STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES

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1 STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES A. BOUARICH 1. Notion de relations binaires 1.1. Relation binaire d équivalence sur un ensemble. Définition 1. Soit A un ensemble non vide. Une fonction propositionnelle R : A A {V,F} s appelle relation binaire définie sur l ensemble A. (1) Soit x et y A. Si la proposition R(x,y) est vraie on dira que x est en relation avec y modulo R, et on écrit xry. (2) Le sous-ensemble G(R) = {(x,y) A A R(x,y) est vraie} s appelle graphe de la relation binaire R. Exemple 1. 1) Dans R on définit deux relations binaires par les expressions suivantes : (1) ( x R)( y R) [xr 1 y x 2 = y 2 ]. (2) ( x R)( y R) [xr 2 y x+y = 1]. Notons que le graphe de la relation binaire R 1 est égal à la réunion des deux droites d équation x = y et x = y tandis que le graphe de la relation binaire R 2 est égal à la droite d équation x+y = 1. 2) Soit E un ensemble non vide. Sur l ensemble des parties F = P(E) \ { } on définit deux relations binaires par les expressions suivantes : (1) ( A F)( B F)[AS 1 B A B]. (2) ( A F)( B F)[AS 2 B A B ]. Exercice 1. Déterminer le graphe des relations binaires S 1 et S 2 définies dans l exemple précédent lorsque l ensemble E = {0, 1}. Définition 2. Soit R une relation binaire définie sur un ensemble non vide A. On dira que R est une relation d équivalence si elle vérifie les propriétés suivantes : 1) Réflexivité: ( x E),xRx; 2) Symétrie: ( x E)( y E)[xRy = yrx]; 3) Transitivité: ( x E)( y E)( z E)[xRy yrz] = xry. Si R est une relation binaire d équivalence sur un ensemble E au lieu d écrire xry on va écrire : x y mod R et on lit : x est équivalent à y modulo R. Exemple 2. On rappelle qu un entier relatif x Z est dit paire (resp. impaire) s il existe un entier n Z tel que x = 2n (resp. x = 2n+1). Il est calir que si x Z est paire alors son opposé x est paire, et si en plus y Z est paire alors l entier x y est paire. 1) Sur Z on définit une relation binaire R par l expression : ( x Z)( y Z),xRy x y est paire Sur Z la relation binaire R est une relation d équivalence car on a : Date: Vendredi 21 octobre

2 2 A. BOUARICH R est réflexive parce que pour tout x Z l entier x x = 0 est paire. R est symétrique parce que si pour un couple d entiers x et y Z l entier x y est paire il en résulte que y x = (x y) est paire. R est transitive parce que pour tout triplet x, y et z Z tels que les entiers x y et y z sont paires on en déduit que l entier (x y)+(y z) = x z est paire. 2) Sur Z on définit une relation binaire R par l expression : ( x Z)( y Z)[xR y x y est impaire] Puisque pour tout entier x Z la différence x x = 0 n est pas impaire on en déduit que R est non réflexive, et donc R n est pas une relation d équivalence. Exercice 2. Vérifier est-ce que les relations binaires R 1, R 2, S 1 et S 2 définies dans l exemple 1 sont-elles des relations d équivalence ou non? 1.2. Classes d équivalence et ensemble quotient. Définition 3. Soit E un ensemble non vide muni d une relation d équivalence notée R. (1) On appelle classe d équivalence de x E modulo R le sous-ensemble noté Cl R (x) = {y E xry} (2) L ensemble de toutes les classes d équivalence modulo R s appelle ensemble quotient de E modulo R, il se note E/R i.e. : E/R = {Cl R (x) x E} (3) L application q R : E E/R qui envoie un élément x E sur sa classe d équivalence Cl R (x) s appelle surjection canonique induite par R. Exemple 3. Sur R considérons la relation binaire R définie par l expression suivante : ( x R )( y R )[xry xy > 0] a) Vérifions que la relation binaire R est une relation d équivalence sur R. En effet, puisque pour tout x 0 on a x 2 > 0 on en déduit que xrx, donc R est reflexive. D autre part, si on a xy > 0 on aura aussi xy = yx > 0, donc yrx et cela implique que R est symétrique. Enfin, si on a xry et yrz on en déduit que les réels x, y et z sont de même signe, donc xrz et par suite R est transitive. b) Par définition d une classe d équivalence modulo R on aura pour tout réel x 0 : Cl R (x) = {y R xy > 0} Donc, si x > 0 on aura Cl R (x) = R + et si x < 0 on aura Cl R (x) = R. Par conséquent, l ensemble quotient de R modulo R est égal à R /R = {R +,R } Proposition 1. Soit E un ensemble non vide muni d une relation d équivalence R. Pour tout couple d éléments x et y de E les affirmations suivantes sont vraies : (1) Si y Cl R (x) alors Cl R (x) = Cl R (y). (2) Si y Cl R (x) alors Cl R (x) Cl R (y) =. Autrement dit, les classes d une relation d équivalence sont soit confondues ou disjointes. Démonstration. 1) Soit y Cl R (x). Observons que si on prend z Cl R (y) on aura yrz, et comme on a xry la transitivité de R implique que xrz. Donc, z Cl R (x) et par conséquent Cl R (y) Cl R (x). Inversement, puisque x Cl R (y) on aura Cl R (x) Cl R (y), donc Cl R (x) = Cl R (y).

3 COURS D ALGÈBRE 1, CHAPITRE 2 3 2) Soit y Cl R (x). Donc, pour tout z Cl R (y) on aura z Cl R (x) car sinon on obtient zrx, et comme on a yrz la transitivité de R entraîne que yrx. Or, ceci est absurde parce que on a supposé y Cl R (x). Par conséquent, Cl R (x) Cl R (y) =. Définition 4. Soient E et I deux ensembles non vides, et soit F = {A i i I} une famille de sous-ensembles non vides de E. On dira que F est une partition de E si elle vérifie les deux conditions suivantes : (1) i IA i = E; (2) ( i I)( j I)[i j = A i A j = ]. Étant donné un ensemble non vide E muni d une relation d équivalence R, le résultat de la proposition 1 implique que les classes d équivalence de R définissent une partition de E, car les classes d équivalence sont soit disjointes ou confondues et pour tout x élément de E on a x Cl R (x), donc la réunion de toutes les classes d équivalence de E modulo R est égale à E. La proposition suivante nous donne la réciproque. Proposition 2. Soit E un ensemble non vide muni d une partition F = {A i i I}. Alors, il existe une relation déquivalence sur E dont les classes d équivalence sont égales aux sousensembles A i F. Démonstration. Observer que si pour tous x et y E on pose xry ( i I),(x A i ) et (y A i ) on obtient une relation d équivalence sur E. Ainsi, comme pour tout x E il existe un i I tel que x A i on aura donc Cl R (x) = A i. Exercice 3. Soit E un ensemble non vide. On désigne par R(E) l ensemble de toutes les relations d équivalence de E. 1) Soient R 1 et R 2 R(E). Pour tous x et y éléments de E on pose : xry (xr 1 y) et (xr 2 y) Vérifier que R est une relation d équivalence sur E et détermier ses classes d équivalence. 2) Soient R 1 et R 2 R(E). Pour tous x et y éléments de E on pose : xr y (xr 1 y) ou (xr 2 y) Est-ce que R définie une relation d équivalence sur E? Exercice 4. Dans le plan R 2, on fixe deux droites orthogonales D et. Pour tous M R 2 et M R 2 on pose MR D M lorsqu il existe une droite D qui passe par M et M et qui soit parallèle avec la droite D. M D D M Figure 1. Description géométrique de la relation binaire R D 1) Vérifier que R D est une relation d équivalence sur R 2. 2) Déterminer la classe d équivalence modulo R D de tout point M D. 3) Démontrer que pour tout point M R 2 l intersection Cl RD (M) est un singleton. 4) En déduire qu il existe une bijection entre l ensemble quotient R 2 /R D et la droite.

