1 ère S 1 et 1 ère S 3 Le lundi 16 novembre 2015 Durée : 3 heures

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1 1 ère S 1 et 1 ère S 3 Le lundi 16 novembre 2015 Durée : 3 heures Corrigé du DST de mathématiques Exercice 1 : (8 points) On considère le triangle ABC et les points D,E et F tels que, et On va démontrer de trois manières différentes que et sont alignés. 1. Dans le repère a) Déterminer les coordonnées de et 1,5 pt dans le repère dans le repère dans le repère b) Démontrer que les points et sont alignés 1 pt Les points et sont alignés Calculons. Voyons si les 2 vecteurs sont colinéaires : donc Donc les points et sont alignés 2. Avec les vecteurs a) Décomposer et à l aide des vecteurs et 1 pt car, car b) Démontrer que les points et sont alignés 1 pt et Calculons le produit en croix des coordonnées des vecteurs (déterminant) pour savoir si et sont colinéaires : donc Donc les points et sont alignés 3. Géometriquement a) On construit la parallèle à passant par. Elle coupe en. Démontrer que est le milieu de 1 pt b) En déduire que est le milieu de 1 pt c) Démontrer que est parallèle à et conclure. 1,5 pt a. Dans le triangle ACI, la droite (DE) passe par le milieu D de [AC] et est parallèle à (CI) donc elle coupe le troisième côté [AI] en son milieu d après le théorème des milieux. Or cette intersection est en E. Donc E est le milieu de [AI]. 1

2 b. Nous savons que et alors. Donc I est le milieu de [EB]. c. Dans le triangle BEF, C est le milieu de [BF] car et d après le b) I est le milieu de [EB] donc (CI) passe par le milieu de [BF] et de [BE] donc elle est parallèle au troisième côté (EF) d après le théorème des milieux. Donc Finalement, (CI) est parallèle à (DE) par construction et à (EF) donc (DE) et (EF) sont parallèles entre elles. Or comme elles ont le point E en commun, (DE) et (EF) sont confondues. Donc les points D, E et F sont alignés. Exercice 2 : (7 points) On considère un réel et la droite d équation Dans chaque cas, peut-on déterminer pour que la condition soit vérifiée? Si oui, le déterminer. 1. est un vecteur directeur de la droite 1 pt Un vecteur directeur de est est un vecteur directeur de 2. appartient à la droite 1 pt appartient à 3. La droite est parallèle à la droite 1 pt Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. est la parallèle à la droite 4. La droite est parallèle à l axe des abscisses 1 pt est la parallèle à l axe des abscisses La droite n est jamais parallèle à l axe des abscisses quelle que soit la valeur de 5. La droite est parallèle à l axe des ordonnées 1 pt est la parallèle à l axe des ordonnées La droite est parallèle à l axe des ordonnées pour 6. La droite passe par l origine du repère. 1 pt appartient à La droite ne passe jamais par l origine du repère quelle que soit la valeur de 7. La droite passe par le point 1 pt appartient à Exercice 3 : (6 points ) On considère un réel et la droite d équation 1. Tracer, et 2 pts 2. Montrer que toutes les droites passent par le point dont on précisera les coordonnées. 1 pt 3. Existe-t-il des droites passant par? Si oui, lesquelles? 1,5 pt 4. Existe-t-il des droites de vecteur directeur? Si oui, lesquelles? 1,5 pt 2

3 3) A (-1 ;4) la droite d équation si et seulement si Soit Exercice 4 : (6 points) Soit les droites définies par leur équation cartésienne :. Les nombres A, B, C, D, E, F définissent les 2 droites. L objectif est écrire un algorithme qui compare les positions relatives des droites. Les droites sont soit sécantes, soit parallèles et distinctes, soit parallèles et confondues. 1. Expliquer le raisonnement mathématique qui permet de répondre à la question : les droites sont-elles sécantes ou parallèles? 2 pts Les droites ont respectivement pour vecteurs directeur en utilisant leurs équations cartésiennes. Les droites sont parallèles sont colinéaires 3

4 Or dans un plan deux droites sont soit parallèles soit sécantes. Si, alors les droites sont parallèles Si, alors les droites sont sécantes 2. Ecrire l algorithme qui répond à la question : les droites sont-elles sécantes ou parallèles? 2 pts On utilise le résultat prouvé au 1. Pour écrire l algorithme : Si, alors les droites sont parallèles Si, alors les droites sont sécantes On garde les notations de l énoncé A, B, C, D, E et F pour nommer les variables de l algorithme : Entrées : saisir les coefficients des équations cartésiennes de Entrer A, B, C, D, E et F Traitement et sortie : Si alors Afficher «Les droites sont parallèles» Sinon Afficher «Les droites sont sécantes» Fin Si 3. Comment modifier le raisonnement mathématique pour répondre à la question : les droites sont-elles sécantes ou bien parallèles et non confondues, ou encore parallèles et confondues? 1 pt Il s agit de séparer le cas les droites sont parallèles en 2 sous cas - les droites sont parallèles et non confondues - les droites sont parallèles et confondues : les 2 droites sont égales Les 2 droites sont égales les équations et sont proportionnelles 4. Comment modifier l algorithme du 2. pour répondre à la question du 3.? 1 pt Dans le cas ou les droites sont parallèles, on teste l égalité des équations. La première condition a déjà été validée dans le Si précédent donc on ne la teste pas. Entrées : saisir les coefficients des équations cartésiennes de Entrer A, B, C, D, E et F Traitement et sortie : Si alors Si alors Afficher «Les droites sont confondues» Sinon Afficher «Les droites sont parallèles et non confondues» Fin Si 4

5 Sinon Afficher «Les droites Fin Si sont sécantes» Exercice 5 : (5 points) Soit la fonction définie par : 1. Quel est l ensemble de définition de la fonction. Justifier votre réponse. 1 pt Le dénominateur doit être non nul donc Sous la racine, on doit avoir Or, donc soit Donc 2. Donner les expressions de sur son ensemble de définition sans valeur absolue ni racine carrée. 2 pts Non demandé : 5

6 3. Soit la fonction définie par. Comparer les fonctions sur l intervalle. 2 pts. Pour comparer étudions le signe de Or donc et l on peut multiplier et diviser par ce nombre non nul : Pour : Ce que l on retrouve graphiquement : 6

7 Exercice 6 : (4 points) 1. Résoudre dans l inéquation: 2 pts Si alors Soit le discriminant du trinôme : On obtient le tableau de signe suivant : Or, donc on ne garde que la partie du tableau de signe où : Si alors Soit le discriminant du trinôme : On obtient le tableau de signe suivant : Or, donc on ne garde que la partie du tableau de signe où : + 7

8 D où en regroupant les solutions des 2 cas : 2. Résoudre dans l inéquation: 2 pts Posons l inéquation devient: Résolvons Le trinôme est positif (du signe de +5) à l extérieur des racines soit : car Exercice 7 : (4 points ) Un véhicule décrit un mouvement rectiligne. La distance parcourue, en mètre, depuis le temps jusqu au temps en seconde est 1. Calculer pour 1 pts 2. Déterminer la vitesse instantannée de ce véhicule au temps 1,5 pt La vitesse instantannée de ce véhicule au temps est la distance parcourue pendant une durée très courte depuis le temps depuis divisée par Donc la vitesse instantannée de ce véhicule au temps est la limite lorsque tend vers 0 de Donc 3. Déterminer sa vitesse instantannée à 1,5 pt 8

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