Université de Poitiers Année M1 EFM. Exercices d Analyse

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1 Université de Poitiers Année 0-03 M EFM Exercices d Analyse Exercice Démontrer que si r Q et x Q alors r+x Q et si r 0 rx Q Montrer que Q, 3 En déduire : entre nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel (On pourra utiliser la propriété : pour tout réel a > 0, il existe un entier n tel que n > a) Exercice Les nombres suivants sont-ils des rationnels? des décimaux? a = /3, b = /5, c = /5, d = /5, e, f = 0,333 3, g =, h = 0, , i = 0, , j = π, k = 3/7, l = 7/7 Exercice 3 On considère les nombres rationnels inférieurs à Y a-t-il un nombre rationnel juste avant, plus grand que tous les nombres rationnels inférieurs à? Une suite de nombres rationnels a-t-elle pour ite un nombre rationnel? Une suite de nombres décimaux a-t-elle pour ite un nombre décimal? Exercice 4 Soient a et b deux rationnels positifs tels que a et b soient irrationnels Montrer que a+ b est irrationnel Exercice 5 Soit N n = 0, (n fois) Mettre N n sous la forme p avec q p,q N Soit M = 0, Donner le rationnel dont l écriture décimale est M 3 Mêmequestionavec:P = 0,+0,+0, , , , , , ,99999 Exercice 6 Montrer que ln3 ln est irrationnel Exercice 7 Lemaximumdenombresx,y (c est-à-direleplusgranddes)estnotémax(x,y) De même on notera min(x,y) le plus petit des nombres x,y Démontrer que : max(x,y) = x+y + x y Trouver une formule pour max(x, y, z) et min(x,y) = x+y x y Exercice 8 Déterminer la borne supérieure et inférieure (éventuellement infinies) de : A = {u n,n N} en posant u n = n si n est pair et u n = n sinon Exercice 9 Déterminer (s ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants : [0,] Q, ]0,[ Q, N, {( ) n + n }, n N

2 Exercice 0 Soit E l ensemble des réels de la forme n /n n+/n avec n N L ensemble E admet-il une borne inférieure, une borne supérieure, un plus grand élément, un plus petit élément? Exercice Soit E = { n cosn n N }; calculer infe et supe Exercice Soit ( a ij )(i,j) I J une famille non vide et bornée de réels; comparer : inf (sup a ij ) avec sup(infa ij ) i j j i Exercice 3 Soit A une partie majorée de R d au moins deux éléments et x un élément de A Montrer que si x < supa, alors sup(a\{x}) = supa Montrer que si sup(a\{x}) < supa, alors x = supa Exercice 4 SoientAetB deuxpartiesbornéesderonnotea+b = {a+b (a,b) A B} Montrer que supa+supb est un majorant de A+B Montrer que sup(a+b) = supa+supb Exercice 5 Soit A et B deux parties bornées de R Vrai ou faux? A B supa supb, B A infa infb, 3 supa B = max(supa,supb), 4 sup(a+b) < supa+supb, 5 sup( A) = infa, 6 supa+infb sup(a+b) Exercice 6 Soit A l ensemble des nombres réels qui peuvent s écrire x = p 3q p +q pour p et q entiers vérifiant 0 < p < q Montrer que A est minorée par 3 et majorée par Déterminer infa et supa (pour la borne supérieure on pourra prendre q = p+) Exercice 7 Soient x et y deux réels strictement positifs On pose a = x+y g = xy h = xy x+y q = (x +y ) Montrer que a,g,h,q sont rangés dans un ordre indépendant de x et y Exercice 8 Soient A et B deux parties non vides bornées de R Montrer que A B est bornée et que sup(a B) = max(sup(a),sup(b)) Enoncer un résultat analogue pour inf(a B) 3 Qu en est-il pour A B? Exercice 9 Démontrer par récurrence sur n que pour tout n l implication [x >,x 0] [(+x) n > +nx] est vraie

