Espaces affines, sous-espaces affines, bases affine et parallélisme.

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1 Espaces affines, sous-espaces affines, bases affine et parallélisme. Activité 1 : introduction Exercice sur incidence et parallélisme selon avec les définitions de «géométrie pure» En géométrie pure du plan, on part des axiomes d Euclide-Hilbert de quatre types : incidence, ordre, congruence, continuité. Le but de cet exercice est de démontrer que ces axiomes suffisent effectivement à retrouver des résultats classiques de géométrie affine. On suppose que P est un plan, ensemble dont les éléments sont des points, et qui contient une famille non vide de parties que l on nomme des droites. Définition du parallélisme : On dit qu une droite D 1 est parallèle à une droite D 2 lorsque D 1 = D 2 ou D 1 D 2 =. On écrit alors D 1 // D 2. Axiomes d incidence A.I.1. Etant donné A et B deux points distincts du plan, il existe une unique droite (AB) contenant ces deux points. A.I.2. Toute droite contient au moins deux points A.I.3. Il existe trois points non alignés Axiome d Euclide : Etant donné un point A et une droite D ne contenant pas A. Il existe une unique droite parallèle à D passant par A. 1) Démontrer que : deux droites D 1 et D 2 ont en commun, soit 2 points communs : elles sont alors confondues (D 1 = D 2) ; 1 point commun A : on dit qu elles sont sécantes en A. D 1 D 2= {A} 0 point commun : on dit qu elles sont strictement parallèles. D 1 D 2= 2) Démontrer que Dans l ensemble des droites du plan, la relation «est parallèle à» est une relation d équivalence. Si deux droites sont parallèles entre elles, alors toute sécante à l une est sécante à l autre. Pour toute droite du plan, il existe un point qui n appartient pas à la droite Pour tout point du plan, il existe une droite qui ne contient pas ce point 3) Démontrer que Si A, B et C soit trois points non alignés. Il existe un et un seul point D tel que (AB) et (CD) sont parallèles ainsi que (BC) et (AD). On dit que ABCD forme un parallélogramme.

2 Activité 2 : Etude du cours de géométrie affine 2.1 Définitions Lire les pages 3 et 4 du polycopié «GÉOMÉTRIE AFFINE, version 2008» de MARIE-CLAUDE DAVID, FRÉDÉRIC HAGLUND, DANIEL PERRIN. Effectuer la liste d exercices proposés (1 à 4) et définir les notions demandées en exercice 5 : Exercice 1 : Exemple test : Soit l ensemble des triplets (,, ) R tels que + + = 1. Définir une structure d espace affine sur Exercice 2 : Premières propriétés = 0 et (, ) = Exercice 3 : Milieu Soient x et y deux points d un espace affine. 1) Montrer que, pour un point de, le s deux propriétés suivantes sont équivalentes. i) = ii) 2 = 2) Montrer qu un tel point z existe et est unique. On l appellera milieu de {, }. Exercice 4 : Parallélogramme Montrer que, pour quatre points,,, de, les propriétés suivantes sont équivalentes : i) = ii) = iii) Les milieux de {, } et {, } coïncident. Exercice 5 : Définitions Soit un espace affine. Définir les notions suivantes dans, en précisant à quel(s) type(s) d objets elles s appliquent : o Sous-espace affine o Parallélisme o Alignement o Coplanarité 2.2 Intersection de sous-espaces affines Lire les pages 11 et 12 du polycopié «GÉOMÉTRIE AFFINE, version 2008» de MARIE-CLAUDE DAVID, FRÉDÉRIC HAGLUND, DANIEL PERRIN. Effectuer la liste d exercices proposés dans le cours.

3 Activité 3 : Exercices d application Exercice 1 : Dans l espace affine R, on considère et les sous-ensembles de R vérifiant les systèmes suivants : a. Montrer que et sont des sous-espaces affines de R, de dimension 1. (Quelles sont les équations des droites vectorielles directions de et?) b. Ces droites sont-elles parallèles, sécantes ou non-coplanaires? On pourra discuter suivant les valeurs de c. Pouvez-vous donner un système d équations de comprenant une des équations données pour? Exercice 2 Résoudre les systèmes suivants, en discutant suivant les valeurs des réels,,. De quelle structure peut-on munir l ensemble des solutions lorsque celui-ci est non vide?

