Cas particulier des fonctions trigonométriques

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1 Dans ce chapitre, nous continuons le travail sur les fonctions usuelles et nous redéfinissons les fonctions trigonométriques. Si celles sont définies à partir de la géométrie euclidienne, elles permettent de nombreuses applications à l analyse en raison de leurs différentes propriétés opératoires. Etude d une fonction périodique Les fonctions circulaires et leur représentation graphique. Présentation du cercle trigonométrique et premières propriétés Etude des fonctions circulaires Formules de changement de variable Les fonctions circulaires réciproques 5 3. La fonction arccos La fonction arcsin La fonction arctan Liste non exhaustive des capacités attendues Etudier une fonction périodique Connaître la définition des fonctions circulaires et les représenter Transformer des expressions à l aide du formulaire trigonométrique Justifier l existence des fonctions circulaires réciproques et connaître leurs principales propriétés (...)

2 Etude d une fonction périodique Définition Soit f une fonction définie sur D inclus dans R. n dit que f est périodique de période T si : x D, x + T D x D, f(x + T ) = f(x) n dit aussi que f est T -périodique. Représentation Pour une telle fonction, on peut observer que la courbe représentative associée se répète par translation de vecteur ±T i. Ainsi, pour étudier une fonction périodique, il suffira de se restreindre à un intervalle d amplitude T et de compléter la courbe par simple translation. Les fonctions circulaires et leur représentation graphique. Présentation du cercle trigonométrique et premières propriétés Définition Dans un plan muni d un repère orthonormé direct, on considère le cercle trigonométrique et on note M un point du cercle tel que l angle de vecteurs ( i, M) = x : n appelle alors fonction cosinus la fonction notée cos définie sur R par cos(x) = x M. n appelle alors fonction sinus la fonction notée sin définie sur R par sin(x) = y M. Propriété (formulaire trigonométrique). Sous réserve d existence, on retrouve à partir du cercle trigonométrique les relations suivantes : les relations immédiates (i) cos (x) + sin (x) = (ii) cos( x) = cos(x), sin( x) = sin(x), cos(x + ) = cos(x), sin(x + ) = sin(x), cos( x) = sin(x), sin( x) = cos(x)... les formules d addition (i) cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b), cos(a b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b), (ii) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a), sin(a b) = sin(a) cos(b) sin(b) cos(a) (iii) En particulier, cos(x) = cos (x) sin (x) = cos (x) = sin (x) et sin(x) = sin(x) cos(x) (i) cos(a) = cos(b) a = b [] ou a = b [] (ii) sin(a) = sin(b) a = b [] ou a = b [] les équations trigonométriques Si les premières relations sont immédiates, on prendra soin de justifier les deux formules d addition cos(a + b) et sin(a + b) avant d en déduire les autres.

3 Propriété (autres transformations algébriques). Sous réserve d existence, on a aussi les transformations suivantes : (i) cos(a) cos(b) = (cos(a b) + cos(a + b)) (ii) sin(a) sin(b) = (cos(a b) cos(a + b)) (iii) sin(a) cos(b) = (sin(a b) + sin(a + b)) les linéarisations de produit en somme (iv) En particulier, cos (x) = + cos(x) et sin (x) = cos(x) les transformations de somme en produit (i) cos(p) + cos(q) = cos( p+q p q ) cos( ) (ii) cos(p) cos(q) = sin( p+q p q ) sin( ) (iii) sin(p) + sin(q) = sin( p+q p q ) cos( ) (iv) sin(p) sin(q) = cos( p+q p q ) sin( ) Les premières formules découlent du formulaire trigonométrique. Pour les suivantes, on essaiera de reconnaître des opérations en cos(a + b) et sin(a + b)... Propriété 3 (limite de référence). n a : sin(x) lim = Encore une fois, on cherche à obtenir un encadrement en utilisant des considérations géométriques sur les aires.. Etude des fonctions circulaires Propriété 4 (étude de la fonction cos). La fonction cos est continue et dérivable sur R telle que pour tout x R, cos (x) = sin(x). De plus, elle est paire et -périodique de sorte que sur [0, ] : Ü Ó Üµ ½ et par -périodicité et parité, ½ En particulier, on rappelle : x 0 cos(x) Propriété 5 (étude de la fonction sin). La fonction sin est continue et dérivable sur R telle que pour tout x R, sin (x) = cos(x). De plus, elle est impaire et -périodique de sorte que sur [0, ] : Ü Ò Üµ ¾ ½ et par -périodicité et imparité, En particulier, on rappelle : x 0 sin(x)

4 Pour étudier une fonction trigonométrique, on appliquera le même plan d étude que pour les autres fonctions usuelles. n oubliera pas de commencer par réduire le domaine d étude par périodicité et parité. Néanmoins, on Exemple Etudier la fonction f : x cos(x) + sin (x). Propriété 6 (présentation et étude de la fonction tan). n note tan la fonction tangente définie par tan : x sin(x) cos(x). Alors, tan est définie, continue et dérivable sur R +k, k Z} avec pour tout x R + k, k Z}, tan (x) = cos (x) = + tan (x) De plus, elle est impaire et -périodique de sorte que sur [0, [ : Ü Ø Ò Üµ ¾ ½ et par -périodicité et imparité, En particulier, on rappelle : x 0 tan(x) Pour cette dernière fonction, cela revient à étudier le quotient de deux fonctions connues. Propriété 7 (formulaire trigonométrique). Sous réserve d existence, on a aussi les formules suivantes : (i) tan( x) = tan(x), tan(x + ) = tan(x)... (ii) tan(a + b) = (iii) tan(a) = tan(b) a = b [] tan(a) + tan(b) tan(a) tan(b), tan(a b) = tan(a) tan(b) + tan(a) tan(b) A partir des formules données, on revient aux propriétés des fonctions cos et sin. Exemple Etudier la fonction cotan définie par cotan(x) = cos(x) sin(x). Propriété 8 (formes indéterminées en 0). n pourra alors retenir : (i) cos(x) sin(x) tan(x) lim = 0 (ii) lim = (iv) lim = Remarque Dans le chapitre précédent, nous avons déjà vu ce genre de limite en 0 : et ainsi, on peut dire qu au voisinage de 0, ln( + x) équivalents usuels : ln( + x) lim = x. x 0 De la même façon, on pourra abuser des notations et retenir ces sin(x) x, tan(x) x 0 4