3 Exercice 0 Soient a,,a n, b,,b n R, les a i n étant pas tous nuls Soit p(x) = n i= (a i + xb i ) Montrer que le discriminant de cette équation du second degré est 0 En déduire que : et que ( n n a i b i i= i= a i ) / ( n / bi), i= ( n ) / ( n / ( n / (a i +b i ) ai) + bi) i= i= i= Exercice Si a et b sont des réels 0, montrer que : a+ b a+b Exercice Pour tout x,y R et λ > 0 montrer que : xy x λ +λy Exercice 3 Soit deux nombres réels a et b vérifiant : < a < 4 et 3 < b < Donner un encadrement de a b et de a/b Exercice 4 Soit f : R R croissante telle que (x,y) R f(x+y) = f(x)+f(y) Montrer que n N f(n) = nf() n Z f(n) = nf() 3 q Q f(q) = qf() 4 x R f(x) = xf() (on pourra utiliser la densité de Q dans R pour encadrer x par des rationnels de plus en plus proches de x) Exercice 5 Soient n N, et (x,x,,x n ) [0,] n, montrer que : n ( x i ) i= n x i i= Exercice 6 Soit (u n ) n N une suite de R Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (u n ) n converge vers un réel l alors (u n ) n et (u n+ ) n convergent vers l Si (u n ) n et (u n+ ) n sont convergentes, il en est de même de (u n ) n Si (u n ) n et (u n+ ) n sont convergentes, de même ite l, il en est de même de (u n ) n Exercice 7 Montrer que toute suite convergente est bornée Exercice 8 Étudier la suite u n = an b n a n +b n, a et b étant donnés dans R + Exercice 9 Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux? Si une suite positive est non majorée, elle tend vers + Si une suite d entiers converge, elle est stationnaire 3 Siunesuiteaunnombrefinidevaleurs,elleconvergesietseulementsielleeststationnaire 4 Une suite est convergente si et seulement si elle est bornée 3

4 5 Si une suite n est pas majorée, elle est minorée Exercice 30 Soit l un nombre réel Peut-on dire qu une suite qui vérifie converge vers l? ε ]0,[, N N, n > N, u n l < ε Exercice 3 Construire une suite u n = v n w n (resp v n +w n ) convergente et telle que l une au moins des suites (v n ) et (w n ) diverge Exercice 3 Vrai ou faux : il existe une suite (u n ) telle que (u n+ u n ) tend vers 0 et qui diverge Exercice 33 Encadrer la suite (u n ) définie par u n = n k= Que peut-on en déduire? n +k Exercice 34 Que peut-on dire d une suite qui vérifie n nu n = 0? Que peut-on dire d une suite qui vérifie n nu n =? 3 Que peut-on dire d une suite qui vérifie n nu n = +? Exercice 35 Étudier la convergence des suites : n +n+ n nsin(n) n + n +( )n n n+ n +k k= n cos( ) n n+k k=0 Exercice 36 Montrer qu une suite d entiers qui converge est stationnaire à partir d un certain rang Exercice 37 Soit H n = + ++ n En utilisant une intégrale, montrer que n > 0 En déduire que ln(n+) H n ln(n)+ 3 Déterminer la ite de H n 4 Montrer que u n = H n ln(n) est décroissante et positive 5 Conclusion? n+ ln(n+) ln(n) n Exercice 38 Montrer qu une suite monotone dont une suite extraite converge est convergente Exercice 39 Montrerque(u n )convergessi(u n ),(u n+ ),(u 3n )convergent(leursitesn étant pas nécessairement égales) Exercice 40 Etudier la convergence de la suite u n = ( ) nn+ n Exercice 4 Soit q un entier au moins égal à Pour tout n N, on pose u n = cos nπ q montrer que u n+q = u n, n N Calculer u nq et u nq+ En déduire que la suite u n n a pas de ite 4

5 Exercice 4 Montrer que pour n, l équation x n + x n + x + x n+ n = 0 admet une unique racine positive; on la note u n Étudier la suite (u n) Exercice 43 Soit(u n )lasuiteréelledéfinieparrécurrenceenposantu 0 = etu n+ = +u n si n N Montrer que (u n ) est croissante et majorée Montrer que (u n ) converge vers le nombre réel positif l qui vérifie l l = 0 et calculer l Exercice 44 Étudier les suites : u 0 = 0 et u n+ = u n + u 0 R et u n+ = u n u n Exercice 45 (Examen 000) On considère la fonction f : R R définie par f(x) = x3 9 + x et on définit la suite (x n ) n 0 en posant x 0 = 0 et x n+ = f(x n ) pour n N Montrer que l équation x 3 3x+ = 0 possède une solution unique α ]0,/[ Montrer que l équation f(x) = x est équivalente à l équation x 3 3x+ = 0 et en déduire que α est l unique solution de l équation f(x) = x dans l intervalle [0,/] 3 Montrer que f(r + ) R + et que la fonction f est croissante sur R + En déduire que la suite (x n ) est croissante 4 Montrer que f(/) < / et en déduire que 0 x n < / pour tout n 0 5 Montrer que la suite (x n ) n 0 converge vers α Exercice 46 Étudier la suite (u n) définie par u 0 = 0 et u n+ = (un 3) 4 Exercice 47 Soient a et b deux réels strictement positifs; on définit une suite (u n ) par : u 0 0 et u n+ = au n +b Montrer qu il existe une valeur de u 0 pour laquelle cette suite est stationnaire Montrer que si u 0 est distinct de cette valeur, (u n ) est monotone et bornée Trouver n u n Exercice 48 Étudier suivant les valeurs données à u 0 appartenant à C les suites : u n+ = u n u n +4 u n+ = u n + u n + u n+ = u n + Exercice 49 Soit f: [0,] [0,] On considère a [0,] et la suite (u n ) n N vérifiant u 0 = a et n N, u n+ = f(u n ) Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses : 5

