λ(c) = De la question 2., déduire la majoration de l erreur commise en remplaçant l arc de courbe par sa corde sur le segment [a, b] :

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1 PCSI DEVOIR de MATHÉMATIQUES 4 pour le 5// EXERCICE : Soit f : [, b] IR ue foctio de clsse C O ote M = mx [,b] f Justifier l existece de M Motrer qu il existe ue uique foctio ffie ϕ telle que ϕ = f et ϕb = fb Expliciter ϕt pour t [, b] Pour tout λ IR, o ote ψ λ l foctio défiie sur [, b] pr ψ λ t = ft ϕt λt t b O se doe x ], b[ Motrer que l o peut choisir λ et expliciter l vleur de λ e foctio de x de fço que ψ λ x = Motrer lors l existece d u c ], b[ tel que ψ λc = 3 De l questio, déduire l mjortio de l erreur commise e remplçt l rc de courbe pr s corde sur le segmet [, b] : 4 E déduire x [, b] fx ϕx M x b x fx dx ϕx dx M b 3 PROBLÈME : PARTIE A : Pour tout etier turel, o défiit l itégrle W = si θ dθ itégrles de Wllis A Motrer que l suite W est décroisste et covergete Motrer qu elle vérifie l reltio de récurrece : W = W pour A Déduire de ce qui précède les reltios suivtes : l suite W W est costte ; b W W, puis W W Motrer que vers + + W = et préciser u équivlet simple de W lorsque ted A3 Doer l vleur de W p et W p+ e foctio de p o exprimer ces vleurs à l ide de fctorielles A4 Motrer que p p! p + p! p = formule de Wllis PARTIE B : O défiit deux foctios umériques f et g sur l itervlle ], + [ pr fx = l + x x + x ; gx = x 3 6x + x + fx B Étudier les vritios de f et trcer s courbe représettive ds u repère orthogol B Doer l expressio de g x ; e déduire le sige de gx pour x ], + [

2 B3 O défiit deux suites u et v pr IN Motrer que l o, pour tout IN : lu + lu = + f u =! e ; v = u e ; lv + lv = + g B4 Déduire de ce qui précède que les suites u et v coverget vers ue même ite l, vec l > O pose mitet z = u u B5 Clculer z E déduire l vleur de l + B6 E déduire l formule de Stirlig :! π e EXERCICE ***************************************************************** CORRIGÉ ***************************************************************** L foctio f étt de clsse C, s dérivée secode est cotiue sur le segmet [, b], de même que l foctio f qui dmet doc u mximum sur ce segmet Cherchos ϕ sous l forme { ϕt = αt + β Les coditios ϕ = f et ϕb = fb α +β = f coduiset u système, qui dmet pour solutio uique le couple α, β b α +β = fb fb f vec α = c est le coefficiet directeur de l sécte AB si l o ote A et B les b b f fb poits d bscisses respectives et b sur l courbe représettive de f et β = b Aisi, ϕt = fb f b t + b f fb b = f + fb f t b L deuxième expressio de ϕt motre que c est l droite de coefficiet directeur psst pr le poit A, f fb f b ϕx fx L coditio ψ λ x = doe λ = x b x Si λ est isi choisi, l foctio ψ λ est de clsse C sur le segmet [, b] c est l différece de f et d ue foctio polyôme du secod

3 degré et vérifie ψ λ = ψ λ x = ψ λ b = E ppliqut le théorème de Rolle, il existe u mois u poit d ds l itervlle ], x[ tel que ψ λd = et u poit e ds ]x, b[ tel que ψ λe = Comme d < e, o peut de ouveu ppliquer le théorème de Rolle à l foctio dérivée ψ λ : il existe c ]d, e[ tel que ψ λc = 3 Soit x ], b[ fixé Choisissos lors λ comme ds l questio précédete Explicitos l dérivée secode de ψ λ : t [, b] ψ λt = f t λ = f ϕx fx t x b x L coditio ψ λc = s écrit lors mjortio ϕx fx = f c x b x O doc l x ], b[ fx ϕx M x b x, mjortio qui reste évidemmet vlble pour x = et x = b 4 O fx dx ϕx dx fx ϕx dx M x b x dx U petit clcul, que je lisse volotiers u lecteur, doe d où l coclusio x b x dx = b 3, 6 Les résultts obteus ds cet exercice serot prochiemet repris e cours pour mjorer l erreur commise lors d u clcul pproché d itégrle pr l méthode des trpèzes PROBLÈME PARTIE A : [ A Comme si θ pour θ, π ], o si + θ si θ et, e itégrt cette iéglité, o déduit W + W L suite W est doc décroisste ; comme elle est évidemmet positive, doc miorée pr, elle coverge Pour, o W = cos θ si θ dθ = si θ dθ O itègre pr prties ds l deuxième itégrle et o obtiet W = W W, soit W = W cos θ [si θ cos θ] dθ A E multiplit pr W, o obtiet W W = W W, ce qui exprime bie que l suite de terme géérl W W est costte O clcule W = π et W =, d où IN W W = W W = π

4 b O W W = + o W W W, doc = W W W gedrmes permet d ffirmer que, doc W W L suite W étt décroisste, + W W W W W =, soit W W et le théorème d ecdremet De cel, o déduit W W W = π d près Comme W >, o e déduit W d où W = + A3 L reltio obteue e A permet de clculer les W de proche e proche, séprémet pour les idices pirs et les idices impirs : à prtir de W = π, o W = W, W 4 = 3 4 W 3 5 p, W p = W, 4 6 p soit W p = p! π p p! multiplier umérteur et déomiteur pr 4 6 p De l reltio p + W p+ W p = π, o déduit lors les termes d idices impirs : W p+ = p p! p +! A4 De W Wllis PARTIE B :, o déduit W p 4p, soit p! π p p!, d où l formule de p B O obtiet f x = + x 4 + x = x >, doc f est strictemet + x + x croisste sur so itervlle de défiitio ], + [ O trouve fcilemet fx = x et fx = + x + B Après réductio, o g x = x x + 6x + 6 6x + x + f x 4 x = 6x + x + > L foctio g est doc strictemet croisste sur ], + [ ; comme elle s ule e zéro, o doc gx < si < x < ; gx > si x > B3 Clculos giemet : l u + l u = l u+ = l e u ! e = l +! e + + = + + l +

5 = + l + + = + f U utre petit clcul sympthique l v + l v = l v + v = l u + e u+ = l + u = + f u + e = + f 3 + = + + g B4 D près les questios B et B, o, pour tout etier turel o ul, f > et g >, doc IN l u + l u > et l v + l v < ; l suite u est doc croisste et l suite v décroisste De plus, l défiitio de v motre que v u, doc u u v v ; les deux suites sot borées et mootoes, doc coverget Soiet u = l et v = l ; comme v = u e vec + e Efi, l > cr u est croisste et u > B5 Comme u = + Pr illeurs, z =! e =, o l = l les deux suites sot djcetes u = l, o + z = l + l = l! e =!! D près l formule de Wllis questio A4, o doc z =, d où l = + π B6 L reltio u = peut s écrire u ou ecore! π + π π e