EXERCICES 1S DERIVATION

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1 EXERCICES S DERIVATION Nombre dérivé ; utilisation des formules On trouvera les solutions après la liste des exercices Ne les consultez pas trop vite! EX : Calculer la fonction dérivée de la fonction f ) f(x) - x + ) f(x) ) f(x) x + x + 5 4) f(x) -x + 5x + 5) f(x) 5x 4x +x 6) f(x) x 5 x x + 4 7) f(x) x5-7x4 5 + x 8) f(x) x6 x ) f(t) - 5t + t t + 7 EX : Calculer la fonction dérivée de la fonction f ) f(x) x + x + ) f(x) x + 5 x ) f(x) x 5-4) f(x) x + x + x 5) f(x) x - 5 x + 9x 9) f(t) - t + t EX : Calculer la fonction dérivée de la fonction f ) f(x) 5x ) f(x) x + 4 x + x x + 4) f(x) x 5) f(x) x + x + x + x ) f(x) x 7 x 6) f(x) x x + x + 5x +4 EX4 : Calculer la fonction dérivée de la fonction f ) f(x) (x )(4x 5) ) f(x) (x )(4x + x ) ) f(x) x x 4) f(x) (8x + x )(x 4) 5) f(x) x ( x ) EX5 : Calculer la fonction dérivée de la fonction f ) f(x) ) f(x) x + 5x ) f(t) kx xt EX6 : Calculer la fonction dérivée de la fonction f ) f(x) x + 5 ) f(x) 5 x ) f(x) (x 5) x + 4) f(x) 5) f(x) x x + x + 5 EX7 : Calculer la fonction dérivée de la fonction f ) f(x) (x + ) ) f(x) ( -x + 5) ) f(x) (x ) ( x) 4) f(x) x ( x) (x 5) 5) f(x) x +

2 EX8 : On donne, ci-dessous, la représentation graphique d une fonction f ainsi que certaines tangentes Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : ) Donner les valeurs de f(0), f(), f() et f(4) ) Préciser les valeurs des nombres dérivés suivants : f (0), f () et f () ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 4) Résoudre graphiquement l équation f(x) 5) Résoudre graphiquement l inéquation f(x) < 0 6) En supposant que la courbe représentative de f présente un axe de symétrie, déterminer le nombre dérivé de f en 4 7) Sachant que f est une fonction polynôme du second degré, déterminer l expression de f(x), x EX9 : f(x) f(a) En utilisant la définition (calcul de lim x a x a ) f(x) x + ; a ) f(x) x ; a ) f(x) x ; a 4) f(x) x 4 ; a 4 ) déterminer le nombre dérivé de la fonction f en a EX0 : Calculer f (x) et déterminer une équation de la tangente au point d abscisse a ) f(x) x x + 5x ; a ) f(x) x + x ; a ) f(x) x + x + ; a 0 EX : On considère la fonction f définie, pour tout x, par f(x) ax + b + x Déterminer a et b pour que la courbe représentative de f passe par A ( ; 5) et que la tangente à en ce point ait pour coefficient directeur EX : On considère la fonction f définie sur par f(x) x 8x + 5 et sa représentation graphique ) Calculer f (x)

3 ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a Préciser alors une valeur approchée de f(,0005) ) Déterminer les coordonnées des points : A en lequel admet une tangente horizontale ; B en lequel admet une tangente de coefficient directeur - ; C en lequel admet une tangente paralléle à la droite d équation y x + ; D en lequel admet une tangente perpendiculaire à la droite d équation y x 4) Calculer f (x) Prouver que f(x) f(a) + (x a) f (a) + (x a) f (a), a et x étant des nombres réels 5) Soit la fonction g définie pour x par g(x) 5x 9 On note sa représentation graphique x a) Montrer que les courbes et sont tangentes au point d abscisse (deux courbes sont tangentes en un point si elles ont la même tangente en ce point) On utilisera le résultat obtenu au ) b) Déterminer les coordonnées de leur second point commun Donner les équations des tangentes aux deux courbes en ce point EX : Soit f(x) x, x -{} ) Calculer f (x) et f (x) ) Déterminer les points de la courbe représentative de f en lesquels la tangente est parallèle à la droite d équation y x + SOLUTIONS EX : Une fonction polynôme est définie et dérivable sur n n On utilise les formules : (x ) nx, ( α u) α u et ( u + v) u + v ) f (x) 5 ) f (x) 0 ) f (x) x + 4) f (x) (x) + 5 4x + 5 5) f (x) 5(x ) 4(x) + 5x 8x + 6) f (x) 5x 4 6x ) f (x) (5x4 ) - 7(4x ) + (x ) 0x4 5-8x 5 + x 8) f (x) (6x5 ) (8x7 ) 0 4x5 6 5 x7 f 5t + 4t ; la variable est t et on dérive par rapport à t 9) (t)