4 4 A. BOUARICH 1.3. Relation d équivalence compatible avec une application. Définition 5. Soient E et F deux ensembles non vides munis respectivement par les relations d équivalence R et S. On dira qu une application f : E F est compatible avec les relations d equivalence R et S si on a : ( x E)( y E)[xRy = f(x)sf(y)] Lorsque la relation déquivalence S coïncide avec l égalité dans l ensemble F i.e. : ( x E)( y E)[xRy = f(x) = f(y)] on dira seulement que f est compatible avec la relation déquivalence R. La condition de compatibilité de f avec R implique que pour tout x E on a l inclusion des classes d équivalence : f(cl R (x)) Cl S (f(x)). Donc, si pour tout x E on pose f(cl R (x)) = Cl S (f(x)) on définit ainsi une application f : E/R F/S telle que f q R = q S f. Cette égalité se traduit par le shémas suivant que l appelle diagramme commutatif : E f F q R q S E/R f F/S L application f : E/R F/S est dite induite par f et les relations d équivalence R et S. Lorsque la relation S est l égalité dans F on obtient une application induite f : E/R F telle que f q R = f, et donc un diagramme commutatif de la forme : q R f E F f E/R Proposition 3. Soit f : E F une application. Pour tous x et y E on pose xr f y f(x) = f(y) La relation binaire R f est dite assocée à f et vérifie les propriétés suivantes : (1) R f est une relation d équivalence sur E compatible avec f. (2) La classe d équivalence modulo R f de tout élément x E est égale à f 1 ({f(x)}). (3) L application f : E/R f F qui est induite par f et la relation R f est injective. (4) L ensemble quotient E/R f est bijectif avec l image Im(f). Démonstration. Exercice. Exercice 5. Soit f : Z N la fonction définie par, f(n) = n 2. 1) Déterminer la classe d équivalence modulo R f de tout entier n Z. 2) Démontrer que l application F : N Z/R f qui envoie un entier n 0 sur sa classe d équivalence Cl Rf (n) est bijective. 3) En utilisant l application induite f : Z/R f N démontrer qu il existe une bijection de N dans le sous-ensemble {n 2 N n N}.

5 COURS D ALGÈBRE 1, CHAPITRE 2 5 Exercice 6. Soient f : E F une application et R une relation d équivalence définie sur E compatible avec f i.e. : ( x E)( y E)[xRy = f(x) = f(y)] Rappelons que à l application f on peut associer une relation d équivalence notée R f définie sur E par l expression suivante : ( x E)( y E)[xR f y f(x) = f(y)] 1) Démontrer que pour tout x E, Cl R (x) Cl Rf (x). 2) En déduire que la correspondance Cl R (x) Cl Rf (x) induit une application surjective f : E/R E/R f telle que f q R = q Rf. Exercice 7. Soit E un ensemble non vide et A E une partie non vide. Sur l ensemble des parties P(E) on définit deux relations binaires par les expressions suivantes : (1) ( X E)( Y E)[XS A Y X A = Y A]. (2) ( X E)( Y E)[XT A Y X A = Y A]. 1) Vérifier que S A et T A sont des relations d équivalence telles que ( X E)( Y E)[XS A Y (E \X)T E\A (E \Y)] 2) Déterminer les classes d équivalence de E et de modulo S A (resp. modulo T A ). 3) On désigne par F : P(E) P(E) l application qui envoie une partie X E sur X A. i) Démontrer que l image Im(F) = P(A). ii) Vérifier que l application F est compatible avec la relation S A. iii) En déduire que le quotient P(E)/S A est bijectif avec l ensemble des parties P(A). 4) On désigne par G : P(E) P(E) l application qui envoie une partie X E sur son complémentaire E \ X. i) Démontrer que G est une bijection compatible avec les relations S A et T E\A. ii) En déduire que G induit une bijection G : P(E)/S A P(E)/T E\A et que l ensemble quotient P(E)/T A est bijectif avec P(E \A) Relation d ordre. Définition 6. Soit E un ensemble non vide muni d une relation binaire. On dira que la relation binaire est une relation d ordre sur E si on a les propriétés suivantes : Réflecxivité: ( x E),x x; Antisymétrie: ( x E)( y E)[x y et y x] = x = y; Transitivité: ( x E)( y E)( z E)[x y et y z] = x z. Lorsque un ensemble E est muni d une relation d ordre on dira qu il est ordonné et on note (E, ). Dans un ensemble ordonné (E, ) on utilise les mots clefs suivants : Pour tous x et y E tels que x y on lit : x est inférieur à y. Si x y est varie on pourra noter y x en lisant : y est supérieur à x. Si x y est varie avec x y on pourra noter x y en lisant : x est inférieur strictement à x. De même, la notation y x se lit : y est supérieur strictement à x. Si pour un couple d éléments x et y de E l une des propositions x y ou y x est vraie on dira que x et y sont comparables dans (E, ), et sinon on dira qu ils sont incomparables. Si pour tout couple d éléments x et y de E l une des propositions x y ou y x est vraie on dira que la relation est une relation d ordre totale.

6 6 A. BOUARICH Une relation d ordre qui n est pas totale sera dite relation d ordre partielle. Exemple 4. 1) Dans l ensemble des entiers naturels N la relation biniare ordinaire est une relation d ordre totale. La relation binaire reste une relation d ordre totale dans les ensembles Z, Q et R. 2) Pour tout ensemble non vide E l inclusion induit une relation d ordre partielle sur l ensemble des parties P(E). En effet, si E = {0,1} on voit que les parties {0} et {1} sont incomparables dans l ensemble ordonné (P(E), ). 3) Soient (E, ) et (F, ) deux ensembles ordonnés. Sur le produit cartésien E F on définit une relation d ordre p en posant pour tous (a,b) et (x,y) E F, (a,b) p (x,y) a x et b y Exercice 8. On munit E = {0,1} N par la relation d ordre ordinaire. Vérifier que sur le produit cartésien E E la relation d ordre produit p, définie dans l exemple précédent, n est pas totale. Exercice 9. Soit E un ensemble muni d une relation binaire R. On dira que R est relation de préordre si elle est réflexive et transitive. 1) Pour tous x et y E on pose xr 0 y si et seulement si xry et yrx. Démontrer que R 0 est une relation d équivalence sur E. 2) Pour tous x et y E on pose Cl R0 (x) Cl R0 (y) ( x 1 Cl R0 (x))( y 1 Cl R0 (y)),x 1 Ry 1 Démontrer que (E/R 0, ) est un ensemble ordonné Éléments remarquables d un ensemble ordonné. Définition 7. Soient (E, ) un ensemble ordonné et A E un sous-ensemble non vide. (1) S il existe un a 0 A tel que pour tout x A on a a 0 x on dira que a 0 est un plus petit élément de A. (2) S il existe un a 1 A tel que pour tout x A on a x a 1 on dira que a 1 est un plus grand élément de A. Exemple 5. 1) Le nombre zéro est le plus petit élément de l ensemble ordonné (N, ). 2) L ensemble ordonné (N, ) n a pas de plus grand élément. 3) Soit E un ensemble non vide. Dans l ensemble ordonné (P(E), ) l ensemble vide est un plus petit élément et E est un plus grand éléments, car on a : ( A P(E)), A E Proposition 4. Soient (E, ) un ensemble ordonné et A E un sous-ensemble non vide. Le plus petit élément (resp. le plus grand élément) de A quand il existe il est unique. Démonstration. Supposons que a et b A sont des plus petits éléments de A relativement à la relation d ordre de E. Donc, pour tout x A a x, et ainsi si on prend x = b on aura a b. De la même façon, puique b est un plus petit élément de A on obtient b a. Donc, comme est antisymétrique on déduit que a = b. Par conséquent, le plus petit élément de la partie A quand il existe il est unique. De la même façon on démontre que le plus grand élément quand il existe il est unique. Exercice 10. Soient E = {0,1,2,3} et A = {0,1}. On munit les sous-ensembles de parties E A = {X E A X } et E A = {X E A X E} par la relation d ordre d inclusion.