4 Exercice 3 1) Donner un système d équations définissant le sous-espace vectoriel de R défini par les vecteurs suivants : 2) Donner un système d équation définissant le sous-espace affine de R contenant le point et dirigé par le sous espace vectoriel engendré par les vecteurs dans les cas ci-après : Exercice 4 Dans une base d un espace affine de dimension 3 muni d une base affine on considère les trois plans suivants : : + = 0 : = 0 : = 0 a) Justifier que les plans et sont sécants, puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d intersection. b) En déduire la nature de l intersection des 3 plans. Exercice 5 Démontrer que l ensemble des solutions ( ) ci-après de l équation différentielle peut être munie d une structure d espace vectoriel. ( ) + ( ) = 0 ( ) Déterminer l ensemble des solutions de l équation ( ) ci-après. ( ) + ( ) = ( ) De quelle structure peut-on munir cet ensemble? Vectorielle? Affine? Exercice 6 Soit l application de R dans R définie par (,,, ) = Démontrer que est une forme linéaire. Quelle est la matrice la représentant? Quel est le rang de cette matrice? Notons le noyau de.

5 2. Soit R. On considère maintenant R muni de sa structure affine canonique et on pose = ( ). Montrez que est un sous-espace affine de R passant par, mais n est pas un sous-espace vectoriel. Quelle est sa direction? 3. Choisir un vecteur et donner une équation cartésienne de dans R. 4. Déterminer une base affine de l espace. Exercice 7 Soit E un espace affine réel de dimension 3 muni d un repère cartésien. Donner une équation cartésienne du plan affine contenant la droite d équations + 1 = 0, + + = 1 et parallèle à la droite d équations 1 = ( 1) = ( + 1) Exercice 8 Soit = R [ ] l ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 4. Considérons l ensemble des polynômes de dont l évaluation s annule en = 1 et en = 2. Caractériser l ensemble. Cet ensemble est-il un sous espace affine de? Un sous-espace vectoriel? Qu en est-il de dont l évaluation vaut 1 en = 1 et en = 2? Exercice 9 Soient et deux sous-espaces affines de E. Montrer qu on a = si et seulement si est un singleton et ( ) =. Exercice 10 (théorème de Thalès) : Soit,, trois hyperplans paralle`les et distincts d un espace affine sur un corps et soit et deux droites dont les directions ne sont pas contenues dans. (i) Pour {1,2}, justifier que la droite intersecte l hyperplan (resp. ; resp. ) en un unique point, noté (resp. ; resp. ). (ii) Démontrer qu il existe un scalaire tel que = =. Exercice 11 Démontrer que dans tout espace affine les propriétés d incidence (activité 1) sont vérifiées. Exercice 12 Soit,, trois plans de R deux à deux non parallèles. Notons =, = et =. Montrer que, et sont parallèles ou concourantes.

6 Exercice 13 Exercice 14 Soit un tétraèdre. Notons est le symétrique de par rapport à, le point tel que est un parallélogramme et le point tel que est un parallélogramme. Démontrer que,, sont coplanaires. Exercice 15 ABC est un triangle. Les points M, N, P sont placés tels que =, = et = Montrer que, et sont alignés. Exercice 16 Démontrer que trois points du plan, de coordonnées (, ), (, ) et (, ) sont alignés si et 1 seulement si 1 = 0 1 Exercice 17 ABCD est un tétraèdre et P, Q, R et S sont définis par =, = 3, = =. et Démontrer que,, et sont coplanaires. Exercice 18 est un cube. est le milieu de [ ] et est le milieu de [. Les points et sont définis par : = et =.