6 Si f est croissante, alors (u n ) est croissante Si (u n ) est croissante, alors f est croissante 3 Si (u n ) est croissante et f monotone, alors f est croissante 4 Si (u n ) converge vers une ite l, alors l est point fixe de f 5 Si f est dérivable, alors (u n ) est bornée 6 Si le graphe de f est au dessus de la droite d équation y = x, alors (u n ) est croissante 7 Si (u n ) converge vers un point fixe l de f, alors f est continue en l Exercice 50 Étudier la suite définie par u n+ = ( u n ) (discuter suivant les valeurs de u 0 ) Exercice 5 Calculer, lorsqu elles convergent, les ites des suites définies par : u n = n n n u n = n(n+a) n u n = n sin nπ u n = sinn cosn 3 n Exercice 5 Etudier la ite des suites suivantes : a n = cos( n n! ); b n = n 3 sinn ; c n = n 3 + n ; d 3 n n = n +( ) n n + n ; e n = (cosn)sin ( )n n Exercice 53 (Méthode d Héron) Soit a > 0 On définit la suite (u n ) n 0 par u 0 un réel vérifiant u 0 > 0 et par la relation u n+ = ) (u n + aun On se propose de montrer que (u n ) tend vers a Montrer que u n+ a = (u n a) 4u n Montrer que si n alors u n a puis que la suite (u n ) n est décroissante 3 En déduire que la suite (u n ) converge vers a 4 En utilisant la relation u n+ a = (u n+ a)(u n+ + a) donner une majoration de u n+ a en fonction de u n a 5 Si u a k et pour n montrer que u n a ( ) n k a a 6 Application : Calculer 0 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenant u 0 = 3 Exercice 54 On considère les deux suites : u n = +! ++ n! ; n N, v n = u n + n! ; n N Montrer que (u n ) n et (v n ) n convergent vers une même ite Et montrer que cette ite est un élément de R\Q 6

7 Exercice 55 Soient a,b > 0 Montrer que ab a+b Montrer les inégalités suivantes (b a > 0) : a a+b b et a ab b 3 Soient u 0 et v 0 des réels strictement positifs avec u 0 < v 0 On définit deux suites (u n ) et (v n ) de la façon suivante : u n+ = u n v n (a) Montrer que u n v n quel que soit n N (b) Montrer que (v n ) est une suite décroissante et v n+ = u n +v n (c) Montrer que (u n ) est croissante En déduire que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et quelles ont même ite Exercice 56 Que penser-vous de l énoncé suivant : si (u n ) (v n ) alors (e un ) (e vn ) Donner un énoncé correct Exercice 57 Montrer que si n N u n 0 et si (u n ) 0 alors ln(+u n ) u n Soit a un réel Déterminer la ite de (+ a n )n Exercice 58 Comparer les suites suivantes : a n = n n, b n = n ln(n), c n = e n, d n = (lnn) nlnn Exercice 59 Montrer la réciproque du théorème de Césaro (ie n u n = l) : dans le cas où n v n = l et dans le cas où (u n ) n N est croissante u n+ u n = O( n ), Exercice 60 Montrer que si une fonction f définie sur E R est continue en x 0 alors la fonction f est, elle aussi, continue en x 0 Montrer que la réciproque est fausse +x x Exercice 6 Démontrer que = x 0 x +xm x Soient m,n des entiers positifs Étudier m x 0 x n 3 Démontrer que x 0 x ( +x+x ) = Exercice 6 Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant x 0 dans son intérieur On suppose que x x0 f(x) = u > 0 Démontrer qu il existe t > 0 tel que si 0 < x x 0 < t alors f(x) u Exercice 63 Soit f une fonction de variable réelle telle que f(x) x quand x Montrer que pour tout réel α il existe X α tel que f(x) αx x si x X α En déduire que pour tout α réel f(x) αx quand x 7

