[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

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1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F? Exercice 2 [ ] [correctio] Soiet E {1,..., } et F {1,..., } avec N. Combie y a-t-il d alicatios strictemet croissates de E vers F? Exercice 7 [ ] [correctio] Pour N et N, o ote Σ le ombre de ulets (x 1,..., x ) N tels que x x. a) Détermier Σ 0, Σ 1, Σ 2, Σ 1 et Σ 2. b) Etablir N, N, Σ +1 Σ0 + Σ Σ c) E déduire que Σ + 1 Exercice 3 [ ] [correctio] Combie existe-t-il de relatio d ordre total sur u esemble E à élémets? Exercice 4 [ ] [correctio] O trace das u la droites e ositio géérale (i.e. deux d etre elles e sot jamais arallèles i trois d etre elles cocourates). Combie forme-t-o aisi de triagles? Exercice 5 [ ] [correctio] [Formule de Chu-Vadermode] Soiet, q N et [[0, + q]]. Prooser ue démostratio ar déombremet de l égalité + q q Exercice 6 [ ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis o vides de cardiaux resectifs et. O ote S le ombre de surjectios de E sur F. a) Calculer S 1, S et S our >. b) O suose et o cosidère a u élémet de E. O observat qu ue surjectio de E sur F réalise, ou e réalise as, ue surjectio de E\ {a} sur F, établir S (S S 1 ) c) E déduire que our tout 1 et tout 1 S ( 1) Exercice 8 [ ] [correctio] Soit E u esemble à élémets. a) Soit X ue artie à élémets de E. Combie y a-t-il de arties Y de E disjoites de X? b) Combie y a-t-il de coules (X, Y ) formés de arties disjoites de E? Exercice 9 [ ] [correctio] Soit E u esemble à élémets. Combie y a-t-il de arties X et Y de E telles que X Y? Exercice 10 [ ] [correctio] Soit A ue artie d u esemble E à élémets. O ose CardA. a) Combie y a-t-il de arties X de E coteat A? b) Combie y a-t-il de arties X de E à m {,..., } élémets coteat A? c) Combie y a-t-il de coules (X, Y ) de arties de E tels que X Y A? Exercice 11 [ ] [correctio] Soit E u esemble à élémets. Calculer Card(X) et X E X,Y E Exercice 12 [ ] [correctio] Combie y a-t-il de -cycles das le groue (S, )? Card(X Y ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 2 Exercice 13 [ ] [correctio] Soiet, N et E {1,..., }. a) Combie y a-t-il de suites strictemet croissates (x 1,..., x ) d élémets de E? b) Combie y a-t-il de suites croissates au ses large (x 1,..., x ) d élémets de E? c) E déduire le ombre de suites (a 1,..., a ) de aturels vérifiat d) Même questio avec la coditio a a a a Exercice 14 [ ] [correctio] a) Quel est le coefficiet de a 2 b 5 c 3 das le déveloemet de (a + b + c) 10? b) Même questio avec a 1 1 a a das (a 1 + a a ). Exercice 15 [ ] [correctio] Soit N. O ote X l esemble de suites (x 1,..., x ) avec {1,..., }, x 1 ou 1 A chaque suite x (x 1,..., x ) élémet de X o associe la suite (s 0, s 1,..., s ) avec s 0 Z et s s 1 + x our {1,..., } Celle-ci détermie ue lige brisée détermiée ar les oits de coordoées (, s ) comme illustrée ci-dessous exliquer ourquoi il y a autat de chemis joigat (0, s 0 ) à (, m) que de chemis joigat (0, s 0 ) à (, m) et couat l axe des abscisses. d) E déduire le ombre de chemis joigat (0, 1) à (, m) dot tous les oits sot d ordoées strictemet ositives. Exercice 16 [ ] [correctio] O ote d le ombre de ermutatios σ de [[1, ]] vérifiat [[1, ]], σ() O dit σ est u déragemet