7 a. Montrer que le quadrilatère AILC est un parallélogramme. b. Montrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes en un point que nous appellerons R. c. Montrer que R appartient à la droite (BF) Activité 4 : Prise de recul sur l enseignement de la géométrie au lycée 4.1 Etude de propriétés de colinéarité (seconde) à la lueur des outils de géométrie affine En classe de seconde on donne le théorème suivant (Odyssée seconde) : a) Démontrer cette propriété avec les outils du supérieur. b) Quelle définition de vecteurs colinéaires peut-on donner en seconde? c) Démontrer cette propriété en utilisant cette définition. 4.2 Etude d un cours de sur les propriétés d incidence de terminale à la lueur des outils de géométrie affine Lire et analyser l extrait de cours de TS : a) Sur quels théorèmes du cours sur les espaces affines reposent les théorèmes ou propriétés suivantes admises en TS : 1 b) Admettre. 1 c) Admettre b) Justifier en utilisant les cours sur les espaces affines : 2 ) Détermination d un plan. 3 ) Positions relatives d une droite et d un plan 4 ) Positions relatives de deux droites 5 ) Positions relatives de deux plans c) Justifier le paragraphe «droites parallèles» d) Démontrer de deux manières le théorème B.2.a) (Droite parallèle à un plan) - En utilisant les espaces affines

8 - En utilisant le cours de TS qui précède ce théorème e) Justifier B.2.b) et B.2.c) avec les espaces affines. f) Démontrer de deux manières le théorème du toit - En utilisant les espaces affines - En utilisant le cours de TS g) Justifier B.2.e), B.2.f),B.3. a) b) c) d) e) avec les espaces affines. 4.3 Etude d un cours sur les équations de droites de seconde à la lueur des outils de géométrie affine 1. Ci-après une propriété donnée en seconde sur les équations de droites. a. La démontrer en utilisant le cours sur les espaces affines. b. La démontrer, comme en seconde. 2. Démontrer la propriété ci-après au niveau seconde. 3. La propriété ci-après est admise en seconde. La démontrer en utilisant le cours sur les espaces affines 4. Démontrer les propriétés ci-après avec les outils du niveau seconde.

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10 Activité 5 : Rédiger des solutions d exercices de niveau lycée Pour cette série d exercices, vous pourrez systématiquement vous poser la question à deux niveaux : comment résoudre efficacement cet exercice avec les outils du supérieur dont vous disposez, et comment rédiger l exercice au niveau lycée indiqué dans l énoncé. Exercice 5.1 D après Math X TS N 92 page 331 L espace est rapporté à un repère. Les droites suivantes sont-elles concourantes : : passant par (1 ; 1 ; 2) et de vecteur directeur ( 0 ; 1; 1) : passant par (3 ; 0 ; 0) et de vecteur directeur ( 2 ; 0 ; 1) : passant par (0 ; 1 ; 1) et de vecteur directeur ( 1 ; 1 ; 0) Exercice 5.2 D après Math X TS N 96 page 332 1) Montrer que les points A ( 3 ; 3 ; 0), B (5 ;4 ;-2) et C (6 ; 2 ; 1) définissent un plan et déterminer une équation paramétrique de ce plan. 2) Déterminer une équation paramétrique du plan parallèle à ( ) passant par l origine du repère. Exercice 5.3 : résoudre vectoriellement cet exercice. Exercice 5.4 Un explorateur en plein désert veut atteindre une oasis. Il dispose d une carte où les lieux remarquables ont été repérés par des lettres. L oasis se trouve au point H. Malheureusement, les points A, B, C, F, G et H ont été effacés, et seuls les points D et E sont encore visibles. Heureusement, l explorateur se souvient que le point G est situé au milieu des segments [EF] et [DA], que E est le milieu de [AC], B celui de [CF], et D celui de [BH]. Peut-il retrouver l oasis? D après une épreuve du rallye de mathématiques Champagne Ardennes Niger (2009) D après un l exercice 92 page 179 Odyssée de seconde : On considère un parallélogramme MNPQ de centre O. Soient A, B, C les points définis par :