8 Exercice 64 Soient f et g deux fonctions définies sur R + telles que x R + g(x) > 0 et x f(x) g(x) = L 0 Montrer que Montrer que si L > 0, f(x) = 0 g(x) = 0 x x f(x) = g(x) = x x Exercice 65 Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Exercice 66 Soient P et Q deux polynômes à coefficients réels de degré respectif d et d Etudier suivant les valeurs de d et d, et éventuellement de certains des coefficients de P et Q, P(x)/Q(x) x + Exercice 67 Déterminer les ites suivantes : a) x + x x + c) x x x b) x x x x+ 3 d) x 4 x e) x + x + x f) x x( +x x) sinx cosx Exercice 68 On rappelle les ites : x 0 = et x x 0 = x Calculer les ites suivantes : a) xsin x x 0 + b) x 0 sinx sin3x xsinx c) x 0 cosx e) x tanx x 0 cos x d) x 0 sinx sinx x f) x 0 tanx sinx sin 3 ( x ) Exercice 69 Déterminer les ites suivantes, en justifiant vos calculs x+ x 0 + x lnx x 0 +xln(x+ x) 3 x + e x+ 4 x + x+ x 3 x +3 xlnx 8

9 ln(3x+) 5 x 0 + x 6 x x x x ln(x+) ( x 3 x+ ln +4 ) x 8 x ( ) +(x )ln(7x 3 +4x +3) 9 x +(x ) ln(x 3 8) 0 x 0 + x(x x ) ln(x+) x + (xlnx xln(x+)) e x e x x + x x 3 x 0 +(+x)lnx 4 x + 5 x + 6 x + ( x+ x 3 ( x 3 +5 x + ( e x + x+ ) x ) x+ x + ) x+ ( ) 7 ln(+x) lnx x 0 + x (xx ) 8 x + 9 x + x (xx ) (x+) x x x+ x ln(x 0 +) x + +e x 3 Exercice 70 Calculer les ites suivantes : x x x n ; x m a m x a x p a (a > 0,m,p (x+h) n x n p N ); h 0 h x 0 +( x + ); x x π 4 Exercice 7 Déterminer les ites suivantes : x +sin( x ) en 0 cosx+sinx x x ; 4x+π x 0 + x+x (x R,n N ) x 3 3x +5x 3 4x 4 +x +x 6 +sinx sinx x en en 0 9

10 tanx x +4+x en 0 cosx x en 0 sinx+cosx sinx+cosx en π tan(x+ π 4 ) 3 cos(x+ π 6 ) en 0 Exercice 7 Soit f une fonction de [a,b] dans [a,b] telle que pour tout x et x (x x ) de [a,b] on ait : f(x) f(x ) < x x Montrer que f est continue sur [a,b] Montrer que l équation f(x) = x admet une et une seule solution dans [a,b] (On pourra introduire la fonction : x g(x) = f(x) x) Exercice 73 Soit f : R R continue telle que f = et f = + Montrer que f + s annule Appliquer ceci aux polynômes de degré impair Exercice 74 Soit f : R R + continue telle que f(0) =, f = 0 et + f = 0 Montrer qu il existe a > 0 tel que si x > a alors f(x) Montrer que f est bornée et possède un maximum Exercice 75 Soient I un intervalle de R et f : I R continue telle que x I,f(x) = Montrer que f = ou f = Exercice 76 Soient f et g continues sur [0,] telles que x [0,] f(x) < g(x) Montrer qu il existe m > 0 tel que x [0,] f(x)+m < g(x) Exercice 77 Soit f croissante sur [a,b] et prenant toute valeur entre f(a) et f(b) Montrer que f est continue Exercice 78 Soit f : R R continue en 0 telle que x R,f(x) = f(x) Montrer que f est constante Exercice 79 Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessairement continue? Exercice 80 On admet que pour tout x R, sinx x Montrer que x sinx est continue en 0 puis sur R tout entier En déduire que x cosx est continue sur R Exercice 8 Etudier la continuité sur R des fonctions suivantes : f (x) = x cos x si x 0, et f (0) = 0; f (x) = sinxsin x si x 0, et f (0) = 0; 3 f 3 (x) = xe(x); 4 f 4 (x) = E(x)sin(πx) 0