4 EX : On utilise les formules ( x ), ( u ) u α étant x α α un réel non nul, ( ) n x n n + x Les trois premières fonctions sont définies sur [0 ; + [ et dérivables sur ]0 ; + [ Les trois dernières sont définies et dérivables sur ) f (x) + x 5 ) f (x) x + x ) f (x) 5( x) 0 x 4) f(x) ( x ) + x + ( x ) donc f (x) ( x ) x + ( x 4 ) x - x - 6 x 4 5) f (x) ( x ) 5 ( x ) + 9 ( x 4 ) x + 0 x - x 4 6) f (t) t - 4 t EX : On utilise la formule u u v uv v v Les fonctions sont des fonctions rationnelles : elles sont dérivables sur l ensemble de définition u(x) 5x et u (x) 5 (- 5)(x + ) ( 5x)() - ) f (x) v(x) x + et v (x) (x + ) (x + ) D f D f - {- } ) f (x) x( x) (- )(x + 4) ( x) x + 4x + 4 ( x) D f D f - {} ) f (x) (x ) (x 7)(x) (x ) x + 4x (x ) D f D f - {- ; } 4) f (x) (x + x + ) (x + )(x + ) (x + x + ) x 6x (x + x + ) D f D f 5) f (x) (x + )( x) (- )(x + x ) ( x) x + x ( x) D f D f - { } 6) f (x) (x )(x + 5x + 4) (x x + )(x + 5) (x + 5x + 4) 8x + 6x 7 (x + 5x + 4) D f D f - {- 4 ; - } EX4 : On utilise la formule ( uv) u v + uv u(x) x ) v(x) 4x 5 et et u (x) x v (x) 4 f (x) (x)(4x 5) + (x )(4) x 0x

5 u(x) x et u (x) x ) f (x) (x )(4x + x ) + (x )(8x + ) v(x) 4x + x et v (x) 8x + soit f (x) 0x 4 + 4x x 8x u(x) x et u (x) ) v(x) x et v (x) f (x) x + x x x x + x x 4) f (x) (6x + )(x 4) + (8x + x )(4x) 64x + 8 x 68x 5) f (x) (4x)( x ) + (x )( x ) 4x x 4x + x x 5x x 4x, car x x x EX5 : On utilise les formules ) f (x) ) f (x) ) f (t) kx constantes (x + ) ( - 5) ( 5x) ( xt) ( xt ) v EX6 : On utilise en plus des formules précédentes : f(x) u(ax + b) f (x) a u (a x + b) v u u, ( α u) α u et, α étant une constante v α α 5 ( 5x) car v (x) 5 kx t ( xt ) car la variable est t On dérive par rapport à t, k et x étant des ) f(x) x + 5, D f [- 5 ; + [ et l ensemble de dérivabilité est ]- 5 ; + [ Posons u(t) t On a u (t) t La formule précédente donne : f (x) x + 5 x + 5 ) f(x) 5 x, D f ] - ; ] et l ensemble de dérivabilité est ]- ; [ Posons u(t) t On a u (t) t La formule précédente donne : f (x) 5 (-) x 5 x ) f(x) (x 5) x +, D f [- ; + [ et l ensemble de dérivabilité est ]- ; + [ Posons g(x) x + et u(t) t On a u (t) t et g (x) (on remplace t par x + ) x + Il vient, en utilisant la dérivée d un produit : f (x) 4x x + + (x 5) x + 8x(x + ) + (x 5) 0x + 8x 5 x + x + 4) f(x) x +, D f ]- ; + [ et l ensemble de dérivabilité est ]- ; + [ Posons g(x) x + et u(t) t On a u (t) t et g (x) (on remplace t par x + ) x + Il vient, en utilisant la dérivée de l inverse v ou k (k constante) : v

