Algorithmes de Recherche et de Tri
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- Brigitte Larrivée
- il y a 6 ans
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1 Chapitre 5 Algorithmes de Recherche et de Tri Ce chapitre présete plusieurs algorithmes classiques de recherche et de tri. 1- Problèmes de recherche et de tri La majorité des applicatios iformatiques ot besoi de stocker des doées e grade quatité. Avat de traiter ue doée, il faut savoir la rechercher pour la retrouver rapidemet. Le tri des doées est ue solutio fodametale pour accélérer la recherche d ue doée particulière das u domaie vaste. E gééral, le critère de recherche d ue doée porte sur la valeur d'ue clé. Par exemple, les baques triet les chèques des cliets par leurs uméros. Les algorithmes de recherche peuvet varier selo plusieurs critères : S agit-il d ue recherche itere (das la mémoire cetrale RAM) ou d ue recherche extere (sur le disque dur de l ordiateur). La clé de la recherche est-elle simple (u uméro) ou composée (u om + u préom + ue date de aissace)? La structure de doées utilisée : tableau, liste liéaire, liste doublemet chaîée, etc. La ature de la recherche : est-ce qu o recherche ue occurrece, la première occurrece, toutes les occurreces des élémets ayat la même clé, etc. Défiitio formelle du problème de recherche étudié : Problème : état doé u tableau A de N élémets (des etiers, par exemple) et u élémet e (à rechercher). Trouver u idice d u élémet quelcoque x du tableau A[1..N] ayat la même valeur que l élémet e (c est-à-dire, tel que x E). Etrée : u etier N, u tableau A[1..N] de N élémets etiers et u élémet e (u etier). Sortie : u idice (u etier) d u élémet x das le tableau A[1 N] tel que x e, ou bie 0 si l élémet e e figure pas parmi les élémets du tableau A[1 N]. Défiitio formelle du problème de tri étudié : Problème : état doé u tableau A de N élémets (des etiers, par exemple). Trier (ou ordoer) le tableau A[1..N] das l ordre croissat.
2 Chapitre 5 : Algorithmes de Recherche et de Tri 38 Etrée : u etier N, ue liste de N élémets (etiers) : a 1, a,, a N. Sortie : ue permutatio (réarragemet) a 1, a,, a N de la liste d etrée telle que a 1 a a N. - Algorithmes de recherche A) Algorithme de recherche séquetielle : Pricipe : Parcourir le tableau A du début jusqu à ce qu o trouve u élémet x e. Lorsqu o visite u élémet x d idice i, o le compare avec e. Si x e, o s arrête et o retoure i, sio o cotiue le parcours du tableau (o icrémete la valeur de i). Foctio RechSéq(A : Tableau d Etier,, e : Etier) : Etier i : 1; Tat Que (i ) TQ i : Etier; Si (A[i] e) Alors Retourer(i); Si Retourer(0); Sio i : i + 1; Exercice : Doer la preuve de cet algorithme, puis le programmer e C++. Complexité e ombre de comparaisos : Das le meilleur des cas : o Cofiguratio qui doe le meilleur des cas : A [ 1] e. o ( ) 1. MiRe chséq Das le pire des cas : o Cofiguratio qui doe le pire des cas : e A, ou bie A [ i] e, i<. A [ ] e avec o Max chséq ( ). Re L algorithme de recherche séquetiel a doc ue complexité e Ο () (algorithme liéaire). 3 ème Aée GI, Prof : A.DARGHAM ENSA, Oujda
3 Chapitre 5 : Algorithmes de Recherche et de Tri 39 B) Algorithme de recherche dichotomique : Pricipe : Lorsque le tableau iitial est déjà trié, o peut améliorer la recherche e procédat, par ue stratégie de type diviser pour réger, comme suit : O compare l élémet recherché e avec l élémet m qui se trouve au milieu du tableau iitial A (dot l idice est j). Si m e, o retoure l idice du milieu du tableau (c-à-d. j). Si e < m, o refait le même processus das le tableau A[1 j - 1]. Si e > m, o refait le même processus das le tableau A[j + 1 ]. Foctio RechDicho(A : Tableau d Etier, deb, fi : Etier) : Etier m : Etier; // idice du miimum Si (deb > fi) Alors Retourer(0); Si deb+ fi Sio m : ; Si (A[m] e) Alors Retourer(m); Si Sio Si (A[m] > e) Alors Si Retourer(RechDicho(A, deb, m - 1)); Sio Retourer(RechDicho(A, m + 1, fi)); Exercice : Doer la preuve de cet algorithme, puis le programmer e C++. Complexité e ombre de comparaisos : Calculos la complexité de cet algorithme das le pire des cas : Soit fi deb+ 1 la taille du tableau (c est la taille de l etrée). Notos par T() le coût de l algorithme e ombre de comparaisos. Nous avos : ( 1) T et ( ) T ( / ) +, T pour tout > 1. D après le théorème gééral, T ( ) Ο(log ). Il s agit doc d u algorithme logarithmique. 3 ème Aée GI, Prof : A.DARGHAM ENSA, Oujda