11 = ; = + ; = 1) Quelle est la nature du quadrilatère OABC? 2) Les droites (PB) et (CA) se coupent en un point G. Montrer que (OG) coupe [BC] en son milieu. Exercice 5.5 Exercice 5.6 D après l exercice 108 page 181 Odyssée de seconde : Soit un carré. M est un point de la diagonale [AC], différent du point O. La parallèle à (AB) passant par M coupe [AD] en I et [BC] en J. La parallèle à (AD) passant par M coupe [AB] en K et [DC] en L. Les droites (IL) et (AC) se coupent en P. Démontrer que K, J et P sont alignés. D après l exercice 68 page 208 Odyssée de seconde : Soit EFGH un parallélogramme de centre O, I et J les milieux respectifs de [EF] et [FG]. Les droites (HI) et (HJ) coupent respectivement [EG] en M et N. 1) Déterminer les coordonnées des points M et N dans le repère (E,, ). 2) Démontrer que EM=MN=NG Exercice 5.7 Exercice 5.8 D après l exercice 70 page 209 Odyssée de seconde : Théorème de Pappus. On considère deux demi-droites (Ox) et (Oy). Les points A, B et C sont sur (Ox) et les points A, B et C sont sur (Oy) de manière à ce que : OA=OB= BC et OA =A B = B C M est le point d intersection des droites (AB ) et (A B) N est le point d intersection des droites (AC ) et (A C) P est le point d intersection des droites (BC ) et (C B). En utilisant les équations de droites dans le repère (O,, ), déterminer les coordonnées des points M, N et P. Puis démontrer qu ils sont alignés. D après Math X TS N 92 page 331 L espace est rapporté à un repère. Les droites suivantes sont-elles concourantes : D1 : passant par A(1 ; -1 ; -2) et de vecteur directeur ( 0 ; 1; 1) D2 : passant par B(3 ; 0 ; 0) et de vecteur directeur ( 2 ; 0 ; 1) D3 : passant par C(0 ; -1 ; - 1) et de vecteur directeur ( 1 ; 1; 0) Exercice 5.9 (D après Math X TS N 96 page 332) 1) Montrer que les points A ( 3 ; 3 ; 0), B (5 ;4 ;-2) et C (6 ; 2 ; 1) définissent un plan et déterminer une équation paramétrique de ce plan. 2) Déterminer une équation paramétrique du plan parallèle à (ABC) passant par l origine du repère. Exercice 5.10 (Math X TS N 107 page 333)

12 Persée, la jeune assistante du professeur Belzébuth est enfermée dans une caisse cubique d arête 80 cm. Le professeur enfonce deux épées A et B à travers la caisse dans les trous prévus à cet effet. L épée A est-elle derrière ou devant l épée B? Source : Rallye de Bourgogne Exercice 5.11 (Math X TS N 108 page 334) Exercice 5.12 (Math X TS N 118 page 367)

13 Activité 6 : Tracés géométriques en perspective 6.1 : sections planes de tétraèdre 1. 1) Tracer la section de ce tétraèdre par le plan (JKL) 2) Tracer la section de ce tétraèdre par le plan (IJL) 3) Tracer la section de ce tétraèdre par le plan (IJK) 6.2: sections planes de tétraèdre 2. La droite (Δ ) étant dans le plan (BCD) représenter en perspective cavalière la section du tétraèdre par le plan passant par P et contenant (Δ ) 6.3 : sections planes du cube 1 Ce cube est d arête 3. 1) Représenter en perspective cavalière la section du cube par le plan (ICD ) 2) Représenter en perspective cavalière la section du cube par le plan (ICJ) 3) Représenter en perspective cavalière la section du cube par le plan (ICK), où K est le milieu de [CC ] 4) Soit L le point de [A D ] tel que A L =1 Représenter en perspective cavalière la section du cube par le plan (IJL) et montrer qu elle contient le milieu de l arête [A A ]

14 6.4 : sections du tétraèdre 3 Le point P est dans la face (ABC), Q est dans la face (ACD) et R dans la face (ABD) Reproduire la figure et tracer la section du tétraèdre ABCD par le plan (PQR) 6.5 : Sections du cube 2. I est dans la face (ADHE). Construire en perspective cavalière la section du cube par le plan (IJK) dans chacun des cas suivants : a) K est le milieu de [AB] b) K est le centre de la face (ABFE) c) K est le centre du cube. 6.6 ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AE] et L est le milieu de [CG]. Les points J et K sont définis par : = et =. a) Montrer que le quadrilatère AILC est un parallélogramme. b) Montrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes en un point que nous appellerons R. c) Montrer que R appartient à la droite (BF)