7 COURS D ALGÈBRE 1, CHAPITRE 2 7 1) Expliciter les ensembles E A et E A et ordonner leurs éléments. 2) En déduire que l ensemble ordonné (E A, ) (resp. (E A, )) n a pas de plus petit élément (resp. de plus grand élément). Exercice 11. Soit E un ensemble non vide, et soit R(E) l ensemble de toutes les relations d équivalence de E. Soient R 1 et R 2 R(E), si pour tous les éléments x et y E on a : xr 1 y = yr 2 x on dira que R 1 est plus fine que R 2 et on écrit R 1 R 2. 1) Démontrer que la relation binaire définie une relation d ordre sur l ensemble R(E). 2) Démontrer que pour toutes les relations R 1 et R 2 R(E) les affirmations suivantes sont équivalentes : (1) R 1 R 2. (2) ( x E)( y E)[y Cl R1 (x) = Cl R1 (y) Cl R2 (x). (3) Toute classe d équivalence de R 2 est réunion des classes d équivalence de R 1. 3) Pour tous x et y E on pose xe q y si et seulement si x = y, et on pose aussi xuy si et seulement si x = y ou x y. i) Vérifier que U est une relation d équivalence sur E. ii) Déterminer la classe d équivalence de x E modulo U. iii) Démontrer que pour toute relation R R(E) on a, E q R U. iv) En déduire que l ensemble ordonné (R(E), ) possède un plus petit élément et un plus grand élément. 2. Arithmétique de l ensemble Z On désigne par Z = {, 1,0,1, } l ensemble des entiers relatifs que l on suppose muni de l addition + et de la multiplication ordinaires. Dans ce qui va suivre la multiplication de deux entiers m et n Z sera désignée par m n ou mn au lieu m n. Rappelons que sur Z on définit une fonction notée : Z N dite valeur absolue dont l expression est donnée par : { a si a 0 a Z, a = a si a 0 La fonction valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : (1) ( a Z)( b Z), ab = a. b ; (2) ( a Z)( b Z), a+b a + b ; (3) ( a Z)( b Z), a b a b ; (4) ( x Z)( a N)[ x a a x a]. Rappelons qu une partie non vide A N est dite finie s il existe n-entiers ordonnés a 1 < a 2 < < a n tels que A = {a 1,a 2,,a n }. Ainsi, en conséquence de cette définition on déduit le fait suivant : Fait 1 : Toute partie finie non vide A N possède un plus grand élément relativement à la relation d ordre. Dans le reste de cette section on aura besoin des deux faits suivants : Fait 2 : Toute partie non vide A N possède un plus petit élément relativement à la relation d ordre. Démonstration. Si 0 A, 0 est le plus petit élément de A. Si 0 A, donc 0 N\A. Notons qu il existe un entier n 1 1 tel que {0,1,,n 1 } N\A et (n 1 +1) A, parce que sinon pour tout entier n N on aura : {0,1,,n} N\A = n+1 N\A

8 8 A. BOUARICH Ainsi, d après le principe de récurrence on déduit que N\A = N, ce qui entraîne A =. Or, ceci est absurde. Donc, il existe bien un n 1 1 tel que {0,1,,n 1 } N \ A et où l entier (n 1 +1) A est le plus petit élément de A qu on cherche. Fait 3 : L ensemble ordonné (N, ) est archimédien. C est-à-dire, pour tous les entiers a et b > 0 il exsiste au moins un p N tel que a < pb. Démonstration. Notons que si a b on prend alors p = 1. Si b < a, dans ce cas considérons le sous-ensemble A = {p N a pb 0}. Le sous-ensemble A N n est pas vide, car 1 A. De plus, comme pour tout entier p > a = a pb < a ab = a(1 b) 0 on en déduit que p A. Donc, l ensemble A {0,1,2,,a} est fini. Par conséquent, si on désigne par p 0 1 le plus grand élément de A on aura p = p 0 +1 A et donc a < pb. Notons que dans l ensemble ordonné (Z, ) la relation d ordre ne vérifie pas le Fait (1), car si on prend le sous-ensemble Z = { n n N} on obtient une partie non vide qui n a pas de plus petit élément. En revanche, les Faits (2) et (3) sont vrais dans (Z, ) Divisibilité dans Z. Définition 8. Soient a et b Z. S il existe un entier q Z tel que b = qa on dira que a divise b, et on note a b. (1) L entier q s appelle quotient de la division de b par a. (2) L entier a s appelle diviseur de b. (3) L entier b s appelle multiple de a. Notons que d après cette définition on voit que tout entier n 0 divise zéro i.e. 0 = n 0. Dans la suite, lorsqu on écrit a b cela suppose que b 0, et donc a 0. Proposition 5. La divisibilité dans Z vérifie les proprietes suivantes : (1) Tout entier n Z non nul est divisible par 1, 1, n et n. (2) Si a b et b c alors a c. (3) Si a b et b a alors a = ±b. (4) Si a b 1 et a b 2 alors pour tous c et d Z, a cb 1 +db 2. (5) Si a b alors pour tout c Z, a bc. Démonstration. 1) Est évidente. 2) S il existe des entiers q 1 et q 2 Z tels que b = aq 1 et c = bq 2 on en déduit que c = a(q 1 q 2 ). Donc, a c. 3) Observer que si b = aq et a = bq on en déduit que b = b(qq ). Ainsi, si b est non nul on aura qq = 1, donc b = ±a. 4) S il existe des entiers q 1 et q 2 Z tels que b 1 = aq 1 et b 2 = aq 2 donc pour tous les entiers c et d Z on aura cb 1 +db 2 = aq 1 c+aq 2 d = a(q 1 c+q 2 d). Donc, a divise cb 1 +db 2. 5) S il existe un entier q Z tel que b = aq il s en suit que pour tout c Z, bc = acq. Donc, a divise bc. Théorème 1 (Division euclidienne dans N). Pour tout couple d entiers b 0 et a > 0 il existe un unique couple d entiers q et r tel que b = qa+r où 0 r < a L entier q (resp. r) s appelle quotient (resp. reste) de la division euclidienne de b par a.