11 Exercice 8 Montrer que l application f : R R définie par f(x) = x est strictement + x croissante puis que pour tout y ],[ il existe un unique x R tel que f(x) = y Exercice 83 Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur R? a) f(x) = sinxsin( x ) ; b) f(x) = x ln ex +e x c) f(x) = x x Exercice 84 Montrer que l équation x 7 3x +4x = 0 admet au moins une solution dans l intervalle ],[ Même question pour l équation x 9 +4x 7 7x 5 + = 0 Exercice 85 Soient n N et d R + Démontrer en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires que le polynôme P(X) = X n d a au moins une racine dans R Exercice 86 (Partiel Novembre 96) Soit f : x R f(x) = cosx +x Montrer que f est majorée sur R, minorée sur R Déterminer Sup x R f(x) Exercice 87 Soit la fonction f : [,+ [ R, définie par f(x) = x +x+ Montrer que f admet une réciproque que l on explicitera Trouver un intervalle de R sur lequel la fonction g(x) = tan(x 3 ) admette une fonction réciproque (on précisera alors le domaine de définition de cette réciproque et son image) Exercice 88 Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : x e x, x lnx, x x +, x cosx Exercice 89 On dit qu une suite (f n ) n N de fonctions définies sur I = [a,b] converge uniformément vers f si : ε > 0, N N, n N, x I, f n (x) f(x) < ε On suppose que (f n ) n N converge uniformément vers f sur l intervalle [a,b], et que toutes les f n sont continues Montrer que x [a,b], la suite (f n (x)) n N est convergente, et donner sa ite Montrer que f est bornée et continue On ne suppose plus que (f n ) n converge uniformément mais seulement point par point (ie, x [a,b], la suite (f n (x)) n N est convergente vers f(x)); de plus toutes les f n sont lipschitziennes de rapport k; montrer que f est lipschitzienne de rapport k et qu il y a converge uniforme ; Exercice 90 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : f (x) = x cos x si x 0 f (0) = 0; f (x) = sinxsin x si x 0 f (0) = 0; f 3 (x) = x x x+ x si x f 3 () =

12 Exercice 9 Déterminer a,b R de manière à ce que la fonction f définie sur R + par : soit dérivable sur R + f(x) = x si 0 x et f(x) = ax +bx+ sinon Exercice 9 Soit f : R R définie par f(x) = x sin Montrer que f est prolongeable x par continuité en 0; on note encore f la fonction prolongée Montrer que f est dérivable sur R mais que f n est pas continue en 0 Exercice 93 Calculer les dérivées d ordre n des fonctions : f(x) = x 5 (x ) (x+)(x 3) g(x) = ln(+x) Exercice 94 (Formule de Leibnitz) Étant données u et v des fonctions dérivables à l ordre n sur l intervalle I, montrer par récurrence que la dérivée d ordre n du produit uv sur cet intervalle est : n (uv) (n) = Cnu k (k) v (n k) k=0 En déduire les dérivées successives des fonctions : x x e x ; x x (+x) n ; x x + (x+) Exercice 95 Etudier la dérivabilité sur R des applications suivantes : ; x x n lnx f : x x x, g : x x + x, h : + x R R Exercice 96 Soit f : x e x si x < 0 x ax +bx+c sinon Déterminer a,b,c pour que f soit C (et C 3?) Exercice 97 Soient a et b deux réels et f(x) = (x a) n (x b) n Calculer f (n) et en déduire n (Cn) k k=0 Exercice 98 Soit f : R R définie par : x 0,f(x) = e x,f(0) = 0 Montrer que f C (R,R) et calculer ses dérivées en 0 Exercice 99 La fonction x cos x est-elle dérivable en 0? Exercice 00 Montrer que le polynôme P n défini par P n (t) = [( t ) n] (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples et appartiennent à [,]