de [[1, ]]. O coviet d 0 1. a) Etablir N,! d b) E déduire N, d ( 1)! Cette lige brisée défiit u chemi joigat (0, s 0 ) à (, s ). a) O ote le ombre de 1 das la suite x (x 1,..., x ) X. Exrimer e foctio de, et s 0 la valeur de s. b) Etat doée m N, combie existe-t-il de chemi s m? c) O suose s 0 N. E exloitat la figure ci-dessous Exercice 17 [ ] [correctio] O ote S l esemble des ermutatios de [[1, ]] et S () le sous-esemble de S costitué des ermutatios ossédat exactemet [[0, ]] oits fixes. Efi, o ose s () Card(S ()) a) Calculer s () Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 3 b) Soiet, 1. E calculat de deux faços le ombre de coules (s, x) costitués de s S () et x oit fixe de s, établir s () s 1 ( 1) c) E déduire s () s (0) d) Retrouver directemet le résultat récédet. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Correctios 4 Correctios Exercice 1 : [éocé] Si >, il y a as d ijectios ossibles. Si 0, il y a ue ijectio : l alicatio vide. Si 0 < alors o eut écrire E {x 1,..., x } avec les x i deux à deux disticts. Pour former ue ijectio de E das F : O choisit f(x 1 ) das F : choix. O choisit f(x 2 ) das F \ {f(x 1 )} : 1 choix.... O choisit f(x ) das F \ {f(x 1 ),..., f(x 1 )} : + 1 choix. Au total, il y a ( 1) ( + 1)! ( )! choix. Exercice 2 : [éocé] Ue alicatio f : E F strictemet croissate est etièremet ( détermiée ) ar so image qui est ue artie formée de élémets de F. Il y a arties à élémets das F et doc autat d alicatios strictemet croissates de E vers F. Exercice 3 : [éocé] Ue relatio d ordre total sur E ermet de défiir ue bijectio de {1,..., } vers E et iversemet. Par suite, il y a exactemet! relatios d ordre total ossibles. Exercice 4 : [éocé] Notos t le ombre de triagles formés. t 0 t 1 t 2 0 Pour 3, former u triagle reviet à choisir les trois droites défiissat ses côtés : il y a ossibilités 3 Chacue de ses ossibilités défiit u véritables triagle (car il y a i cocourace, i arallélisme) et les triagles obteus sot deux à deux disticts. Fialemet t 3 Exercice 5 : [éocé] Soit E u esemble à + q élémets séaré e deux arties disjoites E et E de cardiaux et q. + q Il y a exactemet arties à élémets das E. Or our former ue artie à élémet de E, o eut our chaque [[0, ]] ( commecer ) ( ar ) choisir élémets das E avat d e choisir das E. Il y a q ossibilités our chaque [[0, ]] uis au total q ossibilités d où l idetité. Exercice 6 : [éocé] a) Si F est u sigleto, il y a qu ue alicatio à valeurs das F et celle-ci est surjective. S 1 1. Si CardE CardF < + alors les surjectios de E sur F sot aussi les bijectios. Par suite S!. Si CardE < CardF, il existe as de surjectios de E sur F. Aisi S 0. b) Ue surjectio de E sur F telle que sa restrictio à E\ {a} soit surjective eut redre imorte quelle valeurs e a. Il y e a S 1. Ue surjectio de E sur F telle que sa restrictio à E\ {a} e soit as surjective doit redre e a la valeur maquate. Il y a ossibilité our choisir la valeur e a et S 1 1 Au fial surjectios de E\ {a} sur F \ {f(a)}. Au total, il y e a S 1 1. S (S S 1 ) c) Motros la roriété ar récurrece sur N. Pour 1 Si S1 1 1 et ( 1) 1 1 Si > 1 car S 1 0 et ( 1) 1 ( 1) (1 1) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Correctios 5 Suosos la roriété établie au rag 1 1. Pour S 1 1 et ( 1) 1 1 Pour > 1 1 S (S S 1 ) 1 ( 1) E combiat les deux sommes e exloitat la formule de Pascal 1 S ( 1) 1 1 uis e exloitat o arviet à Récurrece établie. 