9 COURS D ALGÈBRE 1, CHAPITRE 2 9 Démonstration. 1) Preuve de l existence des entiers q et r : Puisque l ensemble ordonné (N, ) est archimédien on déduit que le sous-ensemble A(a,b) = {p N b < pa} est non vide, donc A(a,b) possède un plus petit élément n 0 (car b < 0 a est impossible) que l on va noter n = q+1 1. Ainsi, comme aq b < (q+1)a il en résulte que 0 b qa < a. Par conséquent, si on pose r = b qa on déduit que b = aq +r avec 0 r < a. 2) Preuve de l unicité des entiers q et r : Supposons qu il existe deux couples d entiers (q,r) et (q,r ) tels que b = qa+r = q a+r avec 0 r < a et 0 r < a Observons que si on suppose r < r on aura r r = a(q q ), et ainsi comme l entier a divise r r on déduit que 0 < a < r r < r. Or, ceci contredit le fait que par hypothèse 0 r < a. Donc, r = r et q = q. Corollaire 1 (Division euclidienne dans Z). Pour tout couple d entiers a et b Z avec a > 0 il existe un unique couple d entiers q et r tel que b = qa+r où 0 r < a Démonstration. Si l entier b 0 la proposition précédente prouve l existence et l unicité de q et r tels que b = aq +r avec 0 r < a. Observons que si l enetier b < 0 la proposition précédente permet de trouver deux entiers q et r tel que b = q a+r et 0 r < a. Donc, b = ( q )a+( r ). Notons que si r = 0 le corollaire est démontré. Mais, si 0 < r < a alors en remarquant que a < r < 0 implique 0 < a r < a on en déduit que si on pose r = a r et q = q on obtient b = qa+r avec 0 < r < a. Exercice 12. Dans l ensemble des entiers naturels non nuls, N, on considère la relation binaire définie par : ( a N )( b N )[a b ( q N ),b = qa] 1) Vérifier que (N, ) est un ensemble ordonné. 2) La relation d ordre est-elle totale sur N? 3) Pour tout a N on pose N a = {a,a 2,a 3, }. Démontrer que l ensemble ordonné (N a, ) est totalement ordonné. 4) Pour tout a N on pose an = {a,2a,3a, }. L ensemble ordonné (an, ) est-il totalement ordonné? Exercice 13. Montrer que pour tout entier n, le nombre n 3 n est divisible par Le PGCD. Pour tout entier a > 0 on pose D(a) = {q N q divise a}. Notons que D(a) est non vide car 1 D(a). Notons aussi que puisque pour tout diviseur q D(a) on a 0 < q a on déduit que l ensemble des diviseurs D(a) est fini, car il est contenu dans l ensemble fini {1,2,,a 1,a}. En conséquence, pour tout couple d entiers non nuls a et b N l ensemble des diviseurs communs à a et b, D(a) D(b), est fini non vide. Définition 9. Soient a et b N. Le plus grand élément de l intersection D(a) D(b) s appelle plus grand commun diviseur de a et b, on le note PGCD(a,b) 1. Pour les entiers a et b Z on définit leur plus grand commun diviseur par PGCD(a,b) = PGCD( a, b ) et dira que a et b sont premiers entre eux si le PGCD(a,b) = 1.

10 10 A. BOUARICH Plus généralement, étant donné une famille finie d entiers {a 1,a 2,,a n } Z le plus grand élément de l intersection D( a 1 ) D( a 2 ) D( a n ) s appelle plus grand commun diviseur de la famille {a 1,a 2,,a n } Z, on le note PGCD(a 1,a 2,,a n ). Exemple 6. 1) Calculons PGCD(32, 12). Puisque les ensembles des diviseurs des entiers 12 et 32 sont égaux à D(12) = {1,2,3,4,6,12} et D(32) = {1,2,4,8,16,32} on aura D(12) D(32) = {1,2,4}. Donc, le PGCD(32,12) = 4. 2) Montrons que 24 et 35 sont premiers entre eux. En effet, puisque les ensembles des diviseurs des entiers 24 et 35 sont égaux à D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} et D(35) = {1,5,7,35} on aura D(24) D(35) = {1}. Donc, comme le PGCD(32,16) = 1 les entiers 24 et 35 sont premiers entre eux. 3) Calculons PGCD(49, 21, 56). Puisque les ensembles des diviseurs des entiers 56, 49 et 21 sont égaux à D(56) = {1,2,4,7,8,14,28,56}, D(49) = {1,7,49} et D(21) = {1,3,7,21} on voit que D(56) D(49) D(21) = {1,7}. Donc, le PGCD(49,21,56) = Le PPCM. Pour tout entier a > 0 on désigne par M(a) = {qa q N} l ensemble de tous les multiples de a dans N. Notons que pour tout couple d entiers a > 0 et b > 0 l intersection M(a) M(b) est non vide, car elle contient le produit ab, donc elle possède un plus petit élément. Définition 10. Le plus petit élément de l itersection M(a) M(b) s appelle plus petit commun multiple de a et b, il se note PPCM(a,b). Si les entiers a et b Z on définit leur plus petit commun multiple par PPCM(a,b) = PPCM( a, b ) Proposition 6. Le PGCD et le PPCM vérifient les propriétés suivantes : (1) Un entier non nul m Z est multiple de a Z et de b Z si et seulement, si m est multiple du PPCM(a, b). (2) PPCM(a,b) PGCD(a,b) = ab L Algorithme d Euclide. Dans ce paragraphe, on décrire une méthode algorithméque découverte par Euclide qui va nous permettre de déterminer le plus grand commun diviseur de deux entiers positifs non nuls a et b sans déterminer leurs ensembles de diviseurs. Lemme 1. Soient a et b deux entiers tels 0 < a < b. Si r > 0 est le reste de la division euclidienne de b par a alors le PGCD(a,b) = PGCD(a,r). Démonstration. Posons d = PGCD(a,b), d = PGCD(a,r) et écrivons b = aq+r avec 0 < r < a. Observons ensuite que puisque d divise a et b, l entier d divise aussi r = b aq. Donc, d d. De même, puisque d divise a et r il divise aussi l entier b = aq +r. Ainsi, comme on a aussi d d on déduit que d = d. Le résultat du lemme est très important sur le plan de recherche du pgcd d un couple d entiers, il nous suggère l algorithme suivant découvert pour la première fois par Euclide dont le principe est le suivant : Étape 1) Supposons que 0 < a < b, donc d après le principe de la division euclidienne, il existe deux entiers q 1 et r 1 tels que b = aq 1 +r 1 avec 0 r 1 < a