6 f (x) f (x) x + x + car g (x) x + Donc f (x) (x + ) x + x + (x + ) 5) f(x) x x + 5, D f ]- 5 ; + [ et l ensemble de dérivabilité est ]- 5 ; + [ Posons g(x) x + 5 et u(t) t On a u (t) t et g (x) x + 5 x + 5 Il vient, en utilisant la dérivée d un quotient : x (x ) x + 5 x + 5 (x + 5) (x ) x + 5 x + 5 x + (x + 5) x + 5 EX7 : ) f(x) (x + ), f est définie et derivable sur car f est une fonction polynôme Posons u(t) t On a u (t) t Ainsi f(x) u(x + ) En appliquant f(x) u(ax + b) f (x) a u (a x + b), on a : f (x) (x + ) 8x + 4 ( on remplace t par x + ) ) f(x) ( -x + 5), f est définie et derivable sur car f est une fonction polynôme Posons u(t) t On a u (t) t Ainsi f(x) u(-x + 5) Donc f (x) - (-x + 5) -9(-x + 5) ) f(x) (x ) ( x), f est définie et derivable sur car f est une fonction polynôme Posons g(x) (x ) et u(t) t Posons h(x) ( x) et v(t) t on a g(x) u(x ) or u (t) t donc g (x) (x ) 6(x ) on a h(x) v( x) or v (t) t donc h (x) - ( x) x En utilisant la dérivée d un produit il vient : f (x) 6(x ) ( x) + (x ) (-)( x) (x ) ( x)[6( x) (x )] Donc f (x) (x ) ( x)( 0x) 4) f(x) x ( x) f est une fonction rationnelle, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition - {} En utilisant la dérivée d un quotient et la dérivée de la fonction h obtenue à la question précédente : f (x) ( x) (x ) (-)( x) ( x) + (x ) ( x) 4 ( x) x 4 ( x) (x 5) 5) f(x) x + f est une fonction rationnelle, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition - {-} Posons g(x) (x 5) et u(t) t on a g(x) u(x 5) or u (t) t donc (x) g (x 5) 6(x 5) En utilisant la dérivée d un quotient on a : f (x) 6(x 5) (x + ) (x 5) (x + ) (x 5) [6(x + ) (x 5)] (x + ) (x 5) (4x + 7) (x + )

7 EX8 : ) f(0) car le point de coordonnées (0 ; ) appartient à la courbe représentative de f f() car le point de coordonnées ( ; ) appartient à la courbe représentative de f f() 0 car le point de coordonnées ( ; 0) appartient à la courbe représentative de f f(4) car le point de coordonnées (4 ; ) appartient à la courbe représentative de f ) f (0) est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 0 On voit que cette tangente passe par les points de coordonnées (0 ; ) et ( ; ) Donc f (0) ( ) 0 4 f () est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse On voit que cette tangente est parallèle à l axe des abscisses Donc f () 0 f () est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse On voit que cette tangente passe par les points de coordonnées ( ; 0) et (4 ; ) Donc f () 0 4 ) La tangente passe par le point de coordonnées ( ; 0) et a pour coefficient directeur d après ce qui précède Une équation de cette droite est de la forme y mx + n Soit y x + n (le nombre dérivé est ) On trouve n à l aide du point ( ; 0) : 0 + n, d où n 6 L équation réduite de la tangente est y x 6 4) La droite d équation y coupe la courbe en deux points L équation f(x) admet donc deux solutions qui sont les abscisses de ces points S {0,6 ;,4} avec la précision permise 5) Les solutions de l inéquation f(x) < 0 sont les abscisses des points de la courbe qui sont situés en dessous de l axe des abscisses (droite d équation y 0) S ] ; [ 6) L axe de symétrie ne peut être que la droite d équation x Le symétrique du point d abscisse 4 est le point d abscisse 0 Le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 0 est 4 Par symétrie, le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 4 est 4 Donc f (4) 4 7) f(x) ax + bx + c f(0) donc c f() - donc 4a + b + c - f() 0 donc 9a + b + c 0 On écrit le système et on trouve a, b 4 et c f(x) x 4x + Autre solution : on utilise la forme canonique et les coordonnées du sommet S ( ; -) On a : f(x) a(x ), puis on trouve a à l aide de f() 0 par exemple Cela donne a( ) 0 soit a puis f(x) (x ) x 4x + EX9 : f(x) f(a) (x + ) (4 + ) x 4 ) lim lim lim x a x a x x (-) x Le résultat est un nombre réel, donc f est dérivable en et f ( ) f(x) f(a) ) lim x a x a ) lim x 4) lim x 4 x - x lim x lim x x 4 4 x 4 x - - x lim x x x x x + lim x lim x x x x lim (x )(x + ) x x lim (x ) x (x )(x + ) x + 4 (x ) x(x ) lim x ( x 4-4)( x 4 + 4) lim lim x 4 (x 4)( x 4 + 4) x 4 x x f () lim (x ) 4 x x 9 f () (x 4) 4 (x 4)( x 4 + 4)

