FICHE DE RÉVISION DU BAC

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1 Introduction Pré-requis : Ensemble de nombres Plan du cours 1. Divisibilité dans Z 2. Congruence 3. Plus grand commun diviseur 1. Divisibilité dans Z Dans tout ce qui suit, on se place dans l ensemble des entiers relatifs Z. Définitions : A. Diviseur Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, s il existe un entier relatif k tel que. On dit que b est un multiple de a, s il existe un entier relatif k tel que. On note. Ex : 3 est un diviseur de est un multiple de 3. 5 est un diviseur de est un multiple de 5. Propriétés : Soient a, b et c trois entiers relatifs. - Si a divise b alors a divise kb pour tout. - Si a divise b et b divise c, alors a divise c. - Si a divise b et a divise c, alors a divise pour tout et tout. 1

2 Propriété : B. Division euclidienne Il existe une unique manière d écrire b sous la forme telle que, et. Ex : Lorsque l on se place dans l ensemble des entiers naturels N, on retrouve la division euclidienne vu auparavant, q étant le quotient, et r le reste. Remarque : Si a divise b, alors avec. C. Nombres premiers Un nombre premier est un entier naturel qui n admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Ex : 1, 2, 3, 17 sont des nombres premiers. Il y a une infinité de nombres premiers. Propriété : Soit n un entier naturel. Si n n est pas un nombre premier, alors il admet pour diviseur au moins un nombre premier p tel que. Décomposition en produit de facteurs premiers : Soit n un entier naturel. Il existe une unique manière d écrire n sous la forme d une décomposition de facteurs premiers : Si plusieurs de ces facteurs sont identiques, on peut écrire la décomposition avec des puissances de facteurs premiers. 2

3 Ex : Corollaire : Tout produit partiel de ces facteurs divise n. Ex : divise Congruence A. Nombres congrus Soient a et b deux entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul. On dit que b est congru à a modulo n, si la différence est un multiple de n (si n divise ). Il existe donc un entier relatif k tel que :. On note : Ex : ou (on a en effet Remarque : la notion de congruence se retrouve également dans l ensemble des réels. Ainsi pour les angles : Division euclidienne : avec, et. On peut alors écrire :. Corollaire : Il existe un entier naturel tel que. 3

4 Nombres pairs et impairs : Soit k un entier relatif. On a : et Transitivité : B. Propriétés Soient a, b et c trois entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul. Si a est congru à b modulo n et b est congru à c modulo n, alors a est congru à c modulo n. Ex : et donc Opérations : Soient a, b, a, b quatre entiers relatifs et n un entier naturel non nul tels que : et. On a alors : pour tout pour tout 3. Plus grand commun diviseur A. Diviseurs communs 4

5 Soient a et b deux entiers relatifs. L ensemble des diviseurs communs est l ensemble des nombres qui divisent à la fois a et b. Ex : -28 a pour diviseurs -28, -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14 et a pour diviseurs -42, -21, -14, -7, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42. L ensemble des diviseurs communs à -28 et 42 est : PGCD : Le plus grand commun diviseur de deux entiers relatifs a et b est le plus grand élément de l ensemble des diviseurs communs. On le note : PGCD (a,b). Le PGCD de deux nombres est un entier naturel (positif). Ex : PGCD(- 28, 42) = 14. Propriétés : Si a divise b, alors PGCD (a,b) =. Si b divise a, alors PGCD (a,b) =. PGCD (a,0) = Division euclidienne : avec, et. On a : PGCD PGCD. B. Nombres premiers entre eux Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a et b sont premiers entre eux si PGCD (a,b) = 1. Deux nombres premiers entre eux n ont pas de diviseur commun. Ex : 28 et 25 sont premiers entre eux. 5

6 Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, avec PGCD (a, b) = k. et a et b sont premiers entre eux. PGCD (a, b ) = 1. Théorème de Gauss : ( a et b sont des entiers relatifs). Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. Remarque : divise alors. Ex : 14 divise 630. Or 14 et 9 sont premiers entre eux, donc 14 divise 70. divise également 630. Théorème de Bézout : Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que : Ex : 12 et 25. ( et ) donc 12 et 25 sont premiers entre eux. 6