11 COURS D ALGÈBRE 1, CHAPITRE 2 11 Ainsi, si r 1 = 0 on aura PGCD(a,b) = a. Étape 2) Si 0 < r 1 < a il existe donc deux entiers q 2 et r 2 tels que a = r 1 q 2 +r 2 avec 0 r 2 < r 1 Ainsi, si r 2 = 0 le lemme 1 implique PGCD(a,b) = PGCD(a,r 1 ) = r 1. Étape 3) Si 0 < r 2 < r 1, dans ce cas le lemme implique que PGCD(a,b) = PGCD(a,r 1 ) = PGCD(r 1,r 2 ) Pour calculer le PGCD(a, b) il suffit donc qu on applique le principe de l étape précédente le nombre de fois nécessaire jusqu à ce qu on obtient un reste nul i.e. : b = aq 1 +r 1 0 < r 1 < a a = r 1 q 2 +r 2 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 +r 3 0 < r 3 < r 2 < r 1. =.. r n 2 = r n 1 q n +r n 0 < r n < < r 3 < r 2 < r 1 r n 1 = r n q n = r n+1 < r n < < r 3 < r 2 < r 1 Ainsi, en appliquant le résultat du lemme à ces divisons euclidiennes on déduit que le PGCD(a,b) = PGCD(a,r 1 ) = PGCD(r 1,r 2 ) = = PGCD(r n 2,r n 1 ) = r n Exemple 7. Appliquons l algorithme d Euclide pour calculer le PGCD(1011, 261) = = = = = 3 10 Donc, suite à ces calculs on déduit que le PGCD(1011,261) = 3. Théorème 2 (L identité de Bézout). Si l entier d 1 est le plus grand commun diviseur des entiers a et b alors, il existe deux entiers u et v tels que au+bv = d. Démonstration. Pour établir l identité de Bézout il suffit qu on calcule les restes non nuls en suivant les étapes de l algorithme d Euclide : r n = r n 2 r n 1 q n r n 1 = r n 3 r n 2 q n 1. =. r 2 = a r 1 q 2 r 1 = b aq 1 Ensuite, si on remplace le reste r n 1 par son expression dans la deuxième ligne on obtient l expression suivante r n = r n 2 r n 1 q n = r n 2 (r n 3 r n 2 q n 1 )q n = r n 2 (1+q n 1 q n ) r n 3 q n Donc, si on continue ce procédé tout en éliminant les restes r k on aboutira à l identité de Bézout : au+bv = r n = d. Corollaire 2. Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux si et seulement, s il existe deux entiers u et v tels que au+bv = 1. Proposition 7. Le plus grand commun diviseur PGCD vérifie les propriétés suivantes : (1) Si d = PGCD(a,b), alors un entier n divise a et b si et seulement si n divise d.

12 12 A. BOUARICH (2) Si a, b et n sont des entiers non nuls alors PGCD(na,nb) = npgcd(a,b). (3) Si n > 0 divise a et b alors PGCD( a n, b n ) = 1 n PGCD(a,b). (4) (Lemme de Gauss) Si a et a sont premiers entre eux et si a a b alors a b. Démonstration. 1) Si d = PGCD(a,b) il existe donc des entiers u et v tels que au + bv = d. Donc, si l entier n divise a et b il divise aussi d. Inversement, en écrivant que a = da et b = db on voit alors que si d = nd entraîne que a = n(d a ) et b = n(d b ). Donc, n divise a et b. 2) Soient a, b et n des entiers non nuls et d = PGCD(a,b). Il est évident que nd d = PGCD(na,nb) D autre part, observons que si on choisit des entiers u et v tels que (na)u +(nb)v = d on déduit que l entier n divise d. Donc, il existe d 1 tel que d = nd 1 et au+bv = d 1. Notons aussi que nd d entraîne que d d 1. Donc, pour établir la formule du 2) il suffit qu on démontre que d = d 1. En effet, si on suppose d < d 1 il existe deux entiers q et r tels que d 1 = qd+r avec 0 r < d. Mais, comme on a au+bv = d 1 = qd+r et d divise a et b on en déduit que d divise r, donc r = 0 et q = 1. Par conséquent, d = d 1 et nd = d. 3) Est une conséquence de 2). 4) Soient a et a deux entiers premiers entre eux, et soit b un entier tel que a divise a b. Notons que d après l identité de Bézout il existe deux entiers u et v tels que au +a v = 1. Ainsi, comme b = (a b)u+(ab)v on en déduit que a divise b. Remarque 1. Soit (u 0,v 0 ) un couple d entiers tel que au 0 +bv 0 = d = PGCD(a,b). 1) Observons que si on pose a = da et b = db on obtient l identité de Bézout a u 0 +b v 0 = 1 qui montre que les entiers u 0 et v 0 sont premiers entre eux. 2) Notons aussi que le couple d entiers premiers entre eux (u 0,v 0 ) n est pas unique. En effet, si pour tout entier n on pose u = u 0 b d n et v = v 0 + a d n on obtient au +bv = a(u 0 b d n)+b(v 0 + a d n) = au 0 +bv 0 = d Pour finir ce paragraphe, on va appliquer l identité de Bézout pour résodre les équations diophantiennes de la forme : ax+by = n où les entiers a, b et n sont donnés et les entiers x et y sont des inconnus. Proposition 8 (Équations diophantiennes). Soient a, b et c des entiers. (1) L équation diophantienne ax+by = c possède une solution (x,y) Z 2 si et seulement, si le PGCD(a,b) divise c. (2) Si le PGCD(a,b) = d divise c et si au+bv = d (i.e. identité de Bézout) alors la solution générale de l équation diophantienne ax+by = c est donnée par : x = 1 d (bm+uc) et y = 1 ( am+vc) où m Z d Démonstration. 1) Notons que puisque le PGCD(a,b) = d divise a et b on voit que si pour un certain couple (x,y) Z 2 on a ax+by = n il en résulte que d divise n. Inversement, supposons que le PGCD(a,b) = d divise n et posons n = dn.

13 COURS D ALGÈBRE 1, CHAPITRE 2 13 D après l identité de Bézout, il existe deux entiers u 0 et v 0 tels que au 0 + bv 0 = d. Donc, puisqueonaaussil égalité a(u 0 n )+b(v 0 n ) = nonendéduit quelecoupled entiers (u 0 n,v 0 n ) est une solution de l équation ax+by = n. 2) Observons que si on a au + bv = d alors en écrivant c = bc on déduit que pour tout (x,y) Z 2 solution de l équation ax + by = c on a a(x c u) + b(y vc ) = 0. Donc, si on applique le lemme de Gauss aux entiers premiers entre eux a d et b d on déduit que a d divise vc y et que b d divise x c u. Ceci entraîne donc qu il existe m Z tel que x = 1 d (bm+uc) et y = 1 d ( am+vc). Exemple 8. 1) Dans l exemple précédent on a vu que le PGCD(1011,261) = 3. Cherchons donc deux entiers u et v tels que 1011u+261v = 3. D après l algorithme d Euclide on a trouvé les restes suivants : 3 = = = = Donc, si on remplace tous les restes dans la première ligne on obtient : 3 = = 33 ( ) = = ( ) = 228 ( 8) = ( ) ( 8) = 1011 ( 8) ) Pour tout a Z cherchons toutes les solutions de l équation diophantienne 1011x+261y = a. Observons que puisque PGCD(1011,261) = 3 on en déduit que l équation diophantienne 1011x+261y = a possède une solution dans Z 2 si et seulement, si 3 divise a. Supposons donc a = 3a avec a Z. D autre part, rappelons qu on a trouvé l identité de Bézout : 1011 ( 8) = 3 = 1011 ( 8a )+261 (31a ) = 3a = a Donc, si le coupe (x,y) Z 2 est solution de l équation donnée on obtient par soustraction : 1011( 8a x)+261(31a y) = 0 337(8a +x) = 87(31a y) Ainsi, comme 337 et 87 sont premiers entre eux le lemme de Gauss implique que 337 divise 31a y et que 87 divise 8a +x. Donc, il existe un entier n Z tel que x = 87n 8a et y = 31a 337n Conclusion : Lorsque l entier a est divsible par 3 l ensemble des solutions de l équation diophantienne 1011x+261y = a est donné par ( a ( a {(87n 8,31 337n) n Z} 3) 3) Exercice 14. Pour tout couple d entiers (a,b) calculer le PGCD(a,b) = d et trouver un couple (u,v) qui réalise l identité de Bézout au+bv = d. (1) a 1 = 2011 et b 1 = 265; (2) a 2 = et b 2 = 2091; (3) a 3 = et b 3 = Exercice 15. Résoudre les équations diophantiennes suivantes : (1) 31x+19y = 1;