8 lim x 4 x 4 + f (4) EX0 : ) f(x) x x + 5x f (x) 6x 6x + 5 f(), f () 5 L équation réduite de la tangente au point A(; ) est de la forme y mx + n Le coefficient directeur est le nombre dérivé en soit m 5 Ainsi y 5x + n Les coordonnées de A doivent vérifier l équation soit 5 + n On obtient n - L équation réduite de la tangente au point d abscisse est y 5x ) f(x) x + f (x) x x f( ) 7, f ( ) 5 L équation réduite de la tangente au point A( ; 7) est de la forme y mx + n Le coefficient directeur est le nombre dérivé en soit m 5 Ainsi y 5 x + n Les coordonnées de A doivent vérifier l équation soit n - 7 On obtient n - L équation réduite de la tangente au point d abscisse est y 5 x ) f(x) x + x + f(0), f (0) 4 f (x) (x + ) L équation réduite de la tangente au point A(0 ; ) est de la forme y mx + n Le coefficient directeur est le nombre dérivé en 0 soit m 4 Ainsi y 4 x + n Les coordonnées de A doivent vérifier l équation soit n - L équation réduite de la tangente au point d abscisse est y 4 x EX : Le point A( ; 5) appartient à donc f() 5 soit : a + b + 5 La tangente en A a pour coefficient directeur donc f () 4 Or f (x) a (x ), ainsi : a 4 - On trouve facilement a et b Il vient : f(x) x + + EX : ) f (x) 6x 8 x ) f() Le point I( ; ) appartient à f () 4 est le coefficient directeur de la tangente au point I Equation réduite : y 4x + n

9 Les coordonnées de I vérifient l équation soit : 8 + n Ainsi n - 7 et y 4x 7 est l équation de la tangente cherchée Une valeur approchée de f(,0005) est obtenue en remplaçant x par,0005 dans l équation réduite de la tangente en : f(,0005) 4, soit f(,0005),00 ) Tangente parallèle à une droite de coefficient directeur m ssi f (x) m Tangente horizontale donc f (x) 0 6x 8 0 donne x 4 f(4 ) -, donc A(4 ; - ) Tangente de coefficient directeur donc f (x) - 6x 8 - donne x f() 0, donc B( ; 0) Tangente de coefficient directeur (car c est celui de la droite donnée) donc f (x) - 6x 8 - donne x 9 f( 9 ) - 8, donc C( 7 9 ; ) Le produit des coefficients directeurs est donc - 6x 8 donne x f() 80, donc D( ; 80) 4) f (x) 6 f(a) + (x a) f (a) + (x a) f (a) a (x a) 8a (x a)(6a 8) + 6 a 8a ax 8x 6a + 8a +x 6ax + a x 8x + 5 f(x) 5(x ) (5x 9) 4 5) a) On calcule la dérivée de g : g (x) (x ) (x ) f (x) - soit f (x) On a vu que f() et f () 4 Or g() et g () 4 ce qui prouve que les deux courbes sont tangentes au point d abscisse La tangente commune ayant pour équation y 4x 7 b) Il faut résoudre f(x) g(x) x 8x + 5 5x 9 avec x x (x )( x 8x + 5) 5x 9 avec x Cette équation devient : x x + 8x Comme f() g(), est racine de cette équation On factorise par x : (x )(x 5x ) 0 puis (x ) (x + ) 0 Le deuxième point d intersection est E( - ; 8) EX : ) f (x) (x ) et f (x) - 4 (x ) ) Le coefficient directeur de la droite étant, on va résoudre f (x) (x ) avec x Donc (x ) 4, x On obtient deux solutions : x - et x 5 Les points sont A(- ; ) car f(-) et B(5 ; -) car f(5) -