4 Chapitre 5 : Algorithmes de Recherche et de Tri Algorithmes de tri A) Algorithme de tri par sélectio du miimum : Pricipe : À chaque itératio, o recherche le plus petit élémet das la partie o ecore triée du tableau. O échage cet élémet avec le premier élémet das la même partie du tableau. Foctio TriSélectio(A : Tableau d Etier, : Etier) Pour i : 1 à - 1 Faire j : i; Pour {i} i, j, k : Etier; // j idice du miimum Pour k : i + 1 à Faire Pour {k} Si (A[k] < A[j]) Alors j : k; Si Si (j i) Alors Echager(A[i], A[j]) Si Exercice : Doer la preuve de cet algorithme, puis le programmer e C++. Complexité e ombre de comparaisos : Calculos la complexité (exacte) : Notos par T() le coût de l algorithme e ombre de comparaisos ( taille du tableau). 1 1 ( 1) T ( ) 1 ( i) ( 1) + ( ) Θ( i 1 k i+ 1 i 1 B) Algorithme de tri par isertio : Pricipe : À chaque itératio, o pred le premier élémet das la partie o ecore triée du tableau (la clé). O cherche la place de la clé das la partie déjà triée du tableau, e commeçat par la droite de cette partie. Ue fois cette place trouvée, o y isère la clé et e décale vers la droite les autres élémets de la partie triée dot l idice est plus grad ou égal à la positio. ). 3 ème Aée GI, Prof : A.DARGHAM ENSA, Oujda
5 Chapitre 5 : Algorithmes de Recherche et de Tri 41 Foctio TriIsertio(A : Tableau d Etier, : Etier) Pour i : à Faire Pour Clé : A[i]; j : i - 1; i, j, k : Etier; // j idice du miimum Tat Que ((j > 1) ET (Clé < A[j])) Faire TQ A[j + 1] : A[j]; j : j - 1; A[j + 1] : Clé; // Décalage // Isertio de la clé Exercice : Doer la preuve de cet algorithme, puis le programmer e C++. Complexité e ombre de comparaisos : Das le meilleur des cas : o Cofiguratio qui doe le meilleur des cas : le tableau A est trié das l ordre croissat. i o Mi ( ) 1 1 Ω( ). TriIsertio Das le pire des cas : o Cofiguratio qui doe le pire des cas : le tableau A est trié das l ordre décroissat. o Max TriIsertio ( ) C) Algorithme de tri à bulles : Pricipe : i 1 1 i j 1 i ( 1) ( i 1) ( 1) Ο( ). À chaque itératio, o compare das la partie o ecore triée du tableau, u élémet et so suivat, e commeçat par le premier élémet das cette partie. Si les deux élémets successifs sot das le bo ordre, o progresse. Sio, o les permute. De cette faço o ramèe le plus grad élémet à la derière positio das la partie o ecore triée du tableau. 3 ème Aée GI, Prof : A.DARGHAM ENSA, Oujda
6 Chapitre 5 : Algorithmes de Recherche et de Tri 4 Foctio TriBulles(A : Tableau d Etier, : Etier) Pour i : 1 à - 1 Faire Pour i, j, k : Etier; // j idice du miimum Pour j : 1 à ( - i) Faire Pour Si (A[j] > A[j + 1]) Alors Echager(A[j], A[j + 1]); Si Exercice : Doer la preuve de cet algorithme, puis le programmer e C++. Complexité e ombre de comparaisos : Calculos la complexité (exacte) : Notos par T() le coût de l algorithme e ombre de comparaisos ( taille du tableau). 1 i 1 ( 1) T ( ) 1 ( i) Θ( ). i 1 j 1 i 1 o Max TriIsertio ( ) i 1 1 i j 1 i ( 1) ( i 1) ( 1) Ο( ). D) Algorithme de tri par fusio : Pricipe : Il s agit d u algorithme suivat ue stratégie de type diviser pour réger. L algorithme procède comme suit : O divise le tableau e deux parties égales. O effectue deux appels récursifs pour trier les deux parties du tableau. O fusioe les deux parties triées du tableau pour former u seul tableau trié (procédure de fusio). Algorithmes : Foctio TriFusio(A : Tableau d Etier, deb, fi : Etier) // L algorithme de tri par fusio Si (deb < fi) Alors milieu : Etier; 3 ème Aée GI, Prof : A.DARGHAM ENSA, Oujda