14 14 A. BOUARICH (2) 365x+1876y = 24; (3) 49x+117y = 36. Exercice 16. Soient x, y, a, b, a et b des entiers. Démontrer les affirmations suivantes : (1) PGCD(x,y) divise PGCD(ax+by,a x+b y); (2) PGCD(ax+by,a x+b y) divise (ab ba )PGCD(x,y). En déduire que si ab a b = 1 alors PGCD(x,y) = PGCD(ax+by,a x+b y). Exercice 17. Démontrer que pour tous les entiers non nuls a, b et c on a les égalités : PGCD(a,b,c) = PGCD(PGCD(a,b),c) = PGCD(a,PGCD(b,c)) Exercice 18. Démontrer que pour tous les entiers non nuls a, b et c on a les égalités : (1) PGCD(a, PPCM(b, c)) = PPCM(PGCD(a, b), PGCD(a, c)). (2) PPCM(a, PGCD(b, c)) = PGCD(PPCM(a, b), PPCM(a, c)). Exercice 19. Soient a et b deux entiers premiers entre eux. Démontrer que si a et b divisent un entier n alors ab divise n i.e : (a n et b n) et PGCD(a, b) = 1 = ab n Exercice 20. Démontrer que si un entier n est premier avec chacun des entiers b 1, b 2,, b m, alors n est premier avec leur produit b 1 b 2 b m i.e. : 1 i m, PGCD(n,b i ) = 1 = PGCD(n,b 1 b 2 b m ) = Les nombres premiers. Définition 11. Soit p 2 un entier. Si les seuls diviseurs de p sont 1 et p on dira qu il est premier. Un nombre non premier sera appelé composé. Exemple 9. 1) Les entiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 101, 121 sont des nombres premiers. 2) Le entiers : 123, 413, 2001 sont composés. Lemme 2. Le plus petit diviseur d > 1 d un entier n 2 est un nombre premier. Si en plus n est composé alors d n. Démonstration. Soit D(n) l ensemble des diviseurs positifs de n, et soit d > 1 le plus petit élément de D(n). Notons que si un entier u > 1 divise d, u divise aussi n car on a n = dn et d = um implique n = u(mn ). Ainsi, comme d est le plus petit élément de l ensemble D(n) on déduit que d u, donc d = u. Par conséquent, le diviseur d est un nombre premier. Maintenant, supposons que n est composé et posons n = dd avec d > 1. Puisque l entier d D(n) et d est le plus petit élément de D(n) on aura d d. Ainsi, comme d 2 dd = n on en déduit que d n. Le lemme possède plusieurs applications importantes : Corollaire 3. Soit n 2 un entier. Si tous les nombres premiers p n ne divisent pas n, alors n est un nombre premier. Corollaire 4. Dans N, le sous-ensemble de tous les nombres premiers est infini. Démonstration. Désignons par P l ensemble de tous les nombres premiers de l ensemble N et supposons que P est fini. Donc, on peut le présenter sous la forme P = {p 1,p 2,,p m } avec p 1 p 2 p m Observons que si on pose N = p 1 p 2 p m +1 N on voit que p m < N, et donc N P. D autre part, comme N n est pas divisible par les éléments de P le corollaire précédent implique que N est un nombre premier, donc N P. Or, ceci est une contradiction. Par conséquent, l ensemble P de tous les nombres premiers de N est infini.

15 COURS D ALGÈBRE 1, CHAPITRE 2 15 Exemple 10. L entier N = 2011 est un nombre premier car tout nombre premier p 2011 = ne divise pas N. Pour finir ce paragraphe on va démontrer le théorème fondamental de l arithmétique qui s énonce comme suit : Théorème 3 (Théorème fondamental de l arithmétique). Pour tout entier n 2 il existe une unique famille de nombres premiers P = {p 1,p 2,,p m } ordonnés du plus petit au plus grand, il existe aussi une unique famille d entiers A = {α 1,α 2,,α m } N qui vérifient les propriétés suivantes : (1) Pour tout entier 1 i m, 1 α i ; (2) Pour tout entier 1 i m, la puissance p α i i divise l entier n mais p α i+1 i ne le divise pas; (3) n = p α 1 1 pα 2 2 pαm m. Démonstration. Considéron un entier n 2. Étape 1 : Si n est un nombre premier alors en posant n = p 1 et α 1 = 1 on obtient n = p α 1 1. Donc, le théorème est démontré. Étape 2 : Si n n est pas un nombre premier le lemme implique que son plus petit diviseur d > 1 est un nombre premier. Posons alors p 1 = d et considérons le sous-ensemble A(p 1 ) = {α N p α 1 divise n}. Ainsi, puisquepour tout α A(p 1) on a p α 1 n on déduit que l ensemble A(p 1 ) est fini. Donc, A(p 1 ) possède un plus grand élément α 1 1 tel que p α 1 1 divise n mais p α ne divise pas n. Étape 3 : D après l étape 2) il existe donc un entier n 1 tel que n = p α 1 1 n 1 avec 1 n 1 < n et p 1 ne divise pas n 1. Ainsi, si n 1 = 1 le théorème est démontré. De même, si n 1 > 1 est un nombre premier alors la preuve du théorème s achève en posant n 1 = p 2, α 2 = 1 et n = p α 1 1 p 2. En revanche, si l entier n 1 n est pas un nombre premier alors en lui appliquant les idées de l étape 2) on peut trouver un nombre premier p 2 et un entier α 2 1 tels que p α 2 2 divise n 1 et que p α ne divise pas n 1. Notons que puisque p 2 divise n 1 il divise n, et donc 1 < p 1 < p 2. Comme ci-dessus, on déduit qu il existe un entier 1 n 2 < n 1 < n tel que n = p α 1 1 pα 2 2 n 2 avec p 1 et p 2 ne divisent pas n 2. Par conséquent, si on continue ce processus (fini) on achèvera la preuve du théorème. Définition 12. Soit n > 1 un entier. L expression n = p α 1 1 pα 2 2 pαm m établie dans le théorème précédent s appelle factorisation de n en nombres premiers. Les nombres premiers p 1, p 2, et p m s appellent facteurs premiers de n. Exemple 11. Cherchons la factorisation en nombre premiers de l entier M = Selon l expression de M on voit qu il est divisible par 3 et par 9. Donc, M = Notons aussi que le quotient est divisible par 7 et on a = Donc, M = De même, après des teste on trouve que le plus petit nombre premier qui divise est 19, et que = Enfin, puisque 529 = 23 2 on déduit que la factorition en nombres premiers de l entier M = Le théorème fondamental de l arithmétique possède plusieurs applications pratiques, cidessous on va en donner quelques une. Corollaire 5. Soit N = p α 1 1 pα 2 2 pαm m une factorisation en nombres premiers. Si un entier n 2 divise N alors il existe des entiers 0 β i α i tels que n = p β 1 1 pβ 2 2 pβm m. En conséquence, le nombre de diviseurs de l entier N est égal au produit : (α 1 +1)(α 2 +1) (α m +1)