5 .3 Formules de changement de variable Propriété 9 (les fonctions circulaires en fonction de la tangente du demi-angle). Sous réserve d existence et en posant t = tan( x ), on a : (i) cos(x) = t + t (ii) sin(x) = t + t (iii) tan(x) = t t Il suffit d exploiter les formules de transformations algébriques. Théorème 0 (paramétrisation du cercle trigonométrique). Soient x, y R, alors : x + y = il existe un unique θ [0, [ tel que x = cos(θ) et y = sin(θ). Ce résultat découle immédiatement de la définition des fonctions cos et sin comme abscisse et ordonnée des points du cercle. Cette dernière propriété nous permet en outre de transformer les résultats obtenus en physique : on parle de la transformation de Fresnel. Exemple 3 Soient ω R +, A, B R. Montrer qu il existe (C, φ) R tel que : 3 Les fonctions circulaires réciproques 3. La fonction arccos t R, A sin(ωt) + B cos(ωt) = C sin(ωt + φ) Propriété (existence de la fonction arccos). La fonction cos réalise une bijection de [0, ] sur [, ] et admet ainsi une bijection réciproque notée arccos définie sur [, ] telle que: y = cos(x) arccos(y) = x x [0, ] y [, ] De plus, (i) arccos est dérivable sur ], [ et pour tout x ], [, arccos (x) =. x (ii) arccos( ) =, arccos() = 0 de sorte que : n utilise encore les mêmes propriétés sur les bijections et leur fonction réciproque... Remarque n fera attention aux intervalles sur lesquels ces fonctions désignent des bijections réciproques, ainsi : x [, ], cos arccos(x) = x et x [0, ], arccos cos(x) = x En fait, arccos nous donne l angle associé situé dans l intervalle [0, ]. Propriété (composées remarquables). Pour tout x [, ], (i) cos arccos(x) = x (ii) sin arccos(x) = x x (iii) et avec x 0, tan arccos(x) = x Si la première égalité est évidente, les autres font intervenir les formules trigonométriques courantes. 5

6 3. La fonction arcsin Propriété 3 (existence de la fonction arcsin). La fonction sin réalise une bijection de [, ] sur [, ] et admet ainsi une bijection réciproque notée arcsin définie sur [, ] telle que: y = sin(x) x [, ] De plus, (i) arcsin est dérivable sur ], [ et pour tout x ], [, arcsin (x) = arcsin(y) = x y [, ] x. (ii) arcsin( ) =, arcsin() = de sorte que : n utilise encore les mêmes propriétés sur les bijections et leur fonction réciproque... Remarques. n fera attention aux intervalles sur lesquels ces fonctions désignent des bijections réciproques, ainsi : x [, ], sin arcsin(x) = x et x [, ], arcsin sin(x) = x En fait, arcsin nous donne l angle associé situé dans l intervalle [, ].. n peut constater que la courbe représentative de la fonction arcsin est symétrique par rapport à l origine. En effet, on peut montrer que si les domaines de départ et d arrivée sont centrés en 0, la bijection réciproque d une fonction impaire est encore impaire : y J, f ( y) = f ( f(x)) = f (f( x)) = x = f (y) Propriété 4 (composées remarquables). Pour tout x [, ], (i) cos arcsin(x) = x (ii) sin arcsin(x) = x (iii) et avec x ±, tan arcsin(x) = x x Propriété 5 (relations fondamentales). Pour tout x [, ], arccos(x) + arcsin(x) = n montre que la fonction x arccos(x) + arcsin(x) est constante sur l intervalle ], [. 6

7 3.3 La fonction arctan Propriété 6 (existence de la fonction arctan). La fonction tan réalise une bijection de ], [ sur R et admet ainsi une bijection réciproque notée arctan définie sur R telle que: De plus, y = tan(x) x ], [ (i) arctan est dérivable sur R et pour tout x R, arctan (x) = arctan(y) = x y R + x. (ii) lim arctan(x) = x, lim arctan(x) = de sorte que : x + n utilise encore les mêmes propriétés sur les bijections et leur fonction réciproque... Remarques. n fera attention aux intervalles sur lesquels ces fonctions désignent des bijections réciproques, ainsi : x R, tan arctan(x) = x et x ], [, arctan tan(x) = x En fait, arctan nous donne l angle associé situé dans l intervalle ], [.. La fonction arctan est aussi impaire, comme bijection réciproque de la fonction tan impaire sur ], [ et à valeurs dans R centré en 0. Propriété 7 (composées remarquables). Pour tout x R, (i) cos arctan(x) = + x (ii) sin arctan(x) = x + x (iii) tan arctan(x) = x Propriété 8 (relations fondamentales). Pour tout x R, arctan(x) + arctan( x ) = si x > 0 si x < 0 n montre que la fonction x arctan(x) + arctan( x ) est constante sur R et sur R +. sin(x) Exemple 4 Etudier, puis représenter la fonction: x arctan( + sin(x) ). 7