13 Exercice 0 Etudier la fonction f : x x 5 5x + sur R et en déduire que l équation x 5 5x+ = 0 a trois solutions réelles Exercice 0 Montrer que le polynôme X n +ax+b (a et b réels) admet au plus trois racines réelles Exercice 03 Soit f une fonction n fois dérivable sur ]a,b[ s annulant en n+ points de ]a,b[ Montrer que si f (n) est continue,il existe un point x 0 de ]a,b[ tel que f (n) (x 0 ) = 0 Exercice 04 Étant donné y un réel positif et n un entier naturel pair, montrer que (x+y)n = x n +y n si et seulement si x = 0 Cas n impair? Exercice 05 Par application du théorème des accroissements finis à f(x) = lnx sur [n,n+] montrer que n S n = k tend vers l infini quand n tend vers l infini k= Exercice 06 Étant donné α dans ]0,[, montrer que pour tout entier naturel n α (n+) α (n+)α n α α n α En déduire la ite n n p= p α Exercice 07 Soit f : R R définie par f(x) = ( k) 3 x +(+k)x 3 où k est un nombre réel Déterminer les valeurs de k pour lesquelles l origine est un extremum local de f Exercice 08 Appliquer la règle de l Hôpital aux calculs des ites suivantes : ( x 0 sin x ), x ( cosx)cotanx x 0 Exercice 09 Calculer x 0 x 0 x 0 cos(x 4 ) x 4 e x ; lncosax lncosbx ; x ( exp x exp x+ ) Exercice 0 Soit f C (R) telle que (x,y) R f(x+y)f(x y) f(x) Montrer que x R f(x)f (x) f (x) Exercice Soit f : R + R dérivable telle que f f(x) = l Montrer qu alors + + x = l 3

14 Exercice Déterminer les extremums de f(x) = x 4 x 3 + sur R Exercice 3 Quel est le lieu des points d inflexion (puis des extrémums relatifs) de f λ quand λ décrit R, où : f λ : x λe x +x Exercice 4 Trouver les fonctions f : R R dérivables en 0 telles que : λ R + {}, x R,f(λx) = λf(x) Exercice 5 (Examen 000) Enoncer le théorème de Rolle pour une fonction h : [a,b] R Soit f,g : [a,b] R deux fonctions continues sur [a,b] (a < b) et dérivables sur ]a,b[ On suppose que g (x) 0 pour tout x ]a,b[ Montrer que g(x) g(a) pour tout x ]a,b[ (Raisonner par l absurde et appliquer le théorème de Rolle) Posons p = f(b) f(a) et considérons la fonction h(x) = f(x) pg(x) pour x [a, b] g(b) g(a) Montrer que h vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et en déduire qu il existe un nombre réel c ]a,b[ tel que f(a) f(b) g(a) g(b) = f (c) g (c) 3 On suppose que x b f (x) g (x) 4 Application : Calculer la ite suivante : = l, où l est un nombre réel Montrer que f(x) f(b) x b g(x) g(b) = l Arccosx x x Exercice 6 (Examen 000) Soit n un entier fixé et f : R + = [0,+ [ R la fonction définie par la formule suivante : f(x) = +xn (+x) n, x 0 (a) Montrer que f est dérivable sur R + et calculer f (x) pour x 0 (b) En étudiant le signe de f (x) sur R +, montrer que f atteint un minimum sur R + que l on déterminera (a) En déduire l inégalité suivante : (+x) n n (+x n ), x R + (b) Montrer que si x R + et y R + alors on a (x+y) n n (x n +y n ) Exercice 7 On considère la fonction f : R R définie par { e /t si t < 0 f(t) = 0 si t 0 4

15 Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0 Etudier l existence de f (0) 3 On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s écrit où P n est un polynôme (a) Trouver P et P f (n) (t) = P n(t) e/t tn (b) Trouver une relation de récurrence entre P n+,p n et P n pour n N 4 Montrer que f est de classe C Exercice 8 Soient les fonctions f : x arcsin(sinx) et g : x arctan Simplifier les expressions de f(x) et g(x) Construire les graphes de f et g Exercice 9 Démontrer les inégalités suivantes : Arcsina > a a si 0 < a < ; Arctana > a +a si a > 0 cos x +cosx Exercice 0 Écrire sous forme d expression algébrique sin(arccos x), cos(arcsin x), sin(3 Arctan x) Exercice Simplifier les expressions suivantes : Arctan(tanx) ( π < x < 3π cosx ), Arctan +cosx (0 < x < π), Exercice Vérifier x Arctan x Exercice 3 Exercice 4 Calculer : Arcsinx+Arccosx = π, Arctanx+Arctan x = sgn(x)π Étudier la fonction : φ : x arcsin x +x +arccos x +x x ex (ch 3 x sh 3 x) et (x ln(chx)) x Exercice 5 Exprimer ch n x et sh n x au moyen de {shpx,chpx ; p n} Expliciter ch 5 x et sh 5 x 5

