Chapitre VI : Les nombres complexes

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1 Chapitre VI : Les nombres complexes Cité Scolaire Gambetta nnée scolaire PRESENTTION : On introduit un nombre «imaginaire» pour donner solutions aux équations du nd degré dont le discriminant Δ est négatif On introduit un nombre i vérifiant i (on n écrit pas de préférence i ) i n est pas un réel, c est un nombre complexe (ou «imaginaire») u XVIème siècle, les mathématiciens italiens Cardan et Bombelli parviennent à résoudre des équations du 3 ème et du 4 ème degré Pour trouver des racines réelles de ces équations, ils utilisent des nombres qui ne sont pas des nombres ordinaires Bombelli montre que est solution de l équation x 5x 4 Il a recours à une expression «imaginaire» u milieu du XVIIIème siècle, Euler propose de remplacer par i, nombre vérifiant donc i² =! D lembert montre que tous les imaginaires inventés, que Gauss appellera plus tard nombres complexes, sont de la forme a + ib avec a et b réels ctivité p 3 : des nombres réels aux nombres imaginaires + Vidéo Etienne Ghys I - Forme algébrique d un nombre complexe : ) Théorème d existence (admis) Il existe un ensemble noté, appelé corps des complexes, contenant tel que : - possède un élément noté i tel que i² = - Tout élément de s écrit sous la forme a + ib, où a et b sont des réels a + ib avec a et b réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe On note ( = a + ib ) un élément générique de lors a est la partie réelle de, notée Re() b est la partie imaginaire de, notée Im() la partie imaginaire b est un réel ( i ne fait pas partie de la partie imaginaire)

2 Exemples et remarques : - si = 3i, Re() = et Im() = 3 - Si Im() = 0 (exemple = 8 ), est un réel - Si Re() = 0 (exemple = 5i ), est un imaginaire pur - l écriture d un nombre complexe sous forme algébrique est unique Conséquence : a a' a ib a' ib' b b' En particulier : aib 0 a 0 et b 0 (Conséquence directe de l unicité de l écriture algébrique d un complexe) ) Opérations est muni d une addition et d une multiplication qui prolongent l addition et la multiplication de suivent les mêmes règles de calcul, et qui Exemples de calculs : Prenons = 3 i et = + i : + = 3 i + + i = 5 i = (3 i)(i) 63i 4i i i 6i ( ) 8 i 3 = 9 + 6i Pour définir «la division», on a besoin de se débarrasser du terme i du dénominateur a ib a ib a b On utilise la 3 ème identité remarquable (3i)( i) ' i ( i)( i) i 6 3i 4i i 47i 4 7 i Remarques : a ib s appelle quantité conjuguée «de a + ib» ou plus simplement «conjugué» les puissances de i : i 3 = i ; i 4 = i 4n = ; i 4n+ = i ; i 4n+ = ; i 4n+3 = i i i + utilisation de la calculatrice

3 II - Conjugué d un nombre complexe : ) Définition Le conjugué d un nombre complexe = a + ib (a et b réels) est l unique nombre complexe a ib, noté Exemples : 3i 3i ; 4 4 ; i i ) Propriétés - le conjugué de est, c est-à-dire - si = a + ib, alors a et ib, d où : Re() et iim() utilisées aussi sous la forme Re() et Im() i Il en résulte : Le complexe est imaginaire pur si et seulement si Le complexe est réel si et seulement si - Relation fondamentale : = (a + ib)(a ib) = a² + b² (c est un réel positif!, cela a été utile pour l inverse d un complexe) 3) Opérations sur les nombres conjugués et sont deux nombres complexes et n un entier naturel le conjugué d une somme est la somme des conjugués : (idem pour la différence) le conjugué d un produit est le produit des conjugués : le conjugué d un quotient est le quotient des conjugués : (avec non nul) n n Démonstrations : cas du produit : Soient = a + ib et = a + ib : = aa bb + i(ab + a b), donc ' aa' bb' i(ab' a'b) ' (a ib)(a' ib') aa' bb' i(a'b ab') cqfd

4 Exemples : 4 5i 4 5i Le conjugué de Z est Z 3 i 3 i i i i Le conjugué de Z est Z lieu des points M d affixe telle que i soit réel i 4) Equation avec et Résoudre une équation, c est trouver Si, dans l équation, seul apparaît ou, on résout comme d habitude Si, dans l équation, il subsiste et en même temps alors on remplace par a + ib et par a ib puis on résout par identification (égalité des parties réelles et des parties imaginaires) Exemples : Résoudre les équations suivantes : ) 3i 4 ( i 5) ) 3 i 5i 3) i 4) 3 i III - Equation du second degré à coefficients réels : ) Théorème L équation a² + b + c = 0, où a, b et c sont trois réels (a non nul) admet dans éventuellement confondues Soit b 4ac le discriminant de l équation, c est un nombre réel deux solutions, b Si 0 on a deux solutions réelles distinctes : a, b a b Si 0 l équation a une unique solution réelle : a b i b i Si 0 l équation a deux solutions complexes conjuguées :, a a Remarque : Dans, le trinôme a² + b + c se factorise toujours : a² + b + c = a( )( )

5 Démonstration : l aide de la forme canonique, on obtient : b a² b c a a 4a² Donc résoudre a² + b + c = 0 revient à résoudre - Si 0, c est connu - Si 0, i, donc l équation devient b 0 a 4a² b i b i b i 0 0 a a a a, d où le résultat Exemple : Résoudre dans les équations suivantes : ² =0 ; x² x + = 0 ; 4 + ² 0 = 0 3 i 3 3 i 3 i a) 3, et b) 4, i et i c) Pour Z² + Z 0 = 0, 8, donc Z et Z Les solutions sont donc 5 5,,i, i IV - Représentation géométrique d un nombre complexe : On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct O;u,v ) Définitions : tout point M (a ; b), on associe le nombre complexe M = a + ib, appelé affixe de M ; Réciproquement, à tout nombre complexe = a + ib, avec a et b réels, on associe le point M de coordonnées (a ; b) Le plan est alors appelé plan complexe Vecteurs : a tout point M(a ; b) dans le repère alors que OM b On peut aussi associer = a + ib affixe du vecteur OM Représentation et exemples Placer dans le plan complexe les points M i d affixes respectives i : = + 3i ; = + i ; 3 = i ; 4 = i ; 5 =

6 axe imaginaire pur b M(a;b ) V v 0 u a axe réel Interprétation géométrique : dans le plan complexe, le point M d affixe est le symétrique du point M d affixe par rapport à l axe des abscisses Remarques : Si V et V'ont pour affixes et, alors V V' a pour affixe + et kv(k réel) a pour affixe k (voir alors la représentation géométrique de la somme) l affixe du milieu de [B] est : Propriété : ffixe d un vecteur : et B sont deux points du plan complexe d affixes respectives et B L affixe du vecteur B est B Démonstrations : - B OB O B V - Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul : Le plan est muni d un repère orthonormé direct O;u,v b M( ) v O0 u a Soit M un point de coordonnées cartésiennes (a ; b) distinct de O ; M possède aussi des coordonnées polaires (r ; ) avec : r = OM = Donc a = a r cos et b = sin b et u, OM a ib r cos isin r et

7 ) Définitions On en déduit une nouvelle écriture r cos isin est appelée forme trigonométrique de est un nombre complexe non nul, = a + ib, avec a et b réels M est le point image de dans le plan complexe On appelle module de la distance OM, c est-à-dire la quantité notée a b On appelle argument de, noté arg, n importe quelle mesure en radians de l angle orienté u, OM Exemples : - soit = i, alors, puis cos et sin D où mod et cos isin soit 3 i, alors 4, puis cos = et sin 4 4 D où mod et 4 cos isin Soient et B tels que = + 3i et B = i L affixe de B est B = 3 4i Donc B = 34i 5 Remarque : est un nombre complexe non nul est un réel si, et seulement si arg() = 0 ou arg() = est imaginaire pur si, et seulement si arg() = ou arg() = ) Opérations Ces nouvelles coordonnées sont compatibles avec les opérations usuelles, ce qui facilite les calculs Propriétés : Quels que soient les nombres complexes non nuls et et n un entier naturel non nul: ' ' et arg( ) = arg + arg n ' n n et arg narg ' et arg arg arg ' '

8 Remarque : ttention, ' ' (inégalité triangulaire, traduction d une inégalité sur les distances) Démonstration : vec les formes trigonométriques : rcos isin et ' r' cos ' isin ' ' rr' cos cos ' sin sin ' isin cos ' cos sin ' :, donc d après les formules d addition : ' rr' cos( ') isin( ') ; et comme rr > 0, on en déduit le résultat Pour les puissances, on démontre le résultat par récurrence Pour le quotient : reprenons le produit et posons ' : On a alors =, donc ' Et arg( ) = arg() = arg + arg, donc avec arg = 0, on a Comme, on obtient les résultats pour le quotient ' ' arg arg Exemples : ) a) Ecrire sous forme trigonométrique les nombres 3 i, i et Z b) écrire Z sous forme algébrique et en déduire cos et sin 6 6 cos et sin 4 4 ) soit = i 3, écrire le nombre Z = 007 sous forme trigonométrique et en déduire sa forme algébrique ) Propriétés du module et des arguments : Pour tout nombre complexe non nul : et arg arg() et arg arg() et arg arg() Cette propriété s illustre par la figure suivante :

9 axe des imaginaires purs N' b M( ) -a v arg() 0 u a axe des réels N -b M' Démonstration : Puisque OM = OM = ON = ON, alors Idem pour les arguments, c est direct VI - Notation exponentielle de la forme trigonométrique : Les propriétés algébriques du paragraphe précédent sont le mêmes que celles de la fonction exponentielle d où l idée d une nouvelle notation : Forme exponentielle : i e i Par analogie, on a e cos isin (module et argument ) c est uniquement une notation qui facilite les calculs Exemples à connaître : i0 i e e ; i e ; e i i Propriétés : i e et ' i ' ' e i i ' i ' e ' e ' e ' e e i i ' ' e i i e e i ' i i ' e ' e ' et ' Conséquence trigonométrique : i Pour tout et tout n, n e e in Exemple : Montrer que 6 i 8i

10 II Faire de la géométrie avec les nombres complexes : Soient et B deux points d affixe et B On a : B B et u;b arg B ) Nature d un triangle : Soit BC un triangle On conjecture une «particularité» en, on étudie alors le rapport En effet C B C B et arg C B, C B C B Si le quotient a pour module alors B = C et BC est isocèle en Si l argument est égal à ou alors le triangle est rectangle en Si l argument est égal à 3 alors le triangle est équilatéral (si il est déjà isocèle en ) Exemples : a) Nature du triangle BC où 3 i 4 B 5 i 4 B 7 3 i 4 (Placer les points pour conjecturer) b) Nature du triangle EFG où E 3i F i 6i G c) Nature du triangle PRS où P 3 3 i R P S 3 ) Etude des lieux de points On cherche l ensemble des points M d affixe du plan vérifiant une caractéristique caractéristiques usuelles : i «apparait fois» On travaille sur les modules (soit des longueurs) Cela revient à chercher M = MB où et B i Donc M appartient à la médiatrice du segment [B] 35i 7 «apparait fois» On travaille toujours sur les modules (soit des longueurs) Cela revient à chercher MC = 7 où 3 5i C (En effet, on a 35i 7 ) Remarque : Si on utilise le symbole au lieu de «=», c est alors l intérieur du cercle (le disque)