7 Chapitre 5 : Algorithmes de Recherche et de Tri 43 Si deb+ fi milieu : ; TriFusio(A, deb, milieu); TriFusio(A, milieu + 1, fi); Fusio(A, deb, milieu, fi); Foctio Fusio(A : Tableau d Etier, deb, milieu, fi : Etier) // Procédure de fusio i, j, k : Etier; B : Tableau; Pour k : deb à milieu Faire B[k] : A[k]; Pour Pour k : milieu + 1 à fi Faire B[k] : A[fi - k + milieu + 1]; Pour i : deb; j : fi; k : 1; Tat Que (i < j) Faire Si (B[i] < B[j]) Alors A[k] : B[i]; i : i + 1; Sio A[k] : B[j]; j : j - 1; Si k : k + 1; TQ Exercice : Doer la preuve de cet algorithme, puis le programmer e C++. Complexité e ombre de comparaisos : Calculos la complexité de cet algorithme das le pire des cas : Soit fi deb+ 1 la taille du tableau (c est la taille de l etrée) et otos par T() le coût de l algorithme e ombre de comparaisos. ( ) T ( / ) + T ( / ) + ( 1), T pour assez grad. E fait, la procédure de fusioe écessite ( - 1) comparaisos. 3 ème Aée GI, Prof : A.DARGHAM ENSA, Oujda
8 Chapitre 5 : Algorithmes de Recherche et de Tri 44 D après le théorème gééral, T ( ) Ο( log ). E) Algorithme de tri rapide : Pricipe : Il s agit égalemet d u algorithme suivat ue stratégie de type diviser pour réger. L algorithme procède comme suit : O partitioe le tableau de faço à avoir deux parties vérifiat la propriété suivate : tous les élémets de la première partie sot iférieurs à u élémet p (appelé le pivot), et tous les élémets de la deuxième partie sot supérieurs à ce même élémet p. Aisi, l élémet p se trouvera das sa place coveable. O effectue deux appels récursifs pour trier de la même faço les deux parties du tableau. Algorithmes : Foctio TriRapide(A : Tableau d Etier, deb, fi : Etier) // L algorithme de tri rapide Si (deb < fi) Alors Si pivot : Partitio(A, deb, fi); TriRapide(A, deb, pivot - 1); TriRapide(A, pivot + 1, fi); Foctio Partitio(A : Tableau d Etier, deb, fi : Etier) // Procédure de partitioemet x : A[fi]; pivot : deb - 1; i, pivot, x : Etier; B : Tableau; Pour i : deb à fi - 1 Faire Pour Si (A[i] x) Alors Si pivot : pivot + 1; Echager(A[pivot], A[i]); 3 ème Aée GI, Prof : A.DARGHAM ENSA, Oujda
9 Chapitre 5 : Algorithmes de Recherche et de Tri 45 Echager(A[pivot + 1], A[fi]); Retourer(pivot + 1); Exercice : Doer la preuve de cet algorithme, puis le programmer e C++. Complexité e ombre de comparaisos : Calculos la complexité de cet algorithme das le pire des cas : Soit fi deb+ 1 la taille du tableau (c est la taille de l etrée) et otos par T() le coût de l algorithme e ombre de comparaisos. T ( ) max ( T( q) + T ( q 1)) +Θ( ), pour assez grad. E fait, la procédure 0 q 1 de partitioemet écessite u ombre de comparaisos e Θ (). Motros, par substitutio que T ( ) Ο( ) : T ( ) max ( T( q) + T ( q 1)) +Θ( ) 0 q 1 T ( ) max ( cq 0 q 1 + c( q 1) ) +Θ( ) T ( ) c max ( q 0 q 1 T ( ) c ( 1) + ( q 1) ) +Θ( ) + Θ( ) T ( ) c + c' max( c, c' ) K, où K max( c, c') > 0. E coclusio, l algorithme de tri rapide est e Ο ( ). Calculos la complexité de l algorithme das le meilleur des cas : Das le cas où le partitioemet produit des parties de taille iférieure ou égale à ( / ), le temps d exécutio de l algorithme serait plus rapide. E effet : T ( ) T ( / ) + Θ( ), pour assez grad. D après le théorème gééral, ue telle foctio serait e Ο ( log ). Remarque : le temps d exécutio moye du tri rapide est plus proche du cas optimal (meilleur des cas) que du cas le plus défavorable (pire des cas). Mots clés du chapitre : Algorithme de recherche séquetielle Algorithme de recherche biaire (dichotomique) Algorithme de tri par sélectio Algorithme de tri par isertio Algorithme de tri à bulles Algorithme de tri par fusio Algorithme de tri rapide 3 ème Aée GI, Prof : A.DARGHAM ENSA, Oujda
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