16 Exercice 6 Calculer les sommes +chx+chx+ +chnx et +shx+shx+ +shnx Exercice 7 Démontrer les inégalités : x x < ln(+x) pour x > 0 et +x ex pour tout x réel Exercice 8 Soient f C ([a,b],r) et I n = b a f(t)sin(nt)dt A l aide d une intégration par parties, montrer que I n 0 Montrer que ceci est encore vrai si f est en escalier 3 En déduire que le résultat subsiste pour f continue par morceaux Exercice 9 Soient 0 < a b Montrer que b a { dx x b a ab Exercice 30 Soit f C 0 R R (R) On définit g : x x Montrer que g se prolonge par continuité en 0 x 0 f(t)dt Montrer que si f est périodique, g admet une ite en + Exercice 3 Soit f continue de [0,] dans R,n N tels que : k {0,,n}, 0 f(u)u k du = 0 Montrer que f admet au moins n+ zéros distincts dans ]0,[ Exercice 3 Soit f : [0, ] R une application continue strictement croissante telle que : f(0) = 0, f() = Calculer : n 0 f n (t)dt Exercice 33 Soit (a,b) R (a < b), et f continue positive de [a,b] dans R Montrer que ( b ) f n n (t)dt n a = sup f(t) t [a,b] Exercice 34 Soit f et g deux fonctions intégrables sur [a,b] On suppose que f est monotone sur [a,b] et que g est positive sur [a,b] Montrer qu il existe c [a,b] tel que b a f(t)g(t)dt = f(a) c (considérer ϕ(x) = f(a) x a g(t)dt+f(b) b x g(t)dt) a b g(t)dt+f(b) g(t) dt c 6

17 Exercice 35 Calculer les primitives suivantes : dx ; ; e x sin(e x )dx ; x +5 tan 3 x dx ; dx x 5 Exercice 36 Considérons l intégrale x+3 (x +3x+7) mdx, m N ; I = ln 0 ex dx Effectuer le changement de variables u = e x et calculer I Résultat : I = π/ lnx x dx ; tan 3 xdx ; chxdx sh 5 x Exercice 37 Soit f : [a, b] R une fonction strictement croissante et continûment dérivable On considère les deux intégrales I = b f(t)dt et I a = f(b) f(a) f (t)dt Rappeler pourquoi f admet une fonction réciproque f Faire le changement de variable t = f(u) dans l intégrale I 3 Calculer I en fonction de I 4 Faire un dessin faisant apparaître f et f, et interpréter ce résultat géométriquement Exercice 38 Calculer les primitives suivantes : lnx e x cosxdx ; x dx n N ; xarctan xdx ; n Exercice 39 Soit I n = 0 ( t ) n dt Établir une relation de récurrence entre I n et I n+ Calculer I n 3 En déduire n k=0 ( ) k k+ Ck n (x +x+)e x dx Exercice 40 Soit f C ([a,b],r) Montrer que b b a f(t)dt = (f(a)+f(b))+ a b a f (x)(a x)(b x)dx En déduire un encadrement de b a f(t)dt si x [a,b] m f (x) M Exercice 4 (Intégrales de Wallis) Soit I n = π 0 sinn tdt Établir une relation de récurrence entre I n et I n+ En déduire I p et I p+ 3 Montrer que (I n ) n N est décroissante et strictement positive 4 En déduire que I n I n+ 5 Calculer ni n I n+ 6 Donner alors un équivalent simple de I n 7

18 Exercice 4 Soit I n = x n dx 0 +x En majorant la fonction intégrée, montrer que (I n ) n N 0 Calculer I n +I n+ 3 Déterminer ( n ( ) k+ ) n + k k= Exercice 43 Calculer par récurrence : Exercice 44 Calculer par récurrence : I n = J n = π 4 0 e Exercice 45 Calculer les primitives suivantes : (cosxcosx+sinxsin3x)dx ; du cos n u log(u) n du cosxsin 4 xdx ; cos 6 xdx ; sin 3 xcosxdx ; sin 4 xdx ; sin 3 xcos xdx ; ch xsh xdx ; shxch 3 xdx ; chxsh 3 xdx Exercice 46 Décomposer les fractions rationnelles suivantes; en calculer les primitives a +x (+x ) x 3 3 x 4 4x 4 (x ) 5 x +x+ 6 (t +t ) 3t+ 7 (t t+0) 3t+ 8 t t+0 9 t 3 + x (x+) x+ x(x ) 8