16 16 A. BOUARICH Démonstration. Observer que si un entier n 2 divise l entier N, alors tout nombre premier p 2 qui divise n divise aussi N. Ainsi, comme p = p i pour un certain indice 1 i m on déduit que la factorisation de n en nombres premiers est de la forme n = p β 1 1 pβ 2 2 pβm m avec 0 β i α i. Corollaire 6. Soient a = p α 1 1 pα 2 2 pαm m et b = p β 1 1 pβ 2 2 pβm m sont des factorisations en nombres premiers où p i peut être égal à un. Alors, on a : (1) PGCD(a,b) = p min(α 1,β 1 ) 1 p min(α 2,β 2 ) 2 p min(αm,βm) m. (2) PPCM(a,b) = p max(α 1,β 1 ) 1 p max(α 2,β 2 ) 2 p max(αm,βm) m. Exemple 12. 1) L entier N = possède (5+1) (3+1) (6+1) (2+1) = 504 diviseurs. 2) Si a = et b = on aura alors : PGCD(a,b) = et PPCM(a,b) = Exercice 21. Les entiers suivants sont-ils des nombres premiers 203, 221, 307, 313, 367, Exercice 22. Chercher la factorisation en nombres premiers des entiers : N 1 = 12345, N 2 = , N 3 = Exercice 23. Soient a et b deux entiers non nuls. 1) Démontrer que si un nombre premier p 2 divise ab alors p divise a ou b. 2) En déduire que PGCD(a,b) = 1 si et seulement s il n existe aucun nombre premier p 2 qui divise a et b. Exercice 24. Soient a 2 et b 2 deux entiers, et p 2 un nombre premier. Calculer PGCD(a 2,b 2 ) sachant que le PGCD(a,b) = p 3. Exercice 25. Soient a 2 et b 2 deux entiers tel que le PGCD(a,b) = 8. Quelles sont les valeurs possibles du PGCD(a 4,b 5 )? Exercice 26. Démontrer les affirmations suivantes : (1) Si les entiers a et b sont premiers entre eux alors pour tout entier n 2 les puissances a n et b n sont premiers entre eux. (2) Si les entiers a et b sont premiers entre eux alors les entiers a+b et ab sont premiers entre eux. (3) Soient a, b et n > 0 des entiers. Si a n divise b n alors a divise b. Exercice 27. On définit le n ième nombre de Fermat par la formule F n = 2 2n +1. 1) Calculer les nombres de Fermat F(0), F(1), F(2), F(3) et F(4) et vérifier qu ils sont des nombres premiers. 2) En remarquant que F n+1 2 = (2 2n 1)(2 2n +1), démontrer que F n+1 2 = F n F n 1 F 1 F 0 3) Déduire de 2) que si n m alors les nombres de Fermat F n et F m sont premiers entre eux Structure de groupes. 3. Groupes, anneaux et corps Définition 13. Soit G un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne de G la donnée de toute application T : G G G. Lorsque l ensemble G est muni d une de composition interne T on pose pour tous les éléments x et y G, xty = T(x,y).

17 COURS D ALGÈBRE 1, CHAPITRE 2 17 Par exemple, l addition et la multiplication sont des lois de compositions internes dans les ensembles N, Z, Q, R et C. Définition 14. Soit G un ensemble non vide muni d une loi de composition interne notée T. On dira que le couple (G,T) est un groupe si on a les conditions suivantes : Unité: Il existe e G tel que pour tout g G, gte = etg = g. L élément e G s appelle unité de (G,T) ou élément neutre. Associativité: ( x,y,z G),(xTy)Tz = xt(ytz). Inverse: Pour tout g G il existe g G appelé inverse de g tel que gtg = g Tg = e. De plus, si pour tous les éléments x et y G on a xty = ytx on dira que le groupe G est commutatif ou abelien. Dans un groupe (G,T) l élément neutre est unique. En effet, si on suppose que e et e sont neutres dans le groupe (G,T) on obtient en même temps ete = e et ete = e. Donc, e = e. De même, dans un groupe (G,T) l inverse d un élément g G est unique. Parce que si on suppose que x et y sont des inverses de g on écrit gâce à l associativité de la loi de composition T : xt(gty) = (xtg)ty = xte = ety = x = y Dans la suite, s il n y a aucun risque de confusion à craindre une loi de composition interne T sera notée multiplicativement. C est-à-dire, pour tous x et y G on va écrire x y (ou xy) au lieu de xty. Dans ce cas, l élément neutre du groupe G sera noté 1 = e et l inverse de tout x G sera désigné par x 1. Exemple 13. 1) Les couples (Z,+), (Q,+), (R,+), (Q, ) et (R, ) sont des groupes commutatifs. 2) Les couples (N,+) et (Z, ) ne sont pas des groupes car leurs éléments ne possèdent pas des inverses. Exercice 28. Soit E un ensemble non vide. Il est clair que l intersection, la réunion et la différence symétrique définissent des lois de compositions internes dans l ensemble des parties P(E). 1) Dire pour qu elles raisons les couples (P(E), ) et (P(E), ) ne sont pas des groupes. 2) Démontrer que le couple (P(E), ) est un groupe commutatif. Définition 15. Soit (G, ) un groupe multiplicatif. On dira que le sous-ensemble H G est un sous-groupe de G si (1) H est stable par la loi interne de G i.e : x,y H, x y H; (2) le couple (H, ) est un groupe. Notons que si (H, ) est un sous-groupe de (G, ) alors l élément neutre de H est égal à celui de G. En effet, si e est l élément neutre de (H, ) on aura e e = e. De plus, comme e est inversible dans (G, ) on déduit que e 1 (e e) = e 1 e = 1 = (e 1 e) e = 1 = e = 1 Exemple 14. Dans le groupe abelien (R, ) les sous-ensembles Q et { 1,1} sont des sousgroupes. Proposition 9. Soit (G, ) un groupe. Pour qu un sous-ensemble non vide H G soit un sous-groupe de G il faut et il suffit qu on ait les conditions suivantes : (1) 1 H. (2) ( x,y G),xy 1 H.

18 18 A. BOUARICH Démonstration. Exercice. Proposition 10. Pour qu un sous-ensemble non vide G Z soit un sous-groupe de (Z,+) il faut et il suffit qu il existe un entier m tel que G = {mn n N} = mz. Démonstration. 1) Il est claire que pour tout entier m 0 le sous-ensemble mz est stable par l addition des entiers, et puisque 0 mz la proposition précédente implique que (mz, +) est un sous-groupe. 2) Soit G un sous-groupe de (Z,+). Notons que si G = {0} on aura donc G = 0Z. Supposons donc G {0}. Donc, sous cette hypothèse il existe un entier n N tel que {n, n} G. Ainsi, puisque le sous-ensemble G N est non vide il possède un plus petit élément m > 0, et donc comme m G le sous-groupe mz G. D autre part, notons que si on prend x G \ {0} le principe de la division euclidienne permet de trouver un unique couple d entiers q et r tel que x = mq +r et 0 r < m. Ainsi, puisque l entier x mq G on déduit que r G, mais comme m est le plus petit entier positif appartenant à G N et r 0 on en déduit que r = 0, et donc G mz. Par conséquent, G = mz. Exercice 29. Pour tout couple d entiers a > 0 et b > 0 on définit la somme az+bz = {am+bn m,nz} 1) Démontrer que l entier a divise l entier b si et seulement, si le sous-groupe bz az. 2) Démontrer que la somme az+bz est un sous-groupe de (Z,+). 3) Démontrer que az+bz = PGCD(a,b)Z. 4) En déduire que a et b sont premiers entre eux si et seulement si az+bz = Z. 5) Démontrer que l intersection az bz = PPCM(a,b)Z. Exercice 30. Soit (G, ) un groupe. Démontrer que si H 1 et H 2 sont des sous-groupes de G alors l intersection H 1 H 2 est un sous-groupe de G. Exercice 31. Démontrer que le sous-ensemble des nombres réels G = {n+m 2 n,m Z} est un sous-groupe de (R,+) Structure d anneaux. Définition 16. Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de compositions internes + (additive) et (multiplicative). On dira que le triplet (A,+, ) est un anneau si on a les conditions suivantes : (1) (A,+) est un groupe abelien dont l élément neutre est noté 0 A. (2) La loi multiplicative est associative et distributive à droite et à gauche par rapport à l addition + i.e. : ( x,y,z A), x (y +z) = x y +x z et (x+y) z = x z +y z Quand, la loi possède un élément neutre il sera noté 1 A, et on dira que l anneau (A,+, ) est unitaire. De même, quand la loi est commutative on dira que l anneau (A, +, ) est commutatif. Soit (A,+, ) un anneau unitaire. Notons que puisque 0 A +0 A = 0 A on en déduit que pour tout x A on a, { x 0A +x 0 A = x 0 A = x 0 0 A x+0 A x = 0 A x A = 0 A x = 0 A Exemple 15. Les triplets (Z,+, ), (Q,+, ) et (R,+, ) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

19 COURS D ALGÈBRE 1, CHAPITRE 2 19 Dans la définition d un anneau on peut demander que la seconde loi multiplicative ne soit pas nécessairement associative. Dans, ce cas on va parler d anneaux associatifs et d anneaux non associatifs. Rappelons que la loi de composition interne multiplicative compose (agit sur) les couples d éléments, c est-à-dire étant donné (a,b) A A on obtient un produit a b A bien défini. En revanche, si on se donne trois éléments a 1, a 2, a 3 A (ou plusieurs éléments ordonés) le produit deux à deux de ces trois éléments pose le problème du choix des couples qu on va former. Par exemple, on calcul (a 1 a 3 ), puis on calcul (a 1 a 2 ) a 3 ; ou bien on calcul (a 2 a 3 ), puis on calcul a 1 (a 2 a 3 ). Ainsi, avec l hypothèse d associativité de la multiplication ces deux calculs nous donnent un seul élément de A qu on pourra écrire sans mettre les parenthèses : a 1 a 2 a 3 = (a 1 a 2 ) a 3 = a 1 (a 2 a 3 ) A Donc, l associativité assure l indépendance du calcul du produit de plusieurs éléments vis-àvis du placement des parenthèses comme on va l illustrer encore une autre fois avec le calcul du produit de quatre éléments a 1, a 2, a 3 et a 4 A : a 1 a 2 a 3 a 4 = ((a 1 a 2 ) a 3 )) a 4 = (a 1 a 2 ) (a 3 a 4 ) = a 1 (a 2 (a 3 a 4 )) Notons aussi que grâce à l associativité de la multiplication on garantie l unicité de l inverse d un élément x A par rapport à la multiplication. Pour se convaincre réviser la preuve de l unicité de l inverse dans un groupe (G, ) (cf ). Exercice 32 (Exemples d anneaux non associatifs). Soit (A, +, ) un anneau dont la multiplication est associative et n est pas commutative. À partir de l addition + et de la multiplication on définit deux lois de composition internes sur A en posant : (x,y) A A, xly = x y +y x et xjy = x y y x 1) Vérifier que les lois internes L et J sont distributives à gauche et à droite par rapport à l addition + de A. 2) Vérifier que les lois internes L et J ne sont pas associatives dans A. 3) En déduire que les triplets (A,+,L) et (A,+,J) sont des anneaux non associatifs. 4) Exemple : On désigne par F(R,R) l ensemble de fonctions définies de R dans R. On désigne par les symboles + et l addition et la composition des fonctions : ( f,g F(R,R))( x R),(f +g)(x) = f(x)+g(x) et f g(x) = f(g(x)) i) Vérifier que le triplet (F(R, R), +, ) est un anneau unitaire, associatif mais non commutatif. ii) En déduire que si pour tous f et g F(R,R) on pose flg = f g +g f alors le triplet (F(R,R),+,L) est un anneau commutatif, non unitaire et non associatif. iii) En déduire aussi que si pour tous f et g F(R,R) on pose fjg = f g g f alors le triplet (F(R,R),+,J) est un anneau anti-commutatif (i.e. xjy = yjx), non unitaire et non associatif. Exercice 33. Démontrer que pour tout ensemble non vide E le triplet (P(E),, ) est un anneau commutatif unitaire. Dans le reste de ce chapitre les anneaux seront considérés associatifs.

20 20 A. BOUARICH Proposition 11 (Binôme de Newton). Soit (A, +, ) un anneau commutatif. Pour tous les éléments x et y A et pour tout entier n N on a les deux formules suivantes : k=n (1) (Binôme de Newton) (x+y) n = Cnx k k y n k k=n 1 (2) x n y n = (x y) x k y n 1 k k=0 k=0 Démonstration. La formule (2) est une vérifiaction. Pour démontrer la formule (1) du binôme de Newton on procède par récurrence surl entier n et on utilise la formule du triangle depascal Cn k = Cn 1 k +Cn 1 k 1 avec n! Ck n = et n! = n. k!(n k)! Définition 17. Soit (A,+, ) un anneau et A A une partie non vide. Si le triplet (A,+, ) est un anneau on dira que A est un sous-anneau de A. Proposition 12. A Z est sous-anneau de (Z,+, ) si et seulement, s il existe un entier m N tel que A = mz. Démonstration. Utiliser la caractérisation des sous-groupes de (Z, +). Exercice 34. Pour tout entier non nul a > 0 dont la racine carrée a N on pose : Z[ a] = {m+n a m,n Z} 1) Vérifier que Z[ a] est stable par l addition et la multiplication des nombres réels. 2) En déduire que le triplet (Z[ a],+, ) est un sous-anneau de R. Exercice 35. Dans l anneau (R, +, ) on considère les sous-ensembles suivants : A = {m+n 3 2+p 3 4 m,n,p Z}; B = {m+n 3 2 m,n Z}; 1) Vérifier que (A,+, ) est un sous-anneau de R. 2) Dire pour quelle raison le triplet (B,+, ) n est pas un sous-anneau de R. Exercice 36. Soit (A,+, ) un anneau unitaire. On désigne par U(A) le sous-ensemble des éléments de A qui inversible par rapport à la multiplication. Donc, on a x U(A) (x A) et ( y A), xy = yx = 1 1) Démontrer que le couple (U(A), ) est un groupe appelé groupe des unités de l anneau A. 2) Déterminer le groupe des unités des anneaux (Z,+ ), (Q,+ ) et (R,+ ) Structure de corps. Définition 18. Soit (K,+, ) un anneau unitaire. Si le couple (K\{0}, ) est un groupe on dira que K est un corps. Si, en plus, le groupe (K\{0}, ) est commutatif on dira que K est un corps commutatif. Exemple 16. 1) (Q,+, ) et (R,+, ) sont deux corps commutatifs. 2) L anneau (Z,+, ) n est pas un corps parce que les seuls entiers inversibles dans (Z, ) sont ±1. Définition 19. Soit (K,+, ) un corps. On dira que la partie K K est un sous-corps si elle est stable par l addition + et la multiplication, et si en plus le triplet (K,+, ) est un corps. Exemple 17. (Q,+, ) est un sous-corps de (R,+, ). Exercice 37. Démontrer que le sous-ensemble Q( 2) = {x+y 2 x,y Q} est un sous-corps de (R,+, ).