1 1 S ( 1) ( 1) 1 Pour 1 : o Suosos la roriété établie au rag N, Σ +1 Σ0 + +Σ Récurrece établie. Exercice 8 : [éocé] a) Autat que de arties de E\X : 2 b) 2 (1 + 2) 3. 0 Exercice 9 : [éocé] Pour {0,..., }, il y a arties Y à u élémets das E. Pour ue telle artie ( Y ), il y a 2 arties X icluses das Y. Au total, il y a 2 (1 + 2) 3 coules (X, Y ) (E) 2 tels que X Y. Exercice 7 : [éocé] a) Σ 0 1 : seul le -ulet ul est de somme égale à 0. Σ 1 : les -ulets de somme égale à 1 sot formés d u 1 et de 1 zéros. Σ 2 + ( 1) 2 (+1) 2 : les -ulets de somme égale à 2 sot ou bie formé de 1 deux et de 1 zéros, ou bie de 2 us et de 2 zéros. Σ 1 1 : seul le 1-ulet () est de somme égale à. Σ : les coules de somme égale à sot (0, ), (1, ),..., (, 0). b) Le ombre de + 1 ulets (x 1,..., x, x +1 ) N tels que x x +1 avec x +1 [[0, ]] est Σ. Doc Σ +1 Σ0 + Σ Σ c) Par récurrece sur N, motros N, Σ + 1 Exercice 10 : [éocé] a) Autat que de arties de E\A : 2 b) Autat que de arties de E\A à m élémets :. m c) Ue fois X à m élémets coteat A détermié il y a 2 m choix de Y ossibles ( et doc ) 2 m 2 (1 + 2) 3. m m Exercice 11 : [éocé] Pour {0,..., }, il y a arties X à u élémets das E. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Correctios 6 Par suite Card(X) X E Card(X) 2 1 Pour {0,..., }, il y a arties Z à élémets das E. Pour ue ( telle) artie Z, les arties X coteat Z ot l {,..., } élémets. Il y a arties X à l élémets coteat Z. l Pour ue telle artie X, ue artie Y telle que X Y Z est ue artie Y détermiée ar Z Y Z C E X. Il y a 2 l arties Y ossibles. Il y a 2 l (1 + 2) 3 l l coules (X, Y ) tels que X Y Z. Par suite Or doc X,Y E Card(X Y ) CardZ X Y Z ((3 + x) ) (3 + x) 1 X,Y E Card(X Y ) 3 x 1 Card(X Y ) Exercice 12 : [éocé] Ue ijectio f de N das N ermet de défiir le -cycle (f(1)... f()). Iversemet, u -cycle de N eut être défiis ar exactemet ijectios différetes. E vertu du ricie des bergers, il y a exactemet! ( )! -cycles das S. Exercice 13 : [éocé] a) Ue suite (x 1,..., x ) strictemet croissate est etièremet détermiée ar le choix de élémets disticts das E (qu il suffit alors d ordoer). Il y a doc autat de suites strictemet croissates que de arties à élémets das u esemble à élémets, soit b) Associos à ue suite (x 1,..., x ) d élémets de E la suite (y 1,..., y ) défiie ar y x + ( 1) Par cette corresodace bijective, o eut associer à ue suite croissate d élémets de E ue suite strictemet croissate d élémets de E {1,..., + 1} et iversemet. Le ombre de suites (x 1,..., x ) croissates d élémets de E est doc + 1 c) A chaque suite (a 1,..., a ) o fait corresodre la suite (x 1,..., x ) avec x a a Par cette corresodace bijective, o associe les suites (a 1,..., a ) vérifiat a a aux suites croissates d élémets de E {0, 1,..., }. Le ombre de suites cherché est doc + d) La coditio a a est remlie si a a, mais as a a 1. Le ombre de suites cherché est doc Exercice 14 : [éocé] a) Das le déveloemet de (a + b + c) 10 (a + b + c)(a + b + c)... (a + b + c) o obtiet u terme a 2 b 5 c 3 e choisissat deux a, ciq b et trois c. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Correctios 7 10 Il y a choix ossibles our les facteurs dot serot issus les a. 2 8 Ue fois ceux-ci choisis, il y a choix ossibles our les facteurs fourissat 5 les b. Ue fois ces choix faits, les trois facteurs restat fourisset les c. Au total, il y a ! 2 5 2!5!3! 2520 termes a 2 b 5 c 3 aaraissat lors du déveloemet de (a + b + c) 10. b) O rered le même rotocole, our obteir si et 0 sio.! 1! 2!...! Exercice 15 : [éocé] a) Le ombre de 1 est de et doc s s 0 + ( ) s b) Si m (s 0 + ) est as u ombre air, il y a as de chemi solutios. Sio, o itroduit Z our lequel m s Si < 0 ou >, o e ourra trouver de chemi solutios. Si 0, chemis solutios corresodet aux suites x our lesquels o ositioe termes 1 et les autres égaux à 1. Il y a ositios ossibles our les termes 1 et autat de chemis solutios. c) Tout chemi joigat (0, s 0 ) à (, m) et couat l axe des abscisses eut être associé de faço bijective à u chemi joigat (0, s 0 ) à (, m), il suffit our cela de asser à l ooser les termes x 1, x 2,... jusqu au remier our lequel s 0 + x x 0 et e as modifier les autres comme das la figure roosé (ce résultat est cou sous le om de ricie de réflexio). d) Si m 1 + est imair, il y a aucu chemis ossible d aucue sorte. Sio, o eut écrire m avec Z et il y a alors chemis ossibles (ce ombre état ul lorsque < 0 ou > ). Parmi ceux-ci, ( o retire ) ceux couat l axe abscisse qui ar l étude au dessus sot au ombre de. + 1 Fialemet, il y a chemis solutios Exercice 16 : [éocé] a) Pour A [[1, ]], otos + 1 S A {σ S / x A, σ(x) x et x / A, σ(x) x} S est la réuio disjoites des S A our A arcourat P ([[1, ]]). Arès idexatio des élémets de A, ue alicatio de S A eut être idetifiée à u déragemet de [[1, ]] avec CardA. O e déduit CardS A d uis CardS d CardA d A P(E) l0 b) Raisoos ar récurrece forte sur. La roriété éocé est vrai aux rags 0 et 1. Suosos la roriété vraie jusqu au rag 1. Pour [[0, ]], osos d ( 1) l l! l Par hyothèse de récurrece d d our [[0, 1]] et o veut établir l idetité our. Or d d ( 1) l l! l Par échage des deux sommes d l0 l l0 ( 1) l l! l uis glissemet d idice das la deuxième somme l + l d ( 1) l! + l l l0 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Correctios 8 et exressio factorielle des coefficiets biomiaux l d! l ( 1) ( l)! Or doc l0 l { l ( 1) (1 + ( 1)) l 0 si l > 0 1 si l d! d O e déduit d d uisque l hyothèse de récurrece a fouri les idetificatios d d our [[0, 1]]. Récurrece établie. Exercice 17 : [éocé] a) La somme étudiée déombre les ermutatios de [[1, ]] selo leur ombre de oits fixes s () CardS! b) Pour chaque ermutatio de s de S () il y a oits fixes x ossibles. Le ombre de coules cherché est doc s (). Pour chaque x [[1, ]], ue ermutatio ossédat oits fixes (dot x) est etièremet détermiée ar sa restrictio à [[1, ]] \ {x} qui est ue ermutatio à 1 oits fixes. Aisi, le ombre de coules cherché est aussi s 1 ( 1). c) E itérat la formule ci-dessus obteue s () ( 1)... ( + 1) s (0) ( 1)... 1 s (0) d) Pour détermier ue ermutatio élémet de S (), o choisit l esemble de ses oits fixes (il y a ossibilités) et o costruit ses valeurs sur le comlémetaire de l esemble des oits fixes à artir d ue ermutatio de élémets sas oits fixes (il y a s (0) ossibilités). Au total, il y a s (0) alicatios de la forme voulue. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd