Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

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1 Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu la notion d angle orienté ainsi que la notion d affixe d un nombre complexe. Pour la suite on se donnera un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé (O, i, j ). 1. Module d un nombre complexe : 1.1 Définition : Définition 1 : On appelle module d un nombre complexe z = a + ib, (a, b) Y ², le nombre réel positif noté z défini par : z = a² + b² Conséquence : z = z z Z 1.2 Interprétation graphique : Le module d un nombre complexe z = a + ib représente la norme euclidienne du vecteur d affixe z (i.e. M (a ; b) ) et O est l origine du repère. z est la distance OM. OM où M est le point Remarque : Comme z B z A est l affixe du vecteur AB, le module de z B z A noté z B z A correspond à la norme euclidienne du vecteur AB (i.e. correspond à la distance AB) Propriété 1 : 1.3 Propriétés : - z Z, z ² = z z - z Z, z = 0 z = 0 - z Z, z = z - z, z Z, z z = z z - z Z *, 1 z = 1 z - z Z, z Z * z z = z z - z, z Z, z + z < z + z (inégalité triangulaire) - z Z, λ Y, λ z = λ z, en particulier - z = z - z, z Z, z z < z z valeur absolue Hannon.J - 1 -

2 Démonstration : Ecrire les complexes sous leurs formes algébriques, faire les calculs et les résultats en découlent. Montrons juste les 2 plus difficiles, l inégalité triangulaire et le dernier point. On remarque que a, b Y, a < a < a² + b² Re (a + ib) < a < a +ib Soient z, z Z, le module d un nombre complexe étant positif, on compare leurs carrés : z + z ² = (z + z ) ( z + z ) = (z + z ) ( z + z ) = z z + z z + z z + z z = z ² + z ² + z z + z z = z ² + z ² + 2 Re(z z ) z + z ² < z ² + z ² + 2 z z d après notre remarque < z ² + z ² + 2 z z = z ² + z ² + 2 z z < ( z + z )² Donc z, z Z, z + z < z + z. Montrons que z, z Z z z < z z. z = z z + z < z z + z z - z < z z De même z = z z + z < z z + z = z z + z z - z > - z z En regroupant ces 2 inégalités on trouve bien : z, z Z z z < z z. 1.4 Lignes de niveau : Rappel sur les lignes de niveau : f : Y M ï f (M) On appelle ligne de niveau k Y de l application f, l ensemble des points M du plan tels que f (M) = k A - Lignes de niveau de f 1 : z ï z - ω où ω Z : Posons f 1 : Y + M (z) ï z - ω Γ 1 = { M f 1 (M) = k, k Y }, notons Ω le point d affixe ω. Proposition 1 : Si k < 0 alors Γ 1 = Si k = 0 alors Γ 1 = { Ω } Si k > 0 alors Γ 1 est le cercle de centre Ω et de rayon k. Démonstration : k < 0 et k = 0 évident. Si k> 0, f 1 (M) = k. Or f 1 (M) = z - ω = ΩM = ΩM. f 1 (M) = k ΩM = k Γ 1 est le cercle de centre Ω et de rayon k. B - Lignes de niveau de f 2 : z ï z a z - b où a, b Z : Posons f 2 : Y + M (z) ï z a z - b Γ 2 = { M f 2 (M) = k, k Y } A et B sont deux points fixés d affixe respective a et b. Hannon.J - 2 -

3 Proposition 2 : Si k < 0 alors Γ 2 = Si k = 0 alors Γ 2 = { A } Si k = 1 alors Γ 2 est la médiatrice du segment [AB] Si k > 0 et k 1 alors Γ 2 est le cercle de diamètre [IJ] où : I barycentre de (A, 1) ; (B, - k) J barycentre de (A, 1) ; (B, k) Démonstration : k < 0 et k = 0 évident. Si k = 1, z a = z b AM = BM M appartient à la médiatrice de [AB]. Si k > 0 et k 1, M(z) Γ 2 z a = k z b z a ² = k² z b ² car k > 0 MA² = k² MB² ( MA k MB). ( MA + k MB) = 0 (1 k) MI. (1 + k) MJ = 0 MI. MJ = 0 car k 1. Donc M appartient au cercle de diamètre [IJ]. 2. Argument d un nombre complexe : 2.1 Définition : Définition 2 : Un argument est un réel définissant la mesure d un angle. Théorème 1 : z Z *, θ Y tel que cos θ = Re z et sin θ = Im z z z Autrement dit, tout nombre complexe peut s écrire z = z (cos θ + i sin θ) Démonstration : z = a + ib z = a² + b², on a : 1 < a a² + b² < b 1 < a² + b² < 1 et a + b = 1 (E) a² + b² a² + b² Or la fonction cos est surjective dans [-1, 1] donc θ Y tel que cos θ = D après (E) on a sin θ = ± b a² + b². Reste à choisir entre θ et -θ pour que sin θ = b a² + b². Ce choix n est pas gênant dans la mesure où l on a toujours cos θ = cos (-θ) =. a a² + b² a a² + b² Définition 3 : θ est appelé argument de z et est noté arg (z). De plus l écriture z = z (cos θ + i sin θ) s appelle l écriture trigonométrique du nombre complexe z. Remarque : La démonstration du théorème précédent nous indique comment choisir θ. Or la fonction cos qui est à valeurs dans [-1, 1] n est pas bijective θ n est pas unique. Il est défini à 2k π près (k W) ou modulo (2 π ) car la fonction cos est 2π périodique. 2.1 Interprétation géométrique : L argument z correspond donc à la mesure de l angle orienté ( i, OM) où M a pour affixe z. arg (z) = ( i, OM) (2 π ) Hannon.J - 3 -

4 Propriété 2 : 2.3 Propriétés : - arg (z) = 0 (2 π ) z Y + - arg (z) = 0 (π ) z Y * - arg (z) = π (2 π ) z Y - - pour z = 0 l argument n est pas défini - arg (z) = π 2 (2 π ) z iy Im (z) > 0 - arg (z) = - π 2 (2 π ) z iy Im (z) < 0 - arg (z) = π (π ) z iy et z 0. 2 Démonstration : Découle de la définition Propriété 3 : z, z Z * - arg ( z ) = - arg (z) (2 π ) - arg (-z) = arg (z) + π (2 π ) - arg (z z ) = arg (z) + arg (z ) (2 π ) - arg z z = arg (z) arg (z ) (2 π ) - arg 1 z = - arg (z) (2 π ) - arg (z n ) = n arg (z) (2 π ) n V - arg (z) = arg (z ) (2 π ) z = k z, k > 0. Démonstration : Utilise l écriture trigonométrique arg (z z ) = arg (z) + arg (z ) (2 π ) : Posons arg (z) = θ et arg (z ) = θ, z = r (cos θ + i sin θ) z = r (cos θ + i sin θ ) z z = r r (cos θ cos θ sin θ sin θ + i (cos θ sin θ + sin θ cos θ ) ) = r r (cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ ) ) Comme r r Y + on en déduit que arg (z z ) = θ + θ (2 π ) arg (z z ) = arg (z) + arg (z ) (2 π ) arg (z) = arg (z ) (2 π ) z = k z, k > 0 : arg (z) = arg (z ) (2 π ) ( i, OM) = ( i, OM ) (2 π ) - ( i, OM ) + ( i, OM) = 0 (2 π ) ( OM, i ) + ( i, OM) = 0 (2 π ) ( OM, OM) = 0 (2 π ) OM = k OM, k > 0 z' = k z, k > 0 Les autres se montre aussi en utilisant la forme trigonométrique. 2.4 Autres interprétations géométriques : Propriété 4 : Soient A, B et C d affixes respectives z A, z B, z C i) ( i, AB ) = arg (z B z A ) (2 π ) ii) iii) z Z, z Z *, arg z z z B - z = ( AB, AC ) (2 π ) A arg z C - z A = ( OM, OM) (2 π ) M d'affixe z, M' d'affixe z' Hannon.J - 4 -

