CLASSE DE SECONDE ACTIVITES GEOMETRIQUES. Si M est le milieu de [AB], et si N est le milieu de [AC], alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles?

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1 LSSE DE SEDE TIVITES GEETRIQUES. LES FIGURTIS DU PL. Le triangle.. Théorèmes des milieux... Version Si est le milieu de [], et si est le milieu de [], alors les droites () et () sont parallèles?.. Version Si est le milieu de [] et si () est parallèle à () alors elle coupe [] en son milieu... Le segment des milieux. Soit et les milieux respectifs des côtés [] et [] du triangle, alors =. Droites et points remarquables du triangle... édiatrices et cercle circonscrit. Dans un triangle les médiatrices sont concourantes. Leur point d intersection est équidistant des trois sommets du triangle. est donc le centre du cercle circonscrit au triangle... édianes et centre de gravité. Dans un triangle, les médianes sont concourantes. Leur point d intersection G est appelé centre de gravité du triangle. Il est situé aux deux tiers de chacune d elle à partir du sommet. G = ' ; G = ' ; G = ' ' G ' '.. Hauteurs et orthocentre. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. Une droite issue d un sommet et passant par l orthocentre, est une hauteur du triangle. lasse de seconde ases de la géométrie

2 FIGURTIS DU PL..4 issectrices et cercle inscrit. Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point qui est équidistant de chacun des trois côtés du triangle. e point est le centre du cercle inscrit dans le triangle. EXERIE chercher D est un parallélogramme. Les points I et J sont les milieux respectifs de [] et [D] Démontrer que les droites (DI), (J) et () sont concourantes. EXERIE chercher D est un parallélogramme I est le projeté orthogonal de sur () et K celui de sur (). Les droites (I) et (K) se coupent en. Démontrer que les droites () et (D) sont perpendiculaires. D lasse de seconde ases de la géométrie

3 LSSE DE SEDE TIVITES GEETRIQUES.. Le triangle rectangle.. Le triangle rectangle et le cercle. Si est un triangle rectangle en, alors est sur le cercle de diamètre [] Réciproquement : Si est un point du cercle de diamètre [], alors le triangle est rectangle en.. Triangle rectangle et médiane. Si est rectangle en, et si est le milieu de [], alors = La médiane relative à l hypoténuse en mesure la moitié. Réciproquement : est un triangle, et est le milieu de []. Si on a =, alors le triangle est rectangle en.. Théorème de Pythagore et réciproque. Si est un triangle rectangle en, alors : Réciproquement : si dans un triangle on a : = + = + alors le triangle est rectangle en..4 Triangle rectangle et trigonométrie. Si est un triangle rectangle en, alors : cos ; sin ; tan, ou encore : côté adjacent côté opposé côté opposé cos ; sin ; tan hypoténuse hypoténuse côté adjacent Il faut retenir les valeurs remarquables suivantes : cos0 = cos 45 = cos 60 = sin 0 = sin 45 = sin 60 = tan 0 = tan 45 = tan 60 = lasse de seconde ases de la géométrie

4 FIGURTIS DU PL EXERIE chercher. alculer H 6 8. a) En calculant de deux manières le cosinus de l angle, démontrer que : = H. Déduisez-en H, puis H.. Les angles.. Somme des angles dans un triangle. La somme des angles d un triangle est égalez à 80. ngles aigus d un triangle rectangle. Les angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires. est à dire que leur somme est égale à 90. ngles opposés par le sommet. d Les deux droites d et d sont sécantes en. Les angles opposés par le sommet a $ et b $ sont égaux. a b d' lasse de seconde ases de la géométrie 4

5 LSSE DE SEDE TIVITES GEETRIQUES..4 ngles alternes-internes et correspondants. Si d et d sont deux droites parallèles, alors : les angles a $ et b $ ainsi que c $ et d $ sont égaux comme étant alternesinternes. c a f d Les angles a et e, ainsi que d et f sont égaux comme étant correspondants. b d Réciproquement, si dans une figure du type de celle ci-contre : e d' Deux angles alternes-internes sont égaux, alors d et d sont parallèles. Deux angles correspondants sont égaux, alors d et d sont parallèles..5 ngles inscrits et angles au centre..5. Définitions : est un cercle de centre. Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle, et qui est délimité par deux cordes du cercle. insi, les angles et sont deux angles inscrits. Les deux angles inscrits et, interceptent le même arc. L angle est l angle au centre qui est associé aux angles inscrits et..5. Propriétés : Un angle inscrit a pour mesure la moitié de l angle au centre qui intercepte le même arc. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux. insi : = = as particulier : Si [] est un diamètre, alors = 80 Il en résulte que = = 90 D où la propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un côté, alors il est rectangle. lasse de seconde ases de la géométrie 5

6 FIGURTIS DU PL EXERIE 4 chercher est un cercle de centre, [] un diamètre, D = 90 et = 40. alculer les mesures des angles du triangle D. D 40,0 4. Le théorème de Thalès et sa réciproque. 4. Le théorème de Thalès. Il s utilise lorsque l on a des droites sécantes coupée par des parallèles. La situation la plus simple est le triangle coupé, par une droite parallèle à un de ses côtés. Dans chacun des cas précédents, les triangles et forment une configuration de Thalès. En effet, les points, et sont alignés ainsi que les points, et, et de plus les droites () et () sont parallèles. Le théorème de Thalès dit que les longueurs des côtés parallèles sont proportionnelles. n a donc les égalités de rapports : lasse de seconde ases de la géométrie 6

7 LSSE DE SEDE TIVITES GEETRIQUES. = = = k Si 0< k <, le triangle est une réduction du triangle Si k >, le triangle est un agrandissement du triangle. Se souvenir que si les longueurs sont dans le rapport k, alors les aires sont dans le rapport k² insi : aire aire = k 4. Réciproque du théorème de Thalès. est un triangle, est un point de () et un point de () Les points,, et, et sont alignés dans le même ordre. Si on a = alors les droites () et () sont parallèles. Remarque : Le fait que les points,, et,, soient dans le même ordre est essentiel. En effet dans la figure suivante, les points et sont placés de manière à ce que =, et pourtant les droites () et () ne sont pas parallèles car les points ne sont pas placés dans le même ordre sur les droites. lasse de seconde ases de la géométrie 7