19 3 4 5 (x )(x 3 +3) x+x x (x +3) 3 (x+) x 7 +x 3 4x x(x +) 3x 4 9x 3 +x x+7 (x ) 3 (x +) Exercice 47 Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes / / a 0 0 dx x + dx x x+ x +x 3 dx xdx x 4 +6 x 4 +6x 3 5x +3x 7 (x 4) 3 dx x 3 7x+6 dx x 4 +3x 3 +5x +7x+30 x x x 4 dx x 3 +x+ x 3 3x+ dx dx x 8 +5x 6 x 5 +30x 4 +36x +4 x 4 (x +) 3 x +6x+7 x 4 +5x +4 dx x 4 + dx dx pour a R Y a-t-il une ite quand a +? Exercice 48 Calculer les primitives suivantes : cos 3 x sin 5 x dx ; sin 3 x +cosx dx ; dx cos 4 x+sin 4 x ; tanx tana tanx+tana dx ; shxchx sh 4 x+ch 4 x dx cosx +sinx dx ; 9

20 Exercice 49 Calculer les primitives suivantes : dx x+ dx ; x x x +x+ 3 x+ x+ dx ; x+ Exercice 50 Calculer les primitives suivantes e sinx sinxdx cos 5 tdt; cosh 3 tdt; cos 4 tdt; sinh 4 tdt 3 x 3 e x dx 4 lnxdx; xlnxdx; arcsinxdx 5 coshtsintdt dx 6 sinx ; x 9+4x 4 dx ; x+ 4x +4x+ dx a x dx e x ex + dx e ax cosbxdx; e ax sinbxdx x dx pour 0 < x < ( x) 3 x dx x dx cosx+sinx+3 xdx avec 0 < x < a a3 x 3 coshx coshx+sinhx dx Exercice 5 Calculer : n n k= ( ) k k +, n n ( ) k k k= Exercice 5 Calculer : n k= n (+ k n ) n ; n n n k= e n k k ; n 0 n k= n+k n +k ; n n n k k=

21 Soit (u n ) n N la suite réelle définie par : n N, u n = n k= n n +k Calculer : et donner un équivalent de u n l l = n u n Exercice 53 Résoudre les équations différentielles suivantes : y = y +x avec y(0) =, y = cosx+y, 3 y +y = (x ) Exercice 54 Pour chacune des équations différentielles qui suit : écrire la solution passant par le point M(,) et tracer sommairement le graphe de la solution y +xy = 0, M = (0,), y +ytanx = sinxcosx M = ( π 4,0), 3 x(x )y +y = x, On déterminera a,b,c R tels que x(x ) = a x + b x + c x+ Exercice 55 Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes : y (t)+y(t) = 0; dx x = 0; dt 3 y (x)+y(x) = 0 avec (y y )(0) = 0 Exercice 56 Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes : (+x )y xy = 0; y +ytanx = 0, pour x dans ] π, 3π [ Exercice 57 Soit l équation différentielle Résoudre l équation homogène asociée (E) y +xy = x Calculer la solution de (E) vérifiant y(0) = Exercice 58 Résoudre et raccorder éventuellement : xy y = x 4 x(+x )y = y 3 (x +)y +(x ) y = x 3 x +x+ 4 (e x )y +(e x +)y = 3+e x Exercice 59 Résoudre le système différentiel : { ẋ(t) = x(t)+y(t) ẏ(t) = 3x(t) y(t) et { x(0) = y(0) =

22 Exercice 60 Soit f C (R,C),α R + Montrer que si : x (f (x)+αf(x)) = 0 alors : x f (x) = f(x) = 0 x Exercice 6 Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes : y +4y +3y = 0, y 6y +9y = 0, 3 y y +y = 0 Exercice 6 Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes : y y = x 3 +x, y y +y = e x, 3 y y +y = cos(mx) où m R, 4 y y +y = x 3 e x +cosx+(x 3 +3) (utiliser le principe de superposition) Exercice 63 On considère l équation homogène (E) ay +by +cy = 0, avec a 0 Donner des conditions necessaires et suffisantes liant les coefficients a,b et c dans les deux cas suivants : (i) toutes les solutions de (E) tendent vers 0 lorsque x tend vers l infini; (ii) toutes les solutions sont périodiques Exercice 64 Résoudre l équation suivante : Exercice 65 Résoudre sur R : y 4y = 4e x y 3y +y = (x +)e x 3 y y +y = e x sinx 4 y +y = e x y y = 6cosx+xsinx