5 Démonstration : 1 AB a pour affixe z b z A. Soit M tel que OM = AB. OM a pour affixe z b z A ( i, AB ) = ( i, OM ) = arg (z M ) (2 π ) = arg (z b z A ) (2 π ) 2 arg z z = arg (z) arg (z ) (2 π ) = ( i, 3 Même principe que pour le précédent. OM) ( i, OM ) (2 π ) = ( OM, i ) + ( i, OM ) (2 π ) = ( OM, OM) (2π ) 2.5 Lignes de niveau : Ligne de niveau de f 3 : z ï arg z z A z - z, z A, z B Z : B Posons f 3 : Y + M (z) ï arg z z A z - z B Γ 3 = { M \ {B} f 3 (M) = α (π), α Y } Γ 4 = { M \ {B} f 3 (M) = α (2π), α Y } z Γ 3 ( MB, MA) = α (π) et z Γ 4 ( MB, A et B sont deux points fixés d affixe respective z a et z b. MA) = α (2π) Proposition 3 : i) Si α = 0 (π ) alors Γ 3 = (AB) \ {A, B} ii) Si α 0 (π ) alors Γ 3 est le cercle (C) passant par les points A et B et admettant pour tangente en A la droite (AT), T B où T est tel que ( AT, AB ) = α (π ), privé des points A et B. Le cercle (C) s appelle cercle capable. iii) Si α = 0 (2 π ) alors Γ 4 = (AB) \ [AB] iv) Si α = π (2π ) alors Γ 4 = ]AB[ v) Si α 0 (2 π) alors Γ 4 est l arc capable AB du cercle capable (C) associé à α. C est l arc ouvert AB (i.e. ne contient pas les points A et B) de (C) contenu dans le ½ plan de frontière (AB) ne contenant pas T. Rappel sur l arc capable : La corde [AB] définie deux arcs de cercle et par là, deux mesures d angles supplémentaires. Soit α l une d elle. L arc de cercle correspondant est appelé arc capable de mesure α relatif à la corde [AB] Démonstration : Voir la leçon 19 concernant cette étude et des applications. Hannon.J - 5 -

6 3. Applications : 3.1 Equation complexe d un cercle : Le point M d affixe z appartient au cercle Γ de centre Ω d affixe ω et de rayon r si et seulement si : z - ω = r (z - ω) ( z - ω ) = r ² z ² + 2 Re(z ω ) + ω = r ² 3.2 Colinéarité et orthogonalité de deux vecteurs : Si A B et C D AB et CDsont colinéaires ( AB, CD) = 0 (π ) arg z D z C z B - z = 0 (π ) A z D z C z B - z A Y * (z D z C ) (z B z A ) Y * AB et CDsont orthogonaux ( AB, CD) = π 2 (π ) arg z D z C z B - z A z D z C z B - z A iy * 3.3 Cocyclicité en terme d affixe: = π 2 (π ) (z D z C ) (z B z A ) iy * Des points du plan sont dit cocycliques s ils appartiennent à un même cercle ; Deux points, trois points non alignés sont toujours cocycliques. On va donner une condition sur la cocyclicité de 4 points non alignés en utilisant l arc capable Quatre points A, B, C et D non alignés sont cocycliques si et seulement si : ( AC, AD) = ( BC, BD) (π ) arg z D z A z C - z = arg z D z B A z C - z (π ) B arg z D z A z C - z - arg z D z B A z C - z = 0 (π ) B D z D z A z C - z A z D z B z C - z B Y * (z D z A ) ( z C z B ) (z C z A ) (z D z B ) Y * C O B A Hannon.J - 6 -