Le trinôme n est pas factorisable dans. Exemple Considérons le polynôme Px ( ) = 5x x + 1. = ( ) = 16 Le polynôme ne possède pas de racine réelle, car < 0. On ne peut pas factoriser le trinôme dans. 18